Марафон абитуриента 27.10.2013.

МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
Этап
Геометрия
Квадратный трехчлен и
теорема Виета
Неравенства
Текстовые задачи
27.10.2013.
Максимальный балл
(до пересчета из 12
максимально возможных)
Победитель
5,5
Балджанова Роза
6
7,5
Артамонова Анна
Балджанова Роза
Зайцева Екатерина
Бахметьев Денис
Тождественные
преобразования
7
Бахметьев Денис
Уравнения
11
Балджанова Роза
7
Пересчет делается для того, чтобы уравнять этапы.
Задания подготовили сотрудники кафедры МПМ ИМИТ ОмГУ им. Ф.М. Достоевского
Решения задач этапа «ГЕОМЕТРИЯ»
Задача 1.
(2 балла). Определите, верными или неверными являются следующие утверждения
(дайте аргументированный ответ):
А) Если на плоскости при пересечении двух прямых третьей односторонние
углы равны, то прямые параллельны.
В) Существует прямоугольный треугольник, у которого длины всех сторон
выражаются натуральными числами, кратными 17.
С) Даны три прямые в пространстве а, b и c. Известно, что а  c, b  c.
Следовательно, прямые а и b параллельны.
D) Если в четырехугольнике диагонали равны, то он является прямоугольником.
Решение:
А) Неверно. Односторонние углы должны в сумме составлять 180.
В) Верно. Например, треугольник со сторонами 3  17, 4  17 и 5  17 является
прямоугольным.
С) Неверно. В пространстве три прямые могут быть попарно перпендикулярны.
D) Неверно. Диагонали должны при этом делиться пополам, иначе можно построить
контрпример.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1,5
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Правильно определено для каждого из четырех утверждений: верно оно или нет.
Каждый ответ аргументирован, т.е. либо приведен пример существования, либо
контрпример, либо есть уточнение формулировки и т.п.
Дан аргументированный ответ для трех утверждений.
Дан аргументированный ответ для двух утверждений.
Дан аргументированный ответ для одного утверждения.
Правильность всех утверждений определена неверно или есть только ответ без
аргументации.
Задача 2.
(2 балла). Углы А, В и D вписанного четырехугольника АВСD относятся как 1 : 2 : 3.
Найдите градусную меру угла С этого четырехугольника.
Решение:
Пусть А = , В= 2, D = 3. Так как четырехугольник вписанный, то
А + С = В + D = 180. Значит, 2 + 3 = 180, т.е.  = 36.
С = 180 - А = 180 - 36 = 144.
Ответ. С = 144.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Есть ссылка на свойство вписанного четырехугольника, но пропорция углов не
выдержана.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 3.
(3 балла). В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 ребра, выходящие из
одной вершины, равны 3, 4 и 4 см. Найдите расстояние от вершины С до плоскости
АВ1D.
Решение:
DC1  АВ1, т.е. АВ1С1D – сечение, задающее
плоскость АВ1D.
СМ  DC1 (по построению),
В1С1  (DC1C)

В1С1  CM.
Тогда СМ  (АВ1D), т.е. СМ – искомое расстояние.
1 случай. АВ = ВС = 4, СС1 = 3.
DС1С:
DС1
=
DC  CC1 4  3 12
CM 


 2,4 .
DC1
5
5
2 случай. АВ = 3, ВС =СС1 = 4.
DС1С:
DС1 = 5, тогда CM 
5,
D1
A1
M
B
C
A
D
DC  CC1 4  3 12


 2,4 .
DC1
5
5
3 случай. ВС =3, АВ =СС1 = 4.
DС1С:
тогда
C1
B1
DС1 = 4 2 , тогда CM 
DC  CC1 4  4
4


2 2.
DC1
4 2
2
Примечание. Достаточно выделить 2 принципиально различных случая.
Ответ. Возможны два варианта ответа
12
или 2 2 .
5
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Рассмотрены все возможные варианты. Дано обоснование
расстояния от точки до плоскости.
Полное верное решение. Рассмотрены все возможные варианты. Расстояние указано
и вычислено верно. Обоснование расстояния от точки до плоскости либо отсутствует,
либо проведено нечетко.
Рассмотрен только один из возможных вариантов. При этом правильно обосновано
расстояние.
Сделаны чертежи с учетом разных случаев, где указано расстояние, но не
обосновано, вычисления не произведены.
Сделан чертеж одного из случаев, где указано расстояние, но не обосновано,
вычисления не произведены.
Верно построено сечение, задающее плоскость АВ1D. Других продвижений нет.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 4.
(5 баллов). Биссектрисы углов А и В при боковой стороне трапеции АВСD
пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке Н. Найдите
FН, если АВ = 13, ВС = 16, СD = 15 и АD = 30.
Примечание. Ответы могут быть записаны любым действительным числом
Решение:
L
S
C
B
ВАS = SAK=ASВ,
KBS =
KBA=AKB (биссектрисы углов и
накрест
лежащие
углы).
Значит,
АВ=ВS=AK, т.е. АВSK – ромб со стороной,
F
равной 13.
Аналогично, MLCD – ромб со стороной,
H
равной 15.
Так как точки F и Н – точки пересечения
диагоналей ромбов, то они находятся на A
K
M
равном расстоянии от сторон, лежащих на
прямых, содержащих основания трапеции, тогда FН  ВС и FН  АD. ВF = FK, MH = HC
(диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). Значит, FH – средняя линия
трапеции КВСМ.
KM  BC 2  16
FH 

9.
АК = 13, МD = 15, AD = 30

KM = 2
2
2
D
Ответ. FН = 9.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
5
4
3
2
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Все обоснования имеются.
Идеи решения верны, получен правильный ответ, но нет обоснования того, что FН –
средняя линия трапеции.
Результаты вычислений показаны на чертеже, но обоснования не приведены. В целом
решение верное, но необоснованное.
Ответ получен (возможно, неверный из-за арифметической ошибки), но в
обоснованиях имеются неточности.
Доказано, что биссектрисы отсекают на основаниях отрезки, равные боковым
сторонам трапеции. Других продвижений нет.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Решения задач этапа «КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН И ТЕОРЕМА ВИЕТА»
1.(2б) Точка с координатами (1;2) является вершиной параболы y  ax 2  bx  1 . Найти
коэффициенты a и b.
Решение. Т.к. точка с координатами (1,2) принадлежит параболе y  ax 2  bx  1 , подставим
x0  1 , 2  a 12  b 1  1 , a  b  1.
b
 1 . Отсюда
Абсцисса вершины параболы y  ax 2  bx  1 находится по формуле x0  
2a
b  2a . Решим систему из двух уравнений.
Ответ: a  1 , b  2 .
Критерии оценки.
2 балла
1,5 балла
1 балл
Верно записаны два уравнения. Получен правильный ответ.
Верно записаны два уравнения. Получен неправильный ответ.
Координаты точки подставлены в уравнение параболы и правильно записана
формула абсциссы вершины параболы.
Координаты точки подставлены в уравнение параболы или правильно
записана вершина параболы. В остальном задача решена неверно.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
0,5 балла
0 баллов
2.Не решая уравнение x 2  5 x  2  0 , вычислите значение выражения x12  x2 2 .
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1  x2   p  5
x12  x2 2   p  5 , а произведение x1 x2  q  2 .
Возведем
в
квадрат
обе
части
равенства
 x1  x2 
2
  5 ,
2
раскрываем
скобки:
x  2 x1 x2  x2  25 ; выражаем искомую сумму: x  x2  25  2 x1 x2 . Подставим x1 x2  2 .
2
1
2
2
1
2
Тогда x12  x2 2  25  2(2)  29 .
Ответ: 29.
Критерии оценки.
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Верно вычислена сумма квадратов (получен правильный ответ).
Правильно использована т.Виета (записаны сумма и произведение корней),
описана идея получения суммы квадратов, допущена арифметическая
ошибка.
Верно записаны сумма и произведение корней уравнения или
получен правильный ответ с использованием дискриминанта
Правильно использована т.Виета для заданного уравнения (записаны сумма
или произведение корней). В остальном задача решена неверно.
Получены корни уравнения с использованием дискриминанта.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
3.Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются
числа, обратные корням уравнения 3x 2  11x  4  0 .
Решение.
Пусть x1 и x2 - корни заданного квадратного уравнения, тогда по т. Виета x1  x2 
11
3 ;
1
1
4
.
Корнями
искомого
квадратного
уравнения
являются
числа
и
3
x1
x2 . Найдем сумму
1 1 x1  x2 11  3 11 1 1 3
 


 
и произведение этих чисел x x
xx
3 4 4 ; x x
4.
x1 x2 
1
2
1 2
1
2
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
11
3
x   0 , или 4 x 2  11x  3  0 . Ответ: 4 x 2  11x  3  0
4
4
Критерии оценки.
x2 
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Верно записано уравнение (получен правильный ответ).
Верно получены сумма и произведение корней искомого уравнения
Правильно использована т.Виета для заданного и искомого уравнений
(записаны сумма и произведение корней), допущена арифметическая
ошибка.
Правильно использована т.Виета для заданного уравнения (записаны сумма
и произведение корней). В остальном задача решена неверно.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
4.При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения ax2   2a  1 x  3a  1  0
больше 1?
Решение. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше1, необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:
D  0
x  1
 0
  a  0

  f (1)  0
a  0

  f (1)  0
 2a  12  4a(3a  1)  0

 2a  1
 2a  1

a  0
  f (1)  0

a  0

  f (1)  0
неравенства a  0
8a 2  8a  1  0

 2a  1  2a  0

2a
 a0

  f (1)  0

 a  0
 f (1)  0

 
2  6 
2 6 
8  a 
  a 
0
4 
4 
 

a  0
 a0

  a  2a  1  3a  1  0

8a 2  8a  1  0

 1 0
 2a
 a0
Т.к.из


  f (1)  0

 a  0
 f (1)  0

2  6
2 6
a

4
 4
a

0

a  1


1 a 
второго
2 6
.
4
2 6

4 
Критерии оценки.
Ответ: a  1;
3 балла
2,5 балла
2 балла
Приведено полное решение, получен верный ответ.
Обосновано условие a  0 . Получен дискриминант и два условия по т.
Виета. Неравенства решены. При решении системы допущена
арифметическая ошибка
Обосновано условие a  0 . Получен дискриминант и два условия по т.
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Виета. При решении неравенств допущена арифметическая ошибка или
решение отсутствует
Получен дискриминант и два условия по т. Виета. Не обосновано условие
a  0.
Правильно получен дискриминант и одно из условий по т. Виета или два
условия по т. Виета
Обосновано условие a  0 или записан дискриминант или одно из условий по
т. Виета
Не выполнено ни одно из вышеназванных условий.
5.При
каких
значениях
уравнение
a
2
2
2
2
 a  3a  2 x   a  5a  4  x  a  a  0
имеет
более
двух
корней
Решение. Рассмотрим квадратное уравнение. Известно, что если D > 0, тогда уравнение
имеет два различных действительных корня, если D = 0, тогда два равных корня (или один
корень), если D < 0, тогда оно совсем не имеет корней.
Т.к. квадратное уравнение не может иметь более двух корней, коэффициент при
x 2 должен быть равен 0, a 2  3a  2  0
Линейное будет иметь 1 корень. Более двух корней, если оно обращается в числовое
равенство - тождество, выполняющееся при любом значении x .
Это может быть только в одном случае, когда коэффициент при x и свободный член равны
нулю, тогда уравнение примет вид 0 = 0 и будет иметь бесконечное множество корней.
Т.е. одновременно должны выполняться три равенства, надо решить систему уравнений:
a  1

2
a  2
a  3a  2  0
  a  1
 2
a  1 . Ответ: a  1

a  5a  4  0
a  4
a  a 2  0

a  1

  a  0
3 балла
2,5 балла
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Приведено полное решение, получен верный ответ.
Обоснованно составлена система из трех уравнений. Уравнения решены.
При решении системы допущена арифметическая ошибка
Обоснованы и записаны условия, что коэффициенты при x 2 , при x и
свободный член равны нулю.
При решении одного из уравнений допущена арифметическая ошибка
Обоснованы и записаны условия, что коэффициенты при x 2 , при x и
свободный член равны нулю.
При решении двух уравнений допущены арифметические ошибки или
решение отсутствует.
Обосновано и записано условие, что коэффициенты при x 2 и при x должны
быть равны 0
Обосновано и записано условие, что коэффициент при x 2 должен быть равен
0
Не выполнено ни одно из вышеназванных условий.
Решения задач этапа «НЕРАВЕНСТВА»
Задача 1.
Решить неравенство x 2  6 x  9  0. (1 балл).
Решение: ( x  3)2  0  x  R.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно
выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Задача 2.
Решить неравенство
x
x
 x.
(1 балл)
 x  0

x  1

Решение: При x  0  1  x. При x  0  1  x. : 
 x  0

 x  1
Ответ: (; 1)  (0;1).
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Получен верный
ответ.
0,5
При раскрытии модуля рассмотрены оба случая, но решение не доведено до
конца.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Задача 3.
( x  1)( x  2)2
Решить неравенство
 0. (2 балла)
( x  3)4
Решение. Решим неравенство методом интервалов.
Ответ: ( : 1]  2.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный
ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Ответ может
отличаться от правильного лишь на конечное число точек.
0,5
0
Числовая ось правильно разбита на интервалы.
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Задача 4.
Решить неравенство (16  x 2 ) x  2  0.
(2балла).
Решение:
ОДЗ неравенства x  2. Решим неравенство
методом
интервалов.
Уравнение
2
(16  x ) x  2  0 имеет корни -2 и 4 (-4 не
подходит
по
ОДЗ).
Выберем
точки 0  (2; 4);7  [4; )
и
проверим,
выполняется ли неравенство в данных точках (а значит и на всем промежутке).
Ответ: 2  [4; ).
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно
выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Потерян ответ
x  2.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Задача 5.
Оценивается лишь одна из двух задач (3 балла).
Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание б) тем,
кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или только за а)
или только за б).
1
а) Решить неравенство log x2 ( x 2  x  )  l.
3
1
Решение: Данное неравенство равносильно log x2 ( x 2  x  )  log x2 x 2 .
3
1
 2
x

x

0

3
 x  1
Найдем ОДЗ  x  1

.

x

0

x  0


 x2  1

 x  1.
1)  1
x   0
 3
1

С учетом ОДЗ: x    1;   1;  
3

1

Ответ x    1;   1;  
3

 x2  1

.
2)  1
x   0
 3
1
1  x   .
3
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно
выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2,5
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Возможно,
допущена описка или негрубая вычислительная ошибка.
2
Найдено верно ОДЗ. Разобран безошибочно один из случаев 1) или 2).
1
Найдено верно ОДЗ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
b) При каких значениях b неравенство 2( x  b)  2b  x имеет хотя бы одно решение?
Решение:
Рассмотрим непрерывную функцию f ( x)  2( x  b)4  2b  x. Ясно, что при x   она
принимает положительные значения. Найдем критические точки этой функции
1
1
f ( x)  8( x  b)3  1. Единственная критическая точка x  b  , при этом если x  b  , то
2
2
1
1
f ( x)  0, а при x  b 
f ( x)  0, следовательно x  b  - точка минимума, и в этой точке
2
2
функция достигает своего наименьшего значения. Для того, чтобы неравенство имело
решения необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение этой функции было
4
4
1
1
1
3


неположительным. Имеем f (b  )  0  2 b   b   2b  b   0  b   .
2
2
2
8


Ответ: b  
3
8
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно
выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2,5
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Возможно,
допущена описка или негрубая вычислительная ошибка.
2
Найдена критическая точка функции и показано, что это точка минимума.
1
Найдена критическая точка функции.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Задача 6.
Покажите, что при p 
решения.
1
1
неравенство p 2 x 2  p cos x   0 не может иметь единственного
2
2
(3 балла).
1
1
 0 имеет решение x0 , p 2 x0 2  p cos x0   0 ,
2
2
1
то оно имеет и решение
- x0 , ( p 2 ( x0 ) 2  p cos( x0 )   0 ), так как функции четные,
2
поэтому вместе с любым ненулевым решением x0 , будет и решение,  x0 , следовательно, для
того чтобы неравенство имело единственное решение необходимо, чтобы этим решением
1
1
было x  0. Подставляя x  0 в неравенство , получаем p  . Следовательно, при p 
2
2
неравенство не может иметь единственного решения.
Решение: Если неравенство p 2 x 2  p cos x 
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы Общие критерии оценки выполнения математических заданий с
развернутым ответом
3
Приведена верная последовательность всех шагов
обоснованы все моменты решения. Правильно
преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
решения. Верно
выполнены все
2
Замечено, что при замене x на  x уравнение не меняется. Сделан вывод,
что x  0 должно быть единственным решением.
1
Замечено, что при замене x на  x уравнение не меняется.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
Решения задач этапа «ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ»
1 (2 балла). Цену товара сначала увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%, после чего
она стала 1089 рублей. Найдите первоначальную цену товара.
Решение.
Пусть первоначальная цена товара – х рублей. Тогда
0,99х = 1089

1,1  0,9х = 1089
х = 1100.
ОТВЕТ. 1100 рублей.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1,5
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верные рассуждения, но имеется арифметическая ошибка.
Приведен верный ответ и сделана проверка.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Содержится только ответ без обоснований и проверки.
2 (2 балла). На баржу было погружено 810 тонн песка, влажность которого составляла 15%.
Во время перевозки влажность песка повысилась на 4%. Найдите массу груза, доставленного
в конечный пункт.
Решение.
В первоначальном состоянии «сухой» песок составил 85% от 810 тонн, т.е.
0,85  810 тонн. На завершающем этапе этой массе соответствовал 81% от общей массы, т.е.
масса груза в конечном пункте была 0,85  810 : 0,81 = 850 тонн.
ОТВЕТ. 850 тонн.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
2
1,5
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верные рассуждения, но имеется арифметическая ошибка.
Верно вычислена только масса «сухого» песка в начальном состоянии
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
3 (3 балла). Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот.
Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу
развернулся и пошел назад. Какую часть пути от А до В прошел плот к моменту возвращения
катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?
Решение.
Пусть скорость течения х км/ч, тогда скорость катера в стоячей воде - 3х км/ч,
против течения - 2х км/ч, а по течению - 4х км/ч. Значит, когда плот и катер идут навстречу
друг другу, катер идет в 2 раза быстрее и проходит путь в 2 раза больше. Тогда до встречи с
1
2
катером плот проплывет часть всего пути от А до В, а катер - . Так как по течению катер
3
3
движется в 2 раза быстрее, то на обратный путь он потратит времени в 2 раза меньше,
1
1
значит, за это время плот проплывет половину от части всего пути, т.е. еще
всего пути.
3
6
Следовательно, когда катер вернется в пункт В, плот проплывет половину пути от А до В
1 1 1
   
3 6 2
ОТВЕТ. Плот проплывет половину пути.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
3
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение, в целом, верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не
получен.
Указаны доли пути, которые пройдены катером и (или) плотом до встречи.
Получены соотношения на скорости движения плота и катера по течению и против
течения, дальнейших продвижений нет
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
4 (5 баллов). Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет
выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый
проработает 8 часов, второй – 16, а третий – 10. Сколько часов должен проработать второй,
чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий – 11?
Решение.
Пусть производительности экскаваторов равны х, у и z соответственно. Тогда
всю работу можно выразить двумя способами: 12х + 12у + 12z
или 8х + 16у + 10z.
12х + 12у + 12z = 8х + 16у + 10z

2у = 2х + z.
Пусть второму экскаватору нужно k часов, чтобы завершить работу.
Тогда
10х + ky + 11z = 12х + 12у + 12z
k  12y  2 y .

