problem_C5_(15)x

Л.А. Штраус, И.В. Баринова
Задачи с параметром в ЕГЭ
Методические рекомендации
y=-x
-a-1
-a
0
-5
Ульяновск 2015
х
Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации
/ Л.А. Штраус, И.В. Баринова; — Ульяновск: 2015.— 55 с.
Данные методические рекомендации являются продолжением работы [9] авторов.
Рассмотрены различные типы задач с параметром, соответствующие курсу математики
средней школы, и методы их решения. В частности, среди них задачи С5 (20 в 2015 г.)
подготовительных, репетиционных и реальных вариантов контрольных измерительных
материалов ЕГЭ 2010г. - 2015г. Набор задач для самостоятельного решения достаточно
разнообразен как по уровню сложности, так и по охвату тем, и может быть использован для
реализации спецкурса, составления вариантов контрольных работ и пробных экзаменов.
Рекомендации помогут учителям математики подготовить учащихся к ЕГЭ. Некоторые
материалы данных рекомендаций могут быть использованы в девятых и десятых классах.
Предназначены для учителей математики и учащихся.
Рецензент:
Мухаметзянова Ф.С., Заслуженный учитель РФ.
©Штраус Л.А., Баринова И.В., 2015.
2
Введение
Умение решать задачи с параметром во многом является залогом
достижения высокого результата на ЕГЭ. Сами учащиеся довольно успешно
пытаются овладеть этим умением: результаты ЕГЭ показывают, что
коэффициент решаемости задачи С5 (20) в несколько раз выше, чем для задач
С4 (18) и С6 (21), да и в баллах задача С5 оценивается выше, чем объективно
более тяжёлая С4. Тем самым организаторы ЕГЭ стимулируют изучение
школьниками разделов программы, связанных с вузовским курсом, таких, как
применение производной к исследованию функций и построению графиков.
Можно знать геометрические теоремы и приёмы решения задач, освоить
большой объём упражнений и всё же не решить задачу по планиметрии,
поскольку необходимые ходы подчас нелегко заметить. В этом смысле задачи с
параметром представляют собой более благодарный материал. К специфике
решения таких задач, заключающейся в основном в учёте всех возможных
ситуаций и исследовании изменения характера решений в зависимости от
параметра, можно подготовиться. Методы их решения в основном
алгоритмичны и знание нескольких способов, наличие аналитической и
графической культуры с высокой долей вероятности приведут к успеху.
Изменилось отношение учителей к задачам с параметром. Если раньше такие
задачи в основном содержались в вариантах вступительных экзаменов в вузы с
повышенными требованиями к знаниям абитуриентов по математике и по этой
причине учителя дистанцировались от них, то теперь они стали неотъемлемой
частью вариантов ЕГЭ. Это обязывает вникать в соответствующую тематику,
совершенствовать свои знания и методику изучения темы. Данное пособие
поможет в этом учителям, а также учащимся, которые могут пользоваться
пособием самостоятельно. В основу работы положены как уже используемые
авторами в течение многих лет классические материалы и задачи [6,7], так и
задачи ЕГЭ последних лет, включая 2015 год. Используя имеющийся
положительный опыт изложения материала [8,9],
авторы старались
максимально охватить как методы решения, так и типы задач и вместе с тем
стремились к лаконичности, ибо имеющиеся пособия (например[3, 4],)
чрезмерно объёмны. Следует помнить о том, что в вариантах есть и другие
задачи, и что у учащихся есть экзамены по другим предметам. Набор задач для
самостоятельного решения достаточно широк как по уровню сложности, так и
по охвату тем и может быть использован как для реализации спецкурса с
развитием и закреплением необходимых навыков, так и для составления
вариантов контрольных работ и пробных экзаменов. Следует отметить, что
дополнительное изучение данной темы способствует формированию
3
математического стиля мышления, развитию творческих способностей,
метапредметных умений, а также
положительно отражается на общем
результате экзамена, поскольку автоматически повышается уровень логической
и графической культуры учащихся, совершенствуются знания по началам
анализа, тригонометрии, методам решения показательных и логарифмических
уравнений и неравенств.
Содержание
Введение…………………………………………………………….3
1. Простейшие задачи: линейные уравнения, системы, ……………………..5
неравенства, иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов.
2. Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства параболы…….9
3. Замена переменной………………………………………………………….12
4. Графический метод………………………………………………............. 14
4.1. Преобразование графиков функций; движение графика…………….14
по траектории.
4.2. Решение в системе координат (х,а);метод областей…………………21
4.2. Окружности……………………………………………………………..27
4.4. Использование функции 𝒚 = |𝒙 − 𝒙𝟏 | + |𝒙 − 𝒙𝟐 |. …………………31
5. Оценка значений выражений………………………………………………32
6. Принцип симметрии………………………………………………………..34
7. Введение вспомогательной функции…………………………………......36
8. Применение производной……………………………………………….....37
9. Задачи для самостоятельного решения……………………………………42
10. Литература………………………………………………………………….54
4
1. Простейшие задачи: линейные уравнения, системы, неравенства,
иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов.
Решим несколько задач, требующих только внимания, «деликатного
обращения с фиксированным, но неизвестным числом» [3] и никаких
специальных знаний. Вместе с тем, они иллюстрируют специфику задач с
параметром.
Пример 1. Решить уравнение (𝑎2 − 3𝑎 + 2)𝑥 = 𝑎 − 1.
Решение. Найдём корни квадратного трёхчлена в левой части уравнения
и запишем его в виде (𝑎 − 1)(𝑎 − 2)𝑥 = 𝑎 − 1. При 𝑎 = 1 уравнение принимает
вид 0 ∙ 𝑥 = 0. Любое действительное значение х удовлетворяет уравнению. При
а=2 получаем 0 ∙ 𝑥 = 1, уравнение решений не имеет. При 𝑎 ≠ 1 и 𝑎 ≠ 2
𝑎−1
𝑥 = (𝑎−1)(𝑎−2) =
1
𝑎−2
.
Ответ: при 𝑎 = 1 𝑥 ∈ (−∞; +∞), при 𝑎 = 2 решений нет, при
1и 𝑎 ≠2 𝑥 =
1
𝑎−2
𝑎≠
.
Пример 2. При каких значениях а для всех х, принадлежащих
промежутку (−1; 1), выполняется неравенство (3 − 3𝑎)𝑥 + 2𝑎2 − 3𝑎 + 1 > 0?
Решение. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = 3(1 − 𝑎)𝑥 + 2𝑎2 − 3𝑎 + 1. Она
является линейной относительно х. Требуемое неравенство выполняется тогда и
только тогда, когда значения функции неотрицательны на концах промежутка,
причём, не равны нулю одновременно:
𝑓(−1) ≥ 0,
𝑓(−1) > 0,
𝑎2 − 1 > 0,
𝑎2 − 1 ≥ 0,
или {
то есть { 2
или { 2
{
𝑓(1) > 0
𝑓(1) ≥ 0 ,
𝑎 − 3𝑎 + 2 ≥ 0,
𝑎 − 3𝑎 + 2 > 0
𝑎 ∈ (−∞; −1] ∪ (2; +∞) или
𝑎 ∈ (−∞; −1) ∪ [2; +∞).
Объединяем множества и получаем ответ.
Ответ: (−∞; −1] ∪ [2; +∞).
Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
𝑎𝑥 2 +𝑥+1
𝑥−1
=0
имеет единственное решение.
Решение. Мы ищем решение уравнения
𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0
(1)
при условии 𝑥 ≠ 1. Возможны следующие случаи:
1.
Уравнение (1) линейное, 𝑎 = 0, 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 = −1.
2.
Уравнение (1) квадратное, его дискриминант равен нулю:
D = 1 − 4𝑎 = 0, 𝑎 =
1
4
, 𝑥 = −2.
3. Уравнение (1) квадратное, D > 0, один из корней равен 1:
1
𝑎 + 2 = 0, 𝑎 = −2, −2𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 = 1 или 𝑥 = − .
2
1
Ответ: 0; ; −2.
4
5
Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
𝑎2 + 1 = 𝑎𝑥 + 3𝑦,
система { 2
не имеет решений.
5𝑎 + 5 = (3𝑎 + 14)𝑥 + (𝑎 + 8)𝑦
Решение. Выразив y из первого уравнения системы и подставив во
второе, получим систему, равносильную исходной:
𝑦=
𝑎2 +1−𝑎𝑥
,
3
{
𝑎2 +1−𝑎𝑥
(𝑎 + 8)
+ (3𝑎 + 14)𝑥 = 5𝑎2 + 5.
3
После преобразований второе уравнение принимает вид (𝑎 − 7)(𝑎 +
6)𝑥 = (𝑎 − 7)(𝑎2 + 1). Каждому x, удовлетворяющему этому уравнению,
отвечает единственное значение y, которое находим из первого уравнения.
Получаем: если 𝑎 ≠ 7, 𝑎 ≠ −6, то 𝑥 =
𝑎2 +1
𝑎+6
и система имеет единственное
решение; если a=7, то 0 ∙ 𝑥 = 0 , 𝑥 ∈ R- бесчисленное множество решений; если
𝑎 = −6, то 0 ∙ 𝑥 = −13 ∙ 37 - нет решений.
Ответ: -6.
Пример 5. Для любых значений а решить неравенство
5 − 𝑎 > (4 − 𝑎)√𝑥 − 3.
Решение. Если 𝑎 < 4, то исходное неравенство равносильно
5−𝑎 2
5−𝑎
неравенствам √𝑥 − 3 <
, 3 ≤ 𝑥 < ( ) + 3. При 4 ≤ 𝑎 < 5 неравенство
4−𝑎
4−𝑎
выполняется для 𝑥 ≥ 3, поскольку 5 − 𝑎 > 0, (4 − 𝑎)√𝑥 − 3 ≤ 0.
5
4 − 𝑎 < 0,
5−𝑎 2
5−𝑎
4−𝑎
При 𝑎 ≥
5−𝑎
≥ 0 и неравенство принимает вид √𝑥 − 3 >
, 𝑥−3>
4−𝑎
5−𝑎 2
(4−𝑎) , 𝑥 > 3 + (4−𝑎) .
Ответ: при 𝑎 < 4
при 𝑎 ≥ 5
5−𝑎 2
𝑥 ∈ [3; (
4−𝑎
) + 3), при
4 ≤ 𝑎 < 5 𝑥 ∈ [3; +∞),
5−𝑎 2
𝑥 ∈ (3 + (
4−𝑎
) ; +∞).
Пример 6. Для любых значений а решить уравнение
log 2 𝑥 + log 𝑎 𝑥 + log 4 𝑥 = 1.
Решение. Преобразуем уравнение, учитывая условия 𝑥 > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1:
3
log 2 𝑥
3
1
3 log 2 𝑎 + 2
log 2 𝑥 +
= 1,
log 2 𝑥 ( +
log 2 𝑥 ∙
= 1.
) = 1,
2
log 2 𝑎
2 log 2 𝑎
2 log 2 𝑎
Находим отсюда х при условии 3 log 2 𝑎 + 2 ≠ 0, 𝑎 ≠
Ответ:
𝑥=2
2 log2 𝑎
3 log2 𝑎+2
при
1
3
√4
∶ 𝑥=2
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ≠
значениях 𝑎 решений нет.
6
1
3
√4
2 log2 𝑎
3 log2 𝑎+2
.
; при остальных
Пример
При
7.
каких
значениях
а
неравенство
выполняется при любых значениях х?
Решение. Рассматриваемое неравенство
неравенству
2𝑥 2 +(3+𝑎)𝑥+2
𝑥 2 +𝑥+1
−3 <
> 0,
𝑥 2 −𝑎𝑥+1
< 3.
𝑥 2 +𝑥+1
4𝑥 2 +(3−𝑎)𝑥+4
𝑥 2 +𝑥+1
Отсюда
𝑥 2 −𝑎𝑥+1
𝑥 2 +𝑥+1
равносильно
получаем,
должны
>0
|
что
выполняться
|<3
двойному
неравенства
при
любых
значениях х. Заметив, что квадратный трёхчлен 𝑥 2 + 𝑥 + 1 положителен при
всех х (его дискриминант отрицателен), получаем, что при всех х должны быть
справедливы неравенства 2𝑥 2 + (3 + 𝑎)𝑥 + 2 > 0, 4𝑥 2 + (3 − 𝑎)𝑥 + 4 > 0.
Это выполняется, если дискриминанты квадратных трёхчленов отрицательны:
(3 + 𝑎)2 − 16 < 0,
−4 < 3 + 𝑎 < 4,
⟺{
⟺ −5 < 𝑎 < 1.
{
2
−8 < 3 − 𝑎 < 8
(3 − 𝑎) − 64 < 0
Ответ: (−5; 1).
Метод интервалов в задачах с параметром требует особенно
внимательного применения, поскольку расположение корней исследуемых
выражений может значительно меняться в зависимости от параметра и
требуется исследовать каждую из возможных ситуаций.
Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
𝑥−2𝑎−4
𝑥+3𝑎−2
≤ 0 выполняется для всех х из отрезка [1; 3].
Решение. По условию корень знаменателя 𝑥1 = −3𝑎 + 2 не принадлежит
отрезку [1; 3]. Возможны следующие случаи:
1.
𝑥1 > 3. Обозначим 𝑥2 = 2𝑎 + 4 - корень числителя. Тогда 𝑥2 ≤ 1 (
промежуток неположительности рассматриваемого выражения должен
«накрывать» отрезок [1; 3], см. рис. 1; во всех остальных случаях, то есть при
1 < 𝑥2 < 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 или 𝑥2 > 𝑥1 значение исходного выражения в точке 1
положительно ).
–
+
x2 1
+
x1
x
3
Рис. 1
𝑥 > 3,
3
−3𝑎 + 2 > 3,
Решаем систему { 1
то есть {
: 𝑎≤− .
2
𝑥2 ≤ 1,
2𝑎 + 4 ≤ 1.
2.
𝑥1 < 1. Аналогично предыдущему получаем, что
1
−3𝑎 + 2 < 1,
приходим к системе {
Отсюда 𝑎 > .
3
2𝑎 + 4 ≥ 3.
3
1
Ответ: (−∞; − ] ∪ ( ; +∞).
2
𝑥2 ≥ 3
и
3
Пример 9. При каких значениях а ровно одно решение неравенства 𝑥 2 +
(5𝑎 + 3)𝑥 + 4𝑎2 − 4 ≤ 0 удовлетворяет неравенству 𝑎𝑥(𝑥 − 4 − 𝑎) ≤ 0?
7
Решение. Условия задачи означают, что система данных неравенств
имеет единственное решение. Квадратный трёхчлен 𝑥 2 + (5𝑎 + 3)𝑥 + 4𝑎2 − 4
5
имеет корни −𝑎 + 1 и −4𝑎 − 4, совпадающие при 𝑎 = − .
3
Возможны
следующие случаи:
1.
5
8
𝑎 = − . Первое неравенство имеет единственное решение 𝑥 = − ,
3
3
5
7
которое удовлетворяет второму неравенству − 𝑥 (𝑥 − ) ≤ 0.
3
3
2.
а = 0. Решением первого неравенства является отрезок [−4; 1], все
точки которого удовлетворяют второму неравенству, 0 ∙ 𝑥(𝑥 − 4) ≤ 0 которое
выполняется для всех х.
3.
Корни квадратного трёхчлена 𝑎𝑥(𝑥 − 4 − 𝑎) совпадают: а = - 4.
Решением первого неравенства является отрезок [5; 12], все точки которого
удовлетворяют второму неравенству −4𝑥 2 ≤ 0, которое выполняется для всех
х.
4.
Дискриминанты обоих квадратных трёхчленов положительны.
Условиям задачи может удовлетворять только такая ситуация, когда трёхчлены
имеют общий корень, поскольку в противном случае
решением
соответствующей системы неравенств является отрезок или объединение двух
отрезков (рис. 2 соответствует одному из таких случаев) или решений нет.
x
Рис. 2
𝑥(𝑥 + 8) ≤ 0,
Если -а+1=0, то а=1 . Система принимает вид {
и имеет
𝑥(𝑥 − 5) ≤ 0
единственное решение x=0.
3
Если -а+1=4+ a, то 𝑎 = − . Система принимает вид
2
5
(𝑥 − 2) (𝑥 − ) ≤ 0,
2
{
5
𝑥 (𝑥 − ) ≥ 0
и имеет единственное решение x=0.
2
Если −4𝑎 − 4 = 0, то 𝑎 = −1. Система принимает вид {
𝑥(𝑥 − 2) ≤ 0,
и
𝑥(𝑥 − 3) ≥ 0
имеет единственное решение x=0.
8
Если −4𝑎 − 4 = 4 + 𝑎, то 𝑎 = − . Система принимает вид
5
12
13
(𝑥 − 5 ) (𝑥 − 5 ) ≤ 0,
{
12
𝑥 (𝑥 − ) ≥ 0
12 13
и имеет решение [ ; ].
5
5
8
5
5
3
3
2
Ответ: − ; − ; ±1.
Замечание. Задачу можно решить в системе координат (х,а) методом
областей.
Далее в связи с методом интервалов см. пример 40.
2.
Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства
параболы.
Расположение корней квадратного трёхчлена относительно нескольких
точек можно определить с помощью нахождения значений трёхчлена в этих
точках, дискриминанта, абсциссы вершины параболы. При этом удаётся
избежать решения громоздких уравнений и неравенств, зачастую
иррациональных. Типовые ситуации хорошо известны и подробно описаны в
различных пособиях [3, 7]. В этом пункте мы ограничимся двумя примерами,
другие нам встретятся ниже как вспомогательные.
Обозначим 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Для того, чтобы корни 𝑥1,2 трёхчлена
𝑎 < 0,
а  0,
+
{

𝑓(𝑎) > 0.
f ( )  0.


х1
х2
х
𝛼
Рис. 3 𝑥1
𝑥2
–
располагались по разные стороны от данной точки α, необходимо и достаточно,
чтобы старший коэффициент а и 𝑓(𝛼) имели разные знаки (см. рис. 3):
𝑎𝑓(𝛼) < 0.
(2)
Пример 10. При каких а один корень уравнения 2𝑎𝑥 2 − 2𝑥 − 3𝑎 − 2 = 0
больше 1, а другой меньше 1?
Решение. В нашем случае неравенство (2) принимает вид 2𝑎(−𝑎 − 4) <
0, 𝑎(𝑎 + 4) > 0. Отсюда 𝑎 ∈ (−∞; −4) ∪ (0; +∞).
Ответ: (−∞; −4) ∪ (0; +∞).
Условия того, что корни квадратного трёхчлена 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
располагаются справа от точки α, задаются системой
D > 0,
+
𝑎𝑓(𝛼) > 0
,
{
𝑏
𝑥0 = − 2𝑎 > 𝛼.

х1
х0
х2

х1
х
Рис. 4
–
9
х0
х2
х
Далее типовые ситуации рассматривается в примерах 13, 14, 16.
При 𝑎 > 0(𝑎 < 0) квадратичная функция 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 убывает
(возрастает) при 𝑥 ≤ 𝑥0 , возрастает (убывает) при 𝑥 ≥ 𝑥0 и принимает
наименьшее (наибольшее) значение в точке 𝑥0 .
Пример 11. Найдите все значения а, при каждом из которых любая
прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечётное число общих точек с
графиком функции 𝑓(𝑥) = (3𝑎 + 2)𝑥 − (𝑥 − 1)|𝑥 − 𝑎|.
Решение. Если 𝑥 ≤ 𝑎, то 𝑓(𝑥) = (3𝑎 + 2)𝑥 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥 2 + (2𝑎 + 1)𝑥 +
𝑎 и графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вверх.
Обозначим 𝑥0 = −
2𝑎+1
2
- абсциссу вершины параболы. Если 𝑥 > 𝑎 , то 𝑓(𝑥) =
(3𝑎 + 2)𝑥 − (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑎) = −𝑥 2 + (4𝑎 + 3)𝑥 − 𝑎 . Парабола направлена ветвями
вниз.Обозначим 𝑥1 =
4𝑎+3
2
. Таким образом, функция имеет вид
𝑥 2 + (2𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 ,
−𝑥 2 + (4𝑎 + 3)𝑥 − 𝑎,
𝑥 ≤ 𝑎,
𝑥 > 𝑎.
Возможны следующие случаи (в соответствии с принадлежностью точек 𝑥0 , 𝑥1
промежуткам 𝑥 < 𝑎 и 𝑥 > 𝑎 соответственно): 1. 𝑥0 < 𝑎, 𝑥1 > 𝑎 (рис.5) ; 2.
𝑥0 ≥ 𝑎, 𝑥1 > 𝑎 (рис .6) ;3. 𝑥0 < 𝑎, 𝑥1 ≤ 𝑎 (рис. 7) ; 4. 𝑥0 ≥ 𝑎, 𝑥1 ≤ 𝑎 (рис. 8).
𝑓(𝑥) = {
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
В каждом из первых трёх случаев функция имеет по две точке
экстремума и горизонтальная прямая (иначе, перпендикулярная оси ординат)
10
проведённая через точку графика над точкой экстремума, имеет с ним две
общие точки. В последнем случае функция является убывающей и любая
прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет одну общую точек с графиком.
2𝑎+1
1
−
≥ 𝑎,
𝑎≤− ,
3
2
4
⇔{
{ 4𝑎+3
3 ⟺ 𝑎 ≤ −2 .
≤𝑎
𝑎≤−
2
2
3
Ответ: 𝑎 ≤ − .
2
Пример 12. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение функции 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 9|𝑥 − 𝑎| − 𝑥 на отрезке [−9; 8] принимается
хотя бы на одном из концов этого отрезка.
Решение. Если 𝑥 ≤ 𝑎, то 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 9(𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = −𝑥 2 − 10𝑥 + 9𝑎 и
графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вниз
Абсцисса вершины равна -5. Если 𝑥 > 𝑎, то
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 9(𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = −𝑥 2 + 8𝑥 − 9𝑎, графиком функции является
часть параболы, направленной ветвями вниз. Абсцисса вершины равна 4.
Возможны следующие случаи:
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
1.
𝑎 ≤ −5. Тогда на отрезке [−9; 4] функция возрастает (рис. 9), на
отрезке [4; 8] убывает, в точке 4 она принимает наибольшее значение, а
наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов.
11
2.
𝑎 ≥ 4. Тогда на отрезке [−9; −5] функция возрастает (рис.10), на
отрезке [−5; 8] убывает, в точке -5 она принимает наибольшее значение, а
наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов.
3.
−5 < 𝑎 < 4. В точке а функция имеет минимум (рис.11).
Требуемые условия выполняются, если значение функции хотя бы на одном из
концов отрезка не больше, чем в точке а:
𝑓(−9) ≤ 𝑓(𝑎)
𝑎2 + 10𝑎 + 9 ≤ 0
−9 ≤ 𝑎 ≤ −1
⟺[
⟺
[
[
𝑓(8) ≤ 𝑓(𝑎)
𝑎2 − 8𝑎 ≤ 0
0 ≤ 𝑎 ≤ 8.
Отсюда с учётом условия −5 < 𝑎 < 4
𝑎 ∈ (−5; −1] ∪ [0; 4).
Объединяем результаты и получаем ответ.
Ответ: 𝑎 ≤ −1; 𝑎 ≥ 0.
Замечание. Вместо решения последней системы можно было потребовать,
чтобы точка а была от -5 не дальше, чем -9, или от 4 не дальше, чем 8.
3. Замена переменной.
Замена переменной является распространённым приёмом при решении
уравнений и неравенств, в частности, уравнений и неравенств с параметром.
Наиболее простой является ситуация, когда неважно, сколько решений
исходной задачи даёт значение новой переменной (примеры 13, 15, 17).
Большего внимания требуют задачи, где необходимо учитывать соотношение
количества решений старой и новой задач. Это связано с монотонностью
функции, используемой для замены переменной (примеры 14, 16, 21, 22).
Пример 13. Найдите все значения а, для которых при каждом х из
3
3
промежутка [−27; 8)
значение выражения 𝑎2 √𝑥 2 + 4 √𝑥
не равно
3
значению выражения 2(4 + 𝑎 √𝑥 ).
3
Решение. Обозначим 𝑡 = √𝑥 . Если −27 ≤ 𝑥 < 8 , то −3 ≤ 𝑡 < 2 и
условия задачи означают, что на промежутке −3 ≤ 𝑡 < 2 уравнение 𝑎2 𝑡 2 +
4𝑡 = 2(4 + 𝑎𝑡) не имеет решений. Преобразуем уравнение: 𝑎2 𝑡 2 + (4 − 2𝑎)𝑡 −
8 = 0.
Возможны случаи:
1.
𝑎 = 0, 𝑡 = 2 ∉ [−3; 2),
следовательно, 𝑎 = 0
удовлетворяет
условиям задачи.
2.
𝑎 ≠ 0, уравнение квадратное, его дискриминант положителен,
корни имеют разные знаки: 𝑡1 ∙ 𝑡2 = −
8
𝑎2
< 0. Обозначим 𝑓(𝑡) = 𝑎2 𝑡 2 +
(4 − 2𝑎)𝑡 − 8. Требуется, чтобы 𝑡1 < −3, 𝑡2 ≥ 2. Это условие выполняется,
если 𝑓(−3) < 0 и 𝑓(2) ≤ 0 (см. рис. 12).
12
Рис. 12
9𝑎2 + 6𝑎 − 20 < 0,
Получаем систему {
и решаем её: 0 < 𝑎 ≤ 1. Объединяем
𝑎2 − 𝑎 ≤ 0
результаты и получаем ответ.
Ответ: [0; 1].
Пример 14. При каких значениях параметра а уравнение
25𝑥 − (𝑎 − 1)5𝑥 + 2𝑎 + 3 = 0 имеет ровно 2 различных решения?
Решение. Обозначим 𝑡 = 5𝑥 . Исходное уравнение принимает вид
𝑡 2 − (𝑎 − 1)𝑡 + 2𝑎 + 3 = 0.
(3)
Поскольку показательная функция является строго монотонной и
принимает только положительные значения, то требуется найти а, при которых
уравнение (3) имеет два различных положительных решения 𝑡1,2 . Искомые
значения а задаются системой (см. рис. 4)
𝐷 > 0,
𝑎−1
> 0,
{𝑡0 =
2
𝑓(0) > 0.
𝑎 − 10𝑎 − 11 > 0,
𝑎 > 11
[
𝑎 > 1,
Получаем {
{ 𝑎 < −1,
3
𝑎 > 1,
𝑎>− ,
2
𝑎 > 11.
2
Ответ: 𝑎 > 11.
Рассмотрим пример гораздо сложнее предыдущих. Он содержит
полезный приём решения уравнений степени выше второй.
Пример 15. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
a  a  sin x  sin x имеет решение.
уравнение
Решение. Приведём один из аналитических способов решения. Уравнение
a at t
с условием  1  t  1 равносильно уравнению
условием 0  t  1 и уравнению a  t  t 2  a 
Преобразуем и решим последнее уравнение:
2
13
a  t  t2  a с
с условиями t 2  a,
0  t  1.


a 2  2t 2  1 a  t 4  t  0;
2t 2  1  2t  1
D  4t  4t  1  2t  1 , a 
,
2
t 2  t  1  a
.
 2
t  t  a
2
2
Если t 2  t  1  a , то t 2  a и решений нет. В случае t 2  t  a условие t 2  a
1 

t  t  a  0,
выполнено и система 
имеет решение, если 
1 
0  t  1


1
  a  0.
4
1
Ответ:   a  0 .
4
2
1  4a
 1,
2
, откуда
1  4a
0
2
t 2  t  a  0,
Замечание. Ответ о разрешимости системы 
можно было
0  t  1
получить с помощью её графической интерпретации. Такие вопросы
обсуждаются в следующем разделе.
4. Графический метод.
Чаще всего графический метод в задачах с параметром применяется по
следующей схеме: исходное уравнение 𝐹(𝑥, 𝑎) = 0 приводится к виду 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥, 𝑎), где 𝑓(𝑥) не зависит от а, а конструкция функций 𝑔(𝑥, 𝑎), зависящих
от а, удобна для исследования и характер их изменения в зависимости от а
легко прослеживается. Перед решением таких задач следует повторить тему
«Преобразование графиков функций», вспомнить, как из графика 𝑦 = 𝑓(𝑥)
получаются графики 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎, 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎, 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎),
𝑦 = 𝑎 + 𝑓(𝑥 − 𝑎), 𝑦 = 𝑓(−𝑥), 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, 𝑦 = |𝑓(𝑥) − 𝑎|. Выделение
следующего пункта весьма условно, поскольку преобразование графиков
встречается в большинстве из рассматриваемых здесь примеров.
4.1 Преобразование графиков функций; движение графика по
траектории.
1
Пример 16. При каких значениях а уравнение √𝑥 + 1 = 𝑥 + 𝑎 имеет
2
единственное решение?
Решение. Первый способ. Нарисуем графики функций в обеих частях
1
уравнения (рис. 13). Пусть l- прямая семейства 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, проходящая через
2
точку (-1;0). Условиям задачи отвечают прямые семейства, проходящие ниже l,
14
или касательная m. Находим значение
1
1
2
2
а для прямой l: − + 𝑎 = 0, 𝑎 = .
1
Следовательно, нас устраивают значения 𝑎 < .
2
Рис. 13
а, соответствующее касанию. Возведём исходное
Теперь найдём значение
уравнение почленно в квадрат:
1
4
1
𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 ,
4
𝑥 2 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎2 − 1 = 0.
(4)
D = 0: 𝐷 = (𝑎 − 1)2 − 𝑎2 + 1 = −2𝑎 + 2 = 0, 𝑎 = 1.
1
равносильно
2
Уравнение
(4)
𝑥 + 𝑎 = ±√𝑥 + 1 (дуга 𝑦 = − √𝑥 + 1 нарисована пунктиром).
1
Поэтому мы нашли a, при которoм 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 будет касательной к параболе
2
𝑦 = ±√𝑥 + 1 и в данном случае к её верхней дуге.
1
Ответ: (−∞; ) ∪ {1}.
2
Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с
помощью производной (см. (29)):
1
1
√𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎,
⟺{
Отсюда 𝑥 = 0, 𝑎 = 1.
{
′
1
1
1
= .
(√𝑥 + 1) = ( 𝑥 + 𝑎)′
2√𝑥+1
2
√𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎,
2
Второй
способ.
Обозначим
𝑡 = √𝑥 + 1 , 𝑡 ≥ 0.
Исходное уравнение принимает вид
𝑡=
𝑡 2 −1
2
+ 𝑎,
Тогда
𝑥 = 𝑡 2 − 1.
𝑡 2 − 2𝑡 = 1 − 2𝑎.
Поскольку каждому t соответствует единственное х, то требуется найти а, при
которых последнее уравнение имеет единственное неотрицательное решение.
1
Из рис.14 получаем: 1 − 2𝑎 = −1 или 1 − 2𝑎 > 0, откуда 𝑎 = 1 или 𝑎 < .
2
Третий способ решения можно получить, используя приёмы раздела 2:
уравнение
1
√𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎 равносильно системе
15
1-2а
0
t
-1
Рис. 14
1
𝑥 2 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎2 − 1 = 0,
Поэтому требуется найти значения а, при
𝑥 ≥ −2𝑎.
которых уравнение системы имеет на промежутке 𝑥 ≥ −2𝑎 ровно одно
решение.
Пример 17. При каких а все числа x отрезка [1; 5] удовлетворяют
неравенству 3𝑎𝑥 + 2√3𝑥 + 1 − 6𝑥 + 𝑎 − 5 < 0?
{4
Решение. Обозначим 𝑡 = √3𝑥 + 1. Тогда 𝑥 =
принимает вид
𝑎𝑡 2 + 2𝑡 − 6
𝑡 2 −1
3
𝑡 2 −1
3
и исходное неравенство
− 5 < 0,
(2 − 𝑎)𝑡 2 > 2𝑡 − 3.
(5)
Если 𝑥 ∈ [1; 5], то t ∈ [2; 4]. Таким образом, исходная задача равносильна
следующей: при каких а все числа t отрезка [2; 4] удовлетворяют неравенству
(5)? Если 𝑎 ≥ 2, то (2 − 𝑎)𝑡 2 ≤ 0, 2𝑡 − 3 > 0 на отрезке и неравенство не
выполняется. Пусть теперь 𝑎 < 2. Сделаем рисунок (рис. 15). Над отрезком
[2; 4] парабола 𝑦 = (2 − 𝑎)𝑡 2 должна лежать выше прямой 𝑦 = 2𝑡 − 3.
Находим а, при котором происходит касание: уравнение (2 − 𝑎)𝑡 2 − 2𝑡 + 3 = 0
имеет единственный корень, следовательно, дискриминант равен нулю:
5
6 + 3𝑎 = 0, 𝑎 = . Проверяем правильность рисунка, то есть то, что
3
y
t
0
2
3
4
Рис. 15
16
𝐷
4
=1−
точка касания расположена над отрезком [2; 4]: 𝑡 =
1
2−𝑎
= 3. Парабола лежит
5
выше прямой при 𝑎 < .
3
5
Ответ: 𝑎 < .
3
Пример 18. Найдите все а, при каждом из которых уравнение
5
| − 3| = 𝑎𝑥 − 1 имеет на промежутке (0; +∞) более двух корней.
𝑥
Решение. Нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 16).
y
y
n
3
m
3
l
x
0
-1
0
х
5
3
-1
Рис. 16
График
5
получается
𝑦 = | − 3|
𝑥
5
3
Рис. 17
из
гиперболы
5
𝑦 = −3
𝑥
отражением
относительно оси Ох её части, расположенной ниже оси. Прямая 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1
проходит через точку (0; −1).
Нам понадобятся следующие положения этой прямой:
5
5
3
3
l). прямая проходит через точку ( ; 0):
3
𝑎 − 1 = 0, 𝑎 = .
5
5
m). прямая касается ветви гиперболы 𝑦 = 3 − . В нашем случае 𝑎 ≠ 0 и
𝑥
5
касание равносильно тому, что уравнение 3 − = 𝑎𝑥 − 1 имеет единственное
𝑥
решение (рис. 17). Последнее уравнение равносильно уравнению
𝑎𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0.
Из условия единственности получаем
𝐷
4
4
= 4 − 5𝑎 = 0, 𝑎 = .
5
n). условиям задачи отвечает положение прямой, промежуточное между
3 4
l и m. В этом случае уравнение имеет три решения и 𝑎 ∈ ( ; ).
5 5
3 4
Ответ: ( ; ).
5 5
Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с
помощью производной (см. (29)):
17
5
5
3 − = 𝑎𝑥 − 1 ,
{
𝑥
5 ′
⟺{
3 − = 𝑎𝑥 − 1,
𝑥
5
(3 − 𝑥) = (𝑎𝑥 − 1)′
𝑥2
5
4
2
5
Отсюда 𝑥 = , 𝑎 = .
= 𝑎.
Пример 19. При каких значениях а уравнение
9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 − 2|𝑥 − 2𝑎| − 4𝑎 + 𝑎2 = 0
Решение. Запишем уравнение в виде
имеет решение?
9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 = 2|𝑥 − 2𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2
(6)
y
f
g
6
х
0
Рис. 18
2а
и нарисуем графики функций (рис. 18) в обеих частях (6).
Функция 𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 6чётная. Поскольку 3√𝑥 2 + 4 ≥ 6, то график
𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 лежит не ниже графика 𝑦 = 9|𝑥| + 6 (последний
нарисован пунктиром) и у них одна общая точка (0;6). График 𝑔(𝑥) =
2|𝑥 − 2𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2 - угол, причём, его стороны более пологие, чем у угла 𝑦 =
9|𝑥| + 6 (меньшему положительному угловому коэффициенту отвечает
меньший угол наклона). Из рис. 18 получаем, что у уравнения (6) есть решение
тогда и только тогда, когда низшая точка графика 𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4
(0;6) лежит не выше графика 𝑔(𝑥), то есть когда выполнено условие 𝑔(0) ≥ 6:
4|𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2 ≥ 6. Решаем это неравенство.
1. Если 𝑎 ≥ 0, то 𝑎2 − 8𝑎 + 6 ≤ 0,
4 − √10 ≤ 𝑎 ≤ 4 + √10 .
2
2. Если 𝑎 < 0, то 𝑎 ≤ −6. Решений нет.
Ответ: 4 − √10 ≤ 𝑎 ≤ 4 + √10 .
Пример 20. Определите все значения параметра а, для которых
уравнение 𝑥 2 + 4𝑥 − 2|𝑥 − 𝑎| + 2 − 𝑎 = 0 имеет два решения.
Решение. Первый способ (вторым способом задача решена в разделе
«Решение в системе координат (х,а)»). Запишем уравнение в виде 𝑥 2 + 4𝑥 +
2 = 2|𝑥 − 𝑎| + 𝑎 и нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис.
18
19). Графиком выражения в левой части является парабола, график 𝑦 =
2|𝑥 − 𝑎| + 𝑎 представляет собой угол, вершина которого скользит по прямой
𝑦 = 𝑥. При 𝑎 > −2 у параболы и угла две точки пересечения: при
y
g
х
0
-1
f
-2

