Момент инерции. Теорема Штейнера.

Момент инерции. Теорема Штейнера.
Моментом инерции материальной точки относительно
оси вращения называется произведение массы этой точки
на квадрат расстояния от оси.
Моментом инерции системы (тела) относительно оси
вращения называется физическая величина, равная сумме
произведений масс n материальных точек системы на
квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
𝑱𝒊 = 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝟐𝒊
𝒏
𝑱 = ∑ 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝟐𝒊
𝒊=𝟏
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу 𝑱 =
𝒎
∫𝟎 𝒓𝟐 𝒅𝒎, где интегрирование производится по объему тела.
Главный момент инерции - момент инерции относительно главной оси
вращения, проходящей через центр масс.
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и
как распределена масса тела по объему.
Моменты инерции однородных тел массой т, имеющих правильную
геометрическую форму и равномерное распределение массы по объёму:
Тело
Положение оси вращения
Полый тонкостенный
цилиндр радиуса R
Ось симметрии
Сплошной цилиндр или
диск радиуса R
Ось симметрии
Прямой тонкий стержень
длиной I
Ось перпендикулярна стержню и
проходит через его середину
Шар радиусом R
Ось проходит через центр шара
Момент
инерции
mR2
1
𝑚𝑅2
2
1
𝑚𝑙 2
12
2
𝑚𝑅2
5
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его
центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси
определяется теоремой Штейнера.
Момент инерции тела J относительно произвольной оси z
равен сумме момента его инерции Jc относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, и 𝑱𝒛 = 𝑱𝑪 + 𝒎𝒂𝟐
произведения массы m тела на квадрат расстояния а между
осями.
Момент инерции, по определению:
𝒏
𝟐
⃗⃗⃗′ 𝒊
𝑱 = ∑ 𝒎𝒊 ∙ 𝒓
𝒊=𝟏
⃗⃗⃗′ 𝒊 можно расписать как разность двух векторов:
Радиус-вектор 𝒓
,
где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения.
Тогда выражение для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму
, получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела
будет равен нулю:
Тогда:
Откуда и следует искомая формула:
,
где
— известный момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс тела.
Пример
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и
перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен
Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной
параллельной оси будет равен
где — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент
инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и
перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней
формуле
:
Кинетическая энергия вращения.
Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси r, проходящей
через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью 𝜔0 = const.
Кинетическая энергия тела
где Jz - момент инерции тела относительно оси z.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно,
то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий.
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и
вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном
движении служит момент инерции тела.
⃗ относительно неподвижной точки О называется
Моментом силы
𝑭
физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора
⃗ , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу ⃗𝑭 :
𝒓
Модуль момента силы М = F·r·sin a = Fl, где l =
r·sina - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и
точкой О , a - угол между r и F.
Моментом силы относительно неподвижной оси z - называется скалярная
величина М, равная проекции на эту ось вектора М момента силы,
определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение
момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.
Основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела.
⃗ на бесконечно малый угол 𝑑𝜑 точка
При повороте тела под действием силы 𝑭
приложения силы А проходит путь 𝑑𝑠 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑 и работа равна
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии
Тогда
или
откуда следует уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр
⃗⃗ = 𝐽 ∙ 𝛽 , где J - главный момент
масс, то имеет место векторное равенство 𝑀
инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
Момент импульса и закон его сохранения.
Моментом импульса (количества движения) материальной точки А
относительно неподвижной точки О называется физическая величина,
определяемая векторным произведением
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется
скалярная величина L, равная проекции на эту ось вектора момента импульса,
определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение
момента импульса L не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка
тела движется по окружности постоянного радиуса ⃗𝑟𝑖 со скоростью
𝑣𝑖 , перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен
⃗⃗⃗
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого
винта (совпадает с направлением вектора угловой скорости 𝜔).
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:
Продифференцируем по времени:
В векторной форме:
- ещё одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела.
⃗⃗ = 0, следовательно, и 𝐿⃗̇ = 0.
В замкнутой системе момент внешних сил 𝑀
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы
сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени:
Это - фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности
пространства: инвариантность физических законов относительно выбора
направления осей координат системы отсчета.
При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси z закон
сохранения момента импульса
равносилен:
.
Сравнительная таблица основных величин и соотношений для поступательного движения тела и для его вращения вокруг неподвижной оси: