Уравнения Рейнольдса

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Институт прикладной математики и механики
Кафедра гидроаэродинамики
Курс лекций «Модели турбулентности»
(http://agarbaruk.professorjournal.ru/lecture/turb_models)
Лекция 5
Уравнения Рейнольдса
Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations (RANS)
Гарбарук Андрей Викторович (agarbaruk@mail.ru)
Уравнения Навье-Стокса
• Уравнения Навье-Стокса справедливы при выполнении двух условий:
 Среда должна быть сплошной
 (число Кнудсена Kn  l f L  1 )
 Выполняется обобщенный реологический закон Ньютона
 Pij  2Sij  p ij
•
В случае несжимаемой жидкости
 ui
 x  0
 i
 u
u
p tij
  i  u j i  

x j
xi x j
 t
где
1  ui u j 

tij  2Sij , Sij 
2  x j xi 
 Конвективные слагаемые можно записать в консервативной форме
u j  ui u j 
ui  ui u j 
uj

 ui

x j
x j
x j
x j
 Вязкие слагаемые можно упростить
 t ji


x j
x j
 ui u j


 x j xi


 

x j

 ui

 x j


 

xi

 u j

 x j


 

x j

 ui

 x j

   ui


 x j  x j






Условия Рейнольдса
• Уравнения Рейнольдса получаются из уравнений Навье-Стокса при
помощи осреднения
 Осреднение может проводиться различными способами
 по ансамблю
 по времени
 по пространству
• Независимо от типа осреднения для получения уравнений Рейнольдса
необходимо, чтобы осреднение удовлетворяло условиям Рейнольдса
f g  f g
af  a f
aa
f  f

s s
fg  f g
f  f
f0
fg fg
f h  0
fg  f g  f g 
Осреднение по Рейнольдсу (по времени )
1
at  
2T
t T
 a d
t T
• Для удовлетворения условиям Рейнольдса период осреднения должен
быть много больше максимального периода турбулентных пульсаций –
времени автокорреляции
 При рассмотрении стационарных (в среднем) течений время осреднения
может быть сколь угодно большим (T = ∞)
 В нестационарном случае период осреднения должен быть много меньше
характерных времен изменения нестационарных величин
 Не всегда возможно подобрать период T такой, чтобы
выполнялись условия Рейнольдса
 Применение нестационарных уравнений Рейнольдса (URANS) не всегда
обосновано
 Тем не менее, этот подход широко распространен
Уравнения Рейнольдса
Вывод уравнений см. в упражнениях по курсу
• Уравнения Рейнольдса получаются в результате осреднения по
Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса
 u i
 x  0
 i
 u
u
  i  u j i   p  
x j
x i  x j
 t
 u i


  u iu j 
 x

j


 Отличаются от уравнений Навье-Стокса только слагаемым
• Эти уравнения не замкнуты.

 uiuj
x j
 Для их замыкания необходимо определить тензор турбулентных
(Рейнольдсовых) напряжений
Tij  u iu j
 Симметричный
– 6 независимых компонент


T
 След  ij    uiuj   uiui  2 K t
• Рейнольдсовы напряжения по форме – вязкие, по природе
конвективные
Уравнения движения сжимаемого газа




 0




u

t
  u 


   u u   p    τ
 t



  E 


τ











u
H
u
q
 t

   pm /( RT )
• Полная энергия



E  e  0.5 u 2  v 2  w 2  CvT  0.5 u 2  v 2  w 2




H  E  p /   h  0 .5 u 2  v 2  w 2  C p T  0 .5 u 2  v 2  w 2

1

τ  2  (T ) S  I   u 
• Тензор вязких напряжений
3


t
1 
 Тензор скоростей деформаций
S  u  u 
2
t 1

1 
 Иногда обозначают
S  u  u   I   u
2
3

q   (T )T
• Тепловой поток
C  T 
 Аналогия Рейнольдса
 T   P
Pr
• Полная энтальпия




Из-за переменной плотности эти уравнения существенно более
нелинейные, чем уравнения для несжимаемой жидкости

Осреднение по Фавру
• В сжимаемом случае осреднение по Рейнольдсу приводит к
появлению корреляций плотности вида u
 Во многих случаях этими членами уравнений просто пренебрегают
 Гипотеза Морковина: при не слишком высоких числах Маха при
моделировании турбулентности можно не учитывать влияние
пульсаций плотности
• Более оправданным подходом является использование взвешенного
осреднения (осреднения по Фавру)
a
a~t  

