ТЕМА 7. Статика В ходе изучения важно запомнить

ТЕМА 7. Статика
В ходе изучения важно запомнить: понятие о механическом
равновесии, его видах и условиях реализации, понятие о
деформации и её видах.
Статика изучает равновесие материальных точек, твердых тел или
систем тел.
7.1. Условия равновесия тел
Механическим равновесием называется состояние тела, когда оно
находится в покое или движется равномерно прямолинейно.
Равновесие абсолютно твердого тела зависит не только от величины и
направления действующих на тело сил, но и от точки их приложения. Точка
приложения силы к абсолютно твердому телу может быть перенесена вдоль
линии действия силы. Это возможно из-за того, что при рассмотрении
абсолютно твердого тела пренебрегают его деформацией. Тела,
ограничивающие движение рассматриваемого тела, называются связями, а
силы, действующие со стороны связей на рассматриваемое тело, называются
силами реакции связей. Связями являются, например, различные опоры или
подвесы.
Так как в состоянии равновесия абсолютно твердого тела отсутствуют
линейное и угловое ускорения можно сформулировать условия равновесия.
1)
Если связи допускают только поступательное движение
абсолютно твердого тела, то оно будет находиться в равновесии при условии:
n
 АI
k 1
k
 0
n
I
k 1
 0

F
 j 0
n
j 1
или в проекциях на оси прямоугольной системы координат

 Fjz  0

F
 jy  0

 Fjx  0
n
n
n
j 1
j 1

Все силы F j считаются приложенными в центре масс тела; n - число
j 1
сил, действующих на тело.
2) Абсолютно твердое тело с закрепленной (неподвижной) осью
вращения находится в равновесии при условии равенства нулю векторной
суммы всех сил и равенства нулю алгебраической суммы проекций на ось
вращения всех моментов внешних сил относительно этой оси:

F
 j 0
n
j 1
n
M
j 1
jz
0
Значения M jz можно рассчитать, как произведение величины силы на
плечо силы, а знак определяется по следующему правилу: проекция момента
силы, стремящейся повернуть тело против часовой стрелки, считается
положительной, а по часовой стрелке – отрицательной.
3)
В общем случае абсолютно твердое тело находится в равновесии
при условии равенства нулю векторной суммы всех сил и равенства нулю
векторной суммы всех моментов внешних сил относительно произвольной
точки:

M j  0

F
 j 0
n
n
j 1
j 1
Для заданных внешних сил записанные условия равновесия позволяют
определить неизвестные силы реакции связей. Если это удается осуществить,
то рассматриваемая система тел называется статически определимой. В
противном случае - статически неопределимой системой.
В статике рассматривают три вида равновесия: устойчивое,
неустойчивое и безразличное.
Равновесие тела в некотором положении называется устойчивым, если
при любых малых отклонениях тела от этого положения, допускаемых
связями, возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в
исходное состояние.
Равновесие тела в некотором положении называется неустойчивым,
если при некоторых малых отклонениях тела от этого положения,
допускаемых связями, возникают силы или моменты сил, стремящиеся еще
больше отклонить тело от начального положения.
Равновесие тела в некотором положении называется безразличным,
если при любых малых отклонениях тела от этого положения, допускаемых
связями, не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить тело в
исходное состояние или еще больше отклонить тело от начального
положения.
Пусть равновесие материальной точки, тела или системы тел
обусловлено действием только потенциальных сил – тяготения, упругости
или электростатических сил. Тогда положению устойчивого равновесия
соответствует минимальное значение потенциальной энергии по сравнению с
ее значениями в ближайших соседних положениях, допускаемых связями
(принцип минимума потенциальной энергии). Условием равновесия является
экстремальное значение потенциальной энергии, что математически
выражается равенством:
dU
0
dx
Условием устойчивого равновесия является минимальное значение
потенциальной энергии, что математически равносильно условию:
d 2U
0
dx 2
7.2. Деформация тел
В случае статически неопределимых систем уравнений равновесия
дополняются уравнениями, описывающими деформацию тел.
В природе не существует абсолютно твердых тел, поскольку все
реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, то есть
деформируются. Деформация называется упругой, если после прекращения
действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.
Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия
внешних сил, называются пластическими или остаточными.
Различают следующие виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг,
изгиб, кручение.
Рассмотрим однородный стержень длиной ℓ и площадью поперечного
сечения S, к концам которого приложены направленные вдоль его оси
равные по величине, но противоположно направленные силы ⃗⃗⃗
𝐹1 и ⃗⃗⃗⃗
𝐹2 , в
результате чего длина стержня изменяется на величину ∆ℓ.
Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения,
называется напряжением
F
(7.1)

S

F
S
Если сила направлена по нормали к
поверхности (вдоль оси стержня), то
напряжение
называется
нормальным.
Количественной мерой, характеризующей
степень деформации, испытываемой телом,
является его относительная деформация.
Так, например, относительное изменение
длины стержня
l
(7.2)

l
Как следует из закона Гука, для малых
деформаций относительное удлинение и
напряжение прямо пропорциональны:
(7.3)
  E
где коэффициент пропорциональности
E называется модулем Юнга. Связь между
деформацией и напряжением представляется
в виде диаграммы напряжений (рис.7.1).
Рис.7.1.
Линейная зависимость (закон Гука) τ от ε
выполняется на участке OA до предела пропорциональности 𝜏П , с которым
практически
совпадает
предел
упругости
𝜏У .
За
пределом
пропорциональности удлинения начинают возрастать быстрее нагрузок, и
после перехода «критической» точки (точка B) удлинение может возрастать
без увеличения нагрузки. Напряжение, соответствующее точке B, называется
пределом текучести 𝜏Т . При дальнейшей нагрузке материал вновь
приобретает способность сопротивляться растяжению: кривая идет вверх.
Затем в точке C наступает разрыв. Нагрузку, действующую в момент
разрыва, отнесенную к первоначальной площади поперечного сечения,
называется пределом прочности 𝜏ПР .