Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Пензенский филиал)
Кафедра «Информатика, математика и общегуманитарные науки»
Ю.Н. Заваровский
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОМ
Методические указания по
выполнению контрольной работы
Для студентов, обучающихся
по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика»
(программа подготовки бакалавра)
Пенза 2014
Динамическое программирование. Уравнения Беллмана
и порядок их решения.
Динамическое
программирование
–
раздел
оптимального
программирования (оптимального управления), в котором процесс принятия
решения и управления, может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Динамическое программирование позволяет свести одну сложную
задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом
переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет
процесс принятия управленческого решения.
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на
ход его развития.
Управление – совокупность решений, принимаемых на каждом этапе
для влияния на ход развития процесса.
Операция – управляемый процесс, т.е. мы можем выбирать какие-то
параметры, влияющие на ход процесса и управлять шагами операции,
обеспечивать выигрыши на каждом шаге и в целом за операцию.
Решение на каждом шаге называется «шаговым управлением».
Совокупность всех шаговых управлений представляет собой
управление операцией в целом.
При распределении средств между предприятиями шагами
целесообразно считать номер очередного предприятия; при распределении на
несколько лет ресурсов деятельности предприятия – временной период. В
других задачах разделение на шаги вводится искусственно.
Требуется найти такое управление (х), при котором выигрыш
обращался бы в максимум:
m
F(x)=

i 1
Fi ( xi ) 
 max
Где F – выигрыш за операцию;
Fi(xi) – выигрыш на i-м шаге;
х – управление операцией в целом;
хi – управление на i-м шаге (i=1,2,…,m). В общем случае шаговые
управления (х1, х2, … хm) могут стать числами, векторами, функциями.
То управление (х*), при котором достигается максимум, называется
оптимальным управлением. Оптимальность управления состоит из
совокупности оптимальных шаговых управлений х* = х*1, х*2, … х*m
F* = max {F*(х*)} – максимальный выигрыш, который достигается при
оптимальном управлении х*.
Исходя из условий, каждой конкретной задачи длину шага выбирают
таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачу
оптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений.
Основным методом динамического программирования является метод
рекуррентных соотношений; который основывается на использовании
принципа оптимальности, разработанного американским математиком
Р.Беллманом.
Суть принципа:
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и
управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны
выбираться ОПТИМАЛЬНЫМИ относительно состояния, к которому придет
система в конце каждого шага.
Использование данного принципа гарантирует, что управление,
выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения
процесса в целом.
Условная оптимизация
S0
x
х
x1
х
S1 2 S 2 3 S3 ... m S m
шаг шаг шаг
шаг
Безусловная оптимизация
Si – состояние системы на i-м шаге. Основная рекуррентная формула
динамического программирования в случае решения задачи максимизации
имеет вид:
f m (i)  max f m стоимость шага  f m1 новое состояние перед шагом m  1, где
максимум в данной формуле берется по всем возможным решениям в
ситуации, когда система на шаге m находится в состоянии i.
Величина fm(i) – есть максимальная прибыль завершения задачи из
состояния i, если предположить, что на шаге m, система находится в
состоянии i.
Максимальная прибыль может быть получена максимизацией суммы
прибылей самого шага m и максимальной прибыли шага (m+1) и далее,
чтобы дойти до конца задачи.
Планируя многошаговую операцию надо выбирать управление на
каждом шаге с учетом всех его будущих последствий на ещё предстоящих
шагах.
Управление на i-м шаге выбирается не так, чтобы выигрыш именно на
данном шаге был максимальным, а так, чтобы была максимальна сумма
выигрышей на всех оставшихся шагах плюс данный шаг.
Среди всех шагов последний шаг планируется без оглядки на будущее,
т.е. чтобы он сам, как таковой принес наибольшую выгоду.
Задача динамического программирования начинает решаться с конца,
т.е. с последнего шага. Решается задача в 2 этапа:
1 этап (от конца к началу по шагам): Проводится условная
оптимизация, в результате чего находится условные оптимальные
управления и условные оптимальные выигрыши по всем шагам процесса.
2 этап (от начала к концу по шагам): Выбираются (прочитываются)
уже готовые рекомендации от 1-го шага до последнего и находится
безусловное оптимальное управление х*, равный х*1, х*2, …, х*m.
Задача распределения средств на 1 год.
Пример: имеется запас средств, который нужно распределить между
предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный
капитал S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей
по каждому предприятию.
Х
20
40
60
80
100
1 предприятие
f (х1)
3
4
9
11
12
2 предприятие
f (х2)
2
5
8
7
15
3 предприятие
f (х3)
3
4
9
5
12
4 предприятие
f (х4)
3
6
8
7
14
Решение:
Схема решения:
4 предприятия
денег всего S0=80
Условная оптимизация
So____Iпр____S1____IIпр_____S2____IIIпр____S3____IVпр________S4
1шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
х1
х2
х3
х4
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
F4=max{f(x4)}
Безусловная
Оптимизация
F3=max{ f(x3)+F4}
F2=max{ f(x2)+F3}
F1=max{ f(x1)+F2}
Используется принцип Беллмана:
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление,
выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться
оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце
каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что
управление , выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки
зрения процесса в целом.