7
3
Рис. 19
−2 < 𝑎 < −1 вершина угла находится внутри параболы, при 𝑎 > −1 правая
сторона 𝑦 = 2𝑥 − 𝑎
угла не пересекается с параболой, левая сторона
пересекается в двух точках. При 𝑎 = −1 правая сторона является касательной
для параболы. Это видно из уравнения
𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 2𝑥 − 𝑎,
𝑥 2 + 2𝑥 + 2 + 𝑎 = 0.
𝐷
4
= 1 − 2 − 𝑎 = −1 − 𝑎 = 0 при 𝑎 = −1. Найдём а, при котором левая
сторона 𝑦 = −2𝑥 + 3𝑎
угла касается параболы: 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = −2𝑥 +
𝑥 2 + 6𝑥 + 2 − 3𝑎 = 0,
3𝑎,
𝑎 = −2 и 𝑎 = −
7
3
𝐷
4
7
= 7 + 3𝑎 = 0, 𝑎 = − . Таким образом, при
3
7
уравнение имеет 3 решения, при − < 𝑎 < −2
3
решения, при 𝑎 > −2 и 𝑎 < −
7
4
2 решения.
3
7
Ответ: (−∞; − ) ∪ (−2; +∞).
3
5
Пример 21. Найдите все значения а, при которых уравнение 3 √𝑥 + 2 −
10
5
16𝑎2 ∙ √32𝑥 + 32 = √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 имеет единственное решение.
Решение. Запишем уравнение в виде
10
5
5
3 √𝑥 + 2 − √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 32𝑎2 ∙ √𝑥 + 1.
По условию 𝑥 ≤ −2 или 𝑥 ≥ −1. Заметим, что х =-1 не является корнем
уравнения, следовательно, 𝑥 ≤ −2 или 𝑥 > −1. Разделим уравнение почленно
5
5
10
на √𝑥 + 1. При 𝑥 > −1 √𝑥 + 1 = √(𝑥 + 1)2 и мы получаем
5
3√
При 𝑥 ≤ −2
5
𝑥+2
𝑥+1
10
− √
𝑥+2
𝑥+1
= 32𝑎2.
10
√𝑥 + 1 = − √(𝑥 + 1)2 и мы получаем
19
(7)
5
3√
𝑥+2
10
+ √
𝑥+1
𝑥+2
Рассмотрим функцию 𝑦 =
𝑥+1
𝑥+2
𝑥+1
= 32𝑎2.
(8)
и её график (рис. 20). Она убывает на каждом
из промежутков (−∞; −2] и (−1; +∞) и отображает их на промежутки [0; 1) и
(1; +∞) соответственно. При этом каждому значению у соответствует только
одно значение х. Обозначим 𝑡 = 10√𝑦 . Эта функция отображает промежутки
[0; 1) и (1; +∞) на себя и в силу её возрастания каждому значению t
соответствует одно значение у и, следовательно, одно значение х. Введём
3𝑡 2 + 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1,
функцию 𝑓(𝑡) = {
С учётом
взаимно-однозначного
3𝑡 2 − 𝑡, 𝑡 > 1.
соответствия между t и x, а также равенств (7) и (8) исходная задача сводится к
следующей: при каких значениях а уравнение
𝑓(𝑡) = 32𝑎2
имеет
единственное решение? Нарисуем график 𝑓(𝑡) (рис.21). Горизонтальная
прямая должна пересекать график только в одной точке. Отсюда 32𝑎2 ≥ 4 или
32𝑎2 ≤ 2, то есть |𝑎| ≥
Ответ: (−∞; −
1
1
1
2√2
или |𝑎| ≤ .
1 1
4
1
4 4
2√2
] ∪ [− ; ] ∪ [
2√2
; +∞).
Y
2
4
1
-2
-1
0
2
x
32a2
0
Рис. 20
1
t
Рис. 21
Пример 22 (ЕГЭ 2015). Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
(𝑦 2 −𝑥𝑦−4𝑦+2𝑥+4)√𝑥+4
{
√5−𝑦
= 0,
(9)
𝑎 =𝑥+𝑦
имеет единственное решение.
Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (9): в
системе координат XoY должна найтись единственная точка (x;y), координаты
20
которой удовлетворяют (9). В первом уравнении преобразуем выражение в
скобках: 𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 4𝑦 + 2𝑥 + 4 = 𝑦 2 − (𝑥 + 4)𝑦 + 2(𝑥 + 2) =
=(𝑦 − 2)(𝑦 − 𝑥 − 2). Тогда уравнение принимает вид:
(𝑦 − 2)(𝑦 − 𝑥 − 2)√𝑥 + 4
= 0.
√5 − 𝑦
Следовательно, оно задаёт совокупность двух лучей и отрезка, ограниченных
выделенным углом (рис. 22).
Рис. 22
Рис.23
Второе уравнение задаёт прямую l, параллельную биссектрисе 𝑦 = −𝑥 или
совпадающую с ней при а=0. Эта прямая имеет с указанной совокупностью
одну общую точку в следующих случаях (рис. 23):
1. l проходит через точку (0;2), то есть значение функции 𝑦 = −𝑥 + 𝑎 в
точке 0 равно 2: 2=0+а, а=2.
2. l проходит не выше точки (-4;-2), то есть значение в точке -4 не больше
-2: 4+а ≤ -2, а ≤-6.
3. l проходит не ниже точки (3;5): -3+а ≥ 5, а ≥8.
Ответ:(−∞; −6] ∪ {2} ∪ [8; +∞).
4.2. Решение в системе координат (х,а).
Если уравнение имеет вид а = f(x) или уравнение F (x,a) = 0 можно
разрешить относительно а, т.е. привести к виду а = f(x), то для ответа на
вопрос о числе решений уравнения и их правильного отбора целесообразно
построить график функции а = f(x) в системе координат (х,а). Например,
1
уравнение 𝑎 = 𝑥|𝑥 − 1| имеет два решения при а=0 и 𝑎 = . Это следует из
4
того, что горизонтальные прямые а=0 и 𝑎 =
графиком 𝑎 = 𝑥|𝑥 − 1| (рис.24).
21
1
4
имеют две общие точки с
Пример 20. Определите все значения параметра а, для которых
уравнение 𝑥 2 + 4𝑥 − 2|𝑥 − 𝑎| + 2 − 𝑎 = 0 имеет два решения.
Решение. Второй способ. Нарисуем график уравнения в системе
координат (х, а). Возможны случаи:
𝑥 ≥ 𝑎,
Отсюда
𝑎 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 2),
{ 2
𝑥 + 4𝑥 − 2(𝑥 − 𝑎) + 2 − 𝑎 = 0.
следовательно, мы должны нарисовать часть полученной параболы в
полуплоскости 𝑥 ≥ 𝑎 (ниже биссектрисы х = а, рис. 25).
𝑥 < 𝑎,
1
2.
Отсюда 𝑎 = (𝑥 2 + 6𝑥 + 2).
{ 2
3
𝑥 + 4𝑥 + 2(𝑥 − 𝑎) + 2 − 𝑎 = 0.
Рисуем часть параболы в полуплоскости 𝑥 < 𝑎 и объединяем обе кривые.
Горизонталь 𝑎 = 𝑎0 имеет с полученным графиком две общие точки при 𝑎0 >
1.
7
7
3
3
−2 или 𝑎0 < − (при 𝑎0 = −2 и 𝑎0 = −
три общие точки, при −
7
3
< 𝑎0 <
−2 - четыре).
7
Ответ: (−∞; − ) ∪ (−2; +∞).
3
а
а=х
-3
-1
0
-1
-2

7
3
Рис. 24
Рис. 25
Пример 23. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
𝜋
|𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎| = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑎 имеет на промежутке ( ; 𝜋]
2
единственный корень.
Решение. Первый способ. Обозначим 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. Уравнение принимает
вид
|1 − 𝑡 2 + 2𝑡 + 𝑎| = 1 − 𝑡 2 + 𝑡 − 𝑎,
|𝑡 2 − 2𝑡 − 𝑎 − 1| = −𝑡 2 + 𝑡 − 𝑎 + 1.
(10)
22
𝜋
Из монотонности функции 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 на промежутке ( ; 𝜋] следует, что
2
требуется найти а, при которых уравнение (10) имеет единственное решение на
промежутке [−1; 0)∗ . Построим график уравнения в системе координат (t,а)
(рис. 26). Для этого раскроем модуль и рассмотрим два случая.
а
1
4
1

2
-1
2
0
t
-1
a
а
-2
Рис. 26
𝑎 ≤ 𝑡 2 − 2𝑡 − 1,
1. { 2
1
2𝑡 − 3𝑡 − 2 = 0, 𝑡 = 2 или 𝑡 = − .
Это означает, что в области,
2
𝑎 = 𝑡 2 − 2𝑡 − 1, график состоит из
расположенной не выше параболы
вертикальных лучей 𝑡 = −
1
2
𝑎 > 𝑡 2 − 2𝑡 − 1,
2. {
𝑡
𝑎=− .
или 𝑡 = 2 (это значение постороннее).
В области выше параболы график состоит из
2
отрезка прямой
𝑡
𝑎=− .
2
Таким образом, графиком уравнения является
ломаная, состоящая из трёх звеньев. Условие −1 ≤ 𝑡 < 0 означает, что мы
должны взять часть ломаной в закрашенной полосе. Горизонтальная прямая
пересекает это множество в одной точке при
Ответ: (−∞; 0];
1
4
𝑎=
1
4
или 𝑎 ≤ 0.
.
Замечание. Разумеется, эту задачу можно решить аналитически.
Второй способ дословно совпадает с первым до ∗ . Далее решаем
уравнение (10). Возможны следующие случаи:
1.
𝑡 2 − 2𝑡 − 𝑎 − 1 ≥ 0,
{
1
𝑡 = 2 или 𝑡 = − .
1
Условиям задачи удовлетворяет 𝑡 = − .
2
2
1
1
2
4
Подставляем 𝑡 = − в неравенство системы и получаем 𝑎 ≤ .
23
2
{𝑡 − 2𝑡 − 𝑎 − 1 < 0, Подставляем 𝑡 = −2𝑎 в неравенство системы
𝑡 = −2𝑎.
1
и получаем 4𝑎2 + 3𝑎 − 1 < 0, −1 < 𝑎 < . Кроме того, условие −1 ≤ 𝑡 < 0
2.
4
1
1
2
4
даёт −1 ≤ −2𝑎 < 0, 0 < 𝑎 ≤ . Отсюда 0 < 𝑎 <
1
1
2
4
имеет корень 𝑡1 = − при 𝑎 ≤
. Таким образом, уравнение
и корень 𝑡2 = −2𝑎 при 0 < 𝑎 <
1
1
2
4
Следовательно, оно имеет один корень (𝑡 = − ) при 𝑎 =
1
4
(𝑡1 ≠ 𝑡2 ).
или 𝑎 ≤ 0.
Метод областей
Метод областей является обобщением метода интервалов на случай
плоскости. Пусть, например, требуется решить неравенство 𝐹(𝑥, 𝑦) > 0.
Уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 задаёт границу, которая разбивает ОДЗ на области, в
каждой из которых выражение 𝐹(𝑥, 𝑦) сохраняет знак + или - . Выбираем
области, в которых 𝐹(𝑥, 𝑦) имеет знак + (как это сделать, показано в
следующих примерах). Их объединение является решением неравенства. Если
требуется, в ответе переходим к аналитической записи решения.
Пример 24. Построить на плоскости множество точек (х;у), координаты
которых удовлетворяют условию
x  2y 1
2 x 2  3x  2
Решение. Находим ОДЗ:
 0.
(11)
2 x 2  3x  2  0  x  2
1
2
и x .
Таким образом, из координатной плоскости исключаются вертикальные
1
x
2
1
2
прямые 𝑥 = −2 и 𝑥 = . Уравнение f(x,y)= 0 задаёт прямые y    , за
2
исключением их точек пересечения с указанными вертикальными прямыми.
Получаем соответствующие области ( рис. 27). Найдём знаки левой части
выражения (11) в областях. В области I возьмём точку (0;0):
1 1
  0.
2 2
Следовательно, в этой области выражение f(x,y) имеет знак +. В области II
2
3
возьмём точку (1;1):   0. В этой области выражение имеет знак -.
Продолжив этот процесс и выделяя штриховкой области со знаком +, получаем
24
Рис. 27
Рис. 28
требуемое множество (рис. 28). Точки, лежащие на прямых, выделенных
пунктиром, в искомое множество не входят.
Пример 25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство|
𝑥 2 +𝑥−2𝑎
𝑥+𝑎
− 1| ≤ 2 не имеет решений на интервале (1;2).
Решение. Преобразуем исходное неравенство. Оно равносильно
𝑥 2 +𝑥−5𝑎
неравенству −1 ≤
𝑥 2 +𝑥−2𝑎
𝑥+𝑎
≤ 3 и системам
{
𝑥+𝑎
𝑥 2 +𝑥−𝑎
𝑥+𝑎
𝑎−(𝑥 2 +2𝑥)
{
𝑥+𝑎
𝑎−
𝑥2 −2𝑥
5
𝑥+𝑎
≤ 0,
или
≥0
≤ 0,
(12)
≥ 0.
Нарисуем на плоскости хОа множества, задаваемые неравенствами
системы (12), и пересечём их. Первое из них равносильно совокупности
25
2
{𝑎 ≥ 𝑥 + 2𝑥,
𝑎 < −𝑥
[
2
{𝑎 ≤ 𝑥 + 2𝑥,
𝑎 > −𝑥.
2
Система {𝑎 ≥ 𝑥 + 2𝑥, задаёт множество точек, лежащих не
𝑎 < −𝑥
2
ниже параболы 𝑎 = 𝑥 2 + 2𝑥, и ниже прямой 𝑎 = −𝑥 , а система {𝑎 ≤ 𝑥 + 2𝑥, 𝑎 > −𝑥.
множество точек, лежащих не выше параболы и выше прямой (рис. 29).
Учитывая условие 1<х<2, получаем закрашенную область. Часть границы,
отмеченная пунктиром, в искомое множество не входит. Знаки выражений в
областях можно было получить, подставляя в них координаты
соответствующих точек (пример 24). Аналогично получаем область,
задаваемую вторым неравенством системы (12) (рис. 30). Пересекаем
полученные области и получаем область, задаваемую исходным неравенством с
условием 1<х<2 (рис. 31). Горизонтальная прямая не пересекает область при
1
𝑎 ≤ − или 𝑎 ≥ 8.
5
а
а
8
+
1
-3
-3
1
0