 Не привносит дополнительного физического смысла, а просто удобное
математическое упрощение
 Свойства осреднения по Фавру
a  a~  a
a  0
a   a~   a   a
 a
a  a  a~  a 

a  
 a
0

Уравнения Рейнольдса сжимаемого газа
При получении уравнений часть переменных осредняется по
Рейнольдсу
      i

 p  P  p
q  q  q 
i
i
 i
а другая часть по Фавру
ui  u~i  ui
 h  h~  h


~  e

e
e

T  T~  T 
Подстановка этого разложения в уравнения сжимаемого газа и
осреднение последних по Рейнольдсу дает
уравнения Рейнольдса для сжимаемого газа
Уравнения Рейнольдса для сжимаемого газа
 



u~i  0


t xi

 u~i


~ u~   P     
u


i j
ji
t , ji

t
x j
xi x j

    ~ u~i u~i 

  ~  ~ u~i u~i 
~ k 
u
h
u




   e 


  k  
j 
 j
2 
2 


 x j 
 t  

u j uiui   ~
  


ui  ji   t , ji

 x q j  qt , j   ji ui 

x
2

j 
j


   Pm /( RT~ )

 




 

• Тензор турбулентных напряжений  t ,ij   uiu j
qt , i   uih
• Турбулентный тепловой поток
• Отличия исходных и полученных уравнений более существенны,
чем в несжимаемом случае
 В уравнение энергии входят конвекция и диффузия кинетической
энергии турбулентности k  1  t , ii  uiui
 2
2
 Этими слагаемыми обычно пренебрегают
Уравнения для рейнольдсовых напряжений
(вторых одноточечных моментов)
•
•
Эти уравнения могут быть получены из уравнений Навье-Стокса с
использованием процедуры осреднения по Рейнольдсу
В случае несжимаемой жидкости



uiu j  U k
uiu j 
Dijk  Pij   ij   ij
t
xk
xk

1
uiu j  uiu j uk   ik u j p   jk ui p
 Диффузия Dijk  
xk



 Молекулярный и турбулентный диффузионный перенос
 Генерация Pij  uiuk
U j
xk
 uj uk
U i
xk
 Получение энергии от осредненного течения
 Корреляция давление-скорость деформации  ij 
p  u j ui 

  xi x j 
 Перераспределение энергии между компонентами тензора
ui u j
 Диссипация  ij  2
xk xk
 Передача энергии в тепло за счет вязких сил
 Для замыкания системы уравнений необходимо промоделировать
турбулентную диффузию, корреляцию давление – скорость деформации
и диссипацию
Уравнения для рейнольдсовых напряжений
Генерация
Конвекция и диффузия основным потоком
Перераспределение пульсациями давления
(корреляция давление-скорость деформации)
Диссипация в тепло за счет вязкости
Уравнение переноса
кинетической энергии турбулентности
u  2  v 2  w 2
k
2
•
Уравнение для кинетической энергии турбулентности
•
получается путем свертки уравнений для рейнольдсовых напряжений
В случае несжимаемой жидкости
k

k
U j
 Pk 
t
x j
x j
 k


 Dj   
 x j



 Турбулентная диффузия
 u u  p 
D j  u j  i i  

 2
 Молекулярный и турбулентный диффузионный перенос
 Генерация
Pk  u iu j
U i
x j
 Получение энергии от осредненного течения
 Диссипация
  2
ui ui
x j x j
 Передача энергии в тепло за счет вязких сил
• В этом уравнении также много неизвестных: турбулентная диффузия,
диссипация и замыкающие соотношения для напряжений Рейнольдса
Эффекты сжимаемости
•
В сжимаемом случае в уравнении для кинетической энергии
турбулентности появляются два новых слагаемых
 Равны нулю в несжимаемом случае
u 
u~i

k
k
~
  u j
  ji i 
  t , ji
x j
x j x j
t
x j
ui
1
P


















u
u
u
u
p
u
u

p



 ji i
j i i
i
i
2
xi
xi


 Работа давления
 Давление-растяжение
 Работа давления есть и в уравнении переноса рейнольдсовых
напряжений
 t ,ij
t

u~ j t ,ij
x j
 Pij   ij   ij 




P
P
  kj ui   ki uj  Dijk  ui
 u j
xk
x j
xi
 Давление-растяжение следует из свертки корреляции давление-скорость
деформации
 ui u j 