математическая модель прямой задачи:
4
Z   Fi ( xi ) 
 max
x
i 1
i
 100
xi  0, i  1,2,3,4.
Экономический смысл переменных:
xi – количество денег, вкладываемых в i предприятие.
Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие
(состояние системы на i-шаге);
F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;
S0 – начальный капитал.
Рассмотрим 4-й шаг:
На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60,
либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить
следующую.
S3
0
20
40
60
80
100
Х4
0
20
40
60
80
100
f (x4)
0
3
6
8
7
14
Рассмотрим 3-й шаг:
F4
0
3
6
8
7
14
На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40,
либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность. Если 3-му
предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и
наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);
60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).
Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной
матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется
из таблицы предыдущего шага
Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.
Вклад
Проект
Остаток
S2
0
Х3
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль
из
матрицы
f (x3)
0
0
3
0
3
4
0
3
4
9
0
3
4
9
5
0
3
4
9
5
12
Прибыль
за шаг
F4
0
3
0
6
3
0
8
6
3
0
7
8
6
3
0
14
7
8
6
3
0
Прибыль
на шаге
f+F
0
3
3
6
6
4
8
9
7
9
7
11
10
12
5
14
10
12
15
8
12
F3
0
3
6
9
12
15
Рассмотрим 2-й шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
0
Х2
0
0
20
0
20
40
0
20
S2
0
20
0
40
20
0
60
40
20
40
60
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
0
2
0
2
5
0
2
Прибыль за
шаг
F3
0
3
0
6
3
0
9
6
f+F
0
3
2
6
5
5
9
8
Прибыль на
шаге
F2
0
3
6
9
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
80
100
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
5
8
0
2
5
8
7
0
2
5
8
7
15
3
0
12
9
6
3
0
15
12
9
6
3
0
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
3
4
9
11
12
Прибыль за
шаг
F3
15
12
9
6
3
0
8
8
12
11
11
11
7
15
14
14
14
10
15
12
15
Рассмотрим 1-й шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
Х2
0
20
40
60
80
100
S2
100
80
60
40
20
0
100
f+F
15
15
13
15
14
12
Прибыль на
шаге
F2
15
Анализ результатов:
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства
между проектами можно несколькими способами:
1) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40
д.ед.
2) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0
д.ед.
3) 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20
д.ед.
4) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20
д.ед.
5) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40
д.ед.
Задача распределения средств на два года
Найти оптимальный способ распределения средств S0 = 100 тыс.руб
между двумя предприятиями на два года, если вложенные средства в первое
предприятие дают доход f1(x) = 0.9x и возвращаются в размере 1(x) = 0.5x.
Аналогично, для второго предприятия f2(x) = 0.8x и 2(x) = 0.7x.
1 предприятие
Средства в начале х1
2 предприятие
Всего
100-х1
100
0,8(100-х1)
(0,9-0,8)х1+80
0,7(100-х1)
(0,5-0,7)х1+70
года 1 года
Прибыль на первом 0,9х1
году
Возврат денег
0,5х1
=70-
0,2х1
Средства в начале 2 х2
70-0,2х1- х2
70-0,2х1
0,8(70-0,2х1- х2)
56-0,16х1+0,1х2
года
Прибыль во втором 0,9х2
году
Прибыль за два года
0,1х1+80+56-0,16х1+0,1х2=136-0,6х1+0,1х2
Отсюда можно сделать вывод о том, что х1=0, х2=70, максимальная
прибыль за два года составит 143 ден. ед.
Задача о замене оборудования.
Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем
ПРИМЕРЕ:
В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется
оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть
старше 6 лет (примем t = 2 года).
ИЗВЕСТНЫ:
- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года
планового периода с помощью этого оборудования;
- U(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти
характеристики зависят от возраста оборудования;
- s - остаточная стоимость оборудования (принимаем s = 4 д.ед.), не
зависящая от его возраста;
- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с
установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном
плановом периоде (р = 13 д.ед.)
ТРЕБУЕТСЯ:
Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося
оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить,
сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной
стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N
лет достигла максимальной величины.
1. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные
стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде,
продолжительностью 4 и 3 года.
Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста
Возраст t
0
Ст.продукции r(t) 27
Ст.расходов u(t) 15
1
26
15
2
26
16
3
25
16
4
24
16
5
23
17
6
21
19
РЕШЕНИЕ:
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max
сохранить
xi - управление
заменить
Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после
того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.
Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение»
оборудования:
Zc = r(t) - u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s - p + r(0) - u(0)
Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с
учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться
сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)
При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение
принимает вид
Fi(Si-1, xN) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
- при управлении «сохранение»
Fi(SHi, xi) = r(Si, xi) - u(SHi)
- при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s - p + r(0) - u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года
планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) - u(SH4)
- в случае «замены»:
Z4(SH4, x4) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные
НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 - 6 лет,
начиная с конца - последнего шага.
