В работе [1] сообщается о наблюдении изменения по глубине

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ, 1983, Т. 24, (№ 4
УДК 551.465
Н О В Ы Й КЛАСС С П И Р А Л Ь Н Ы Х Т Е Ч Е Н И И ЖИДКОСТИ
В Б А С С Е Й Н Е НА Н А К Л О Н Н О Й ПЛОСКОСТИ
Н. К. Шелковников, С. А. Арсеньев
(кафедра физики моря и вод суши)
В работе [1] сообщается о наблюдении изменения по глубине модуля и направления скорости течения жидкости в озере, подобного знаменитой спирали Экмана, предсказанной теоретически [2] и впоследствии обнаруженной в океане [3], или спиралям Акерблома и Экснера,
развивающимся в атмосфере [4, 5, 6]. В работе [1] не дано анализа явления, хотя и указано, что оно не может быть объяснено эффектом
вращения Земли: вектор скорости течении отклонялся влево от направления ветра. Кроме того, отмечено, что явление вращения скоростей
течений по глубине наблюдается только в южной части озера.
В настоящей, работе будет показано, что это явление обусловлено
ветром, дующим над поверхностью воды, уклоном дна и силой тяжести
Земли. Подобные условия реализуются в бассейнах, расположенных на
наклонной плоскости, например в реках, проточных водоемах, озерах
или водохранилищах.
Направляя ось х по наклонной плоскости, ось у — перпендикулярно к ней, ось z^—вниз и выбирая начало координат на поверхности
воды, запишем уравнения теории и граничные условия в виде
-
D — cB3/2/L,
L = -
gBlny
(1,
А = LB1/2, е = const = 1/16,
(1)
(4)
[ - £ ( Ь I ) ] " ' . * - ( - £ - ) ' + ( - £ - ) ' . к = const = ± , (5)
A-4L = - T i ,
dz
аг
и= v= 0
L-+ 0
=
,
приг = 0,
(6)
при z = Н — z0,
(7)
при z-*-H,
(8)
где Тх°, Ту0 — плотности потоков импульса на поверхности, нормированные на плотность воды, по осям х и у соответственно, Н — глубина,
z0 — высота шероховатости,
остальные ' обозначения
общеприняты
[6-11].
Система уравнений (1) — (8) описывает горизонтально-однородное
установившееся турбулентное течение жидкости, возбуждаемое равномерным ветром и силой тяжести. Предполагается, что изучаемая вертикаль находится достаточно далеко от берегов и влиянием на течение
боковых границ бассейна можно пренебречь. В уравнениях (1), (2) не
учтена сила Кориолиса: известно, что в мелких бассейнах влияние этой
36
силы несущественно [11]. Кроме того, для упрощения задачи не будем
учитывать молекулярную вязкость и диффузию энергии турбулентности *.
Уравнения (1) — (4), (6), (7) позволяют сразу же определить кинетическую энергию турбулентности в единице массы:
В ^-^[(gz
sin у+Т°Х)*
+ (Т°УП1/2.
|
(9)
:
(10)
1
" "
С другой стороны, из (3) — (5) следует:
dL
L
dz
В1/2
dz
{Вчг) = ж1'\
Уравнение (10) имеет решение
н
*r',/fl' J
удовлетворяющее условию (8). Используя теперь (4) и ( И ) , найдем:
<12>
A=™x'4B]-0ir-
z
!
Формулы (9), (11) и (12) определяют характеристики турбулентности В, L и А как функции вертикальной координаты. Отметим, что
интегралы (11), (12) при значении величины В, определяемой формулой (9)7 в элементарных функциях не выражаются.
В случае отсутствия уклона дна ( v = 0 ) или ускорения; силы тяжести ( £ = 0 ) из формул (9), (11) и (12) можно найти решение задачи о
ветровой циркуляции в мелкам бассейне известной глубины [10]:
В = Т°/с1'2, L=
Х
где
..
ч
ж1'4(Н — z), А =
\
ZO
/
X
— z), |
И*
'
\
ZQ
(13)
'
}
(14)
•I
ч
т° = [(Т°Х)* +
(Tin1'2,
ut =
(T°)l/2.
|
Из решения (14) следует, что угол поворота вектора скорости течения
e=arctg(o/w) =arctg{Ty°/Tx°)
не зависит от вертикальной; координаты
z: течение на всех глубинах направлено по ветру.
Аналогично, в случае отсутствия ветра (Тхв=Ту°=0)
находится решение задачи о течении по наклонной плоскости:
I
В = gsinV2/^/2, L =
A = 2x(g sin y)
u =
(g sin у-B)1/2
|ln
Г
Г
L
—
1/2
(#
1/2
2
1 — 2z/H'1'jH
A-zV
. ' •
i-W-z^/t/H1'2
I
(15)
— z '/2) 2,
(16)
1/2
_
11 , (/_L\
z \ 1/2
J
U
J
// H-z
H —0 z\
0 \ 1/21
\ \н
1
(17)
u = 0 (течение направлено вдоль оси х).
I
* Тем самым мы отказываемся от точного описания очень тонких пограничных
слоев, где соответствующие эффекты играют важную роль.
;
37
На рис. 1 приведены результаты расчета Профиля скорости течения по формуле (17) — кривая 2 и данные измерений в дельте Волги.
Как видим-, соответствие теории и эксперимента хорошее.