х
2
1
5
+
Рис. 29
Рис. 30
а
8
0

2
1
x
1
5
Рис. 31
1
Ответ: (−∞; − ] ∪ [8; +∞).
5
26
2
x
Пример 26. При каких значениях параметра а множеством решений
неравенства log 𝑎−𝑥 (𝑎 + 𝑥) ≤ 2 является промежуток (концы промежутка могут
ему не принадлежать)?
Решение. Сделаем замену переменной. Обозначим t  a  x. Исходное
неравенство принимает вид
log t 2a  t   2.
Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств
0  t  1,

2
 2 a  t  t ,
 t  1,

0  2a  t  t 2
т.е.
0  t  1,

 a  1 t 2  t ,

2

t  1,
 1
1 2
 t  a  t  t .
2
 2



(13)

Введём координатную плоскость tOa и изобразим на ней г.м.т., задаваемое
совокупностью (13) (рис. 32).
Рис. 32
Проводя на рисунке горизонтальные прямые, т.е. задавая постоянные
значения
а, получаем, что для прямых
при значениях 0  a 
1
2
их
пересечением с выделенным множеством является промежуток. Его проекция
на ось Оt – также промежуток, являющийся решением неравенства.
1
2
Ответ: 0  a  .
4.3. Окружности.
Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑅2 . Если требуется убедиться в том, что некоторое
выражение задаёт окружность, его надо преобразовать, используя приём
выделения полных квадратов. Например, уравнение 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦 2 = 0 задаёт
27
1 2
окружность, поскольку его можно записать в виде (𝑥 − ) + 𝑦 2 =
2
1
4
.
Уравнение 𝑦 = √3 + 2𝑥 − 𝑥 2 задаёт полуокружность с центром (1;0) радиуса 2,
расположенную выше оси Ох, поскольку его можно записать в виде
𝑦 = √4 − (𝑥 − 1)2 . Именно так надо было записать выражение в задаче С5
ЕГЭ 2013 (пример 9.4.5).
Пример 27. . Найдите все положительные значения а, при каждом из
(|𝑥| − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 4,
которых система
{
(𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2
имеет единственное решение. Ответ: 3; √41 + 2.
Указание. Использовать геометрическую интерпретацию системы (рис.
33).
Пример 28. Найдите все а, при каждом из которых уравнение
log 𝑎𝑥−7 √8𝑥 − 𝑥 2 − 15 = 1
имеет единственное решение.
2
Решение. Уравнение равносильно системе {√8𝑥 − 𝑥 − 15 = 𝑎𝑥 − 7,
𝑎𝑥 − 7 > 0, 𝑎𝑥 − 7 ≠ 1.
Приведём уравнение системы к виду
√1 − (𝑥 − 4)2 = 𝑎𝑥 − 7
и нарисуем графики функций в обеих его частях ( рис. 34).
(14)
y
1
0
3
4
5
-7
Рис. 33
Рис. 34
Это соответственно полуокружность единичного радиуса с центром (4;0) и
прямая, проходящая через точку (0;-7). По условиям задачи из полуокружности
следует исключить точки (3;0), (4;1), (5;0). Находим а, при которых прямая
проходит через эти точки, подставляя их координаты в уравнение 𝑦 = 𝑎𝑥 − 7:
7
7
5
3
(5; 0): 5𝑎 − 7 = 0, 𝑎 = ; (4; 1): 4𝑎 − 7 = 1, 𝑎 = 2; (3; 0): 3𝑎 − 7 = 0, 𝑎 = .
28
Найдём также значение а, соответствующее касанию. Возведём уравнение (14)
почленно в квадрат, приведём подобные слагаемые и найдём дискриминант
полученного квадратного уравнения.
D
(𝑎2 + 1)𝑥 2 − 2(7𝑎 + 4)𝑥 + 64 = 0,
= −15𝑎2 + 56𝑎 − 48.
4
Положению касания соответствует значение D=0 (последнее уравнение
равносильно ±√1 − (𝑥 − 4)2 = 𝑎𝑥 − 7, то есть даёт точки пересечения прямой
и всей окружности; общая точка одна в случае касания). Находим 𝑎 =
4
7
3
3
𝑎 = . Искомое а должно быть больше
, следовательно, 𝑎 =
12
5
или
12
5
. Условиям
задачи отвечают положения прямой, проходящей между точками (3;0) и (5;0),
7
7
12
включая (3;0) и не включая (4;1), (5;0). Следовательно, 𝑎 ∈ ( ; 2) ∪ (2; ] ∪ { }.
5
3
5
7
7
12
Ответ: ( ; 2) ∪ (2; ] ∪ { }.
5
3
5
Пример 29 (ЕГЭ 2015). Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
2𝑥 − 2𝑦 − 2 = |𝑥 2 + 𝑦 2 − 1|,
{
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)
(15)
имеет ровно три решения.
Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (15).
Найдём геометрическое место точек F, задаваемое первым уравнением
системы.
1. Если 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1, то есть точка (𝑥; 𝑦) находится вне единичного круга или
на его границе, то
2𝑥 − 2𝑦 − 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1,
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 1.
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 1,
Получаем дугу окружности единичного радиуса с центром (1;-1) (рис. 35).
2. Если 𝑥 2 + 𝑦 2 < 1 , то есть точка (𝑥; 𝑦) находится внутри круга, то
𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 3, 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 5,
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 5
и мы получаем дугу окружности радиуса √5 с центром (-1;1). Итак, первое
уравнение задаёт совокупность F двух дуг окружностей.
29
Рис. 35
Рис. 36
Уравнение 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1) задаёт прямую 𝑙 с угловым коэффициентом,
равным а, и проходящую через точку (1;0) (рис. 36). При а=0 система имеет
единственное решение, поскольку ось абсцисс является касательной к
окружности с центром (1;-1). При а <0 прямая 𝑙 (на рис. соответствующее
положение имеет 𝑙2 ) и F имеют две общие точки, система имеет два решения.
При а >0 выделим 𝑙0 – касательную к большей окружности в точке (1;0). Пусть
𝑎0 - её угловой коэффициент. Рассмотрим также прямую 𝑙1 с угловым
коэффициентом 1, проходящую через точки (1;0) и (-1;0). Условиям задачи
отвечают значения а такие, что 1 < 𝑎 < 𝑎0 . Находим 𝑎0 : проведём прямую 𝑙2
через точки (-1;1) и (1;0). Тогда 𝑙2 ⊥ 𝑙0 (касательная перпендикулярна радиусу,
проведённому в точку касания). Угловой коэффициент прямой 𝑙2 равен 𝑎2 =
1
− . Поскольку 𝑎2 ∙ 𝑎0 = −1, то 𝑎0 = 2.
2
Ответ: (1;2).
Пример 30. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 = 𝑏 2 + 2𝑥 − 4𝑦,
система
имеет ровно два
{ 2
𝑥 + (12 − 2𝑎)𝑥 + 𝑦 2 = 2𝑎𝑦 + 12𝑎 − 2𝑎2 − 27
𝑥 −𝑥
𝑦 +𝑦
различных решения (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), удовлетворяющих условию 1 2 = 1 2 .
𝑦2 −𝑦1
𝑥1 +𝑥2
Решение. Преобразуем уравнения системы, выделяя полные квадраты:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 𝑏 2 ,
{
(𝑥 + 6 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 = 9.
Первое уравнение системы при 𝑏 = 0 задаёт точку. Следовательно, этот
случай не удовлетворяет условиям задачи. При 𝑏 ≠ 0 это уравнение задаёт
окружность радиуса |𝑏| с центром в точке 𝑂1 (1;-2) (рис. 37).
y
O2
4
30
Рис. 37
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 3 с центром
следовательно, эта точка лежит на прямой 𝑦 = 𝑥 + 6. Из условия
𝑥1 −𝑥2
𝑦2 −𝑦1
=
𝑦1 +𝑦2
𝑥1 +𝑥2
𝑂2 (𝑎 − 6; 𝑎),
𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 𝑥2 2 + 𝑦2 2 . Это означает, что решения
получаем
M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) равноудалены от начала координат, то есть лежат на
одной окружности с центром О. Точки M1 , M2 лежат на пересечении
окружностей с центрами О и O1 и поэтому симметричны относительно прямой
𝑦 = −2𝑥, проходящей через O, O1 . Но точки M1 , M2 также должны быть
симметричны относительно прямой OO2 . В силу единственности такой прямой
(это серединный перпендикуляр к M1 M2 ) три точки O, O1 , O2 лежат на прямой
𝑦 = −2𝑥. Находим O2 (−2; 4). Отсюда 𝑎 = 4. Теперь находим b из двух крайних
положений (они отмечены пунктиром, нас устраивает промежуточное
положение) окружности с центром O1 . Для её радиуса получаем неравенство
|O1 O2 | − 3 < |𝑏| < |O1 O2 | + 3, 3√5 − 3 < |𝑏| < 3√5 + 3.
Ответ: 𝑎 = 4, 𝑏 ∈ (−3√5 − 3; −3√5 + 3) ∪ (3√5 − 3; 3√5 + 3).
4.4. Использование функции 𝒚 = |𝒙 − 𝒙𝟏 | + |𝒙 − 𝒙𝟐 |.
Рассмотрим график этой функции. При 𝑥1 = 𝑥2 𝑦 = 2|𝑥 − 𝑥1 | и
графиком является угол с вершиной в точке (𝑥1 ; 0). Пусть теперь 𝑥1 < 𝑥2 .
Тогда
−2𝑥 + 𝑥1 + 𝑥2 , 𝒙 ≤ 𝑥1 ,
𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 ,
𝑦 = { 𝑥2 − 𝑥1 ,
2𝑥 − 𝑥1 − 𝑥2 ,
𝑥 ≥ 𝑥2 .
График изображён на рис. 38.
Пример 31. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
1
2
𝑎2 −4𝑎+3
|𝑎 − 2||𝑥 + 𝑎 − 4| + (
|𝑎−2|
1
− |𝑎 − 2|) ∙ |𝑥 − 2| + |𝑎 − 2||𝑥 − 𝑎| ≤ 1
2
выполняется ровно для двух различных значений х.
Решение. Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю и
запишем неравенство в виде
31
1
2
|𝑎 − 2|(|𝑥 + 𝑎 − 4| + |𝑥 − 𝑎|) ≤ 1 +
|𝑥−2|
|𝑎−2|
.
(16)
y
y
f
g
(a-2)2
x1
0
x2
x
x
0
4-a
2
a
Рис. 38
Рис. 39
Графиком функции в левой части неравенства является ломаная из трёх звеньев
(см. рис. 38). Здесь 𝑥1 = 4 − 𝑎, 𝑥2 = 𝑎, поскольку без ограничения общности
можно считать, что 𝑥1 < 𝑥2 . Заметим, что точка 2 – середина отрезка
[𝑥1 ; 𝑥2 ]:
4−𝑎+𝑎
2
= 2. Графиком функции в правой части (14) является угол с
вершиной (2;1) (рис. 39). Если вершина (2;1) лежит не ниже прямой 𝑦 =
(𝑎 − 2)2 , то неравенство имеет бесчисленное множество решений. Нас
устраивает такое расположение, когда вершина лежит ниже горизонтальной
прямой, стороны угла проходят через точки (𝑎; (𝑎 − 2)2 ), (4 − 𝑎; (𝑎 − 2)2 ) и
угловой коэффициент правой стороны угла меньше углового коэффициента
правого звена ломаной. Первое из этих условий является следствием второго, а
второе и третье дают:
(𝑎 − 2)2 = 2,
(𝑎 − 2)2 = 2,
⟺{
⟺ 𝑎 − 2 = ±√2, 𝑎 = 2 ± √2.
{ 1
< |𝑎 − 2|,
(𝑎 − 2)2 > 1,
|𝑎−2|
Ответ: 2 ± √2.
Функция 𝑦 = |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑥 − 𝑥2 | рассматривается и в следующем разделе
( пример 34).
5. Оценка значений выражений.
Приведём типичные правила для оценки значений выражений.
1.
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только
тогда, когда равно нулю каждое слагаемое.
2.
Пусть мы решаем уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) и известно, что при всех
рассматриваемых 𝑥 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, 𝑔(𝑥) ≥ 𝑀, где M – некоторая постоянная (то
есть М есть наибольшее возможное значение функции 𝑓(𝑥) и наименьшее
возможное значение 𝑔(𝑥)). Тогда уравнение равносильно системе
𝑓(𝑥) = 𝑀,
(17)
{
𝑔(𝑥) = 𝑀.
32
Заметим, что эти правила эквивалентны и следует выбирать формулировку,
которая удобна для данной задачи.
В ряде случаев при решении задач удаётся использовать неравенство
𝑎+𝑏
2
≥ √𝑎𝑏
(18)
2
(оно равносильно (√𝑎 − √𝑏) ≥ 0), связывающее среднее арифметическое и
среднее геометрическое неотрицательных чисел, а также неравенство
2|𝑡|
𝑡 2 +1
≤1
(19)
(оно равносильно (|𝑡| − 1)2 ≥ 0, равенство достигается при |𝑡| = 1).
Задачи на оценку значений выражений часто отличаются визуально:
компоненты исследуемых выражений выглядят неоднородно, они получаются с
использованием нескольких различных элементарных функций (примеры 32,
33, А5.2, Б70, Б78, Б79).
Пример 32. При всех значениях параметра а решить уравнение
5+
2𝑥−2𝑎
𝑥 2 −2𝑎𝑥+𝑎2 +1
= 3𝑥 +
9
3𝑥
.
Решение. Обозначим через 𝑓(𝑥) выражение в левой части уравнения и
пребразуем его: 𝑓(𝑥) = 5 +
Тогда
2(𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑎)2 +1
=
2𝑡
𝑡 2 +1
2𝑥−2𝑎
2(𝑥−𝑎)
𝑥 2 −2𝑎𝑥+𝑎2 +1
= 5 + (𝑥−𝑎)2 . Обозначим 𝑡 = 𝑥 − 𝑎.
+1
и из (19) получаем 𝑓(𝑥) ≤ 6, равенство достигается при
𝑡 = 𝑥 − 𝑎 = 1. Обозначим 𝑔(𝑥) = 3𝑥 +
9
3𝑥
. Из (18) следует 𝑔(𝑥) ≥ 2√3𝑥 ∙
9
3𝑥
=
6. Таким образом, наименьшее возможное значение функции 𝑔(𝑥) равно
наибольшему значению функции 𝑓(𝑥). Из (17) получаем
2(𝑥−𝑎)
5+
= 6,
𝑥 − 𝑎 = 1,
𝑎 = 0,
(𝑥−𝑎)2 +1
⇔
⇔
{
{
{
𝑥
2
9
(3 − 3) = 0
𝑥 = 1.
3𝑥 + 𝑥 = 6
3
Ответ: при 𝑎 = 0 𝑥 = 1, при остальных значениях 𝑎 решений нет.
Замечание. Набольшее и наименьшее значения функций можно было
найти с помощью производной и мы рекомендуем это сделать в качестве
упражнения.
Пример 33. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎)2 + 10(𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎) + 26 = cos
16𝜋
имеет ровно два корня.
𝑎
Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат и запишем
его в виде
(𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎 + 5)2 + (1 − cos
16𝜋
𝑎
) = 0.
Поскольку сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только
тогда, когда равно нулю каждое слагаемое, уравнение равносильно системе
33
𝑥 2 − 6|𝑥| = −𝑎 − 5,
{
Из второго уравнения системы получаем
16𝜋
cos
= 1.
𝑎
16𝜋
𝑎
= 2𝜋𝑛,
8
𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍. Нарисуем графики 𝑦 = 𝑥 2 − 6|𝑥|, 𝑦 = −𝑎 − 5 (рис. 40). Графики
𝑛
8
должны иметь ровно две общие точки и при этом 𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍. Это
𝑛
произойдёт, если – 𝑎 − 5 = −9, 𝑎 = 4 (𝑛 = 2) или – 𝑎 − 5 > 0, 𝑎 < −5.