Таблица 1.
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Шаг 4
Возраст S3 в конце
3-го шага
Управление x4
Предполагаемый возраст
SH4 в начале 4-го шага
Прибыль Z4
Max доход на
F4 шаге
1
0
11
3
11
1
Сохранение
Замена
2
0
10
3
10
2
Сохранение
Замена
3
0
9
3
9
3
Сохранение
Замена
4
0
8
3
8
4
Сохранение
Замена
5
5
Сохранение
Замена
5
0
6
3
6
6
0
2
3
3
6
Сохранение
Замена
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только
в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям
оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого
периода.
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}
при этом:
- в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) - u(SH3)
- в случае «замены»
Z3(SH3, x3) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за
двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что
SH2 - возраст оборудования в начале третьего года сразу
после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 - возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии
со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}
Шаг 3
x3
SH2
Z3 из таблицы
1
Возраст S3 в
конце 3 шага
F4
Z3 + F4
F3
1
0
2
0
11
3
10
3
2
1
3
1
10
11
9
11
21
14
19
14
21
2
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
9
3
4
1
8
11
17
14
17
3
Сохранение 3
Замена
0
Сохранение 4
+4 Замена
0
8
3
5
1
6
11
14
14
14
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
6
3
2
3
6
1
1
3
11
11
9
14
14
14
S1
1
5
6
5
0
6
0
19
14
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и
составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)}
Шаг 2
SH1 Z2
S2
F3
Z2 + F3
F2
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
1
0
2
0
11
3
10
3
2
1
3
1
19
21
17
21
30
24
27
24
30
3
0
4
0
5
0
9
3
8
3
6
3
4
1
5
1
6
1
14
21
14
21
14
21
23
24
22
24
20
24
24
5
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
2
3
1
21
24
24
6
Сохранение 6
Замена
0
S1 x2
1
2
3
4
27
24
24
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1)
и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)}
SH1 Z2
S1 x2
Шаг 1
S2
F3
Z2 + F3
F2
11
3
2
1
19
21
30
24
30
1
Сохранение 1
Замена
0
10
3
3
1
17
21
27
24
27
2
Сохранение 2
Замена
0
9
3
4
1
14
21
23
24
24
3
Сохранение 3
Замена
0
8
3
5
1
14
21
22
24
24
4
Сохранение 4
Замена
0
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
6
3
2
3
6
1
1
14
21
21
20
24
24
24
5
6
5
0
6
0
24
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать
оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не
старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних
столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде
сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и
выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной
прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области
«СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
t
0
1
2
3
4
5
ГОДЫ
1-4
42
38
34
33
33
33
2-4
30
27
24
24
24
3-4
21
19
17
14
14
4
11
10
9
8
6
6
33
24
14
3
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования,
возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная
прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления
«СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в
следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы
находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна
21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).
ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года
эксплуатации.
Управление запасами. Складская задача.
Складская задача относится к динамическим детерминированным задачам
управления запасами. Следовательно, для решения этой задачи можно
применить принцип Беллмана.
Рассмотрим задачу.
Планируется деятельность предприятия на три месяца.
ЗАДАНЫ:
- начальный уровень запасов S0 = 20
- остаток запасов S3 = 0
- затраты на пополнение φ(x) = 0.4x
- затраты на хранение ψ(y) = 0.2y + 1 в данном периоде в зависимости
от y - среднего уровня хранимых запасов.
ОПРЕДЕЛИТЬ:
- размеры пополнения запасов в каждом месяце для удовлетворения
заданного расхода d1 = 30, d2 = 20, d3 = 30 из условий минимизации
суммарных затрат.
Используются формулы Уилсона:
Средний уровень хранения yk = dk/2 + Sk
Уравнение состояния Sk = Sk-1 + xk - dk
Третий месяц
S2
30
20
10
0
x3
0
10
20
30
y3
15
15
15
15
φ(x3)
0
4
8
12
ψ(y3)
4
4
4
4
φ+ψ
4
8
12
16
Z3
4
8
12
16
Второй месяц
S1
50
40
30
20
10
0
x2
0
0
10
0
10
20
0
10
20
30
10
20
30
40
20
30
40
50
S2
30
20
30
10
20
30
0
10
20
30
0
10
20
30
0
10
20
30
y2
40
30
40
20
30
40
10
20
30
40
10
20
30
40
10
20
30
40
φ(x2)
0
0
4
0
4
8
0
4
8
12
4
8
12
16
8
12
16
20
ψ(y2)
8
7
9
5
7
9
3
5
7
9
3
5
7
9
3
5
7
9
Z3
4
8
4
12
8
4
16
12
8
4
16
12
8
4
16
12
8
4
φ + ψ + Z3
12
15
18
17
19
22
19
21
23
25
23
25
27
29
27
29
31
33
Z2
12
15
y1
15
25
35
45
φ(x1)
4
8
12
16
ψ(y1)
4
6
8
10
Z2
27
23
19
17
φ + ψ + Z2
35
37
39
43
Z1
35
17
19
23
27
Первый месяц
S0
20
x1
10
20
30
40
S1
0
10
20
30
50
60
40
50
55
65
20
24
12
14
15
12
47
50
x1 = 10 S1 = 0 y1 = 15 φ(x1) = 4 ψ(y1) = 4
x2 = 20 S2 = 0 y2 = 10 φ(x2) = 8 ψ(y2) = 3
x3 = 30 S3 = 0 y3 = 15 φ(x3) = 12 ψ(y3) = 4
Выгодно каждый год докупать ровно столько, чтобы хватило на текущий
год.