k 12y  2x  z
или
Следовательно, k = 14.
ОТВЕТ. 14 часов.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы
5
4
3
2
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Решение верное, но из-за некоторых неточностей правильный ответ не получен.
Получено соотношение на производительности и записано уравнение, из которого
можно найти искомую величину, но полученное соотношение между
производительностями не применено.
Получено соотношение на производительности. Других продвижений нет.
Предложены некоторые верные идеи решения (возможно, нерациональные), но сами
идеи не реализованы.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Решения задач этапа «ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
8  7,25 : 7,5  9,9
1. ( (1 балл) Вычислить
 2
 9
 4  0,75   3
 3
 13
8  7,25 : 7,5  9,9  0,75 : 7,5  9,9  0,1  9,9  10  10  0,5 .
Решение.
 2
 9
 14 3  48  56  9  48 65  48 20
 4  0,75   3
  


 3
 13
 3 4  13  12  13 12 13
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов
Имеется арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
2. (1 балл) Найдите значение выражения
m 2,8  m 1,8
1
, при m  6 .
4
4
m
 1
m 2,8  m 1,8 m1
1
Решение.
имеем  6 
 4  m 3 , при m  6
4
4
m
m
 4
3
  62 
  2 


3
2
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов
Решение не доведено до конца, например не найдено значение при
1
m  6 , при том, что упрощение проведено верно.
4
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
0 баллов
3. (2 балла) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы,
задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из
заданий или только за а) или только за б).
а) Вычислить log 343  64
2
7
1
log3 2
 27 log9 100log9 4 .
Решение.
log 343  64
2
7
6
9  2 log2 3  3
1
log3 2
 27
3
2 log3 5
2
log9 100 log9 4

 log 7 7

3 2
 64
log2 3
 27
log9
100
4
 3 2  2 6 log2 3  3
3 log
3
 9  36  3log3 5  9  729  125  595.
Ответ: 53.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
1,5 балла
1 балл
0 баллов
Обоснованно получен правильный ответ.
Правильно найдены два из трех значений. Или имеется арифметическая
ошибка, в результате которой получен неверный ответ.
Верно найдено только одно из значений.
Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше.
32
25

б) Во сколько раз тангенс угла наклона касательной к графику функции
f x  
4 3
x  4 x 2  7 в точке x0  a , больше тангенса угла наклона касательной к
3
графику функции g x  
x3
 x 2  ln 7 в точке x0  2a ?
6
Решение. k1  tg    f x0   4 x 2  8 x , в точке x0  a k1  tg   f a   4a 2  8a .
k 2  tg    g x0  
x2
4a 2
 2 x , в точке x0  2a k 2  tg    g 2a  
 4a  2a 2  4a .
2
2
tg  4a 2  8a 4aa  2


2
tg  2a 2  4a 2aa  2
Ответ. 2.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балла
1,5 балла
1 балл
0 баллов
1) Производные подсчитаны правильно. 2) Значения производных в точках
вычислены верно. 3) Итоговая дробь верно преобразована и сокращена.
Имеется одна ошибка в пунктах 1-3. При этом с учетом ошибки может быть
получен другой ответ.
Имеется 2 ошибки в пунктах 1-3. При этом с учетом ошибки может быть
получен другой ответ.
Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше.
4. Упростить выражение cos 2  sin   2  ctg
Решение.
cos 2  sin   2   ctg  cos 2  sin 2  ctg  cos 2   sin 2   2 sin   cos  
cos 

sin 
 cos 2   sin 2   2 cos 2    cos 2   sin 2   1
Ответ: -1.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задача 4.
5.
2 балла
Приведена верная последовательность шагов решения: 1) формула
привидения, 2) формула двойного угла, 3) основное тригонометрическое
тождество.
1,5 балла
Решение в целом правильно, но допущена арифметическая ошибка.
1 балл
Допущена ошибка в одном из трех пунктов, два пункта выполнены верно.
0,5 баллов
0 баллов
Один пункт из трех выполнен верно.
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
(3 балла) Определите знак выражения
Решение.
1 с
1 3 с  3 с2
 2с
1
6
1 с
1 3 с  3 с2
 2с
1
6
1  с  1 