8
В последнем случае условию 𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍 отвечает только 𝑎 = −8 (𝑛 = −1),
𝑛
так как при 𝑛 ≤ −2
8
𝑛
≥ −4.
Ответ: -8; 4.
y
-a-5
0
3
x
6
-9
Рис. 40
Пример 34. При каких значениях параметра а система
|𝑥 + 𝑎| + |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 + 𝑥| + |𝑎 + 1 − 𝑦| = 2,
{
𝑦 = 2|𝑥 − 4| − 5
имеет единственное решение?
Решение. Заметим, что наименьшее значение функции
𝑓(𝑥) = |𝑥 + 𝑎| + |𝑎 + 1 + 𝑥| равно – 𝑎 − (𝑎 − 1) = 1 (см. рис. 38) и достигается
при всех 𝑥 ∈ [−𝑎 − 1; −𝑎]. Аналогично, при всех 𝑦 |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 − 𝑦| ≥ 1
и |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 − 𝑦| = 1 при 𝑦 ∈ [𝑎; 𝑎 + 1]. Поэтому первое уравнение
системы обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда каждое из
двух рассмотренных выражений равно 1, и имеет решение {(𝑥; 𝑦); 𝑥 ∈
[−𝑎 − 1; −𝑎], 𝑦 ∈ [𝑎; 𝑎 + 1]}. На координатной плоскости это множество
представляет собой квадрат, диагональ которого скользит по прямой 𝑦 = −𝑥
(рис. 41).
y=-x
-a-1
0
34
-5
-a
х
Рис. 41
Условия задачи означают, что квадрат и угол 𝑦 = 2|𝑥 − 4| − 5 имеют одну
общую точку. Это происходит в следующих случаях:
1.
Правый верхний угол квадрата (его уравнение 𝑦 = −𝑥 + 1) лежит
на левой стороне угла: −𝑥 + 1 = −2𝑥 + 3, 𝑥 = 2, 𝑎 = −2.
2.
Левый верхний угол квадрата (его уравнение 𝑦 = −𝑥) лежит на
правой стороне угла: −𝑥 = 2𝑥 − 13, 𝑥 =
13
3
, −𝑎 − 1 =
13
3
16
, 𝑎=− .
3
16
Ответ: −2; − .
3
6. Принцип симметрии.
Здесь мы рассмотрим задачи, в условиях которых в том или ином виде
используется симметрия: чётные функции, симметричные системы, симметрия
решений относительно прямой, плоскости и т.д. К ним, в частности, относится
задача С5 демонстрационного варианта ЕГЭ 2011 (А6.2) и задача С5 одной из
волн ЕГЭ 2013 (Б103).
Пример 35. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
𝑎2 𝑥 2 − 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(cos 𝑥) + 1 = 0 имеет единственное решение.
Решение. Обозначим 𝑓(𝑥) = 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(cos 𝑥) + 1.
Функция 𝑓(𝑥)
является чётной как сумма чётных функций, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Пусть х является
решением уравнения 𝑓(𝑥) = 0. Тогда и –х является решением: 𝑓(−𝑥) = 0. Из
условия единственности получаем, что 𝑥 = −𝑥, 𝑥 = 0. Подставляем х=0 в
исходное уравнение и находим значение а: −𝑎𝑡𝑔1 + 1 = 0, 𝑎 = 𝑐𝑡𝑔1.
Проверим, будет ли уравнение иметь единственное решение х=0 при найденном
значении a. Запишем уравнение в виде 𝑎2 𝑥 2 + 1 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠 𝑥). Очевидно,
наименьшее значение выражения в левой части уравнения равно 1: достигается
оно при х=0. Поскольку −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, а функция 𝑦 = 𝑎𝑡𝑔𝑡 возрастает на
отрезке [−1; 1], то наибольшее значение выражения в правой части уравнения
равно 𝑎𝑡𝑔1 = 𝑐𝑡𝑔1 ∙ 𝑡𝑔1 = 1. Таким образом, наименьшее значение одного
выражения равно наибольшему значению другого и решением может быть
только такое х, при котором эти значения достигаются, то есть х=0.
Ответ: 𝑐𝑡𝑔1.
35
Пример 36. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) + (2 + 𝑥𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑧,
𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = 𝑎 + 2𝑥,
уравнений
(20)
{
2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑧)((1 − 𝑎)𝑙𝑛(1 − 𝑥𝑦) + 1) = 0
имеет единственное решение, и укажите решение системы для каждого из
найденных значений а.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = 𝑎 + 1. Теперь заметим, что если (𝑥; 𝑦; 𝑧) – решение
системы, то и (𝑦; 𝑥; 𝑧) - решение, и из единственности получаем, что 𝑥 = 𝑦.
𝜋
Положим в первом уравнении 𝑥 = 𝑦: (2 + 𝑥 2 )𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0. Отсюда 𝑥 = 𝑛, 𝑛 ∈
2
𝑍. Из третьего уравнения по условиям задачи получаем: 1 − 𝑥𝑦 > 0, 1 − 𝑥 2 >
0,
𝜋
2
𝑥 2 < 1, ( 𝑛) < 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. При этих значениях первое уравнение
2
является тождеством относительно z, а второе и третье принимают вид
1 + 𝑧 2 = 𝑎,
{
𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑧 = 0.
Выражения в левых частях уравнений являются чётными относительно z,
следовательно, из условия единственности решения получаем 𝑧 = 0, 𝑎 = 1.
Выясним, будет ли (0;0;0) единственным решением при 𝑎 = 1. Из (20) при 𝑎 =
1 следует
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 − z 2 ,
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 2,
Отсюда
{
{
𝑥 + 𝑦 ≤ 0.
𝑥 + 𝑦 = −sin2 z.
Последние неравенства задают на плоскости (рис. 42)
y
1
0
1
х
Рис. 42
множества с единственной общей точкой (0;0). Следовательно, единственные
возможные значения неизвестных х и у равны 0. Из второго уравнения
системы z=0.
Ответ: a=1, x=0, y=0, z=0.
36
7. Введение вспомогательной функции.
Пусть 𝑓(𝑦), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) - функции и мы рассматриваем уравнение
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(ℎ(𝑥)).
(21)
В общем случае оно не равносильно уравнению
𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥).
(22)
Например, уравнение 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 не равносильно уравнению 3𝑥 = 2𝑥, 𝑥 =
0 (в действительности оно равносильно 3𝑥 = (−1)𝑛 2𝑥 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍) и если мы в
качестве решения уравнения 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 возьмём 𝑥 = 0, то потеряем
бесчисленное множество решений. Но если функция f(y) строго монотонна при
рассматриваемых значениях y, то (21) и (22) равносильны.
Пример 37. Решить уравнение
(2𝑥 + 1) (2 + √(2𝑥 + 1)2 + 3) + 3𝑥 (2 + √9𝑥 2 + 3) = 0.
Решение. Заметим, что оба слагаемых в левой части уравнения
«устроены» однотипно и введём функцию 𝑓(𝑡) = 𝑡(2 + √𝑡 2 + 3), 𝐷(𝑓) = 𝑅.
Исходное уравнение можно записать в виде
𝑓(2𝑥 + 1) + 𝑓(3𝑥) = 0.
(23)
Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она нечётная:
𝑓(−𝑡) = −𝑡(2 + √(−𝑡)2 + 3) = −𝑡(2 + √𝑡 2 + 3) = −𝑓(𝑡),
𝑓(0) = 0. При 𝑡 > 0 𝑓(𝑡) возрастает, поскольку является произведением
возрастающих положительных функций 𝑦 = 𝑡 и
𝑦 = 2 + √𝑡 2 + 3. Из
нечётности 𝑓(𝑡) следует, что она возрастает на всей действительной оси.
Также с помощью нечётности функции преобразуем (23):
𝑓(2𝑥 + 1) = −𝑓(3𝑥), 𝑓(2𝑥 + 1) = 𝑓(−3𝑥).
Значения строго монотонной функции равны тогда и только тогда, когда
равны значения аргумента. Поэтому последнее уравнение равносильно
уравнению
2𝑥 + 1 = −3𝑥, откуда 𝑥 = −0,2.
Ответ: −0,2.
Пример 38. При каких значениях а уравнение
5 log 0,5
2𝑥 2
𝑥−2𝑎
− 2𝑥 2 + 𝑥 = 2𝑎 имеет ровно два корня?
Решение. Используя свойства логарифма, перейдём к уравнению,
равносильному исходному:
5 log 0,5 2𝑥 2 − 2𝑥 2 = 5 log 0,5 (𝑥 − 2𝑎) − (𝑥 − 2𝑎).
Введём функцию 𝑓(𝑡) = 5log 0,5 𝑡 − 𝑡, 𝑡 > 0. Последнее уравнение запишется
в виде
𝑓(2𝑥 2 ) = 𝑓(𝑥 − 2𝑎).
(24)
37
Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она убывает как сумма двух убывающих функций.
Следовательно, при 𝑡 > 0 уравнение 𝑓(𝑡1 ) = 𝑓(𝑡2 ) равносильно уравнению
𝑡1 = 𝑡2 . Поэтому (24) равносильно уравнению
2𝑥 2 = 𝑥 − 2𝑎
(25)
с условиями 𝑥 ≠ 0 , 𝑥 − 2𝑎 > 0 (последнее условие лишнее, оно выполняется
автоматически) или уравнению 𝑥 − 2𝑥 2 = 2𝑎. Сделаем рисунок (рис. 43).
Горизонтальная прямая 𝑦 = 2𝑎 пересекает график параболы в двух точках при
1
1
8
16
2𝑎 < 0, то есть при 𝑎 < 0 или 0 < 2𝑎 < , 0 < 𝑎 <
.
1
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; ).
16
1
8
0
1
2
1
4
2a
Рис. 43
Замечание. На заключительной стадии решения можно обойтись без
рисунка. Вместо (25) рассмотрим уравнение 2𝑥 2 − 𝑥 + 2𝑎 = 0 с условием 𝑥 ≠
0 . Оно должно иметь два корня: 𝐷 = 1 − 16𝑎 > 0, 𝑎 <
1
. Находим а, при
16
котором х=0 является корнем: а=0. Следовательно, условиям задачи отвечают
1
все найденные значения а, кроме 0: 𝑎 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; ).
16
Далее вспомогательная функция рассматривается в примере 41 (задача С5
ЕГЭ 2009), где для её исследования применяется производная.
Применение производной.
Задачи с параметром, для решения которых используется производная,
формально можно отнести к соответствующему типу задач дифференциального
исчисления. Однако, ситуация в этих задачах является динамической (меняются
промежутки монотонности функций, точки экстремума, кривые в зависимости
от параметра меняют конфигурацию) и важно не упустить из вида ни одну из
возникающих стандартных ситуаций. В ряде случаев ключевую роль здесь
играет момент касания кривых (примеры 16,18, 40, 42).
Пример 39. Для каждого положительного значения а найти наибольшее
значение функции y =
1
3
(x - a)3 + (x - a)2 на отрезке
Решение. Найдем производную:
38
 2  х  0.
y'(x) = (x - a)2 + 2(x - a) = (x - (a - 2))(x - a). Стационарными
точками являются х = а - 2 и х = а. Рассмотрим следующие случаи:
1. 0 < a < 2. На данный отрезок попадает одна критическая точка
Поскольку при  2  x  a  2 y   0 , при a  2  x  0 y   0 , наибольшее
а -2.
4
значение функции на отрезке равно y(a - 2) = .
3
y'
+
-
+
-2
a-2
0 a
x
2. а  2. На всем промежутке [-2;0) у' > 0 , функция на отрезке возрастает
и её наибольшее значение равно y(0) = a2 у'
+
-2
Ответ:
4
3
0
a3
при 0< a <2 , a2 -
a-2
𝑎3
3
.
-
x
при a  2 .
3
Пример 40. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 𝑎𝑥 2 = |ln|𝑥|| имеет ровно 2 различных решения.
Решение. ОДЗ: 𝑥 ≠ 0. Выразим а из исходного уравнения и получим
уравнение, равносильное ему:
𝑎=
|ln|𝑥||
𝑥2
.
(26)
Это уравнение задаёт а как функцию a(x) переменной х. Построим её график.
Поскольку функция чётная, достаточно исследовать её при x>0. Введём
вспомогательную функцию 𝑔(𝑥) =
𝑙𝑛 𝑥
и исследуем её. Находим производную,
𝑥2
критическую точку, знаки производной и характер монотонности на
𝑙𝑛 𝑥
получившихся промежутках, характер точки экстремума: 𝑔΄(𝑥 ) = (
𝑥−2𝑥 𝑙𝑛 𝑥
𝑥4
=
1−2 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3
. 𝑔΄(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = √𝑒 − точка максимума, 𝑔(√𝑒) =
1
2𝑒
𝑥2
)΄ =
.
g
g
0
+
e
–
x
Строим график g(x), затем отражаем симметрично относительно оси Ох его
часть, расположенную ниже оси и к полученной кривой добавляем
39
симметричную ей относительно оси Оу (рис.44). Мы получили график функции
(26). Горизонтальные прямые a=0 и
𝑎 = 𝑎0 , где 𝑎0 >
1
2𝑒
,
пересекают
график в двух точках.
1
Ответ: 0; ( ; +∞).
2𝑒
a
1
2e
0
1
x
Рис. 44
Замечание. Для решения можно было использовать графический метод в
традиционной форме: нарисовать графики функций в левой и правой частях
уравнения; с помощью производной найти значение а, при котором происходит
касание (рис. 45).
Рис. 45
Пример 41. Решить уравнение
𝑥 8 + 96 cos(5 − 6𝑥) = 96 cos 𝑥 2 + (5 − 6𝑥)4
Решение. Запишем уравнение в виде
𝑥 8 − 96 cos 𝑥 2 = (5 − 6𝑥)4 − 96 cos(5 − 6𝑥)
40
(27)
и рассмотрим функцию
записать в виде
𝑓(𝑡) = 𝑡 4 − 96 cos 𝑡. Тогда уравнение (27) можно
𝑓(𝑥 2 ) = 𝑓(5 − 6𝑥) .
(28)
Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она чётная, поскольку является разностью чётных
функций 𝑡 4 и 96 cos 𝑡. Далее, 𝑓 ′ (𝑡) = 4(𝑡 3 + 24 sin 𝑡). При
0<𝑡≤𝜋
sin 𝑡 ≥ 0, следовательно, 𝑓 ′ (𝑡) > 0. При
𝑡>𝜋
𝑓 ′ (𝑡) >
4(𝜋 3 − 24) > 4(33 − 24) = 12. Таким образом, при 𝑡 > 0 𝑓 ′ (𝑡) > 0 и на
промежутке 𝑡 ≥ 0 𝑓(𝑡)
возрастает,
а
на
промежутке
𝑡<
0 за счёт чётности 𝑓(𝑡) убывает ( рис. 46). Из чётности и монотонности
функции на соответствующих промежутках следует, что каждое своё значение
(за исключением −96) 𝑓 принимает ровно в двух симметричных относительно
нуля точках и условие 𝑓(𝑡1 ) = 𝑓(𝑡2 )
равносильно условию
𝑡1 = ±𝑡2 ,
2
следовательно, уравнение
(28) равносильно совокупности
𝑥 = ±(5 −
6𝑥) . Отсюда
𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0
или
𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = 0. Решая эти
уравнения, получаем 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5, 𝑥3,4 = −3 ± √14 .
Ответ: 1; 5; −3 ± √14.
Рис. 46
Условия касания кривых y = f(x) и y = g(x) в точке с абсциссой х можно
записать в виде системы
 f x   g x ,

 f x   g x ,
(29)
поскольку у них общая касательная: совпадают значения в точке х и угловые
коэффициенты касательных, то есть производные.
41
Пример 42. Какое наименьшее число решений может быть у первого
уравнения системы
sin 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏,
(30)
{
cos 𝑥 = 𝑎.
коэффициенты а и b которой выбираются так, что уравнение имеет не менее
трёх решений, а система - ровно одно?
Решение. Исходную систему можно записать в виде
sin 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏,
{
(sin 𝑥)′ = (𝑎𝑥 + 𝑏)′ .
Первое уравнение этой системы задаёт общие точки синусоиды y = sinx
и прямой y = ax+b. Согласно (29) вместе эти уравнения (то есть система)
задают точки, в которых прямая является касательной к синусоиде. Таким
образом, из условий задачи вытекает, что у синусоиды и прямой должно быть
не менее трёх общих точек, но только в одной из них происходит касание.
Рассматривая различные случаи взаимного расположения синусоиды и
касательной (рис. 47), убеждаемся в том, что условиям задачи отвечает
положение прямой 3 (у прямой 1 лишь две общие точки с кривой, у прямой 2
три таких точки, но в двух из них происходит касание), у которой четыре
общие точки с кривой, и лишь в одной из них происходит касание.
Ответ: 4.
Рис. 47
9. Задачи для самостоятельного решения.
Группа А ( первая цифра совпадает с номером темы из содержания).
1.1. Найти все пары (𝛼; 𝛽), при каждой из которых система уравнений
(𝛼 + 𝛽)𝑥 + 26𝑦 = 2,
{
имеет бесконечно много решений. Ответ: (-2;6), (6;-2).
8𝑥 + (𝛼 2 − 𝛼𝛽 + 𝛽 2 )𝑦 = 4
1.2. При каких а система
𝑎𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 = 3,
{
(2𝑎 + 2)𝑥 + 3𝑦 = 4𝑎 + 1
1
1
имеет единственное решение? Ответ: (−∞; − 2) ∪ (− 2 ; 2) ∪ (2; +∞).
42
1.3. При каких значениях параметра а решения неравенства
числовой оси промежуток длины 1? Ответ:
2𝑥−3𝑎
√𝑥+1−𝑎
≤ 0 образуют на
3+√41 3
; 2 ; 0.
4
3
𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0,
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑥𝑦 + 1 = 0
1.4. При каких значениях а система
имеет единственное
1 −7+4√2
решение? Ответ: 1; − 2 ;
2
.
1.5. При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения
𝑥 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎2 + 4𝑎 + 3 = 0 является наибольшей? Чему равна эта сумма? Ответ: 𝑎 =
2
−3; 𝑆 = 18.
2.1. Найдите все значения параметра а∈ [−6; 6], при которых неравенство (а +
3)((𝑥 + 1)(𝑎 + 2) + 3𝑥) > 0 выполняется при любых 𝑥 ≥ 0. Ответ: [−6; −5] ∪ (−2; 6].
2.2. При каких значениях а существует единственный корень уравнения 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 2 = 0,
11
удовлетворяющий условию 1< x <3 ? Ответ: [3; 3 ) ∪ {2√2}.
𝑥
1
2.3. При каких а уравнение √𝑥 + 2𝑎 + 1 = 𝑎 + 4 имеет ровно два корня? Ответ: 2 ≤ 𝑎 <
5
.
2
2.4. При каких значениях а уравнение 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 𝑎 = 0 имеет корни и все они
лежат на отрезке [−2; 6]? Ответ: [0; 4].
2.5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎 ≤ 0 не
1
2
имеет ни одного решения х, удовлетворяющего условию 𝑥 ≥ − 2. Ответ: 𝑎 > 5.
2.6. Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения
𝑥 + 2(𝑎 − 1)𝑥 + 3𝑎 + 1 = 0 удовлетворяет неравенству х < - 1. Ответ: 𝑎 < −4; 𝑎 = 5.
2.7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 𝑥 2 +
2|𝑥 − 𝑎| ≥ 𝑎2 справедливо для всех действительных x . Ответ:[−1; 1].
2.8. Найдите все значения а, при каждом из которых функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3|𝑥 − 𝑎2 | −
2
7𝑥 имеет более двух точек экстремума. Ответ: −√5 < 𝑎 < −√2; √2 < 𝑎 < √5.
2.9. Найдите все значения а, при каждом из которых функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2|𝑥 − 𝑎2 | −
6𝑥 имеет хотя бы одну точку максимума. Ответ: −2 < 𝑎 < −√2; √2 < 𝑎 < 2.
2.10. Для каждого значения 𝑎 > 0 найдите уравнения всех прямых, проходящих через
начало координат и имеющих ровно две общие точки с графиком функции 𝑓(𝑥) =
−𝑥|𝑥 + 8𝑎| − −16𝑎2 . Ответ: 𝑦 = 0; 𝑦 = 2𝑎𝑥; 𝑦 = −16𝑎𝑥.
3.1. При каких значениях а все числа из отрезка -1≤ 𝑎 ≤ 3 удовлетворяют неравенству
1
2𝑎𝑥 + 2√2𝑥 + 3 − 2𝑥 + 3𝑎 − 5 < 0 ? Ответ: (−∞; 2).
3.2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (4 cos 𝑥 − 3 − 𝑎) cos 𝑥 −
2,5 cos 2𝑥 + 1,5 = 0 имеет хотя бы один корень.
Ответ: (−∞; −6] ∪ [0; +∞).
3.3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение log 𝑥 (4𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 − 𝑎) = 0
имеет ровно два различных корня, удовлетворяющих неравенству |𝑥 − 1| ≤ 1.
Ответ: (−10; −9).
2
3.4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 < −3; 𝑎 ≥ −2.
43
2
4−𝑥 −𝑎∙21−𝑥 +𝑎
1−𝑥2
2
−1
= 3 имеет
1
𝑎
3.5. При каких значениях a уравнение 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 − (𝑎 + 2) sin 3𝑥 + 2 = 0 имеет ровно три
2𝜋
корня, расположенных на отрезке [ 3 ; 𝜋]? Ответ: 1.
4.1. Найдите все а, при каждом из которых уравнение √1 − 2𝑥 = 𝑎 − 7|𝑥| имеет более
двух корней.
4.2.
7 25
Ответ: [2 ; 7 ).
Найдите все значения параметра a, при которых при любых значениях параметра b
уравнение |𝑥 − 2| + 𝑏|2𝑥 + 1| = 𝑎 имеет хотя бы одно решение. Ответ:
5
2
.
4.3. При каких значениях параметра а уравнение 𝑎|𝑥 − 4| + |𝑥 + 2| − 6 = 0 имеет ровно
два различных решения? Ответ: (−1; 1).
4.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
2
𝑥 + (𝑦 + 3)2 < 4,
−3−√5
{
имеет хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 < 16 .
2
𝑦 = 2𝑎𝑥
4.5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑎𝑥 +
√−27 − 12𝑥 − 𝑥 2 = 7𝑎 + 3
3
3
имеет единственный корень. Ответ: [− 10 ; − 16); 0.
6
4.6. Найдите все а, при каждом из которых уравнение |𝑥 − 3| = 𝑎𝑥 − 1
имеет на
1 2
промежутке (0; +∞) более двух корней. Ответ: (2 ; 3).
5
4.7. Найдите все а, при каждом из которых уравнение 𝑎|𝑥 − 4| = 𝑥+1
5
имеет на
4
промежутке [0; +∞) ровно два корня. Ответ: (4 ; +∞) ; 5 .
4.8. При каких значениях параметра а из условия |𝑥 + 1| + 𝑎|𝑥 − 2| ≥ 4 следует
3
|𝑥| ≥ 2 ? Ответ: 𝑎 ≤ .
4
4.9. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (−6; −1]
(𝑎 + 4)|𝑥|.
значение выражения
𝑥2 − 3
не равно значению выражения
Ответ:(−∞; −6) ∪ [1,5; +∞).
4.10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
|𝑥 2 − 16|𝑥|| =
𝑎(𝑥 − 9) имеет ровно три различных корня. Ответ: 0;-4.
4.11. Найдите все значения а, при каждом из которых система
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4,
{
𝑦 = |𝑥 − 𝑎| + 1
имеет ровно три различных решения. Ответ: 2; 2√2 ; −2√2 + 4.
4.12. Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств 𝑦 +
2𝑥 ≥ 𝑎
и 𝑦 − 𝑥 ≥ 2𝑎 являются решениями неравенства
9
2𝑦 − 𝑥 > 𝑎 + 3. Ответ: 𝑎 > 8 .
4.13. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |1 − 𝑎𝑥| = 1 +
(1 − 2𝑎)𝑥 + 𝑎𝑥 2 имеет единственный корень. Ответ: 0;1.
4.14. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑥|𝑥 − 2𝑎| − 1 − 𝑎 = 0
имеет единственный корень. Ответ: −1 < 𝑎 <
1+√5
2
.
4.15. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
(|𝑥| − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 4,
{
(𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2
имеет единственное решение. Ответ: 3; √41 + 2.
44
4.16. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
||||𝑥 2 − 𝑎| − 5| − 2| + 1| = 3
имеет ровно три различных корня. Ответ: -5.
5.1.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎(√2 − 1)𝑥 +
√𝑥 − 2 = 2√2 − 3 имеет хотя бы одно решение. Ответ:
5.2. Решить систему
2𝑥 − sin 𝑦 = 0,
1
{
𝑥2 2
3
2
3
(𝑥 − 𝑥 + 10) (𝑥 − ) − cos 𝑦 = 0.
2
1−√2
2
.
1 π
Ответ: (2 ; 2 + 2πn) , nϵZ.
cos 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 2,
𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 9 ≤ 0
𝜋
2
имеет единственное решение. Ответ:( + 𝜋𝑛; 3) , 𝑛𝜖𝑍; (𝑎; −3), 𝑎𝜖𝑅.
5.3.Найдите все значения а и b , при которых система
3
{
3
6.1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
2
𝑥 − |𝑥 − 𝑎 + 6| = |𝑥 + 𝑎 − 6| − (𝑎 − 6)2 имеет единственное решение. Ответ: 4; 8.
6.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
𝑎(𝑥 4 + 1) = 𝑦 + 2 − |𝑥|,
{
имеет единственное решение. Ответ: 4.
𝑥2 + 𝑦2 = 4
7.1. Решить уравнение (2𝑥 + 1) (2 + √(2𝑥 + 1)2 + 3) + 3𝑥(2 + √9𝑥 2 + 3) = 0.
1
Ответ:− 5 .
7.2. Найдите все значения а, при каждом из которых число решений уравнения 3(𝑥 2 +
𝑎2 ) = 1 − (9𝑎2 − 2)𝑥 не превосходит числа решений уравнения 𝑥 + (3𝑎 − 2)2 ∙ 3𝑥 =
1
2
(8𝑎 − 4) ∙ log 3 (3𝑎 − ) − 3𝑥 3 . Ответ: .
2
3
7.3. Найдите все значения a, при каждом из которых любое решение уравнения
3
4√3,5𝑥 − 2,5 + 3 log 2 (3𝑥 − 1) + 2𝑎 = 0 принадлежит отрезку [1;3]. Ответ: [-8,5;-3,5].
8.1. При каких значениях параметра a уравнение √sin 𝑥 + √cos 𝑥 = 𝑎 имеет решения?
Ответ: [1; √2√2].
8.2. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее
значение функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 5 на множестве, заданном неравенством |𝑥 − 2| ≤
1, не меньше, чем -3. Ответ: 𝑎 ≤2.
8.3. При каких значениях а уравнение ax 6  e x имеет единственное решение? Ответ:
  e 6 
 0;    .
 6 