Контрольные вопросы:
1.Какие задачи решаются методом динамического программирования?
2.Что означает понятие «шаговое управление»?
3.Как определяются шаги при решении задачи ДП?
4.В чем суть принципа оптимальности Беллмана?
5.Каким образом проводится условная и безусловная оптимизация?
6.Как решить задачу распределения средств на 1 год?
7. Как решить задачу распределения средств на 2 года?
Сетевое планирование.
Основные понятия метода сетевого планирования
При сетевом планировании определяются оценки продолжительности
операций, и строится сетевая модель – сетевой график.
Построение сетевого графика позволяет проанализировать все
операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации.
Календарный сетевой график определяет начало и окончание каждой
операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Он выявляет
критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы
закончить все работы в директивный срок.
По выявленным некритическим операциям календарный сетевой
график позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно
использовать при задержке выполнения работ или эффективном
использовании трудовых и финансовых ресурсов.
Сетевой график (сетевая модель) – графическое изображение
плана выполнения комплекса работ, состоящего из нитей
(работ) и узлов (событий), которые отражают логическую
взаимосвязь всех операций.
В основе сетевого планирования лежит изображение планируемого
комплекса работ в виде графа.
Граф – схема состоящая из заданных точек (вершин), соединенных
системой линий.
Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны
направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить какая из двух его
граничных вершин является начальной, а какая конечной.
Сетевой график – это ориентированный граф без контуров (в
контуре начальная вершина совпадает с
конечной).
Основными элементами сетевых графиков являются:
работа, события, путь.
РАБОТА – это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо
пассивный (ожидание), приводящий к достижению
намеченного результата.
ФИКТИВНАЯ РАБОТА – это связь между результатами работ
(событиями), не требующая затрат времени и ресурсов,
т.е. имеющая нулевую продолжительность.
СОБЫТИЕ – это результат выполнения одной или нескольких
предшествующих работ.
ПУТЬ – любая непрерывная последовательность (цепь) работ и
событий.
КРИТИЧЕСКИЙ ПУТЬ – это путь не имеющий резервов работы
комплекса.
Работы расположенные на критическом пути,
называют критическими.
Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и
обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их
выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего
комплекса работ.
ОЖИДАНИЕ – процесс, требующий затрат времени, но не
требующий затрат ресурсов (отдых персонала, ожидание
благоприятных условий и т.п.).
Общий вид сетевого графика показан на рисунке:
a
А01
А14
1
7
18
А04
а
0
а
12
А02
4
А34
6
8
а
2
А23
3
а
3
Рис. 1 Сетевой график (вариант).
Все работы изображаются на сетевом графике стрелками, величина которых
не зависит от продолжительности работы и расхода ресурсов.
Стрелки указывают факт и направление движения процесса.
Фиктивная работа изображается пунктирной стрелкой.
У всех стрелок проставляются индексы, соответствующие наименованию
работы, а под ними- время, затрачиваемое на данную работу.
Понятие СОБЫТИЕ отличается от понятия РАБОТЫ тем, что не является
процессом и не связано с затратами времени и ресурсов (разработка сметы
закончена, ресурс принят, сборка узла машины завершена). Оно может иметь
следующие значения:
1. Исходное событие, с которого начинаются все работы. В исходное
событие не входит ни одна работа (например, получено распоряжение
о начале производства продукта).
2. Завершающее событие – событие, которым заканчивается весь
комплекс работ и из него не выходит ни одной работы.
3. Промежуточные события, или просто события – все события,
находящиеся между исходным и завершающим событием.
Любая работа соединяет только 2 события.
Событие, из которого выходит работа, является для него начальным или
последующим, а куда входит – конечным или последующим.
Работы сетевого графика обозначаются большими буквами и кодируются
начальными i и конечными j событиями (А04; А01; А23;…).
События сетевого графика обозначаются малыми буквами и нумеруются в
порядке последовательности развития операции.
Путь в сетевом графике – любая последовательность работ, в которой
конечное событие каждой работы является началом следующей за ней
работы.
Наибольший по продолжительности путь называется критическим
и обозначается L кр, а его продолжительность Т кр (на рис. 1) критическим
является путь a1-А01-а1-А14-а4=25 ед.времени.
Выделение критического пути является важнейшим элементом в сетевом
планировании.
