Задачи на делимость - Новосибирский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Математика
7 класс
Задачи на делимость
Новосибирск
Определение и свойства делимости.
Определение 1. Целое число a делится на целое число b ( b
если существует такое целое число c , что a b c .
0 ),
Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа a и
натурального числа b существует единственная пара чисел q и r
таких, что a bq r , где q - целое, а r - натуральное или нуль,
причем r может принимать лишь b различных значений 0, 1, 2, …,
b 1.
Заметим, что если остаток r равен нулю, то число a делится на
число b .
Определение 2. Два числа называются взаимно простыми, если они
не имеют общих натуральных делителей, кроме единицы.
Задача 1. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их
квадратов – простое число. Найдите эти числа.
Решение.
Обозначим искомые числа через a и b . Тогда a 2 b 2 p , где p простое число, т.е. (a b)( a b) p . Поскольку (a b) 101 , то
101(a b) p . Отсюда следует, что p делится на 101, но p простое, значит p 101 . Имеем: a b 1 , отсюда a b 1 .
Так как a b 101 , находим, что a 51 и b 50 .
Ответ: 51 и 50.
Задача 2. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика
денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше
денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у
Шарика. Доказать, что изначально количество денег у Матроскина
делилось на 71 (имеется в виду, что у Матроскина и Шарика во
всех ситуациях было целое количество денег).
Решение.
2
Пусть у обоих персонажей перед походом за покупками было по x
рублей, а Матроскин израсходовал y рублей. Тогда по условию
71y
имеем уравнение: x y 9( x 8 y ) , откуда 8 x 71 y или x
.
8
Ввиду взаимной простоты чисел 8 и 71 следует, что x делится на
71, что и требовалось доказать.
Задача 3. Могут ли числа 1234567897 и 1234567892 быть
квадратами каких-либо целых чисел?
Решение.
Данные числа не могут являться квадратами целых чисел из-за
своих последних цифр 7 и 2. Дело в том, что при возведении в
квадрат целого числа, последняя цифра может быть равной 1, 4, 9,
6, 5, 0. (Проверьте!)
Ответ: нет.
Задача 4. Является ли число 123321123321 квадратом какого-либо
целого числа?
Решение. Предположим, что 123321123321= k 2 , где k - некоторое
целое число. Заметим, что число 123321123321 делится на 3, так
как сумма его цифр равна 24, а 24 делится на 3. Следовательно,
число k 2 делится на 3. Тогда и число k должно делится на 3.
Докажем этот факт.
Если число k при делении на 3 дает остаток 1, т.е. k 3s 1 , то
k 2 (3s 1) 2 9 s 2 6s 1 . Ясно, что выражение 9 s 2 6s 1 на 3
делится с остатком 1.
Если число k при делении на 3 дает остаток 2, т.е. k 3s 2 , то
k 2 (3s 2) 2 9s 2 12s 4 . И в этом случае получаем, что
выражение 9 s 2 12 s 4 не делится на 3.
Остается единственный вариант: число k делится на 3 без остатка,
т.е. k 3s . Но тогда k 2 9s 2 и число k 2 делится на 9. Но из
равенства 123321123321= k 2 следует, что число 123321123321
должно делится на 9. Получили противоречие, т.к. сумма цифр
данного числа равна 24 и по признаку делимости на 9 (24 не
3
делится на 9 без остатка) имеем, что число 123321123321 не
делится на 9 без остатка.
Следовательно, наше предположение о существовании целого
числа k , такого что 123321123321= k 2 , ошибочно.
Ответ: нет.
Свойство 1. Делимость суммы. Если каждое из слагаемых делится
на какое-нибудь число, то и сумма их делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь
число, а другое не делится, то сумма не делится на это число.
Если же два или больше слагаемых не делятся на какое-нибудь
число, то о делимости суммы нельзя сказать ничего определенного:
в одних случаях она делится, а в других не делится на данное
число.