Группа Б.
1. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству (𝑎 + 2)𝑥 3 − (1 + 2𝑎)𝑥 2 −
6𝑥 + (𝑎2 + 4𝑎 − 5) > 0 хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [−2; 1].
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (2; +∞).
2. При каждом значении а найдите все решения неравенства 𝑥 + 2𝑎 − 2√3𝑎𝑥 + 𝑎2 > 0.
𝑎
Ответ: при а<0 решений нет; при а=0 х>0; при а>0 [– 3 ; 0) ∪ (8𝑎; +∞).
45
3. При каких значениях параметра а неравенство 𝑥 2 + 4𝑥 + 6𝑎|𝑥 + 2| + 9𝑎2 ≤ 0 имеет
2
не более одного решения? Ответ: 𝑎 ≥ .
3
4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
5|𝑥 − 3𝑎| + |𝑥 − 𝑎2 | + 4𝑥 = 𝑎 не имеет решений. Ответ: (−∞; −8) ∪ (0; +∞).
5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(1 + 𝑎)𝑥 2 + (1 − 𝑎)𝑥 − 5𝑎 − 3 = 0 имеет по крайней мере один корень и все его корни
3
являются целыми числами. Ответ: ±1; − 5 .
6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
+ 2(𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 − 4𝑎)2 + (𝑎 + 5)(𝑥 2 + 2(𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 − 4𝑎) − 𝑎2 + 8𝑎 + 2 = 0 имеет
(𝑥 2
а) единственное решение; б) ровно два различных решения. Ответ: а)2 + √2; б)(−∞; 2 −
√2) ∪ {1} ∪ (2 + √2; +∞).
𝑥
√𝑥
5
7. Для каких а уравнение (1+𝑥)2 + 2𝑎 1+𝑥 + 1 = 0 имеет решение ? Ответ: (−∞; − 4].
8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
{
1 − √|𝑥 − 1| = √7|𝑦|,
1
1
имеет ровно 4 различных решения. Ответ: − 32 ; − 4 .
2
2
49𝑦 + 𝑥 + 4𝑎 = 2𝑥 − 1
9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
(|𝑥| − 6)2 + (|𝑦| − 6)2 = 4,
15−√57 15
{
имеет единственное решение. Ответ: 16 ; 8 .
𝑦 = 𝑎𝑥 + 1,
𝑥𝑦 > 0
10. Решить систему {
𝑥 2 = (𝑥 − 𝑎)𝑦,
𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 9𝑎𝑥
3𝑎 9𝑎
Ответ: (𝑐; 𝑐), 𝑐 ∈ 𝑅 при a=0; ( 2 ;
2
для всех значений параметра а.
3𝑎
), ( 4 ; −
9𝑎
4
) , (0; 0) при 𝑎 ≠ 0.
11. Найдите все а, при каждом из которых уравнение √3𝑎 + √3𝑎 + 2𝑥 − 𝑥 2 = 2𝑥 − 𝑥 2
1
имеет решения. Ответ: − 12 ≤ 𝑎 ≤ 0.
12. При каких значениях параметра а уравнение 2|𝑥 − 9𝑎| − 2𝑎2 + 35 + 𝑥 = 0 не имеет
решений? При каких (остальных) значениях а все решения этого уравнения принадлежат
отрезку [−30; 63]?
5
Ответ: (− 2 ; 7) ; [
9−√211
2
5
; − 2] ∪ {7}.
13. При каких а неравенство|𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑎| ≤ 10 выполняется при всех 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑎 + 5] ?
Ответ:[−2;
√69−7
].
2
14. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 𝑎2 − 2𝑎 + 2 на множестве 1 ≤ |𝑥| ≤ 3 не меньше 6 . Ответ:𝑎 ≤
−2; 𝑎 ≥ 7 + √17; 𝑎 = 0.
15. При каких а уравнение |𝑥 2 − 𝑥 + 𝑎| + |𝑥| = 9 имеет ровно три корня? Ответ: -8; -72.
−1±√2
16. При каких а уравнение |𝑥 2 + 𝑎| = |𝑥 + 𝑎2 | имеет ровно три корня? Ответ: 0;-1;
17. Для каждого значения параметра а решить неравенство
𝑥 + √10𝑥 ≤ 𝑎 + 2 + √𝑎 + 9𝑥 + 2 .
Ответ: при 𝑎 > −2 𝑥𝜖[0; 𝑎 + 2]; при 𝑎 = −2 𝑥 = 0; при 𝑎 < −2 решений нет.
46
2
.
18. Найдите наименьшее значение выражения 𝑎2 + (𝑏 − 1)2 среди всех тех a и b , для
которых уравнение ||𝑥 − 4| − 2| − 𝑎𝑥 + 4𝑎 − 𝑏 = 0 имеет ровно три различных корня.
Укажите, при каких a и b достигается это наименьшее значение. Ответ:
|𝑥 2
1
5
2
4
; 𝑎 = ± 5 ; 𝑏 = 5.
19. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции
− (1 + 𝑎)𝑥 + 𝑎| + (𝑎 − 1)|𝑥 + 1| меньше 2. Ответ: (−∞; 2).
20. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
𝑦 2 + 𝑎 = 4 cos 𝑥,
{
√𝑦 + 𝑧 2 = 𝑎,
(𝑎 − 2)2 = |𝑧 2 − 2𝑧| + |sin 2𝑥| + 4
имеет хотя бы одно решение, и укажите решение системы для каждого из найденных
𝜋
значений а . Ответ: ( 2 + 𝜋𝑛; 0; 0) при 𝑎 = 0, где 𝑛 ∈ Ζ; (2𝜋𝑘; 0; 2) при 𝑎 = 4, где 𝑘 ∈
Ζ; при прочих а решений нет.
21. Найдите наибольшее а, при котором неравенство
√𝑎
𝜋
4
1
𝑎√𝑎(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 𝑥 2 −2𝑥+1 ≤ √𝑎3 |𝑠𝑖𝑛 2 𝑥| имеет хотя бы одно решение. Ответ: 16 .
3𝑥+𝑎
22. При каких а множество значений функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +5𝑥+7 содержит промежуток
(−1; 3]? Ответ : 9.
4 sin 𝑥+𝑎
23. При каких а множество значений функции 𝑓(𝑥) = 4𝑎−2 sin 𝑥 содержит отрезок
[0; 1]? Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 2).
24. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑥 4 + (𝑎 − 3)2 = |𝑥 − 𝑎 + 3| +
|𝑥 + 𝑎 − 3| имеет не более 1 решения. Ответ: (−∞; 1] ∪ [5; +∞).
25. Найдите все пары значений параметров (𝑎; 𝑏), при каждой из которых уравнение
3
|𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑎| + |𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑎 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4 4𝑎| = 𝑏 (𝑎 + 𝜋)
2
𝜋
Ответ: (2 + 2𝜋𝑘; 0) , 𝑘𝜖𝑍 или (−
3𝜋
2
имеет единственное решение.
; 𝑝), p –любое действительное число.
26. Найдите все значения а, при которых уравнение
𝑥 + (𝑎 − 2|𝑥|)5 + 𝑥 2 − 2|𝑥| + 𝑎 = 0 имеет более трёх решений. Ответ: (0;1).
27. Найдите все действительные значения параметров p и q, при которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑝2 = (10 − 2𝑝)𝑦 + 2𝑝𝑥 + 10𝑝 − 21,
уравнений
{
𝑥 2 + 𝑦 2 + 52 = 𝑞 2 − 8𝑥 − 12𝑦
𝑥 −𝑥
𝑦 −𝑦
имеет два решения (𝑥1 ; 𝑦1 ) и (𝑥2 ; 𝑦2 ), удовлетворяющие условию 𝑦1 +𝑦2 = 𝑥2 +𝑥1 .
10
1
2
1
2
Ответ: 𝑝 = 2, 𝑞 ∈ (−3√13 − 2; −3√13 + 2) ∪ (3√13 − 2; 3√13 + 2).
28. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(𝑥 2 − 6|𝑥| − 𝑎)2 + 12(𝑥 2 − 6|𝑥| − 𝑎) + 37 = cos
18𝜋
𝑎
имеет ровно два корня. Ответ: -3; 9.
29. Найдите все значения а , при каждом из которых система
{
𝑦 = √−5 + 6𝑥 − 𝑥 2 + 3,
𝑦 = √4 − 𝑎2 − 2𝑎𝑥 − 𝑥 2 − 𝑎
имеет единственное решение. Ответ: −5 ≤ 𝑎 < −3; −3 < 𝑎 ≤ −1.
30. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
𝑎 + √−8 + 6𝑥 − 𝑥 2 = 3 + √1 − 𝑎2 + 2𝑎𝑥 − 𝑥 2
имеет единственное решение.
Ответ: 2≤ 𝑎 < 3; 3 < 𝑎 ≤ 4.
47
31. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
𝑓(𝑥) = 2𝑎𝑥 + |𝑥 2 − 8𝑥 + 7| больше 1.
1
Ответ: ( ; 4 + √6).
2
32. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
8
5
𝑓(𝑥) = 3|𝑥 − 𝑎| + |𝑥 2 + 𝑥 − 2| меньше 2. Ответ:(− 3 ; −1) ∪ (0; 3).
33. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2|𝑥 + 𝑎 − 1| + (𝑎 + 1)2 меньше 3. Ответ:(−1;
1
).
√2
34. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7|𝑥 − 𝑎| − 𝑥 на отрезке [−5; 5] принимается хотя бы на одном из концов этого
отрезка. Ответ: 𝑎 ≤ −3; 𝑎 ≥ 1.
35. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑥 2 + (5𝑎 + 6)𝑥 + 4𝑎2 + 6𝑎 < 0,
{
𝑥 2 + 𝑎2 = 36
48
имеет решения. Ответ: (−3√2; − 17) ∪ (0; 3√2).
36. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
𝑦 3 +𝑦𝑥 2 −4𝑦
уравнений
{
√𝑥+1
= 0,
𝑦 − 𝑎𝑥 = 5𝑎 + 2
имеет единственное решение. Ответ:(−
1
2
√3+2
; − 2] ; − 7 ; 0.
4
37. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
(𝑦 − 2𝑎 + 2)2 + (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑎2 − 5𝑎 + 4,
{
𝑦 ≥ |𝑥|
имеет единственное решение. Ответ: 0;4; 3-√5.
38. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
(𝑦 2 +𝑥 2 −1)(𝑦 2 −𝑦+𝑥 2 −𝑥)
уравнений
{
√𝑦−𝑥
= 0,
𝑥+𝑦 =𝑎
имеет единственное решение. Ответ:(−√2; 0] ∪ {1} ∪ [√2; 2).
39. Пример. При каких значениях параметра a система уравнений
𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑎),
{ 2
𝑥 + 𝑦 2 ≤ 2(𝑦 − 𝑥 + 7)
имеет единственное решение? Ответ: 0; ±7.
40. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑦 2 − 𝑥 2 ≥ 4(𝑦 − 1),
{ 2
𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑎2 + 1 ≤ 𝑎2 + 4𝑎(𝑥 + 1) − 2(𝑥 + 𝑎𝑦)
1
имеет решения. Ответ: [− 3 ; 3].
41. Найдите наименьшее значение а, при котором система
𝑦 2 − 𝑥 2 ≥ 2(𝑥 + 4𝑦) − 15,
{ 2
𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑎2 − 4 ≤ 𝑎2 + 4(𝑎 − 1)(𝑥 + 1) − 2𝑦(𝑎 − 2)
имеет решения. Ответ: −5 − 4√2 .
42. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − |𝑦| + 𝑎2 + 𝑎 ≤ 0,
{ 2
𝑦 + 𝑥𝑦 − 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 = 0
48
1
имеет ровно 3 решения. Ответ: 4 .
43. Найдите все значения b, при которых оба неравенства
2𝑏 cos 2(𝑥 − 𝑦) + 8𝑏 2 cos(𝑥 − 𝑦) + 8𝑏 2 (𝑏 + 1) + 5𝑏 < 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 > 2𝑏𝑥 + 2𝑦 + 𝑏 − 𝑏 2
1
выполняются при любых х и у.
1
Ответ: 𝑏 < −1 − 2√2 , − 2 < 𝑏 < 0.
44. Найдите все значения а , при каждом из которых система
|𝑥 + 2𝑦 + 1| ≤ 11,
{
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 2𝑎)2 = 2 + 𝑎
имеет единственное решение. Ответ: -2; 3.
45. Найдите все значения а, при каждом из которых система
{
(3√𝑥|𝑥| + |𝑦| − 3) (|𝑥| + 3|𝑦| − 9) = 0,
(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 = 25
имеет ровно три решения. Ответ: ±4; 6.
46. Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
𝑎𝑥 2 + 4𝑎𝑥 − 𝑦 + 7𝑎 + 2 ≥ 0,
{ 2
𝑎𝑦 − 𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑎 − 1 ≥ 0.
1
имеет единственное решение. Ответ: - 2.
47. Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
𝑥 3 − (𝑎 + 3)𝑥 2 + (3𝑎 + 2)𝑥 − 2𝑎 ≥ 0,
{
𝑥 3 − (𝑎 + 3)𝑥 2 + 3𝑎𝑥 ≤ 0
имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ≥ 3.
48. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
𝑎
𝑥 − 2 = 4|4|𝑥| − 𝑎2 |
имеет ровно три различных корня. Найти эти корни. Ответ: {−1;
1
7
{− 136 ; 0; 120
}
1
15 17
7
; 15} при
𝑎 = −2;
1
при 𝑎 = − 8 .
49. Для каждого а найти наименьшее значение функции
𝑦(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎|𝑥 − 2| − 2𝑎 на отрезке [0; 4].
Ответ: при 𝑎 ≥ 2 𝑥 = −1 , при −3 ≤ 𝑎 < 2 𝑥 = −(𝑎 + 1)2 , при 𝑎 < −3 𝑥 = 8 + 4𝑎 .
𝑥−2
50. Решить неравенство log 8 𝑥(𝑥 − 4) + log 8 𝑥−4 ≥ 𝑎.
Ответ: (−∞; 1 − √1 + 8𝑎 ] ∪
(4; +∞) при 𝑎 ≤ 1; (−∞; 1 − √1 + 8𝑎 ] ∪ [1 + √1 + 8𝑎 ; +∞) при 𝑎 > 1.
51. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство
1
− |𝑎 + 3||𝑥 + 𝑎 + 6| + (|𝑎 + 3| −
2
𝑎2 +6𝑎+8
)∙
|𝑎+3|
1
|𝑥 + 3| − |𝑎 + 3||𝑥 − 𝑎| ≥ −2
2
выполняется ровно для двух различных значений х. Ответ: −3 ± √3 .
52. Определить, при каких значениях параметра а уравнение
log 𝑥+1 (𝑥 2 − 𝑎𝑥) = 1 имеет единственное решение.
Ответ: 𝑎 ≤ −1.
53. Определить, при каких значениях параметра а уравнение
log 𝑥+𝑎 (𝑥 − 2) = 2
имеет единственное решение.
7
Ответ: 𝑎 < −2; 𝑎 = − 4.
54. Определить, при каких значениях параметра а уравнение
𝑥
𝑥
(√𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6 + √𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2) + (√𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6 − √𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2) = 2𝑥+1
имеет единственное решение . Ответ: − 2√2 < 𝑎 < 2√2.
49
55. Найдите все а, при каждом из которых уравнение
𝑠𝑖𝑛|𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥| + 𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2
𝑎|𝑥|
) = √1+𝑥 2 имеет хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 ≤ 0; 𝑎 > 2 + √2 .
56. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение log
1
1
1
5
(𝑥 3 −1)(𝑥2 −25)
5 (𝑥−𝑎)−log5(19𝑎−𝑥)
=0
1
имеет единственное решение. Ответ: (19 ; 10) ∪ (10 ; 19] ∪ {2} ∪ [1; 5).
57. Найдите все значения 𝑏, при каждом из которых система уравнений
1
{
𝑥 3 − 𝑏𝑦 3 = 2 (𝑏 − 1)2
𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 1,
имеет решение, и всякое решение системы удовлетворяет уравнению х-у =0 . Ответ: ±1.
58. Найдите все значения а , -1< a <1, при каждом из которых выражение
1 + 2√𝑥 2 − 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 10 принимает наименьшее значение только для одной пары
чисел x,y. Ответ: −
1
√10
≤𝑎≤
59. Решить систему
{
1
√10
.
√𝑥 2 + (𝑦 − 4)2 +
1
√5
|𝑥 − 2𝑦 − 2| = 2√5,
Ответ: (2;0).
𝑥 ≥ 2.
60. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
8|𝑥| + 5√𝑥 2 + 25 = 4|𝑥 − 5𝑎| + 10𝑎 − 𝑎2 имеет решение.
Ответ: 15−10√2 ≤ 𝑎 ≤ 15 + 10√2; 𝑎 = −5.
61. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
не имеет решений. Ответ: 𝑎 < −
25
2
√2𝑥𝑦 + 𝑎 = 𝑥 + 𝑦 + 5
.
62. Найти все значения параметров a и b , при которых среди корней уравнения
+ 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 − 7)2 − (2𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 1)(𝑥 − 7)5−𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 0
есть два различных
корня с равными абсолютными величинами. Ответ: (2; 1), (−2; −1).
63. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
2
(𝑥 − 𝑥 + 𝑎2 + 1)2 = 4𝑎2 (5𝑥 2 − 𝑥 + 1) имеет ровно три различных корня.
(𝑎2
1
Ответ: ±1; ± 10 (2 + √19).
64. Найдите все значения а, при каждом из которых система
2|𝑥|+2 + 3|𝑥| + 5 = 4𝑦 + 3𝑥 2 + 2𝑎,
{
𝑥2 + 𝑦2 = 1
5
имеет единственное решение. Ответ: 2 .
65. Найдите все значения а, при каждом из которых система
5 ∙ 2|𝑥| + 3|𝑥| − 2 = 5𝑦 + 3𝑥 2 − 5𝑎,
{
𝑥2 + 𝑦2 = 1
2
имеет единственное решение. Ответ: 5 .
66. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑥
𝑥
(2 − √3) + (2 + √3) − 5 = 𝑎 − 2𝑦 + 𝑦 2 ,
{
𝑥 2 + (2 − 𝑎 − 𝑎2 )𝑦 2 = 0,
0≤𝑦≤2
имеет единственное решение. Ответ: -3; -2.
67. Найти все значения а, при каждом из которых равносильны системы уравнений:
50
{
𝑎𝑥 + 3𝑦 = 6𝑎 − 4,
и
𝑥 + 𝑦 = 2𝑎
{
𝑥 2 − 2𝑦 4 − 6𝑥 + 8 = 0,
𝑥 2 + 𝑦 2 − (2𝑎 + 4)𝑥 + 2(𝑎2 + 𝑎 + 2) = 0.
Ответ: 2; 3.
68. Найдите все значения а и b, при каждом из которых система уравнений
𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 = 𝑎,
{ 𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑧 = 𝑏,
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4
имеет единственное решение. Ответ: a =2, b= -2.
69. При каких значениях а уравнение
𝑥 2 +1
𝑥
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎4 𝑥 +
50−20𝑎
𝑎
∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎2 𝑥 + sin(𝜋𝑎) ∙ √3 − 𝑎 = 0
имеет единственный корень? Ответ: 2.
70. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение
2
9−𝑥+1 ∙ 3𝑥 + 𝑎3 + 5𝑎2 + 𝑎 + √2 = sin
Ответ: 0;
𝜋𝑥
4
+ cos
𝜋𝑥
4
+3
имеет единственное решение.
−5±√21
2
.
71. При каких значениях а уравнение (sin 𝑥 − log 4 𝑎)(sin 𝑥 − 2 + 2𝑎) = 0 имеет ровно
𝜋 5𝜋
два корня на отрезке [ 2 ;
2
]?
1 1
3
Ответ: (4 ; 2) ∪ {1} ∪ (2 ; 4].
72. Для каждого значения а найти число решений уравнения
𝑎 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 1 = cos 2𝑥 ,
принадлежащих отрезку [0; 2𝜋]. Ответ:
при 𝑎 < −1, 𝑎 = 0, 𝑎 > 1 2 решения ; при 𝑎 = ±1 4 решения; при − 1 < 𝑎 < 1, 𝑎 ≠
0 6 решений.
69. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
2
log 1 (√𝑥 + 𝑎𝑥 + 5 + 1) ∙ log 5 (𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6) + log 𝑎 3 ≥ 0 имеет ровно одно решение. Ответ:2.
𝑎
73. Найдите все значения
𝑥(3𝑥 −1)
а, при каждом из которых уравнение |
3𝑥 +1
− 2𝑎| = 𝑎2 + 1
имеет нечётное число решений. Ответ: ±1.
74. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 sin 𝑥 + 𝑎| = 𝑎 −
3𝑐𝑜𝑠𝑥 − sin 𝑥
имеет хотя бы одно решение на промежутке (𝜋;
3𝜋
2
]. Ответ: (−1; 1].
75. Найти все значения параметра b, при которых для любого а уравнение
cos(𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥) + 4 cos 𝑎2 𝑥 = 5 𝑏 2 имеет хотя бы одно решение. Ответ: -1.
76. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 − 8(𝑎 + 1) sin 𝑥 + (4𝑎2 + 8𝑎 − 14)𝑥 является возрастающей на всей числовой
прямой и при этом не имеет критических точек. Ответ: 𝑎 < −2 − √5 ; 𝑎 > √5 .
77. Найдите все значения а, при которых решения системы неравенств
2
1
𝑥 − 2𝑥 ≤ 𝑎 − 1,
{ 2
образуют на числовой оси отрезок длины 1. Ответ: 4 ; 1.
𝑥 − 4𝑥 ≤ 1 − 4𝑎
𝑥
78. Решить неравенство (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) log 1 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2 2) ≥ 2. Ответ: 2.
√2
79. Найти все тройки чисел (𝑥; 𝑦; 𝑧), удовлетворяющие уравнению
2
𝑥 + 1 − 2𝑥 sin(𝜋𝑦) + √𝑦𝑧 − 2𝑧 2 − 64 = (41 − 𝑦𝑧)(cos(2𝜋𝑦) + cos(𝜋𝑧))2 .
Ответ:
1
1
(1; 256 2 ; 128) , (−1; −256 2 ; −128).
80. При каких значениях p уравнение 4𝑥 + 2𝑥+2 + 7 = 𝑝 − 4−𝑥 − 2 ∙ 21−𝑥 имеет решение?
Ответ: 𝑝 ≥ 17.
81. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение
51
cos 2𝑥 + 2𝑎 cos 𝑥 + |2𝑎 + 1| − 2 = 0 имеет решения и все его положительные решения
1
1
2
2
образуют арифметическую прогрессию. Ответ: -2;[− ; 0] ; ; [2; +∞).
82. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
√𝑦 + 𝑎 = 2𝑥 − 𝑥 2 ,
1
1
{
имеет ровно 4 различных решения. Ответ: (−1; − 2) ∪ (− 2 ; 0).
2
2
𝑦 + 𝑥 = 2𝑥 + 𝑎
83. Найдите все значения параметра a, при которых решением неравенства
1
|3 − 4𝑥|√𝑥 − 𝑥 2 ≥ (2𝑎𝑥 + 0,5 − 𝑎)|3 − 4𝑥| является отрезок длиной 0,5. Ответ:(−∞; − ].
2
84. При каких значениях уравнение 2𝜋 2 (𝑥 − 1)2 + 4𝑎 cos 2𝜋𝑥 − 9𝑎3 = 0
2
имеет единственное решение? Ответ: 0;− 3 .
85. Найдите наибольшее целое значение а, при котором уравнение
4𝑥−𝑥 2 −𝑎−3
3𝑥 2 − 12𝑥 + 3𝑎 + 9 = 4𝑠𝑖𝑛
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑥 2 −2𝑥−𝑎−1
2
имеет ровно два различных решения.
Ответ: 0.
86. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 = 8,
{ 2
2𝑥 + 4𝑥𝑦 + 5𝑦 2 = 𝑎4 − 4𝑎3 + 4𝑎2 − 12 + √105
имеет решение. Ответ: 𝑎 ≤ −1; 𝑎 ≥ 3 .
87. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑎√𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √3𝑦
единственное решение. Ответ: 𝑎 < 1; 𝑎 > 2.
88. При каких значениях параметра а неравенство
𝑎−(2𝑥 +3√2∙2−𝑥 −5)
𝑎−(2 sin √𝑥−1−3)
имеет
≥ 0 не имеет
4
решений? Ответ:[−1; 2 √18 − 5).
89. Найдите все значения а, при которых уравнение
10
5
5
3 ∙ √𝑥 + 4 − 7𝑏 2 ∙ √32𝑥 + 96 = √𝑥 2 + 7𝑥 + 12 имеет единственное решение.
2
1
1
2
Ответ: (−∞; −√7] ∪ [−√7 ; √7] ∪ [√7 ; +∞).
90. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
𝑥+1
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + 3(𝑥 − 3)√
𝑥−3
1
= (𝑎 − 1)(𝑎 + 2) имеет единственный корень. Ответ: − 2.
91. При каких значениях параметра уравнение
𝑠𝑖𝑛
+ 6) − (𝑎 − 1) sin(𝑥 + 6) sin 𝜋𝑥 + (𝑎 − 1)𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝑥 = 0
Ответ: (1; 5).
2 (𝑥
имеет единственное решение?
92. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение √𝑥 3 − 24𝑥 2 + 118𝑥 + 7 =
5√7𝑥 − 𝑥 2 + √𝑎2 − 11𝑎 + 18 имеет единственное решение. Ответ: [
11−√77
2
; 2) ∪ (9;
𝑎
11+√77
2
].
93. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение sin (𝑥 + 𝑥 ) = 𝑥 + 1 имеет
единственное решение. Ответ: 𝑎 ≠ 0.
94. При каких значениях параметра а четыре корня уравнения
4
𝑥 + (𝑎 − 5)𝑥 2 + (𝑎 + 2)2 = 0 являются последовательными членами арифметической
5
прогрессии? Ответ:− 13 ; −5.
95. При каких значениях параметра а три различных корня уравнения
3
𝑥 + (𝑎2 − 9𝑎)𝑥 2 + 8𝑎𝑥 − 64 = 0 являются последовательными членами арифметической
прогрессии? Ответ: а =7; корни 2, 4, 8.
96. Найдите все значения а, при каждом из которых область значений функции
52
𝑦=
sin 𝑥+2(1−𝑎)
𝑎−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
содержит отрезок [1; 2].
1 3
3 33
Ответ: [3 ; 4) ∪ (4 ; 32].
97. Найдите все значения а, при каждом из которых система
𝑦 2 − (2𝑎 + 1)𝑦 + 𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0,
{
√(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 3)2 = 3
имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ∈ [−2; 1) ∪ (1; 4].
98. При каких значениях параметра a система уравнений
√𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 5 + √𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 − 12𝑦 + 40 = 5,
{
𝑦 = 𝑥2 + 𝑎
имеет ровно два различных решения? Ответ:[2;
34
9
).
99. Пример.При каких значениях параметра a система уравнений
√𝑦 2 + 𝑦 − 20|𝑦| − 6𝑥 − 𝑎 + 113 + √𝑦 2 + 𝑦 + 12|𝑦| + 10𝑥 − 𝑎 + 49 = √320,
{
𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 𝑎 + 3 = 0
имеет ровно два различных решения? Ответ:[−1; 3); −6; −5.
100. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
4
4
4
√𝑥 2 + 10𝑎2 − 6𝑎𝑥 + √3 − 𝑥 2 − 10𝑎2 + 6𝑎𝑥 ≥ √√3𝑎 + 24 −
3
√2
+ |𝑦 − √2𝑎2 | + |𝑦 − √3𝑎|
3
имеет единственное решение. Ответ:√2 .
101. При каждом значении параметра а решить систему