Критический путь позволяет:
1. Определить какие работы и события лимитируют выполнение всего
комплекса работ;
2. Позволяет сосредоточить внимание руководителя не на всех работах, а
прежде всего на лежащих на критическом пути;
3. Помогает ускорить выполнение работ за счет привлечения резервов,
скрытых в некритических работах.
Расчет сетевых графиков
На рис. 2 показана одна дуга сетевого графика со всеми величинами,
необходимыми для расчета и получаемыми в результате его.
tp i
n
R ij,R4ij
i
t pj
j
tn i
tij
Обозначения:
i – код начального события работы;
tn j
j – код конечного события работы;
ij – код работы (дуги);
tij – продолжительность работы ij;
tрi – ранний срок свершения i-го события, самый ранний срок, в который
событие может произойти;
tpj – ранний срок свершения j-го события;
tni – поздний срок свершения i-го события, - самый поздний допустимый срок
свершения, при котором общая продолжительность работ по графику не
увеличится;
tnj – поздний срок свершения j-го события;
tpнij – раннее начало работы ij;
tpoij – раннее окончание работы ij;
tnнij – позднее начало работы ij;
tnoij– позднее окончание работы ij;
Rnij – полный резерв времени работы, время, на которое можно задержать
окончание работы, но так, чтобы при это общая продолжительность работ по
графику не увеличилась;
Rчij – частный резерв работы, - время, на которое можно задержать окончание
работы так, чтобы ранний срок свершения события j не увеличился.
Алгоритм расчета сетевого графика.
1. Для начального события 1 назначается tp1=0.
2. Достигаемая
от начального события графика к конечному.
Последовательно просматриваются события в порядке возрастания их
кодов и вычисляются ранние сроки свершения событий по формуле
tpj=max(tpi+tpj). Если в событие j входит несколько дуг, то по каждой их
них вычисляется величина tpi+tij и в качестве tpj принимается большая
из рассчитанных величин.
3. Для конечного события графика (код его обозначим k) назначается
tnk=tpk – поздний срок свершения конечного события равен раннему
сроку свершения этого события.
4. Двигаемся от конечного события графика к начальному.
Просматриваются события в порядке убывания их кодов и
вычисляются поздние сроки свершения событий по формуле:
tni=min(tnj-tij). Если из события i выходит несколько дуг. То по каждой
их них вычисляется величина tnj-tij и в качестве tnj принимается
меньшая. Если расчет произведен без ошибок, то для начального
события графика должно оказаться tn1=0.
5. Формулы для вычислений по работам:
tpnij=tpi;
tnoij=tnj;
tpoij=tpi+ tij;
Rnij= tnj- tpi- tij;
tnнij= tnj- tij;
Rчij= tpj- tpi- tij.
Можно ограничится расчетом на графике. Иногда результаты расчета
показывают в таблице.
i
j
tij
tpnij
tpoij
tnнij
tnoij
Rчij
Rnij
На рис. 3 показан график с рассчитанными сроками свершения событий.
Ранние сроки пишутся над событиями, поздние сроки – под событиями.
Критический путь показан двойной линией.
6
28
18
25
44
20
39
69
24
5
14
0
8
15
24
48
9
69
21
10
1
2
0
10
0
14
10
18
28
48
4
7
35
8
8
15
3
20
20
55
В следующей таблице показаны результаты расчета:
Работа
i
J
(1 2)
(1 3)
(2 4)
(2 5)
(2 6)
(3 4)
(4 7)
(5 6)
(5 7)
(5 8)
(6 9)
(7 9)
(8 9)
Р.Н.
tpnij
0
0
10
10
10
8
28
24
24
24
44
48
39
tij
10
8
18
14
18
15
20
20
0
15
25
14
21
Р.О.
tpoij
10
8
28
24
28
23
48
44
24
39
69
52
60
П.Н.
tnнij
0
12
17
10
26
20
35
24
55
33
44
55
48
П.О.
tnoij
10
20
35
24
44
35
55
44
55
48
69
69
69
Резерв
Rnij
0
12
7
0
16
12
7
0
31
9
0
7
9
Rчij
0
0
0
0
16
5
0
0
24
0
0
7
9
После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется
дополнить его линейной диаграммой.
В ней критическое время комплекса работ равно координате
на оси времени самого правого конца всех отрезков
диаграммы.
Пример задачи.
Дан перечень работ и время выполнения каждой работы.
Составить сетевой график и определить сколько всего времени
понадобится на выполнение всех работ.
Решение.
1. Составляется сетевой график.
2. Составляется таблица и рассчитываются критические работы и
определяются резервы времени.
3
3
0
1
5
5
3
4
1
6
2
7
2
2
3
4
6
Работа
(ij)
(0,1)
(1,2)
(1,3)
(2,4)
(3,5)
(4,5)
(4,6)
(5,6)
(6,7)
tij
1
2
3
3
5
4
6
3
2
Р.Н.
tpnij
0
1
1
3
4
6
6
10
13
Р.О.
tpoij
1
3
4
6
9
10
12
13
15
П.Н.
tnнij
0
1
2
3
5
6
7
10
13
П.О.
tnoij
1
3
5
6
10
10
13
13
15
Резерв
Rnij
0
0
1
0
1
0
1
0
0
Ответ:
-критический путь – 15 ед. времени;
-резерв в работах (1-3), (3-5), (4-6) по 1 ед. времени.
