Программа курса алгебры и коллоквиума Поток математиков второй семестр, 2015

Программа курса алгебры и коллоквиума
Поток математиков второй семестр, 2015
Программа курса
I.
Линейный, билинейные
и квадратичные формы
1. Определения линейной и билинейной форм, основные понятия и
примеры
2. Линейные функционалы. Теоремы об изоморфизме пространства и
сопряжённого пространства и пространства с двойственным
пространством.
3. Линейные операторы, матрица линейного оператора, связь матриц
линейного оператора в разных базисах.
4. Действия надо подпространствами ( пересечение и сумма) Теорема о
размерности суммы подпространств
5. Прямая сумма подпространств, критерии
6. Матрица билинейной формы, условия вырожденности
7. Ранг билинейной формы, доказательство с помощью матриц
8. Ранг билинейной формы , связь с ядром формы
9. Процесс ортогонализации Грама –Шмидта
10.Положительно определённые билинейные формы. Критерий
Сильвестра
11.Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к
диагональному виду
12.. Неравенство Коши-Буняковского, Метрические понятия, длина
вектора, расстояние между векторами, угол, корректность определения
13. Эквивалентные квадратичные формы, теорема об эквивалентных
квадратичных формах, Теорема о связи ядер эквивалентных форм
14.Закон инерци
15.Эквивалентные квадратичные формы над конечным полем
16. Ортогональное преобразование квадратичных форма над
алгебраически замкнутым полем
17.Ортогональное дополнение подпространства, свойства
18.Классификация кососимметрических форм в характеристике поля
отличного от 2
19. Определение евклидовых пространств, матрица Грама , обобщение
неравенства Коши –Буняковскаого
20. Ортогональные матрица=ы, проекция вектора на подпространство
21.Теорема Грама-Шмидта для евклидовых пространств о следствием
22.Изоморфизм евклидовых пространств
23.Расстояние от вектора до подпространства, теорема Пифагора
24. Объём параллелепипеда
25.Аффинное пространство\. Свойства, точечное евклидово пространство,
декартова система координат, преобразование
26.Линейные многообразия, связь с линейными системами
27.Квадрики, матричная запись, преобразование координат
28.Преобразование центральной квадрики к каноническому виду, частные
случаи
29.Преобразование нецентральной поверхности к каноническому виду,
частные случаи
II. Алгебры, алгебра Грассмана, внешняя алгебра
1. Определение алгебры, примеры, типы алгебр, изоморфизм
2. Структурные константы алгебры, свойства
3. Алгебра кватернионов
4.Алгебра с делением, существование у ассоциативной алгебры с
делением единственного обратного и нейтрального элемента
5. Алгебра Грассамана, определение и проверка ассоциативности
умножения
6. Внешняя алгебра, независимость ( с точностью до изоморфизма) от
выбора базиса пространства
7. Свойства внешнего произведения
8. Определение определителя с помощью внешнего произведения,
свойства – перемена местами строк матрицы, определитель
произведения матриц
9. Теорема об определителе ступенчатой матрицы
10. Теорема Бине-Коши
III. Интерполяция
1. Рациональные дроби, разложение на простейшие
2. Формула Лагранжа разложения на простейшие дроби
3. Задача интерполяции, единственность минимального
интерполяционного многочлена
4. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона
IV. Кончено порождённые абелевы группы
1. Унитарные матрицы, основные свойства
2. Теорема о конечно порождённых абелевых группах без кручения
3. Теорема о конечно порождённой абелевой группе
Программа коллоквиума
I. Теория групп
1. Определение группы, подгруппы, нормального делителя, критерии
2 Гомоморфизмы групп, свойства
3. Группа подстановок S_n определение операции, проверка свойств
4.Знакопеременная подгруппа, A_n
5.Произведение подгрупп
6.Подгруппы, порождённые данным множеством, циклическая
подгруппа.
7.Циклы в подстановках, независимые циклы, примеры
8. Порядок элемента, свойства.
9.Система образующих в симметрической группе подстановок
10.Циклические группы, подгруппы , порядок подгруппы и группы
11.Фактор-группы, построение
12.Теорема Лагранжа со следствием
13.Орбита элемента, стабилизатор, связь орбиты со стабилизатором
14. Первая теорема о гомоморфизме
15*.Вторая теорема о гомоморфизме ( лемма)
16.Третья теорема о гомоморфизме
17. Центр групп, свойства
18. Коммутант группы, свойства
19. Разрешимые группы, определение и критерий
20*. Разрешимость группы треугольных невырождениых матриц
21. Неразрешимость группы подстановок при n>4.
22*.Разрешимость группы подстановок при n < 5
II**. Теория Галуа
1. *Алгебраические расширения Определение и основные свойства
2. *Минимальный многочлен элемента, свойства
3. Теорема о конечном алгебраическом расширении
4. Теорема об эквивалентности условий для конечного расширения
5. *Алгебраическое замыкание, поле разложения многочлена
6. Сепарабельные расширения, критерий сепарабельности многочлена
7. *Теорема о сепарабельности конечного поля
8. Теорема о конечной подгруппе в мультипликативной группе поля
9. *Гомоморфизмы полей, примеры
10.Теорема о конечном сепарабельном расширении , простое
расширение
11. Определение расширения Галуа. Лемма Штейница
12.* Группа автоморфизмов расширения полей, определение
13.* Порядок группы автоморфизмов
14.* Нормальные и сепарабельные расширения, связь с расширением
Галуа
15.*Формулировка теорема Галуа, доказательство простейших свойств
16. *Свойства полей Галуа, Группа автоморфизмов
17.*Свойства полей Галуа, условие для подрасширений
18.Соответствие Галуа и формулировка основной теоремы теории Галуа
Замечания
1. Вопросы из второй главы для желающих получить
удовлетворительную оценку знать не обязательно
2. Вопросы из второй главы для желающих ответить на оценку хорошо
отмечены одной звёздочкой
3. Очень желаю сдать коллоквиум до экзаменов, и вообще желаю
ответить на ту оценку, на которую считал себя готовым получить