Algebraicheskiye uravneniya vysshikh stepeney

Секция математики
Алгебраические уравнения высших степеней.
Скопинцев Андрей
Ученик 11 класса,
под руководством Чуриловой Любови Петровны
МОБУ «СОШ» № 76
г. Оренбурга
Оренбург
2014
Оглавление
Введение……………………………………………………….......………….……...3
1. Комплексные числа………………………..………………………….….…...5
1.1.
Историческая справка……………………………………………………..5
1.2.
Основная теорема алгебры………………………………………………..6
2. Уравнения первой и второй степени………………………………………...7
2.1.
Линейное уравнение ……………………………………………………...7
2.2.
Квадратное уравнение………………………………………………....….8
2.3.
Теорема Виета………………………………………………….……...…10
3. Уравнения третьей степени. Формула Кардано……………………...........10
3.1.
Кубическое уравнение…………………………………………………...10
3.2.
Кардано Джироламо. Формула Кардано …………………………….…11
4. Уравнения четвертой степени………………………………………..…......16
4.1.
Способ решения Феррари………………………………………….…….17
5. Неразрешимость уравнений степени n≥5………………………….............18
5.1.
Паоло Руффини…………………………...……………………….…......18
5.2.
Нильс Абель………………………………………………….......…….…19
5.3.
Теорема Руффини – Абеля………………………………………………19
5.4.
Эварист Галуа. История создания теории Галуа. ……………...........…21
Заключение…………………………………………………….………………...….24
Список литературы……………………………………………………….……...…25
Приложения……………………………………………………..…………………..26
2
Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их
изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного
курса математики. Знаменитый русский математик Н.И. Лобачевский говорил о
том, что «решение уравнений составляло всегда главный предмет алгебры».
Значение теории уравнений состоит в том, что она не только служит
теоретической основой для познания естественных законов природы, но и
применяется в конкретных практических целях. Большинство задач о
пространственных формах и количественных отношениях реального мира
сводится к решению различных видов уравнений. С другой стороны при
изучении любой темы школьного курса математики уравнения могут быть
использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения
и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической
деятельности учащихся.
Исключительное место в изучении уравнений занимают квадратные
уравнения, которые являются одним из основных типов алгебраических
уравнений изучаемых в школьном курсе математики и являются специальным
объектом изучения в курсе математики основной школы. От степени усвоения
данной темы и от умения решать квадратные уравнения зависит дальнейшее
изучение остальных типов уравнений, так как квадратные уравнения широко
применяются
при
решении
тригонометрических,
показательных,
логарифмических и других типов уравнений, изучаемых в школьном курсе
математики.
Однако при освоении этого материала многие учащиеся сталкиваются с
различными трудностями и недостаточно осознанным восприятием материала,
не смотря на его кажущуюся простоту. Решить эту проблему может помочь, в
том числе и использование исторических сведений на уроках и внеклассных
занятиях по математике.
3
Историко-генетический метод позволяет лучше понять учащимся
особенности развития элементарной алгебры как науки об уравнениях,
способствует повышению интереса к математике, её более глубокому
пониманию.
На страницах школьных учебников по математике, к сожалению, мы не
нашли исчерпывающей информации об алгебраических уравнениях высших
степеней, а также, их истории. Эта проблема позволила сформулировать цель
нашего исследования:
-изучение истории решения алгебраических уравнений от древнейших
времен до наших дней.
Задачи, сформулированные нами для выполнения намеченной цели
работы:
-изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению
уравнений;
- изучить историю развития уравнений;
- изучить различные способы решения уравнений;
- на основе прочитанного, сделать выводы об алгебраических
уравнениях;
Методы исследования, применяемые при написании данной работы
следующие: критический анализ литературы, сравнительный анализ доступных
источников, формулирование собственных выводов, реферативные.
Объект исследования: алгебраическое уравнение.
Предмет исследования: алгоритмы решения алгебраических уравнений.
Гипотеза исследования: основные методы решения алгебраических
уравнений разработаны.
4
1. Комплексные числа
Знание комплексных чисел необходимо для решения алгебраических
уравнений степени выше двух.
Комплексные числа (устар. Мнимые числа), - расширение множества
вещественных чисел, обычно обозначаются
. Любое комплексное число
может быть представлено как формальная сумма х+iy, где х и у – вещественные
числа, а i – мнимая единица, квадрат которой равен -1.
Многочлен степени n c комплексными коэффициентами хотя бы один
комплексный корень (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин
широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно
сформулировать
математической
многие
физике
математические
и
в
естественных
модели,
науках
применяемые
–
в
электротехнике,
гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих
других.
1.1.
Историческая справка
Термин «комплексное число» впервые использовал французский математик
Л. Карно (1753 – 1823) в 1803 году, но широкое употребление ему придал К.Ф.
Гаусс (1777—1855) в 1831 году.
Впервые же мнимые величины, скорее всего, нашли отражение в известном
труде Дж. Кардано (1501—1576) «Великое искусство» (1545), но он счёл их
непригодными для использования в математической практике.
Выражение вида a  b  1 появляющиеся при решении квадратных и
кубический уравнений, стали называть «мнимыми» ещё в XVI—XVII веках, но
всё же для многих крупных ученых XVII века их алгебраическая и
геометрическая сущность была не ясна. Долгое время было неясно, можно ли,
проводя математические операции над комплексными числами, получить числа
какого-то нового типа. Так задача о выражении корней n-ой степени была
5
решена только в начале XVIII века в работах А. де Муавра (1667—1754) и Р.
Котса (1682—1716).
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними
появилось впервые в работе К. Весселя (1745—1818), но зачатки этого
представления были сделаны ещё в 1685 году Дж. Валлисом (1616—1703).
Современное геометрическое представление, так называемую диаграмму
Аргана, предложил в опубликованной в 1806 года работе Ж. Р. Арган (1768—
1822), независимо повторявший выводы Весселя.
Символ i   1 был предложен Л. Эйлером в 1777 году. Это первая буква
слова лат. imaginarius — мнимый. Он также распространил области значения
всех стандартных функций на комплексную область. Эйлер также высказал в
1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Чуть
ранее, в 1747 году, к этому же выводу пришёл и Ж. Л. Д’Аламбер (1717—
1783), но его доказательство было не безукоризненным. Первое строгое
доказательство этого факта было дано Гауссом в 1799 году в его докторской
диссертации. В последствие Гаусс даже предложил 4 различных доказательства
основной теоремы алгебры.
Непротиворечивая модель комплексных чисел была создана в 1837 году У.
Р.
Гамильтоном (1806—1865).
В
рамках
неё
комплексные
числа
рассматривались как упорядоченные пары действительных чисел. Он же в 1843
году предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, получив тем
самым гиперкомплексные числа. Позже были получены ещё несколько видов
гиперкомплексных чисел, например, числа Кэли.
1.2.
Основная теорема алгебры
Основная
теорема
алгебры
утверждает,
что
всякий
константы многочлен с комплексными коэффициентами
хотя
отличный
бы
от
один
имеет корень в поле комплексных чисел.
Для многочленов справедлива следующая теорема.
6
Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – α
равен Р(α) (т.е. значению Р(х)при х=α).
Определение:
Степенью
многочлена
от
переменной
x
называется
наибольший из показателей степени одночленов, входящих в его стандартный
вид. Обозначается deg f(x).
Для многочленов f, g выполнены следующие свойства степени:
1. deg fg  deg f  deg g , если f  0, g  0 .
2. deg ( f  g )  max(deg f , deg g ) , если f  0, g  0, f  g
Следствие:
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен
степени n над полем комплексных чисел имеет в нем не больше n корней.
Доказательство. У многочлена f(х) есть корень а, значит, по теореме Безу,
он представим в виде (х-а)g(х), где g(х) – другой многочлен. Применим теорему
к g(х) и будем применять ее таким же образом до тех пор, пока на месте g(х) не
окажется линейный множитель.
2. Уравнения первой и второй степени
2.1.
Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение первой степени, ах+b=0
(1), где a и b – некоторые действительные числа. Линейное уравнение всегда
b
a
имеет единственный корень х   , который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число
, получаем уравнение ах=-
b, (2), эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на
b
a
величину а  0 , получаем корень уравнения (1): х   .
7
2.2.
Квадратное уравнение
Уравнение вида ах2+bх+с=0 (1), где а, b, с - действительные числа, причем
а  0 ,называют квадратным уравнением. Если, а  1 , то квадратное уравнение
называют приведенным; если a=1, то не приведенным.
Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй
коэффициент, c - свободный член. Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по
 b  b 2  4ac
формуле х 
(2).
2a
Выражение D=b2__4ac называют дискриминантом квадратного
уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D =
0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение
имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что
квадратное
уравнение
обозначение D=b2-4ac,
х
имеет
можно
два
одинаковых
переписать
корня.
формулу (2)
Используя
в
виде
b D
.
2a
Если b = 2k, то формула (2) принимает вид:
x
 2k  4k 2  4ac  2k  2 k 2  ac  k  k 2  ac


.
2a
2a
a
Итак, х 
b
 k  k 2  ac
, где k  .
2
a
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда
b
- целое число, т.е.
2
коэффициент b - четное число. (см. Приложение 1).
Неполные квадратные уравнения:
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или
свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не
8
пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить
уравнение методом разложения его левой части на множители. (см.
Приложение 1).
Старая формула (геометрическая) для решения квадратного уравнения:
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные
уравнения решали не алгебраически, а геометрически.
Пример: Решим уравнение х2 + 10х = 39.
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся
1
2
прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,
1
2
следовательно, площадь каждого равна 2 х . Полученную фигуру дополняют
затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата,
1
2
1
4
сторона каждого из них 2 , а площадь 6 .
D
x
6 .
1
4
2 х
6 .
1
2
x2
2 х
1
4
2 х
2 х
6 .
A
1
2
C
1
2
х
1
4
1
2
1
4
6 .
B
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:
первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников
9
1
2
1
4
(4 ∙ 2 х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6  4  25 ), т.е.
S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64,
откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой
стороны х первоначального квадрата получим
х=8–2
2.3.
1
1
– 2 = 3.
2
2
Теорема Виета
Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные
корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть:
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна которому
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену).
Верно и обратное утверждение:
Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = –p и x1 x2 = q, то
они являются корнями уравнения x2 + px + q = 0.
3. Уравнения третьей степени. Формула Кардано
3.1.
Кубическое уравнение
Кубическое уравнение — полиномиальное уравнение третьей степени,
канонический вид которого
ax 3  bx 2  cx  d  0, где а  0.
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к
более простому виду:
10
y 3  py  q  0 , поделив его на a и подставив в него замену х  у 
b
. При этом
3a
коэффициенты будут равны:
2b 3
bc
d 2b 3  9abc  27a 2 d
q

 
,
27a 3 3a 2 a
27a 3
p
c b2
3ac  b 2
 2 
.
a 3a
3a 2
А также методами решения этого уравнения являются:
 Формула Кардано
 Тригонометрическая формула Виета
3.2.
Кардано Джироламо. Формула Кардано
Кардано
Джироламо
(24.9.1501-21.9.1576)-итальянский
математик,
механик и врач. (см. Приложение 2). Родился в Павии. Учился в университетах
Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором
математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно
связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он
позаимствовал у Н.Тартальи. Эта формула (формула Кардано) опубликована в
книге Кардано: «Великое искусство» (1545г.). (С этого времени Тарталья и
Кардано стали смертельными врагами.) В этой книге систематически изложены
современные
Кардано
методы
решения
уравнений,
главным
образом
кубических. Здесь помещено также решение уравнения 4-й степени, о котором
сказано, что оно принадлежит ученику Кардано - Феррари. Кардано выполнил
линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к
виду, свободному от члена 2-ой степени; указал на зависимость между корнями
и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x-a, если aего корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование
11
отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые
величины.
Формула Кардано
Если воспользоваться современным математическим языком и современной
символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью
следующих в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дана формула: a0 x 3  a1 x 2  a 2 x  a3  0, (1), где a0 , a1 , a2 , a3 произвольные вещественные числа, a0  0 .
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубическое уравнения вида (1) приводятся к
кубическому уравнению, у которого отсутствует член со второй степенью
неизвестного. Такое кубическое уравнение называют трёхчленным кубическим
уравнением.
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при
помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду:
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0. Тогда оно примет вид:
x 3  ax 2  bx  c  0 (2), где a, b, c - произвольные вещественные числа.
Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по
формуле:
x y
a
, (3).
3
a
3
a
3
a
3
Тогда, поскольку x 3  ax 2  bx  c  ( y  ) 3  a( y  ) 2  b( y  )  c 
a
a2 a3
a a2
ab
2
= y  3 y  3 y   a( y  2 y  )  by   c 
3
9 27
3 9
3
3
2
12
= y 3  ay 2 
a2 y a3
2a 2 y a 3
ab

