зарождение и развитие математики в древней греции

а
Цветная вкл
!
дк а
Цветная вкл
а дк
ЛИСТАЕМ
ЛИСТ
ЛИ
СТАЕ
СТ
АЕМ
АЕ
М СТ
СТРАНИЦЫ
СТРА
РАНИ
РА
НИЦЫ
НИ
Ц И
ЦЫ
ИСТОРИИ
ИСТ
СТОР
СТ
ОРИИ
ОР
ИИ
а!
ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ
МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Составитель О. А. Старова
ГРЕЧЕСКАЯ НАУКА
Математика Древнего Египта и Вавилона относится к периоду зарождения математики. В странах Древнего Востока были накоплены математические факты, методы решения задач, примеры
приближенных вычислений. Однако математики
как науки в нашем современном понимании еще
не было. Изложение в дошедших до нас сборниках задач было догматическим, без обоснования
правильности предлагаемых правил. Кроме того,
математика Древнего Востока развивалась крайне медленно. На протяжении веков и даже тысячелетий не было никакого прогресса.
Примерно на таком же или более низком
уровне были и математические знания в Греции
VIII–VII вв. до н. э. Но в VI в. положение резко
меняется. Математика с поражающей быстротой
преобразуется в абстрактную дедуктивную науку, в которой основным методом установления
истины становится доказательство.
Конец V — начало IV в. до н. э. — это золотой
век Афин. Сюда стекаются замечательные люди
со всех сторон античного мира: Демокрит, Гиппократ, Аристотель. Их привлекает интенсивная
интеллектуальная жизнь, кипящая в Афинах,
где Сократ умел будить мысль своих слушателей и помогал ее рождению, где были созданы
знаменитая Академия Платона, а затем не менее
знаменитый Ликей (по названию расположенного вблизи храма Аполлона Ликейского) Аристотеля — прообраз будущих университетов.
В VI в. до н. э. были построены не только первые математические теории, но и первые математические модели мира. В это время ученые пришли к мысли, к которой возвращались затем не
раз, что математика является универсальным законом для выражения законов природы. В течение
следующих трех веков создаются теории, тонкость
и глубина которых были поняты и оценены только
в ХIХ, а то и в ХХ веке. Примером может служить
теория отношений Евдокса, которая по существу
совпадает с обоснованием действительного числа,
предложенным Дедекиндом в конце ХIХ века.
Формальная логика Аристотеля подверглась исчерпывающему анализу только в наши дни. При
этом стиль математических произведений того
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
времени не отличается от современного. Теория
строилась исходя из конечного числа посылок, и ее
положения выводились из них с помощью конечной цепочки логических умозаключений. Такой
метод изложения греки нашли впервые, показав,
как можно и нужно строить науку.
Как же это произошло? Почему стал возможен такой скачок? По-видимому, он не мог быть
вызван внутренними потребностями самой математики, находившейся еще на невысокой ступени развития. Он не мог быть вызван и потребностями техники, потому что техника античной
Греции мало чем отличалась от той, которая
была в Древнем Вавилоне или Египте. Свои успехи греки приписывали возникшему у них новому
демократическому строю. Согласно Аристотелю,
демократия есть такое государственное устройство, которое в наибольшей степени способствует проявлению всех возможностей, заложенных
в каждом из сограждан.
ГРЕЧЕСКИЕ НУМЕРАЦИИ
Первоначально греки пользовались так называемой аттической нумерацией, которую называют также геродиановой, по имени ее описавшего грамматика Геродиана (II в. до н. э.). Аттическая нумерация бала основана на аддитивном
принципе. Основными в этой нумерации были
знаки, означавшие 1, 5, 10, 50, 500 и 1000 (сравните с римской нумерацией).
Аттическая нумерация была тесно связана
со счетной доской — абаком. Абак разграфляли на столбцы, что соответствовали десятичным
разрядам. Числа на абаке изображали камешками. Вычисления с помощью камешков на абаке
у греков заимствовали римляне (от латинского
слова calculus (камешек) происходит наше слово
«калькулятор»). Позже абак перестали разграфлять, а для обозначения пустого разряда, т. е.