Анализ формул (15), (16) показывает, что масштаб турбулентности L и коэффициент вихревой вязкости А имеют максимум в центральной области потока: при 2 = Я / 4 и z = 4 # / 9 соответственно, обращаясь
на поверхности и вблизи дна в ноль. Энергия же турбулентности В
имеет вблизи дна максимум, обращаясь в ноль только на свободной
поверхности воды. Подобный вид 'зависимости характеристик турбулентности В, L и А от вертикальной координаты г подтверждается
77777777777777777777777}
2, СМ
Рис. 1. Рассчитанные профили скорости течения в потоке на наклонной
плоскости: при нагоне (/),. при штиле (2), при сгоне (3); • — данные
наблюдений в дельте р. Волги при
штиле
-и,см-с
Рис. 2. Полярная диаграмма спирального вращения, результирующего вектора
скорости v течения по глубине:
вектор
скорости течения на глубинах 2=0 (1),
50 (2), 100 ($) см и т. д.; Т° — тангенциальное напряжение ветра на поверхности воды; при отсутствии ветра течение направлено вдоль оси х: v=0, иф0
численными расчетами [12] и данными прямых измерений турбулентности в каналах [13, 14],
В рассмотренных примерах вращение скорости течения по глубине
отсутствует — течение либо направлено по ветру, либо вдоль наклонной плоскости. Приведем аналитическое решение еще одной задачи, в
которой нет вращения,— задачи о ветровом, нагоне (Т х °<0) или сгоне
(Г х °>0) в бассейне на наклонной плоскости при отсутствии поперечной
составляющей ветра (Ту°= 0). Имеем:
В=L =
2жх/а
g sin у
1
,1/2
Usinyz-f
(18)
Г°|,
(19)
\Tx\m[\THx\XI2-\Tx\x<\
2и
(20)
g'sin y
1/2
I. г* I
38
In
11/2 — ГТж {1/2
|T«|)/2_|TH-Zo|l/2
1/2
J
I T"
fpH—2o
1
X
rpH
1
X
1/2
(21)
с = 0, причем турбулентные напряжения в воде Тх определяются формулой
Tx=gsmyz+Tx°,
(22)
—20
zo
з. функции
Тх и Тх
определяются из (22) при z=ti и z=H — z0
соответственно. На рис. 1 показаны результаты расчетов цо формулам
(21), (22) искажения вертикального профиля скорости течения по наклонной плоскости действием ветра. Кривая 1 соответствует нагонному
ветру: —20 м/с, кривая 2 — штилю, кривая 3 — сгонному ветру: 20 м/с.
При расчетах уклон реки принимался равным 8,66-Юг5, глубина —
250 ,см и высота шероховатости — 0,1см.
!
Наконец, рассмотрим общий случай, когда течение возбуждается
произвольным ветром, силой тяжести, и уклоном дна. Спиральное вра.щение результирующего вектора скорости течения но глубине иллюстрируется полярной диаграммой (рис. 2), полученной численным интегрированием системы (1) — (8). Расчеты проводились при значениях
Я —280 см, 20 = 30 см и 7 = 5- Ю -5 . Цифры у кривых соответствуют различным глубинам: 1 — вектор скорости течения на глубине 2 = 0 , 2 — на
глубине 2 = 50 см, 3 — на глубине 100 см. Как видим, ветер рассеивает
течения по наклонной плоскости. В результате возникает спираль, сильно напоминающая спираль Экмана—Акерблома—Экснера, но отличающаяся от нее порождающими причинами. В частности, полученная епи:
раль может вращаться в любую сторону в зависимости от направления
ветра.
"
"
' ' .
•
В заключение отметим, что эффекты, обусловленные совместным
действием ветра, силы тяжести Земли и уклона дна, могут наблюдаться в устьях рек. По-видимому, этот случай и имел мфсто в измерениях'[1]: станция, на которой было зарегистрировано вращение векторов течений ло глубине, находилась недалеко от устья реки ВолховСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
j
[1] Ф и л а т о в Н. Н. Изв. Всесоюз. географ, общества, 1975, 107, № 3, с. 253.
[2] E k m a n V. W. Arkiv Mat. Astron. Fysik, 1905, 2, N 11, p. 11. [3] II a n k i n s K.
Deep-sea Res., 1966, 3, N 6, p. 607. [4] A k e r b l o m F. Nova Acta Reg. Soc. Sc.,
1908, ser. 4, 2, N 2, p. 1. [5] E x n e r F. M. Ann. d. Hydr. u. Marit, Met., 1912, 5,
p. 226. [6] M o нин А. С. Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз], 1950, 14,
3,
с. 232. [7] А р с е н ь ев С. А. Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1977, 13, № 12, с. 1034.
[8] З и л и т и н к е в и ^ С. С., Л а й х т м а н Д. Л., М о н и н А. С. Изв. А Н СССР.
Сер. ФАО, 1967, 3, № 3, с. 297. [9] "К о рот.а ев Г.
~ К-,
"
"К у ф' т а р к о в Ю. М.,
[10] К у ф т а р
• Ф е л ь з е н б а у м А. И. ДАН СССР, 1976, 231, № 4, с. 833.
к о в Ю. М., Ф е л ь з е н б а у м А. И. В кн.: Проблемы теории ветровых и термоха
линных течений. Севастополь, МГИ АН СССР, 1968, с. 90.
[11 Ф е л ь з е н б а ум А. И. В кн.: Итоги науки и техники; Гидромеханика, 1968. М.: Изд-во ВИНИТИ,
1970, с. 100. [12] И г н а т о в а Г.. ИГ., К в о н В. И., Метеорология и гидрология, 1978,
№ 7, с. 50. [13] Г р и ш а нин К. В. Динамика русловых потоков Л,: Гидрометиздат, 1979.,.[14] Ш е л к о в н и к о в Н. К., Б у к и н а JI. А., М и р о н о в П. В. Метеорология и гидрология, 1980, № Зг с. 93.
'
Поступила в редакцию
23.09.82