 ay 2 

 by 
c 
3
27
3
9
3
a 2 y 2a 3
ab
a2
2a 3 ab
3
=y 

 by 
 с  y  (b  ) y  c 
 , то уравнение (2) примет
3
27
3
3
27
3
3
вид: y 3  (b 
a2
2a 3 ab
)y  c 

 0. (4)
3
27
3
a2
Если ввести обозначения: p  b 
3,
2a 3 ab
, то уравнение (4)
q c

27
3
примет вид: y3+py+q=0, (5), где p,q - вещественные числа. Уравнения вида (5) и
являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует
член со второй степенью неизвестного.
Будем искать решение уравнения (5) в виде y  z 
p
(6), где z – новая
3z
переменная.
3
p
p
p2
p3
p2
p3

3
y   z    z 3  3z 2   3z  2 

z

pz


, то выполняется
3z 
3z
3z 27 z 3
9z
27 z 3

3
равенство:
p2
p3
p


 p z    q 
2
3z 27 z
3z 

.
2
3
2
3
p
p
p
p
z 3  pz 

 pz 
 q  z3 
q
3 z 27 z 3
3z
27 z 3
y 3  py  q  z 3  pz 
Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде: z 3 
Если теперь уравнение (7) умножить на
уравнение относительно z3: z 6  qz 3 
p3
 q  0 ,(7).
27 z 3
, то мы получим квадратное
p3
 0 ,(8).
27
 q  q2 
Решение уравнения (8) имеет вид: z13, 2 
2
4 3
p
27

q
q2 p3
,


2
4 27
следовательно,
13
z1  3 
q
q2 p3
q
q2 p3


, z2  3  

в соответствии с (6), отсюда вытекает,
2
4 27
2
4 27
p
p
что уравнение (5) имеет два решения: y1=z1- , y 2  z 2 
(9)
3z1
3z 2
В развернутой форме эти решения записываются так:
q
q2 p3
y1   


2
4 27
3
q
q2 p3
y2   


2
4 27
3
p
, (10).
q
q2 p3
33  

2
4 27
p
, (11). Но, несмотря на кажущиеся
q
q2 p3
33  

2
4 27
различия, решения (10) и (11) совпадают. Таким образом, y1  y2  z1  z 2 и для
решения уравнения (5) мы получили формулу
y3
q
q2 p3 3  q
q2 p3





, (12).
2
4
27
2
4
27
которая и называется «Формула Кардано». (см. Приложение 3).
Замечание о формуле Кардано
Проанализируем формулу для решения уравнения x 3  px  q  0 в
вещественной области. Итак, x  3
q