 ij  p

 x j xi 


Модели турбулентности
• Попытка замкнуть уравнения для рейнольдсовых напряжений на
основе формализма Рейнольдса приводит к появлению еще большего
числа неизвестных
 Необходимо привлекать дополнительные соображения
 Эмпирические закономерности
• Формулы для замыкания уравнений Рейнольдса
(для определения Tij  u iu j ) называются полуэмпирические модели
турбулентности
 Устанавливают связь между тензором Рейнольдсовых
T
напряжений ij и параметрами осредненного потока.
• В настоящее время разработаны сотни моделей турбулентности, но
ни одна из них не является универсальной, т.е. подходящей для
любых течений
Проблемы полуэмпирических моделей
турбулентности
• Полуэмпирические модели турбулентности выражают тензор
рейнольдсовых напряжений через параметры осредненного потока
 Наличие такой связи неочевидно
Пример:
• Рассмотрим модельную задачу, в которой
u '  sint , v '  sint   0 
 Рассмотрим корреляцию u v 
• Легко показать, что
1
u v  
2T
T
 u v   dt  0.5  cos 
T 
0
T
• Видно, что искомая корреляция зависит только от сдвига фазы и не
связана со средними величинами
 Причина такого поведения в значительной степени состоит в
неслучайности рассмотренных пульсаций
 В этом случае статистические подходы плохо применимы
Несовершенство моделей турбулентности
• В отличие от уравнений движения модели турбулентности не
являются универсальными физическими законами
• Большинство моделей турбулентности базируются на
закономерностях, характерных для простых «канонических» течений
 Закон стенки
 Формула Колмогорова
 …
 Как только эти закономерности перестают выполняться – точность
расчета падает
• Константы в моделях турбулентности «настраиваются» на
определенный набор течений
 Часто приходится при настройке идти на компромисс
• Не существует универсальных моделей турбулентности, каждая
модель имеет свою «область применимости»
Проблема выбора моделей турбулентности
• При расчете конкретных течений необходимо не только выбрать
наиболее подходящую модель турбулентности, но и оценить степень
достоверности полученных с ее помощью результатов.
• Проводятся многочисленные работы по тестированию моделей
турбулентности
 Стэнфордфкие конференции
 Международные проекты
 Workshop
 Академические исследования
• Лучшие современные модели турбулентности хорошо изучены
 Известна их способность предсказывать свойства тех или иных течений
 Для многих течений известны наиболее надежные модели
Гипотеза Буссинеска
•
•
Буссинеск (1877) предложил ввести дополнительную (турбулентную)
вязкость
Большинство моделей турбулентности используют обобщенную
гипотезу Буссинеска
 ui u j
 uiu j   T 

 x j xi

 2
  k ij  2 T Sij  2 k ij
 3
3

 Линейная связь между тензором Рейнольдсовых напряжений и тензором
скоростей деформаций
 Аналог реологического закона Ньютона для молекулярной вязкости
•
Достоинства
 Использование гипотезы Буссинеска позволяет сократить количество
определяемых в процессе моделирования переменных с 6 до 1.
•
Недостатки
 В некоторых случаях гипотеза Буссинеска несправедлива и ее
использование приводит к получению качественно неверного результата
В таких случаях необходимо использование моделей рейнольдсовых
напряжений или нелинейных моделей
Особенности, возникающие в сжимаемом газе
• Дивергенция скорости не равна нулю
 След тензора скоростей деформаций не равен нулю
 Гипотеза Буссинеска преобразуется в
 2
1

τ t  2t  S  I   u   k I
3
 3

 Иногда обозначают
Sij 

1  ui u j 1 u k
 ij 



2  x j xi 3 xk

• Турбулентный тепловой поток qt , i   uih
 Закон Фурье (частный случай градиентной диффузии)

qt  t T
 Турбулентная теплопроводность выражается при помощи
аналогии Рейнольдса t  C P  t ,
Prt
Турбулентная вязкость
2
• Величина T в гипотезе Буссинеска  uiuj  2T  Sij  kij называется
3
турбулентной вязкостью
 Не фундаментальная физическая величина, а лишь коэффициент
пропорциональности
• Уравнения Рейнольдса с использованием гипотезы Буссинеска
 ui
 x  0
 i
 u
~
  i  u j ui   p  
x j
xi x j
 t

    T  ui

x j





2
~
• В них входит модифицированное давление p  p  3 k
 В несжимаемой жидкости может влиять только около границ
 В сжимаемом газе все сложнее…
T

 Характеризует соотношение турбулентного и молекулярного переноса
• Турбулентное число Рейнольдса Ret 
 Часто используется в моделях турбулентности
Резюме
• Уравнения Рейнольдса получаются путем осреднения
уравнений Навье-Стокса по Рейнольдсу
• В этом подходе вся турбулентность моделируется и ее
влияние учитывается через напряжения Рейнольдса,
которые необходимо определить
• Определение напряжений Рейнольдса – задача модели
турбулентности
• В основе моделей турбулентности лежат уравнения для
напряжений Рейнольдса (незамкнутые) и эмпирическая
информация
• В большинстве моделей используется гипотеза Буссинеска
– линейная связь между напряжениями Рейнольдса и
тензором скоростей деформаций