нуля, стали применять особый круглый камешек
с отверстием посередине. Позднее аттическая нумерация была вытеснена более компактной буквенной нумерацией. Однако окончательного перехода к позиционной системе счисления в Греции
сделано не было. Впоследствии Архимед дал спо-
№ 4 (4) апрель 2011
39
ЛИСТАЕМ СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ
соб наименования сколь угодно больших чисел,
существенно дополнив ионийскую нумерацию.
ФАЛЕС
VI век до н. э. был временем знаменитых натурфилософских школ: ионийской и пифагорейской. Начало греческой науки положила ионийская школа, основателем которой был «отец
греческой науки» Фалес — купец, политический
деятель, философ, астроном и математик, живший
в Милеете — богатой греческой колонии в Малой
Азии. Занимаясь торговлей, Фалес по роду своей
деятельности бывал в Египте, и там ему удалось
ознакомиться с теми знаниями, которыми обладали греческие жрецы. Во время одного из посещений Египта Фалес очень просто решил задачу,
которая была неразрешима для жрецов. Он сумел
измерить высоту одной из египетских пирамид.
Неотъемлемая часть натурфилософии ионийцев — астрономия и математика. Фалес много путешествовал и был, по-видимому, знаком
с астрономическими наблюдениями вавилонян.
По сообщениям Геродота и Ксенофана, он предсказал солнечное затмение, которое произошло
во время битвы при Галисе между лидийцами
и мидянами. Оба войска были настолько напуганы затмением, что поспешили заключить мир.
Как теперь полагают, речь шла о солнечном затмении 585 г. до н. э.
Большую роль в развитии математики сыграла ионийская школа. Школе Фалеса приписывается основное определение из арифметики: число
есть совокупность единиц. Но особенно велико
в истории развития математики значение геометрических работ Фалеса. Ионийцы первые среди
эллинов занялись геометрией. Фалес доказал, что
диаметр делит круг и окружность пополам, нашел
предложение о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, открыл, что при пересечении двух прямых получаются равные углы,
доказал теорему о равенстве двух треугольников,
имеющих равными сторону и два угла, прилежащие к этой стороне. Последнюю теорему приписывают Фалесу на том основании, что она необходима для обоснования предложенного им способа
определения расстояний до кораблей на море.
В школе Фалеса была заложена основа учения
о линиях и углах на плоскости. Эта школа внесла
в историю математики первые намеки на научный подход к математическим истинам. Однако
в ней затрагивался еще очень узкий круг вопросов. К сожалению, ничего не известно о способах
доказательства Фалеса. Предполагают, что он
пользовался перегибанием и наложением фигур.
40
№ 4 (4) апрель 2011
Фалес умер в престарелом возрасте внезапно.
Историки утверждают, что на его гробнице была
высечена надпись: «Насколько мала эта гробница, настолько велика слава этого царя астрономов в области звезд».
Дальнейшее развитие математические вопросы получили в другой греческой школе, так
называемой школе Пифагора.
ШКОЛА ПИФАГОРА
Пифагор родился на острове Самос, расположенном вблизи Ионийского побережья. Вокруг
личности Пифагора создалось столько легенд,
что трудно судить, что в них хоть отчасти соответствует действительности и что является вымыслом. В молодости Пифагор много путешествовал и имел возможность хорошо ознакомиться с Египтом и теми сведениями по математике,
которые со времен глубокой древности хранились египетскими жрецами почти в неизменном
виде. По возвращении из Египта Пифагор создал
на родине свою школу, в основе которой лежала
аристократическая идеология, резко противоречащая идеологии античной демократии, преобладавшей в те времена на Самосе. Поэтому
школа вызвала недовольство граждан Самоса,
и Пифагору пришлось покинуть родину. Он направился в греческие колонии на Аппенинском
полуострове и поселился в городе Кротоне, где
вновь основал школу — пифагорейский союз.
В основу философии пифагорейского союза
было положено мистическое учение о числе. На
основе разнообразных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что все явления во
Вселенной подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует «мировая гармония». Пифагорейцы предполагали, что
расстояния небесных тел от Земли в мировом пространстве определяется некоторой пропорцией.
Поэтому в школе Пифагора внимательно изучались пропорции; при этом, кроме арифметической
и геометрической, изучалась так называемая «гармоническая» пропорция (три числа составляют
гармоническую пропорцию, если числа, им обратные, составляют пропорцию арифметическую).