2
q2
p3 3  q
q2
p3




.
4
27
2
4
27
При вычислении х нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а
затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в
вещественной области, если
.
Два значения квадратного
корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения
кубического корня в вещественной области единственно и получается
единственный вещественный корень x при
. Исследуя график кубического
14
трехчлена x 3  px  q , нетрудно убедиться, что он, в самом деле, имеет
единственный
вещественный
вещественных корня. При
однократный,
а
корень
при
.
При
имеется
три
имеется двукратный вещественный корень и
при p=q=0
–
Продолжим исследование формулы при
трехкратный
корень x=0.
. Оказывается, что если при
этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при
вычислении
его
по
формуле
могут
возникнуть
промежуточные
иррациональности. Например, уравнение x 3  3x  4  0 имеет единственный
корень (вещественный) – x=1. Формула Кардано дает для этого единственного
вещественного корня выражение x  3 2  5  3 2  5  1 .
Доказательство:
Например: по формуле: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3.
1
2
(a+b 5 )3 = (  b 5 ) 3
1
2
2+ 5 = (  b 5 ) 3 =
1
1
1
 3   b 5 + 3  (b 5 ) 2  b 3  5 5
8
4
2
Получаем систему из двух уравнений:
1
8
3
2
1). 2=  b 2  5
3
4
2). 1= b  5b 3
Решаем первое уравнение:
15 15 2 2 1
1
 b ,b = ,b= .
8
2
4
2
Подставляем во второе уравнение: 1 =
1
2
2 5= ( 
3
3 1 5
  . 1=1.
4 2 8
1
5)3 .
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
5 
5 =  = 1.
2 5 3 2 5  3 ( 
5)3  3 ( 
5)3 = 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
15
Значит, 3 2  5  3 2  5  1 .
Но фактически любое доказательство предполагает использование того,
что это выражение является корнем уравнения x 3  3x  4  0 . Если же не угадать
того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.
Формулу для решения кубического уравнения связали с «Великим
искусством»
и
постепенно
стали
называть
формулой
Кардано.
У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в
ситуации, когда их участники, несомненно, не говорили всей правды. Для
многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть
дискуссий
стала
носить
характер
серьезных
историко-математических
исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века
сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц:
«Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы
совершенством».
4. Уравнения четвертой степени
Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:
f ( х)  ax 4  bx 3  cx 2  dx  0, a  0.
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при
которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть
при любом значении коэффициентов).
Так как f(x) является многочленом чётной степени, он имеет один и тот
же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a > 0, то
функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом,
функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a < 0, то функция
16
убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция
имеет глобальный максимум.
4.1.
Способ решения Феррари:
По методу Феррари решение уравнения четвертой степени сводится к
решению некоторого вспомогательного уравнения третьей степени. Метод
Феррари состоит в следующем. Данное уравнение четвертой степени с
комплексными коэффициентами.
(1) х4+ax3 + bx2+cx + d = 0
Запишем в виде х4+ах3 = - Ьх2 - сх - d. к обеим частям уравнения
а2 х2
, получим
4
2
 х 2  ах   а 2

 =   b  х2-сх-d
Прибавив 
 2   4

Далее, прибавив к обеим частям уравнения сумму
2
 x 2  ax 
y

 y  , в левой части уравнения получим полный квадрат:
4
 2 
2
 x 2  ax y 
 a2
   
b
(2) 
2
 2
 4

y2
 ay

y  x 2    c  x 
 d.
4
 2


Трехчлен справа зависит от параметра у. Подберем параметр у так, чтобы
этот трехчлен был квадратом двучлена первой степени от х. Для того чтобы
трехчлен Ах2+Вх+С был квадратом линейного двучлена от х, достаточно,
чтобы В2 — 4АС = 0. В самом деле, при выполнении этого условия получаем:
Ах2+Вх+С = Ах2 + 2 AC x  C   A x  C  .
2
Следовательно, в правой части (2) надо подобрать у так, чтобы выполнялось
условие:
 a2
 ay

b
  c   4
 2

 4
2

 y 2
y 
 d   0 , которое можно записать в виде
 4

17
(3) y 3  by 2  (ac  4d ) y  c 2  d a 2  4b  0.
При выполнении этого условия правая часть уравнения (2) будет квадратом
линейного двучлена от х. Решая вспомогательное уравнение (3), найдем один
из его корней у0. Затем найдем числа m и n такие, чтобы квадрат двучлена mх +
n был равен правой части равенства (2), тогда
2
 x 2  ax y 0 
a2
2