Контрольные вопросы:
1. В чем состоит задача сетевого планирования?
2. Что является исходной информацией для анализа ?
3. Дайте определение сетевого графика.
4. Какие основные элементы сетевого графика?
5. Как строится временной сетевой график?
6. Что такое критический путь?
7. Что такое резерв времени в сетевой задаче и как он определяется?
8. Как построить таблицу для расчета сетевого графика?
9. Какой алгоритм сетевого планирования?
10.Какие оптимизационные задачи ставятся в рамках сетевого
планирования?
Системы массового обслуживания.
Формулировка задачи и характеристики СМО
Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь
покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых
остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих
ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо
пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием
вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и
разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами
массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль
некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом
обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания
тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически
невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья,
материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада;
обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании;
организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной
численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий
поток; каналы обслуживания и выходящий поток. Это изображено на рис.
Входящий
поток
очередь
••••
каналы
обслуживания
•
•
выходящий
поток
•
•
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1. системы с отказами, в которых при занятости всех каналов
обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему
необслуженной;
2. системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в
очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
3. системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной
очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все
места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается
обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и
многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть
разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми
(источник находится в самой системе).
Рассмотрим в отдельности элементы СМО.
Входящий поток: на практике наиболее распространенным является
простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности
ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления
определенного количества требований (заявок) в течение некоторого
промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.
Ординарность потока определяется невозможностью одновременного
появления двух или более заявок.
Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не
зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом
случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за
промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона.
Pk(t)=( (λt)k / k! ) е-λt
где λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу
_
_
времени:
λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τ – среднее значение
интервала времени между двумя соседними заявками;
k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено
экспоненциально с плотностью вероятности: f(t)= λ е-λt
Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают
распределенным экспоненциально: f(t)=υе-υt
где υ – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок
_
_
приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/tоч, где tоч –
среднее значение времени ожидания в очереди.
Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где
_
длительность обслуживания tобс является случайной величиной и часто
подчиняется показательному закону распределения с плотностью
f(tобс)= μe-μt
где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ tобс(чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн)
где t – среднее время обслуживания.
Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является
интенсивность нагрузки ρ=λ/ μ
Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.
СМО с отказами.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы
занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем
качества обслуживания выступает вероятность получения отказа.
Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам,
входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания
одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Формулы для расчета установившегося режима
1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
n
P0=1/(Σ ρk / k!)
k=0
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание
заявка найдет все каналы занятыми (k=n):
Pотк= Pn =P0ρn / n
3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
_
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
k3= n3/n
6. Абсолютная пропускная способность СМО: A=λ Робс
_
n3=ρ Робс
СМО с неограниченным ожиданием
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и
нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения
одного из каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время
ожидания (время пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.
Pотк=0 и Робс=1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
1. обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел –
первым обслужен»;
2. случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний
пришел - первым обслужен»;
3. обслуживание с приоритетами по принципу «генералы и полковники
вне очереди».
Формулы для расчета установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
к
n
P0=1/Σ(ρ /к!)+ρ
n+1
/n!(n-ρ)
k=0
Предполагается, что ρ/n<1, т.е. интенсивность нагрузки меньше числа
каналов.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок: Pk= ρк P0/k!, 1≤ k≤ n
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов: Pn =P0ρn / n!
4. Вероятность того, что заявка ожидается в очереди: Роч= ρn+1/n!(n-ρ)* P0
5. Среднее число заявок в очереди: _
Lоч= ρn+1/(n+λ)!(n-ρ)2* P0
6. Среднее время ожидания заявки в очереди: _ _
tоч= Lоч/λ
7. Среднее время ожидания заявки в СМО: _
_
tсмо= tоч+ tобс
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов: _
n3=ρ
9. Среднее число свободных каналов: _
_
nсв= n- n3
_
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания: k3= n3/ n
11. Среднее число заявок в СМО: _ _ _
z= Lоч+ n3
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной
очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает
систему необслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в
обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1. ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;
2. ограничения сверх длины очереди;
3. ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)m]}
n – число каналов;
m – длина накопителя;
ρ – интенсивность нагрузки;
К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
2. Вероятность отказа в обслуживании: Pотк= ρn+m/n!n m*P0
3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк
4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Робс
5. Среднее число занятых каналов: _
n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ
6. Среднее число заявок в очереди:
_
Lоч= ρn+1/n*n! * 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)2 * P0
7. Среднее время ожидания обслуживания: _
_
tоч= Lоч/λ
_ _ _
8. Среднее число заявок в системе: z= Lоч+ n3
_
1. Среднее время пребывания
системе: tсмо= z/λ
Примеры решения задач.