Например, 13 и 7 не делятся ни на 5, ни на 6; сумма 13+7 делится
на 5, но не делится на 6.
Свойство 2. Делимость разности. Если уменьшаемое и
вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность делится
на это же число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое –
делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность
не делится на это число.
Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на данное число,
то разность их может делиться, а может и не делится на это же
число.
Например, 100 и 30 не делятся ни на 7, ни на 13; их разность 100-30
делится на 7, но не делится на 13.
Свойство 3. Делимость произведения на число. Если хоть один из
сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение
их также делится на это число.
4
Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то
из этого ещё не следует, что на данное число не делится их
произведение.
Например, ни 15, ни 10 не делится на 6, а их произведение 15 10 на
6 делится.
Свойство 4. Делимость числа на произведение. Если данное число
делится на произведение, то оно делится на каждый из
сомножителей этого произведения.
Обратное утверждение ошибочно. Если какое-нибудь число
делится в отдельности на несколько данных чисел, то на их
произведение оно может и не разделиться.
Например, 180 делится и на 5, и на 9, и на 6, но на произведение
5 9 6 оно не делится.
Примечание. Если же данное число делится на несколько попарно
взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Например, 180 делится на 5, 3 и 4, эти числа взаимно простые,
поэтому 180 делится и на произведение 5 3 4 .
Признаки делимости.
Для того чтобы узнать, делится ли одно число на другое, не всегда
нужно выполнять деление, тем более, что числа могут оказаться
достаточно большими или некоторые цифры в числе вообще могут
быть не известны.
В этом случае вопрос исследования данного числа на делимость
решается с помощью признаков делимости на некоторые числа.
Рассмотрим основные признаки делимости.
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда,
когда оно оканчивается четной цифрой, т.е. одной из цифр 0, 2, 4, 6,
8.
Доказательство.
Доказательство проведем на примере четырехзначного числа.
5
Пусть abcd - десятичная запись данного числа x , т.е. a - цифра
тысяч, b - цифра сотен, c - цифра десятков и d - цифра единиц
данного числа. Значит, x 1000a 100b 10c d .
Пусть x делится на 2. Так как 1000, 100 и 10 делятся на 2, то по
свойству 3 делимости 1000a , 100b , 10c делятся на 2. Тогда по
свойству 1 делимости сумма (1000a 100b 10c) делится на 2 и по
свойству 2 делимости число d x (1000a 100b 10c) тоже
делится на 2.
И наоборот, если d делится на 2, то учитывая делимость на 2
слагаемых 1000a , 100b , 10c имеем: x 1000a 100b 10c d
делится на 2 (по свойству делимости).
Например, числа 378, 2300574 делятся на 2, а числа 8537, 100001 не
делятся на 2.
Совершенно аналогично доказываются следующие два признака
делимости.
Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда,
когда оно оканчивается цифрами 0 или 5.
Например, числа 3275, 1000200 делятся на 5, а числа 379, 234782 не
делятся на 5.
Признак делимости на 10. Число делится на 10 тогда и только
тогда, когда оно оканчивается цифрой 0.
Например, числа 3270, 1000200 делятся на 10, а числа 379, 234782
не делятся на 10.
Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда,
когда двузначное число, образованное его двумя последними
цифрами, делится на 4.
Доказательство.
Доказательство проведем на примере четырехзначного числа.
Пусть x abcd 1000a 100b 10c d (1000a 100b) cd .
Выражение (1000a 100b) 4(250a 25b) делится на 4.
6
Если число x делится на 4, то по свойству 2 делимости число
cd x 1000a 100b делится на 4.
И наоборот, если cd делится на 4, то согласно свойству 1
делимости данное число x 1000a 100b cd делится на 4, что и
требовалось доказать.
Например, число 163548 делится на 4, так как число 48 делится на
4, а число 8537 не делится на 4, так как 37 не делится на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда,
когда трехзначное число, образованное его тремя последними
цифрами делится на 8.