 (mx  n) , где n 
(4) 
 b  y0 , n 
2 
4
 2
y 02
4
 d.
Решение уравнения (4) сводится к решению совокупности следующих двух
квадратных уравнений:
x 2  ax y 0
x 2  ax y 0

 mx  n;

 mx  n.
2
2
2
2
Решив эти два уравнения, найдем все четыре корня исходного уравнения (1).
5. Неразрешимость уравнений степени n≥5
После того, как в XVII веке были решены уравнения 3-ей и 4-ой степени
возник вопрос о решении уравнений степени n≥5.
Решение этой проблемы является одним из замечательных открытий XIX
века. А именно, была доказана неразрешимость в радикалах уравнения 5-ой
степени.
Наибольший вклад в доказательство неразрешимости уравнений высших
степеней внесли Руффини, Абель и Галуа.
5.1. Паоло Руффини - Итальянский математик. В 1804 опубликовал метод
приближённого
вычисления
действительных
корней
алгебраических
уравнений, вновь найденный английским математиком У. Хорнером в 1819. В
1799 дал первое (содержащее пробелы) доказательство неразрешимости в
радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. Разработал ряд
идей теории групп конечных подстановок.
18
Нильс
5.2.
Абель
-
Норвежский
математик.
Исключительные
математические способности начал проявлять с 16 лет. В 1825-27 совершил
путешествие по Европе, во время которого завязал дружеские отношения со
многими известными математиками. На родине Абель не был признан при
жизни, жил в нужде, умер от туберкулеза. В 1908 в Осло воздвигнут
памятник Абелю. Работы Абеля оказали большое влияние на развитие всей
математики. Они привели к появлению ряда новых математических
дисциплин: теории Галуа, теории алгебраических функций, и содействовали
всеобщему признанию теории функций комплексного переменного. Первые
исследования Абеля относятся к алгебре. Он доказал (1824, 1826), что
алгебраические уравнения степени выше 4-й в общем случае неразрешимы в
радикалах, указал также частные типы уравнений, разрешимые в радикалах;
связанные
с
ними
группы
называются
абелевыми
группами.
Ему
принадлежит исследование области сходимости биномиального ряда для
комплексных значений переменных (1826) и свойств функций, представимых
степенными рядами. Абель написал первую работу (1823), посвященную
интегральным уравнениям. Работы Абеля оставили заметный след в теории
интерполирования функций, теории функциональных уравнений и теории
чисел.
5.3.
Теорема
Руффини
—
Абеля.
Абель
занялся
алгебраическими
уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял,
что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что
написал он об этом позже:
«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраическое
решение уравнений. Почти все выдающиеся математики исследовали этот
вопрос. Без труда были получены общие выражения для корней уравнений
первых четырех степеней. Для решения этих уравнений был открыт единый
19
способ и надеялись, что он применим к уравнениям любой степени; но,
несмотря на все усилия Лагранжа и других выдающихся математиков,
поставленная цель не была достигнута... Предполагали решать уравнения, не
зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его
получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решение
не существовало, то его могли бы тщетно искать целую вечность. Для того
чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо
было выбрать иную дорогу, придав проблеме такой вид, чтобы она была всегда
разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того, чтобы
искать некоторое соотношение, не зная, существует оно или нет, надо
спросить, возможно ли такое соотношение... Этот метод, который, без
сомнения, является единственно научным, поскольку лишь он позволяет быть
заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в
математике только потому, что его применение связано с исключительными
трудностями...».
Абелю удалось преодолеть эти трудности: он доказал, что общее
уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах — решения такого
уравнения
нельзя
выразить
через
его
коэффициенты
с
помощью
арифметических действий и извлечения корней.
Таким образом, проблема, над которой математики бились веками, к
началу 1824 года была полностью решена. Чтобы скорее сделать полученный
результат
достоянием
математиков,
Абель
отпечатал
брошюру
с
доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств
ему пришлось сократить изложение до шести страниц и предоставить читателю
додумать детали многих рассуждений. Неудивительно, что лишь немногие
математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Даже
Гаусс, больше всех интересовавшийся теорией алгебраических уравнений,
затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Впоследствии Абель опубликовал
20
развернутое доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятков
страниц.
Вскоре выяснилось, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат
получил и итальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство
Руффини было неполным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой
степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини — Абеля.
5.4.
Эварист Галуа
Французский математик, исследования которого оказали исключительно
сильное влияние на развитие алгебры. Учился в лицее Луи-ле-Гран, к моменту
окончания которого уже вёл творческую работу по математике. В 1830
поступил в Высшую нормальную школу. Был исключен (1831) из неё по
политическим мотивам.
Математическое наследие Г. составляет небольшое число очень сжато
написанных работ, не понятых современниками. Г., по существу, построил всю