в
Пример № 1.
Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки
поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность
разговора составляет 2 мин.
Определить характеристики дежурного администратора как системы
массового обслуживания.
Решение:
1. Классифицировать СМО:
 с отказами (нет накопителя);
 многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
2. Обозначения:
λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)
n – число каналов (n=5);
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ tобс)
tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин)
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k=n=5;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на
обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания.
nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов.
кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.
А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО:
а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3
n
б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=
к=0
=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+
+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054
в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=
= (243/120)*0,054=0,12
г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88
д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6
е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52
ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Пример № 2.
На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом
находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин.
Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.
Определить характеристики этой СМО.
Решение:
1) Классифицируем СМО:
- с ограниченной длиной очереди
- с накопителем
- многоканальная
- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с
ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
2) Обозначения:
m=2 - длина накопителя
n=2 - число каналов
Остальные обозначения - как в Примере № 1.
3) Определяем характеристики данной СМО:
а) λ = 1/3;
б) tобс = 2 мин;
в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.
г) Вероятность простоя каналов:
n
Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+
к=0
+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+
+( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52
д) Вероятность отказа в обслуживании:
Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013
е) Вероятность обслуживания:
Робс = 1- Ротк= 0,987
ж) Абсолютная пропускная способность:
А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33
з) Среднее число занятых каналов:
nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658
Для каналов, занятых обслуживанием:
кз = 0,658/2=0,329.
и) Среднее число заявок в очереди:
_
Lor= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро
_
Lor =( (2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2) *0.52
=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14
к) Среднее время ожидания обслуживания:
_
tor= Lor/ λ = 0.14/0.33=0.42
л) Среднее число заявок в системе:
_
Z= Lor+ nз =0,14+0,66=0,8
м) Среднее время пребывания в системе:
tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= tor+ toбс= 0,42+2=2,42 мин
Контрольные вопросы:
1. Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для
чего они предназначены?
2. Какие блоки включает схема СМО?
3. Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
4. На какие классы делятся СМО в зависимости от :
а) характера потоков,
б) числа каналов,
в) дисциплины обслуживания,
г) ограничения потока заявок,
д) количества этапов обслуживания?
5. Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
6. Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова
единица измерения этого показателя?
7. Перечислите
основные
характеристики
эффективности
функционирования многоканальной СМО с отказами ?
8. Перечислите
основные
характеристики
функционирования многоканальной СМО с
ограничением на длину очереди?
9. Перечислите
основные
характеристики
функционирования многоканальной СМО с
ожиданием?
эффективности
ожиданием и
эффективности
неограниченным
Варианты контрольной работы
Задача 1
Выделены денежные средства S0=100 д.ед. для вложения в
инвестиционные проекты для реконструкции и модернизации
производства на четырех предприятиях.
По каждому предприятию известен возможный прирост fi(х) (i=1, 2, 3,
4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.
Требуется:
1. Распределить средства S0 между предприятиями так, чтобы
суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях
достиг максимальной величины;
2. Используя решение основной задачи, найти оптимальное
распределение между тремя предприятиями.
Данные необходимо для решения, приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Номер варианта
Параметр
1
2
3
4
2
4
f1 (20)
2
3
4
f2 (20)
4
4
4
f3 (20)
1
2
2
f4 (20)
4
4
6
f1 (40)
4
2
4
5
2
6
5
2
2
2
3
7
6
2
4
3
2
6
7
2
2
4
4
3
8
2
2
1
2
4
9
4
5
4
2
3
0
4
2
2
3
6
f2 (40)
f3 (40)
f4 (40)
f1 (60)
f2 (60)
f3 (60)
f4 (60)
f1 (80)
f2 (80)
f3 (80)
f4 (80)
f1 (100)
f2 (100)
f3 (100)
f4 (100)
4
6
4
9
6
10
9
12
11
5
6
15
12
12
13
4
3
4
7
4
8
5
11
11
8
5
14
11
13
14
4
3
5
9
6
5
7
7
9
8
13
14
10
13
12
6
4
5
8
5
6
9
11
5
12
7
14
10
10
13
5
6
5
7
8
5
8
12
13
7
9
14
12
10
14
5
3
5
9
10
10
5
7
8
7
11
15
12
12
14
6
4
6
5
8
5
5
11
11
12
9
11
15
11
13
6
4
4
6
9
4
6
7
8
7
8
15
15
10
12
6
3
4
4
7
9
9
7
10
6
12
14
10
12
14
7
4
4
8
8
9
4
7
8
10
12
11
14
15
12
Задача 2
В начале планового периода продолжительностью 6 лет имеется
оборудование, возраст которого t.
Оборудование не должно быть старше 6 лет.
ИЗВЕСТНЫ:
- стоимость r(t) продукции, произведенной в течение года с помощью этого
оборудования;
- ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией этого оборудования;
- его остаточная стоимость s;
- стоимость p нового оборудования, включающая расходы, связанные с
установкой, наладкой и запуском оборудования.