3
3
с  3 с2
1 3 с  3 с2
  2с
1
6
2
2
1
 1


 1  с  2с  1  2с   с 6   1  с 6   0
 


1
6
3
1
6
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задача 5.
Правильно выполнен все преобразования, в результате которых сделан
правильный вывод о знаке.
Ход решения верный, допущена описка или негрубая ошибка, в результате
которой может быть получен другой ответ.
Предложена, но не реализована правильная идея.
Есть небольшие продвижения в рассуждениях.
Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше.
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 баллов
0 баллов
(3 балла) Выполнить упрощение, а затем построить график функции
x 3  x 2  2 x x  3x  6
1
y

.
2
2
xx2 x 4
x  3x  18


Решение.
y
x
3
x
3

 x 2  2 x  x  3x  6
1


2
xx2 x 4
x 2  3x  18

 x 2  2 x x  3x  6

x x  2  x2  4
.
1
x  3x  6
При условии, что x  3x  6  0 , т.е. x   ;3  6;  имеем
x3  x 2  2x
y
x x  2  x2  4
На каждом из двух участков знак модуля определяется однозначно:
 x   ;3
 x   ;3

3
2
2
2
2

x

x

2
x
x
x

x

2
x
x

x

2
x
x

x

2
 y 



 y  x
2
2
2
2
2
2

x x  2  x  4  x  2x  x  4  x  2x  x  4  2 x  x  2

2


 x  6;  
 x  6;  

3
2
2

x x  1
 y  x  x  2 x  x x  x  2  x x  2 x  1
y




2

2x  4
x x  2  x 2  4 x 2  2x  x 2  4











КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задача 6.
3 балла
2 балл
1 балл
0,5 баллов
0 баллов
Обоснованно получен правильный ответ.
Общий ход решения верен, построен график, но график построен с
ошибкой. Или допущена ошибка в преобразовании, с учетом этой ошибки
график построен верною
Все преобразования и построение были выполнен верно, но без учета
ОДЗ
Преобразования выполнены верно без учета ОДЗ, график не построен или
построен не верно (например не «выколоты» точки на концах).
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Решения задач этапа «УРАВНЕНИЯ»
Задание 1 (1 балл) Решить уравнение:
.
Решение:
Ответ: -16,5.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов Решение не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 2 (1 балл) Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов Решение не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 3 (2 балла) Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Обе части уравнения верно возведены в квадрат, верно решено
2 балл
полученное квадратное уравнение, верно произведен отбор корней (с
помощью условия на правую часть или с помощью проверки).
1 баллов
0,5 балла
0 баллов
Допущена описка или арифметическая ошибка.
Обе части уравнения верно возведены в квадрат, решено полученное
квадратное уравнение, но перепутаны знаки корней уравнения. Отбор
корней не произведен.
Уравнение решено, но не произведен отбор корней.
Задание 4 (2 балла) Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Приведена верная последовательность шагов решения: 1) верно
числитель разложен на множители, 2) верно указана ОДЗ, 3) верно
2 балл
выполнены вычисления и отобран корень.
Или обе части уравнения домножены на знаменатель, верно решено
полученное уравнение 3-ей степени, учтена ОДЗ.
1 баллов
Допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
Задание 5 (3 балла) Решить систему уравнений:
Решение: из второго уравнения получаем:
Если
Если
, то из первого уравнения
, то
или
Это противоречит условию
.
и из первого уравнения получаем
Ответ:
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
3 балла
Обоснованно получен правильный ответ.
2 балла
При решении допущена описка или арифметическая ошибка.
1 балл
Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены
ограничения на знак
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Задание 6 (3 балла) При каких значениях параметра а уравнение
ровно один корень?
Решение:
Следовательно,
имеет
является посторонним корнем, т. е.
Или корни совпадают
Ответ:
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Верно выполнены все этапы решения: а) определена ОДЗ; в) найдены
возможные корни; с) с учетом требования условия «единственный корень»
3 бала
верно выписано условие (
); d) рассмотрен случай совпадения корней.
2 балла
1 балл
0 баллов
В целом решение верное, но допущена описка или негрубая ошибка.
Ответ неполный, не рассмотрен случай совпадения корней.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.