теорию конечных полей (называемых ныне полями Г.). В письме к другу,
написанном накануне дуэли, Г. формулирует основные теоремы об интегралах
от алгебраических функций, вновь открытые значительно позже в работах
Б. Римана. Основной заслугой Г. является формулировка комплекса идей, к
которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости в
радикалах алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н.Абелем и др.
Построенная
в
результате
этого Галуа
теория,
устанавливая описание
расширений полей в терминах групп, напоминающее описание симметрии
многогранника, сводит вопросы, касающиеся полей, к вопросам теории групп
(возникшей именно отсюда).
История создания теории Галуа.
Теория Галуа — раздел алгебры, изучающий симметрии
корней многочленов. Симметрии описываются в терминах группы
21
перестановок корней многочлена (группа уравнения) — термин, впервые
использованный Эваристом Галуа.
Это теория алгебраических уравнений высших степеней с одним
неизвестным, т. е. уравнений вида
x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...  a n 1 x  a n  0
(*) ,
устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи
др. алгебраических уравнений (обычно более низких степеней). Т. к. решением
двучленного уравнения xm = А является радикал
m
A , то уравнение (*) решается
в радикалах, если его можно свести к цепи двучленных уравнений. Все
уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. уравнение 2-й
степени x2 + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной
2
формуле x   p  p  q уравнения 3-й и 4-й степеней были решены в 16 в. Для
2
4
уравнения 3-й степени вида x3 + px + q = 0 (к которому можно привести всякое
уравнение 3-й степени) решение даётся т. н. формулой Кардано.
Т. о., когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебраических
уравнений было сделано уже много, но общей теории, охватывающей все
возможные уравнения вида (*), ещё не было создано. Например, оставалось:
1) установить необходимые и достаточные условия, которым должно
удовлетворять уравнение (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах;
2) узнать вообще, к цепи каких более простых уравнений, хотя бы и не
двучленных, может быть сведено решение заданного уравнения (*) и, в
частности,
3) выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы
уравнение (*) сводилось к цепи квадратных уравнений (т. е. чтобы корни
уравнения можно было построить геометрически с помощью циркуля и
линейки).
22
Все эти вопросы Галуа решил в своём "Мемуаре об условиях
разрешимости уравнений в радикалах", найденном в его бумагах после смерти
и впервые опубликованном Ж. Лиувиллем в 1846. Для решения этих вопросов
Галуа
исследовал
глубокие
связи
между
свойствами
уравнений
и групп подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё
условие разрешимости уравнения (*) в радикалах Галуа формулировал в
терминах теории групп. Г. т. после Галуа развивалась и обобщалась во многих
направлениях. В современном понимании Г. т. — теория, изучающая те или
иные математические объекты на основе их групп автоморфизмов (так,
например, возможны Г. т. полей, Г. т. колец, Г. т. топологических пространств и
т. п.
23
Заключение
Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет
назад ученые шумеры владели решением квадратного уравнения и решали
системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью таких
уравнений решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и
военного дела. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и
соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут
показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в
задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на
математическом языке в виде уравнений.
В данной работе мы рассмотрели алгебраические уравнения высших
степеней, а также их историю. Уравнения первой и второй степени, на мой
взгляд, самые простые, они предусмотрены в школьной программе. Уравнения
третьей и четвертой разрешимы в радикалах. Доказана неразрешимость
уравнений степени n≥5.
И в заключении я хотела бы сказать, что для досконального изучения
материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась
возможность больше поработать с интересной, для меня, темой и выйти за
рамки того материала, который предоставляет нам учебник 10-го класса.
Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю,
важного для меня.
24
Список литературы
1. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры.- М.: Наука , 1968.- 431 с.;
2. А. Дальма, Эварист Галуа революционер и математик. М., 1984;-112 с.;
3. К.А. Рыбников, История математики первый том. М.,1960; - 336 с.;
4. К.А. Рыбников, История математики второй том. М., 1963;- 191 с.;
5. М.М. Постников, Теория Галуа. М., 1963; - 220 с.;
6. Л.Я. Куликов, Алгебра и теория чисел. М., 1979; - 562 с.;
7. Б.Л. ван дер Варден, Алгебра. М., 1963; - 608 с.;
8. С. Ленг, Алгебра. М.: Наука, 1965; - 553 с.;
9. Э.Б. Винберг, Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во «Факториал
Пресс», 2011.- 534 с.;
10.С. Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. М.: «Наука»,1982; - 440
с.;
11. Н.Г. Чеботарев, Основы теории Галуа. М.,2004.; - 220 с.
12. http://www.sernam.ru/book_e_math.php?id=6
25
Приложения
Приложение №1
Примеры решений квадратных уравнений:
Пример №1: Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = -5, c = 2.
Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 4  2  2 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два
корня. Найдем их по формуле (2)
х
b D 5 9 53