Доказательство аналогично доказательству признака делимости на
4.
Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только
тогда, когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
Например, число 163550 делится на 25, так как число 50 делится на
25, а число 8537 не делится на 25, так как 37 не делится на 25.
Таким образом, выяснить делится или не делится число на 2, на 4,
на 5, на 8, на 10 и на 25 можно по последним цифрам в записи
числа.
Иначе «устроены» признаки делимости на 3 и на 9.
Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 3.
Доказательство.
Доказательство проведем на примере четырехзначного числа.
abcd 1000a 100b 10c d (999a a ) (99b b) (9c c) d
999a 99b 9c a b c d 3(333a 33b 3c) (a b c d ) .
Легко видеть, что данное число abcd делится на 3 тогда и только
тогда, когда делится на 3 выражение (a b c d ) , т.е. сумма цифр
данного числа.
7
Например, число 538128 делится на 3, так как сумма его цифр
5 3 8 1 2 8 27 делится на 3. Число 3332 не делится на 3,
так как сумма его цифр 3 3 3 2 , очевидно, не делится на 3.
Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 9.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству признака делимости на
3.
Например, число 22212333 делится на 9, так как сумма его цифр
2 2 2 1 2 3 3 3 18 делится на 9. Число 2222222 не
делится на 9, так как сумма его цифр 2 2 2 2 2 2 2 14 не
делится на 9.
Очень интересным и довольно несложным является следующий
признак делимости.
Признак делимости на 7, 11 и 13. Число делится на 7, 11 или 13
тогда и только тогда, когда разность между числом, выраженным
его тремя последними цифрами, и числом, выраженным
остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7,
11 или на 13.
Например, число 48916 делится на 7, так как разность
916 48 868 делится на 7(делимость 868 на 7 проверить намного
легче)
Число 253264 делится на 11, так как разность 264 253 11 ,
очевидно, делится на 11.
Число 253264 не делится ни на 7, ни на 13, так как разность
264 253 11 , очевидно, не делится ни на 7, ни на 13.
Число 1208965 не делится на 11, так как разность 1208 965 243
не делится на 11, что легко проверить. (Обратите внимание, что
данное число семизначное, следовательно, вычитание
соответствующих чисел по признаку осуществляется наоборот).
Рассмотрим решение нескольких задач на признаки делимости.
8
Задача 5. Докажите, что значение многочлена n 3
любом целом n делится на 3.
3n 2
5n 3 при
Решение.
n 3 3n 2 5n 3 (n 3 n ) 3(n 2 2n 1) n(n 2 1) 3(n 1) 2
n(n 1)( n 1) 3(n 1) 2 (n 1)n(n 1) 3(n 1) 2 .
Произведение трех последовательных целых чисел (n 1)n(n 1)
делится на 3. Второе слагаемое - число 3(n 1) 2 - тоже делится на
3, следовательно, и вся сумма делится на 3(по свойству 1
делимости).
Задача 6. Доказать, что т 5 4m делится на 5 при любом
натуральном m .
Решение.
Преобразуем исходное выражение следующим способом:
т5 4m m5 m 5m m(m 4 1) 5m
m(m 2 1)(m 2 1) 5m m(m 1)( m 1)(m 2 1) 5m
m( m 1)( m 1)( m 2 4 5) 5m
m(m 1)( m 1)( m 2 4) m(m 1)(m 1) 5 5m
m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) 5m( m 2 1) 5m
(m 2)( m 1) m (m 1)( m 2) 5m( m 2 1 1)
(m 2)( m 1) m (m 1)( m 2) 5m 3 . Произведение
(m 2)(m 1) m (m 1)(m 2) делится на 5, так как состоит из 5
последовательных целых чисел (одно из которых обязательно
кратно 5). Очевидно, что 5m 3 также делится на 5. Значит, и вся
сумма (m 2)( m 1) m (m 1)( m 2) 5m 3 делится на 5 (по
свойству 1 делимости).