Вследствие того, что пифагорейцы уделяли
много внимания изучению чисел, было положено начало теории чисел. Однако здесь, как и во
всей Греции тех времен, практика вычислений
считалась недостойным занятием для философских школ. Поэтому в школе Пифагора изучались лишь свойства чисел, а не практический
счет. При этом свойства чисел изучались при помощи геометрических построений.
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ЛИСТАЕМ СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ
В школе Пифагора было положено начало
классификации чисел, но эта классификация имеет в основе или геометрические соображения, или
соображения философско-мистического характера. Приписывание мистического значения числам
сыграло в истории математики отрицательную
роль, но геометрическое представление чисел пифагорейцами способствовало развитию математики. В школе Пифагора развивалась геометрическая
арифметика, а за нею постепенно создавалась и геометрическая алгебра. Эта алгебра носила совсем
иной характер, чем современная, так как она не
обладала главным преимуществом современной алгебры — ее символикой. Характерным признаком
геометрической алгебры было то, что все ее выводы
основывались на геометрических соображениях.
Особое внимание в школе Пифагора уделялось вопросам геометрического характера. Работа над вопросами геометрического характера
облегчалась благодаря их объединению с вопросами числового характера. Так, из геометрического доказательства независимости произведения от порядка множителей возникли определения площадей квадрата и прямоугольника,
а из представления чисел геометрическими фигурами (плоскостные, квадратные, треугольные,
телесные) — вопросы о построении правильных
многоугольников, а затем и правильных многогранников, причем пифагорейцами были построены все их виды: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр,
гексаэдр (куб), додекаэдр. Решение такой трудной задачи произвело сильное впечатление на
решивших ее, и поэтому в школе Пифагора указанным многогранникам было придано мистическое значение. Они считались «космическими
фигурами» и каждому из них было присвоено
наименование одной из стихий, входящих, по
мнению греков, в основу бытия: огня, воздуха,
воды, земли и Вселенной. Прекраснейшим из
всех геометрических тел считался шар.
Пифагор полагал, что Земля имеет шарообразную форму и какой-то огонь, но не Солнце, является центром Вселенной, около которого
Земля вращается по кругу. Причем, Солнце, Луна
и планеты обладают собственным движением.
Пифагорейцы обладали достаточно обширными сведениями и из других разделов геометрии: им были известны теоремы о равенстве
треугольников, учение о параллельных, о сумме
углов треугольника, о подобии; они пользовались методами построения равновеликих фигур
и основными положениями стереометрии. Одним из важнейших открытий, приписываемых
пифагорейцам, считается доказательство теоре-
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
мы о зависимости между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, известной под
названием теоремы Пифагора. (Частные случаи
этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора; доказательства
теоремы самим Пифагором не сохранилось.)
Оперирование прямоугольными треугольниками и построение правильных многогранников
приводили к таким случаям, когда отношение
отрезков не могло быть выражено ни целыми, ни
дробными числами. Таким образом, пифагорейцы
вплотную подошли к понятию об иррациональном
числе. Однако это величайшее открытие нанесло
большой ущерб их философии: нашлись величины, которые не подчинялись закону обычных
числовых соотношений. Такое открытие настолько не согласовывалось с их понятием о числе, что
пифагорейцы старались о нем умалчивать.
Несомненно, школа Пифагора имела большое
значение для усовершенствования научных методов решения математических проблем. В школе Пифагора утвердилась одна из важнейших
сторон математического метода рассуждений:
в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что придало
математике значение особой науки.
Однако идеология, лежащая в основе деятельности пифагорейского союза, неуклонно вела его
к гибели. Поскольку союз состоял главным образом из аристократии, в руках которой было сосредоточено управление Кротоном, то это давало
возможность оказывать большое влияние на политическую жизнь, причем это влияние использовалось в интересах аристократии. Между тем
в Кротоне стали преобладающими демократические течения. Пифагор со своими сторонниками
вынужден был бежать оттуда. Но это не спасло
самого Пифагора. Во время пребывания в городе
Мерапонте он погиб в стычке с противниками.
После распада пифагорейского союза ученики Пифагора рассеялись по различным городам
Греции, причем большинство их сосредоточилось в Афинах.
Литература
1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции / перевод
с голландского И. Н. Веселовского. — М. : Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1959.
2. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия: в 3-х томах / под ред. А. П Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — 1 т.
Читайте в следующем номере:
Афинская математическая школа
№ 4 (4) апрель 2011
41