ТРЕБУЕТСЯ:
1) составить матрицу максимальных прибылей за 6 лет;
2) составить по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии
замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде
продолжительностью 6 и N лет.
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
Для всех вариантов
Таблица 2
r(t) = 20 - 2t, u(t) = 2 + 2t
Параметр Номер варианта
1
2
3
4
4
2
4
6
s
8
4
9
9
р
5
4
4
4
N
4
2
2
4
t1
1
5
1
2
t2
5
6
9
6
5
2
6
6
10
5
2
1
7
2
5
6
4
2
8
4
8
4
4
3
9
5
9
3
2
5
0
3
7
3
5
5
Задача 3
Торговое предприятие должно в течение 3-х месяцев отпустить со склада
некоторое количество товара di , (i = 1, 2, 3). Предприятие имеет возможность
докупать необходимое количество товара.
ИЗВЕСТНО:
- первоначальное количество товара S0
- затраты на пополнение f(x)
- затраты на хранение ψ(y) в данном периоде в зависимости от y - среднего
уровня хранимого товара.
ТРЕБУЕТСЯ:
1) решить задачу
2) определить размеры покупки товара в каждом месяце для пополнения и
удовлетворения заданного расхода di из условий минимизации затрат и что
на конец третьего месяца склад должен быть пуст (S3 = 0)
Необходимые числовые данные приведены в таблице 3.
Таблица 3
Параметр Номер варианта
1
2
3
4
5
4
6
6
S0
5
4
4
7
d1
5
7
7
7
d2
6
4
7
4
d3
0,4 0,5 0,4 0,2
f(x)
0,2 0,4 0,2 0,4
ψ(y)
5
4
5
3
6
0,2
0,2
6
5
5
4
4
0,4
0,2
7
7
4
4
4
0,8
0,2
8
7
6
6
7
0,7
0,6
9
4
6
6
4
0,4
0,7
0
5
5
5
3
0,4
0,6
Задача 4
Построить сетевой график и указать критические работы.
Таблица 4
Параметр Номер варианта
1
2
3
0-1
6
3
7
1-2
3
2
1
1-3
3
5
5
2-4
10
10
7
2-6
8
2
9
3-5
9
3
7
3-6
3
9
6
4-5
7
2
10
5-6
9
1
7
6-7
3
9
8
7-8
8
3
2
4
3
6
7
10
8
1
6
4
9
9
8
5
1
8
2
3
6
1
8
7
4
8
4
6
5
5
7
10
5
10
4
6
5
4
8
7
6
8
5
6
5
10
2
2
4
9
1
8
1
1
6
9
4
2
2
8
3
8
9
9
3
8
7
2
5
2
6
3
4
7
4
0
3
8
5
8
7
8
10
7
2
1
4
Задача 5
Вариант 1.
Дежурный по администрации города имеет 8 телефонов. Телефонные
звонки поступают с интенсивностью 120 заявок в час. Средняя
продолжительность разговора составляет 2мин.
Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.
Вариант 2.
На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из
которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку
с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания
автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей
части не разрешается.
Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и
вероятность того, что прибывший автомобиль не найдет на стоянке
свободного места.
Вариант 3.
В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3
диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов
врача к больным поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает
отказ. Поток заявок составит 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в
среднем 1,5 мин.
Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи»
как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов,
чтобы удовлетворить не менее 90% поступающих вызовов врачей.
Вариант 4.
АТС предприятия
обеспечивает не более 5 переговоров,
одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На
станцию поступает в среднем 10 вызовов в секунду.
Определить характеристики АТС как объекта СМО.
Вариант 5.
В морской порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту
имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8
часов. Краны работают круглосуточно.
Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае
необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.
Вариант 6.
В магазине покупателей обслуживают 2 продавца. Среднее время
обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока
покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что
одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек.
Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже
стоит 5 человек, не ждет снаружи и уходит.
Определить вероятность того, что пришедший в магазин покупатель
покинет магазин необслуженным.
Вариант 7.
Морской вокзал г. Североморск обслуживает касса с двумя окнами. В
выходные дни, когда население активно морским сообщением,
интенсивность потока сообщений составляет 0,9 человек/мин. Кассир
затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.
Определить среднее число пассажиров у кассы и среднее время,
затрачиваемое пассажиром на приобретение билета.
Вариант 8.
На АЗС имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой
машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если
она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не
становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на
станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в
среднем 2,5 мин.
Определить вероятность отказа, абсолютную пропускную способность
АЗС, среднее число машин, ожидающих заправку, среднее время ожидания
машины в очереди, среднее время пребывания машины на АЗС (включая
обслуживание).
Вариант 9.
Салон – парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей
имеет 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента
составляет 40 мин.
Определить среднюю очередь на обслуживание, считая ее
неограниченной.
Вариант 10.
В мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент
заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской,
не ожидая обслуживания.
Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20.
Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента,
равно 6 мин.
Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет
обслужен, а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в
течении 1 часа, и среднее число занятых мастеров.