Доказали, что исходное выражение т 5 4m делится на 5
Задача 7. Найти все пятизначные числа вида 517mn ( m, n цифры), которые делятся на 18.
Решение.
9
Из того, что 18 9 2 получаем, что число 517mn должно делиться
на 9 и на 2.
Из признака делимости на 2 следует, что n - четная цифра, т.е.
n 0 , 2, 4, 6, 8.
Пусть n 0 , и числа имеют вид 517m0 . Из признака делимости на
9 следует делимость суммы 5 1 7 m 0 на 9. Следовательно, m
может быть равным только 5. Получили число 51750.
Пусть n 2 , и числа имеют вид 517m2 . Из признака делимости на
9 следует делимость суммы 5 1 7 m 2 на 9. Следовательно,
m может принимать только значение 3 и получается число 51732.
Рассмотрев остальные варианты, аналогично находим остальные
числа: 51714, 51786, 51768.
Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.
Задача 8. Доказать, что число 217 718 919 делится на 10.
Решение.
Рассмотрим равенство 217 24 24 24 24 2 . Число 2 4 имеет
последней цифрой 6 ( 2 4 16 ). Тогда число 24 24 24 24 также
заканчивается цифрой 6. В итоге получаем, что число 217
заканчивается цифрой 2.
Число 718 представим в виде 7 4 7 4 7 4 7 4 7 2 . Число 7 4
заканчивается цифрой 1 ( 7 4 2401 ), тогда число 74 74 74 74 также
заканчивается цифрой 1. И, умножив 1 на 7 2 , получаем, что
последняя цифра в числе 7 4 7 4 7 4 7 4 7 2 будет 9.
Найдем последнюю цифру числа 919 . Из равенств
919 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 и 9 2 81 следует, что
последняя цифра числа 919 будет 9. Теперь очевидно, что сумма
трех чисел, одно из которых заканчивается на 2, а два других
заканчиваются на 9, делится на 10, так как последняя цифра равна
0.
Решение уравнений в целых числах.
Очень часто при решении текстовых задач получается одно
уравнение с двумя неизвестными, которое необходимо решить в
целых числах.
10
Целочисленность искомого неизвестного обычно является
дополнительным условием, позволяющим однозначно выбрать его
значение из некоторого множества значений, удовлетворяющих
остальным условиям задачи.
Рассмотрим два способа решения таких задач, основанных на
свойствах делимости чисел.
Задача 9. Если двузначное число разделить на произведение его
цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Найдите это число.
Решение.
1 способ.
Пусть xy - искомое двузначное число, где x , y - цифры. Так как
xy 10 x y , согласно условию задачи имеем уравнение:
10 x y xy 16 (*). В полученном уравнении выразим переменную
y через переменную x : xy y 10x 16 , y ( x 1) 10 x 16 .
Пусть x 1 , тогда уравнение (*) корней не имеет.
10 x 16
Значит, x 1 , тогда y
.
x 1
Выделим целую часть из полученной дроби:
10 x 16 10 x 10 6 10( x 1) 6 10( x 1)
6
6
.
10
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
6
Итак, y 10
(1).
x 1
Так как x , y - цифры, то необходимо уравнение (1) решить в
целых числах, причем 1 x 9 , 0 y 9 . Следовательно, ( x 1 )
является делителем числа 6.
Так как число 6 имеет четыре натуральных делителя: 1, 2, 3 и 6, то
необходимо рассмотреть все эти возможные случаи.
6
Если x 1 1 , то x 2 , тогда y 10
4.
1
6
Если x 1 2 , то x 3 , тогда y 10
7.
2
6
Если x 1 3 , то x 4 , тогда y 10
8.
3
11
6
9.
6
Итак, имеем четыре «кандидата» на роль искомого числа: 24, 37, 48
и 79.
Необходимо проверить эти числа на выполнение условия задачи.
Разделим каждое из чисел на произведение его цифр. Этому
условию удовлетворяют только три числа: 37, 48 и 79.