2a
4
4
Итак: x1=
53
 2 , x2 5  3  1 ,
4
4
2.
то есть x1 = 2 и x2 =
1
- корни заданного уравнения.
2
Пример №2: Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0. Здесь a = 2, b = -3, c = 5.
Находим дискриминант D = b2- 4ac = (-3)2- 4  2  5 = -31. Так как D < 0, то
уравнение не имеет действительных корней.
Пример №3: Решить уравнение 2x2 - 5x = 0. Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x
= 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5.
Пример №4: Решить уравнение 3x2 - 27 = 0. Имеем 3x2 = 27. Следовательно,
корни данного уравнения: 3 и -3.
Приложение №2
Джироламо
Кардано
(24.9.1501-21.9.1576)-итальянский
математик,
механик и врач.
Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя
носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного
уравнения вида x3 + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать
отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал
26
этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате
«Великое искусство» он признаётся, что узнал формулу от Н. Тартальи,
пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет
(1545) опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир впервые узнал о
деталях замечательного открытия. Кардано также включил в свою книгу ещё
одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее
решение уравнения четвёртой степени.
Приложение №3
Пример решения уравнения третьей степени. Формула Кардано.
Решим уравнение: x3-6x2-6x-2=0 (13).
Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в
соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену x=y+2 (14).
Тогда получим:
 y  23  6 y  22  6( y  2)  2  y3 + 6y2 + 12y + 8 - 6(y2+4y+4) - 6y – 12 – 2 =
27
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 - 24y – 24 - 6y – 12 – 2 = y3 - 18y - 30. Следовательно,
уравнение (13) принимает вид y3 - 18y – 30 = 0 (15).
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну
замену y= z 
6
(16). Тогда поскольку
z
3
6
6
108 216
108


3
 3  18 z 
 30 
 z    18 z    30  z  18 z 
z
z
z
z
z


= z3 
z3 
216
 30  0 ,то уравнение (15) примет вид:
z3
216
 30  0 (17). Далее из (17) получаем:
z3
z 6  30 z 3  216  0  z13, 2  15  225  216  15  3  z13  18, z 23  12 
z1  3 18 , z 2  3 12 . Отсюда по формуле (16) получаем:
y  z1 
6 3
6
63 3
= 18  3 12 (18).
 18  3
 3 18  3
z1
18
18
Заметим, что такое же, как и
в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
y  z2 
6
или использовали формулу y  z1  z 2 .
z2
Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем: x  y  2  3 18  3 12  2 .
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень:
x  18  3 12  2 .
3
28
1.Полное наименование организации МОБУ «СОШ №76»
2.Наименование исследовательской работы, предоставляемой на конкурс: Алгебраические
уравнения высших степеней
3.Научный руководитель или консультант: Чурилова Л.П.
4.Автор или авторский коллектив Скопинцев А. Д.
5.Телефон автора 89228805924
6.e-mail: skopander@mail.ru
29