ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
УДК 519.633
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО
УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
c
⃝
Е.Е. Таширова
Ключевые слова: волновое уравнение; численные методы; разностные схемы; запаздывание.
Сконструировано семейство методов для численного решения двумерного волнового
уравнения с запаздыванием.
Рассмотрим волновое уравнение с эффектом последействия вида
( 2
)
∂2u
∂2u
2 ∂ u
=a
+ 2 + f (x, y, t, u(x, t), ut (x, y, ·)) : t0 6 t 6 T, 0 6 x 6 X, 0 6 y 6 Y
∂t2
∂x2
∂y
с граничными: u(0, y, t) = g1 (y, t), u(X, y, t) = g2 (y, t) : 0 6 y 6 Y, t0 6 t 6 T, u(x, 0, t) = g3 (x, t),
u(x, Y, t) = g4 (x, t) : 0 6 x 6 X, t0 6 t 6 T и начальными условиями: u(x, t) = φ(x, y, t) : 0 6
6 x 6 X, 0 6 y 6 Y, t0 − τ 6 t < t0 . Здесь x, y, t – независимые переменные, u(x, y, t) –
искомая функция, ut (x, y, ·) = {u(x, y, t + s), −τ 6 s < 0} – функция-предыстория искомой
функции к моменту t, τ > 0 – величина запаздывания, f (x, y, t, u(x, y, t), ut (x, y, ·)) – функционал, определённый на [0, X] × [0, Y ] × [t0 , T ] × R × Q, Q = Q[−τ, 0) — множество функций
u(ξ), кусочно-непрерывных на [−τ, 0) с конечным числом точек разрыва первого рода, в
точках разрыва непрерывных справа, ∥u(·)∥Q = supξ∈[−τ,0) |u(ξ)|. Будем предполагать, что
функционал f и функции φ, g1 , g2 , g3 , g4 таковы, что задача имеет единственное решение.
Численные алгоритмы решения одномерного уравнения гиперболического типа с эффектом
последействия были изучены в [1].
Разобьем отрезок [0, X] на части с шагом h1 = X/N1 , [0, Y ] на части с шагом h2 = Y /N2 ,
где N1 , N2 – некоторые целые числа. Введем точки: xi = ih1 , i = 0, 1 . . . , N1 , yk = kh2 , k =
= 0, 1 . . . , N2 . Разобьем отрезок [t0 , T ] на части с шагом ∆, tj = t0 + j∆, j = −m, . . . , M.
Обозначим приближение точного решения u(xi , yk , tj ) через uji,k .
Введем дискретную предысторию точного решения к моменту tj при фиксированных
i, k : {uli,k }j = {uli,k : j − m 6 l 6 j}. Оператором интерполяции-экстраполяции назовем отобj
ражение: I : {uli,k }j → vi,k
(·) ∈ Q[−τ, ∆].
Для 0 6 s 6 1 рассмотрим семейство методов:
( j+1
)
j+1
j+1
j+1
j+1
j
j+1
j−1
u
u
−
2u
uj+1
−
2u
+
u
+
u
i,k−1
i−1,k
i,k
i,k − 2ui,k + ui,k
i,k
i,k+1
i+1,k
= sa2
+
+
∆2
h21
h22
(
2
+sa
(
+(1 − 2s)a
2
j−1
j−1
ui−1,k
− 2uj−1
i,k + ui+1,k
h21
uji−1,k − 2uji,k + uji+1,k
h21
+
+
j−1
j−1
uj−1
i,k−1 − 2ui,k + ui,k+1
h22
uji,k−1 − 2uji,k + uji,k+1
h22
)
+
)
j
j
+ Fi,k
(vi,k
(·)),
i = 1, . . . N1 − 1, k = 1, . . . N2 − 1, j = 0, . . . M − 1,
(1)
2704
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
с граничными: uj0,k = g1 (yk , tj ), ujN1 ,k = g2 (yk , tj ), uji,0 = g3 (xi , tj ), uji,N2 = g4 (xi , tj ) и начальj
j
ными условиями: uji,k = φ(xi , yk , tj ) : − m 6 j 6 0, Fi,k
(vi,k
(·)) — функционал, определенный
j
j
на vi,k
(·) = I({uli,k }j ) ∈ Q[−τ, ∆], связанный с функционалом f (xi , yk , tj , uji,k , vi,k
(·)).
При s = 0 получается явная схема, при других s, 0 < s 6 1, при каждом фиксированном
j получаем систему уравнений. Для того чтобы привести систему к виду, при котором
ее можно решить методом прогонки, перейдем к факторизованной схеме [2]. Идея метода
заключается в замене оператора, стоящего на верхнем слое, произведением одномерных
операторов.
При каждом tj определим значения дискретной модели yj =
 j

u0,0
uj0,1 . . . uj0,N2 −1
uj0,N2
 j

uj1,1 . . . uj1,N2 −1
uj1,N2 
 u1,0
 .
.
..
..
..
..
 .