24 24
3 , число 24 не удовлетворяет условию задачи,
2 4 8
37 37
1(ост.16) , число 37 удовлетворяет условию задачи,
3 7 21
48 48
1(ост.16) , число 48 удовлетворяет условию задачи,
4 8 32
79 79
1(ост.16) , число удовлетворяет условию задачи.
7 9 63
Искомые числа: 37, 48, 79.
2 способ.
Приведем уравнение 10 x y xy 16 к виду: 10 x xy y 10 6 .
Разложим левую часть уравнения на множители способом
группировки: x(10 y ) (10 y ) 6 ,
( x 1)(10 y ) 6 (2).
Учитывая, что x , y - цифры, причем 1 x 9 , 0 y 9 , то (x 1)
и (10 y ) - натуральные числа. Следовательно, левая часть
уравнения (2) представляет собой произведение натуральных
делителей 6.
Возможны следующие случаи.
x 1 3,
x 1 2,
x 1 6,
x 1 1,
10 y 1;
10 y 2;
10 y 3;
10 y 6.
Следовательно, получаем следующие решения:
(4;8) ; (3;7) ; (7;9) и ( 2;4) .
Следовательно, получаем числа: 48; 37; 79; 24.
Необходимо проверить эти числа на выполнение условия задачи.
Разделим каждое из чисел на произведение его цифр. Этому
условию удовлетворяют только три числа: 37, 48 и 79.
Если x 1 6 , то x
7 , тогда y 10
12
Ответ: 37; 48; 79.
Задача 10. Сколькими способами можно набрать один рубль
трехкопеечными и пятикопеечными монетами?
Решение.
Пусть трехкопеечных монет было x , а пятикопеечных - y . Тогда
согласно условию задачи имеем уравнение: 3x 5 y 100 .
В полученном уравнении выразим переменную y через
100 3x
переменную x . Получим y
.
5
Выделим целую часть из полученной дроби:
100 3x
3x
3x
. Итак, y 20
(1).
20
5
5
5
Так как x , y - количество монет, значит, уравнение (1)
необходимо решить в целых числах.
Учитывая, что x
, y
, число x должно быть кратно 5.
100 3x
Имеем ограничения на y :
0 и, соответственно, на x :
5
0 x 33 (причем x кратно 5).
Рассмотрев все возможные варианты, находим количество
способов выдачи денег:
x
5
10
15
20
25
30
y
17
14
11
8
5
2
Ответ: шестью способами.
Задача 11. Боря задумал два натуральных числа, вычел из
большего меньшее, умножил эту разность на 5, а затем прибавил к
полученному числу квадрат большего из задуманных чисел.
Оказалось, что результат этих действий на 59 больше произведения
задуманных чисел. Какие числа задумал Боря?
Решение.
x , y – задуманные два натуральных числа. Согласно условию
задачи составим уравнение: ( x y ) 5 x 2 xy 59 .
( x y ) 5 x( x y ) 59 .
13
y )(5 x ) 59 . (59 – простое число)
x y 1
x y 59
Отсюда
или
5 x 1
5 x 59
Вторая система не имеет решений в натуральных числах.
Решением первой системы является пара чисел 54;53 .
Ответ: 54 и 53.
(x
Задача 12. Имеются контейнеры с овощами массой 130 и 160кг.
Нужно полностью загрузить им автоприцеп грузоподъемностью
3 т. Как это можно сделать?
Решение.
Обозначим количество контейнеров массой 130кг через x , а массой
160кг через y .
По условию задачи общая масса всех контейнеров равна 3т,
следовательно, имеем уравнение: 130 x 160 y 3000 или
13x 16 y 300 (1).
Обратим внимание на то, что решить уравнение (1) необходимо в
целых числах.
300 16 y
Выразим переменную x через переменную y : x
.
13
300 16 y
Значение x должно отвечать требованию x
0 , т.е.