ax  2,


 3 log 2 a  log 2 x  4 log 2 a  2.
 sin2  
 sin2  
2
x  , при a  1;2 9  решений нет.
Ответ: при a  1;2 9 
a




102. Найти все неотрицательные х, при которых из неравенств 𝑎𝑏𝑥 ≥ 3𝑎 + 4𝑏 + 𝑥,
𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 следует неравенство 𝑎𝑏 ≥ 2. Ответ: (0; 4√6].
7𝑎
12𝑎+17
103. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑎−5 2|𝑥| = 4|𝑥| +
ровно два различных корня. Ответ: -170; (−2; 5).
104. Найдите все значения параметра a такие, что каждый корень уравнения
4
2𝑥 4 − 3 𝑎3 = 7𝑎2 + 6𝑎 − 162 sin|𝑥|
𝑎−5
имеет
4
является корнем данного уравнения только при одном значении параметра. Ответ: 𝑎 > 3 .
105. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
36𝑎−9𝑎2
((2𝑥 + 𝑎)√22𝑎 − 4𝑎2 − 24 − 2(𝑥 2 + 𝑥)𝑙𝑔𝑎) 𝑙𝑔 (
35
)=0
имеет по крайней мере два
3 5
корня, один из которых неотрицателен, а другой не превосходит -1. Ответ: 2 ; 3 ; [2; 4).
106. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
|𝑥 − 𝑎2 + 𝑎 + 2| + |𝑥 − 𝑎2 + 3𝑎 − 1| = 2𝑎 − 3
имеет корни, но ни один из них не
3
принадлежит интервалу (4; 19) . Ответ: [2 ; 3] ∪ [6; +∞).
107. Найти все решения системы уравнений
53
𝑦 sin 𝑥
{
𝑦 sin 𝑥 = log 2 | 1+3𝑦 | ,
(6𝑦 2 + 2𝑦)(4𝑠𝑖𝑛
2𝑥
2
+ 4𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) = 25𝑦 2 + 6𝑦 + 1,
для которых
|𝑦| ≤ 1.
𝜋
Ответ: 𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; 𝑦 = −1.
108. Найти все значения параметра
а, при каждом из которых неравенство
3
4
a4  sin x   3  cos 2 x  a  0 выполняется для всех х. Ответ: ( ;).
82
109. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
√𝑥 4 − 8𝑥 3 + 16𝑥 2 − √𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎2 = 𝑎 имеет ровно три корня на отрезке [-1; 4].
4
3
Ответ:−4; [− 3 ; 0) ∪ (0; 4) .
110. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого действительного х
выполнено неравенство
|3 sin 𝑥 + 𝑎2 − 22| + |7 sin 𝑥 + 𝑎 + 12| ≤ 11 sin 𝑥 + |𝑎2 + 𝑎 − 20| + 11.
Ответ: -5; [5; +∞).
|𝑥|
2
2
111. Найдите все значения а, при каждом из которых система {𝑥 + 𝑦 = log 2 (3 − 𝑥 ) ,
𝑦−𝑥 =𝑎
имеет ровно одно решение. Ответ:−√2; 2; [1; √2].
112. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(|𝑥 + 2| + |𝑥 − 𝑎|)2 − 5(|𝑥 + 2| + |𝑥 − 𝑎|) + 3𝑎(5 − 3𝑎) = 0 имеет ровно два решения.
3
Ответ: (−∞; ) ∪ (1; +∞).
4
113. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(log 8 (𝑥 + 𝑎) − log 8 (𝑥 − 𝑎))2 − 12𝑎(log 8 (𝑥 + 𝑎) − log 8 (𝑥 − 𝑎)) + 35𝑎2 − 6𝑎 − 9 = 0
3
имеет
3
ровно два решения. Ответ:(−∞; −3) ∪ (−3; − 7) ∪ (5 ; +∞).
1
2
114. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (𝑥 + 𝑥−𝑎) −
(𝑎 + 9) (𝑥 +
1
𝑥−𝑎
) + 2𝑎(9 − 𝑎) = 0 имеет ровно 4 решения. Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪
(3; 3,5) ∪ (5,5; +∞).
115. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √𝑥 4 + (𝑎 − 5)4 =
|𝑥 − 𝑎 + 5| + |𝑥 + 𝑎 − 5| имеет единственное решение. Ответ: 3; 7.
116. При каких значениях а уравнение 11|𝑥 − 2| + 9 log 4 (𝑥 2 − 4𝑥 + 8) + 𝑎2 =
6𝑎 + 4|2𝑥 − 4 − 3𝑎|
имеет решение?
Ответ: -3;[9 − 6√2; 9 + 6√2].
117. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + |2𝑥 + 5| =
|𝑥−3|2
𝑎
имеет не менее двух решений. Ответ: (0; 1) ∪ (1; 5).
118. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |log 3 (𝑥 2 ) − 𝑎| −
|log 3 𝑥 +2𝑎| = (log 3 𝑥)2 имеет ровно четыре решения.
1
1
Ответ: (− 12 ; 0) ∪ (0; 12 ).
119. Найдите все значения параметра a, при которых среди корней уравнения sin 2𝑥 +
3𝜋
4𝑎 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 2𝑎 = 0 найдутся два корня, разность между которыми равна 2 .
Ответ:±
1
√2
; ± 4.
4
120. При каких значениях параметра a система уравнений
54
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + (𝑥 2 + 2𝑥 − 3)(3 − 𝑥 2 ) = 0,
𝑦 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 = 0
имеет более двух различных решений?
Ответ: (−∞; −12 − 2√33] ∪[−12 + 2√33; 10 − 2√21] ∪ [10 + 2√21; +∞).
121. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 ,
{
имеет решение.
Ответ:(−∞; −√2] ∪[√2; +∞).
𝑥𝑦(2𝑥 2 − 𝑎2 ) = 1
122. При каких значениях параметра a система уравнений
𝑦 = 2𝑎𝑥 − 2𝑥 2 + 6𝑎 − 4,
2
{
3∙3𝑥
3𝑎𝑥
𝑦 = 27𝑎 − 3
{
имеет не менее двух различных решений? Ответ: (−∞; −6 − 2√11) ∪ (−6 + 2√11; +∞).
Литература
1.
Высоцкий И.Р. ЕГЭ 2011. Математика. Универсальные материалы
для подготовки учащихся [Текст] / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и
др.; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. ФИПИ. – М.: Интеллект-Центр,
2011. – 144 с.
2.
Высоцкий И.Р. ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых
тестовых заданий и 800 заданий части С [Текст] / И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров,
В.С. Панфёров и др.; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.:
Издательство «Экзамен», 2014. –215 с.
3.
Горнштейн П.И. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., доп.
[Текст] / П.И. Горнштейн, В. В. Полонский, М. С. Якир. - Харьков:
Издательство Илекса, Гимназия, Серия: Кладовая школьной математики, 2005.328 с.
4.
Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения [Текст] /
В. С. Крамор.- М.: ООО «Издательство Оникс», 2007.- 416 с.
5.
Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2012. Функция и параметр
(типовые задания С5) [Текст] / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. – Электронный
ресурс. Режим доступа: www.alexlarin.net.- 78 с.
6.
Ткачук В.В. Математика-абитуриенту [Текст] / В.В. Ткачук.-М.:
МЦМНО, 2005.- 944 с.
7.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение
задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - М.:
Просвещение, 1989.- 252 с.
8.
Штраус Л.А. Планиметрия в вариантах ЕГЭ и ГИА [Текст]:
методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова.- Ульяновск:
УИПКПРО, 2014.- 46 с.
55
9.
Штраус Л.А. Задачи с параметром в вариантах ЕГЭ [Текст]:
методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова.- Ульяновск:
УИПКПРО, 2014.- 56 с.
Штраус Леонид Авраамович,
Баринова Ирина Валентиновна
Задачи с параметром в ЕГЭ
Методические рекомендации
56
57