.
.
.
.
 .

j
j
j
j
uN1 ,0 uN1 ,1 . . . uN1 ,N2 −1 uN1 ,N2
Введем операторы A1 и A2 :
A1 uji
= −a
uj
2 i−1,k
A2 uji = −a2
− 2uji,k + uji+1,k
h21
uji,k−1 − 2uji,k + uji,k+1
h22
, 1 6 i 6 N1 − 1, A1 uj0,k = 0, A1 ujN1 ,k = 0,
, 1 6 k 6 N2 − 1, A2 uji,0 = 0, A1 uji,N2 = 0.
Тогда систему (1) можно переписать в виде:
yj+1 − 2yj + yj−1 + ∆2 s(A1 + A2 )(yj+1 + yj−1 ) + ∆2 (1 − 2s)(A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)). (2)
Введем оператор R = E + ∆2 sA1 + ∆2 sA2 . Тогда уравнение (2) можно привести к виду:
R(yj+1 − 2yj + yj−1 ) + ∆2 (A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)).
С учетом соотношения (E + ∆2 sA1 )(E + ∆2 sA2 ) = E + ∆2 sA1 + ∆2 sA2 + O(∆4 ), получаем
R = R1 R2 + O(∆4 ) = (E + ∆2 sA1 )(E + ∆2 sA2 ) + O(∆4 ).
Перейдем к факторизованной схеме:
R1 R2 (yj+1 − 2yj + yj−1 ) + ∆2 (A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)).
При фиксированном j получаем систему, которая эффективно решается с помощью
двух прогонок по каждому из направлений x и y.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды ИММ УрО РАН, Т. 18, № 2. С. 222-231.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00089
Tashirova E.E.NUMERICAL METHODS FOR SOLVING TWO-DIMENSIONAL WAVE EQUATION WITH AFTEREFFECT
2705
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
A family of methods is constructed for the numerical solution of a two-dimensional wave equation
with time delay.
Key words: wave equation; numerical methods; difference schemes; time delay.
УДК 539.165.2
СУЩЕСТВУЕТ ЛИ БОЗОН ХИГГСА?
c
⃝
В.Р. Терровере
Ключевые слова: бозон Хиггса; электрослабая теория; симметрия; масса.
Теория бозона Хиггса основана на нестандартном уравнении Клейна–Гордона. Решение
этого уравнения является неограниченым. Этот факт является одним из аргументов
считать, что бозон Хиггса не существует.
Математическое мифотворчество — это математически безупречная теория, не имеющая
никакого отношения к физической реальности, но авторы которой утверждают обратное.
Например, это теории Андрея Линде [1] и Стивена Хокинга [2]. В [3, c. 185] утверждается, что теория Хиггса «простейшая физически осмысленная модель со спонтанным нарушением симметрии.» Цель данной работы проверить, действительно ли это физически
осмысленная модель?
Теория бозона Хиггса основана на лагранжиане скалярного поля φ
1
L ≡ T − V = (∂µ φ)2 − V (φ),
2
(1)
где T и V – кинетическая и потенциальная энергия поля. Если µ2 > 0 и V (φ) = 21 µ2 φ2 ,
то из уравнения Эйлера–Лагранжа можно получить линейное уравнение Клейна–Гордона
2 φ = F = −µ2 φ .
(2)
В отличие от вeкторной силы Ньютона
µ d2 qi /dt2 = Fi = −∂V /∂qi сила Хиггса является скаляром и сама зависит, как и 4 ускорение, от поля φ. Именно такой силой является
сила упругой пружины, связанной с грузом, и поэтому колебания груза на пружине являются наглядным физическим аналогом уравнения (2), которое предварительно необходимо
привести к виду свободных одномерных колебаний [4, c. 77]
√
∂2u
k
2
+ ω0 u = 0 ,
ω0 =
,
(3)
2
∂ t
m
где k – жесткость пружины. Решение этого уравнения ограничено. Для системы с одной
степенью свободы уравнение (2) упрощается
∂2φ ∂2φ
−
+ µ2 φ = 0.
∂t2
∂x2
(4)
Теперь воспользуемся методом разделения переменных φ(x, t) = u(t)v(x) и подставим это
выражение в (4) v∂ 2 u/∂t2 − u∂ 2 v/∂x2 + µ2 uv = 0 . Если для произвольной точки x∗ справедливо ∂ 2 v/∂x2 |x=x∗ = 0 , то
∂ 2 u/∂t2 + µ2 u = 0 . Это означает, что решение уравнения
(2) ограничено.
2706