13
16 y 300 или 0 y 18 .
Выделим «целую часть» из полученной дроби.
13(23 y ) 1 3 y
1 3y
.
x
(23 y )
13
13
1 3y
Так как x - натуральное число, то число
должно быть
13
целым. Учитывая, что 13 – простое число, необходимо, чтобы
числитель дроби (1 3 y ) был кратен 13.
Возможны два случая:
1) Пусть (1 3 y ) 13n , где n
, откуда 3 y 1 13n . При любом
значении n выражение 1 13n принимает отрицательные значения,
14
следовательно, и y тоже отрицательно, что не удовлетворяет
условию задачи.
1 13n
2) Пусть (1 3 y )
. Тогда 3 y 1 13n и y
.
13n , где n
3
Рассмотрим возможные случаи:
1 13 1 14
при n 1 , имеем y
- дробное (не подходит);
3
3
1 13 2
при n 2 , имеем y
9 и x 12 (подходит);
3
1 13 3 40
при n 3 , имеем y
- дробное (не подходит);
3
3
1 13 4 53
при n 4 , имеем y
- дробное (не подходит);
3
3
1 13 5
при n 5 , имеем y
22 - целое, но уже не
3
удовлетворяет условию 0 y 18 (не подходит).
Очевидно, что дальнейший перебор бесполезен.
Результаты можно заносить в таблицу:
n
y
x
вывод
1
14/3
не
удовл
2
9
12
удовл
3
40/3
не
удовл
4
53/3
не
удовл
5
22>18
не
удовл
Итак, необходимо взять 12 контейнеров массой 130кг, 9
контейнеров массой 160кг.
Проверка. 130 12 160 9 3000 (кг).
Ответ: 12 контейнеров массой 130кг, 9 контейнеров массой 160кг.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Не выполняя деления, докажите, что число 7920 делится
на 60.
15
Задача 2. Алёша задумал два натуральных числа, умножил их
сумму на 7, а затем вычел из полученного числа произведение
задуманных чисел. Оказалось, что результат этих действий на 43
меньше квадрата одного из задуманных чисел. Какие числа задумал
Алёша?
Задача 3. Найти все пятизначные числа 74m3n ( m, n - цифры),
которые делятся на 45.
Задача 4. Является ли число 1234123412341234 квадратом какоголибо целого числа?
Задача 5. Может ли число 7 21 9 24 5 быть квадратом некоторого
целого числа?
Задача 6. Клоун придумал такой фокус: «Задумайте двузначное
число, большее, чем 12. Умножьте его на 9 и скажите мне 2-ю 3-ю
цифры произведения. А я угадаю 1-ю цифру произведения».
Объясните фокус клоуна. Приведите три примера.
Задача 7. В шестизначном числе первая цифра совпадает с
четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Доказать, что число
делится на 11, 7 и 13.
Задача 8. К двузначному числу прибавлено число, записанное теми
же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученный
результат делится на 11.
Задача 9. Корзина, полная яблок, вмещает не более 500 яблок. Если
бы их вынимали по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6, то осталось бы одно
яблоко. Их вынимали по 7, и остатка не получилось. Сколько было
яблок в корзине?
Задача 10. В легенде рассказывается, что, когда один из
помощников Магомета – мудрец Хозрат Али садился на коня,
подошедший человек спросил его:
- Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Мудрец ответил:
- Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на
число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).
Проверьте, прав ли Хозрат Али. Почему так получается?
16
Задача 11. Маша и Даша собрали 70 грибов, причем
5
грибов,
9
7
грибов,
17
собранных Дашей, - подберезовики. Сколько грибов собрала
каждая из девочек?
Задача 12. Какими способами можно выдать 78 копеек, имея лишь
пятикопеечные и трехкопеечные монеты?
Задача 13. Докажите, что значение выражения 333555 555333
кратно 37.
Задача 14. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на
8 всегда дает в остатке 1.
собранных Машей, составляли белые грибы, а
© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012
17