Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 ― С6. sin 0 x

Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 ― С6.
Вариант 1
С1. а) Решите уравнение sin x(2sin x  3ctg x)  3 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3 ;   .
 2 2
Решение. Область определения данного уравнения задается условием sin x  0 .
При этом условии имеем: sin x(2sin x  3ctg x)  3  2sin 2 x  3cos x  3 
()
 2 cos 2 x  3cos x  1  0 , откуда cos x  1 или cos x   1 .
2
Корни уравнения cos x  1 не удовлетворяют условию () , а из уравнения cos x   1 получаем
2
2

3


 ;  
принадлежат числа
x    2k , k  Z ; Из найденных решений промежутку
3
2
 2
Ответ: а) x   2  2k , k  Z ; б)  4 ,  2 .
 4 ,  2 .
3
3
3
3
3
Критерии оценивания выполнения задания С1
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Баллы
2
1
0
2
С2. Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1
соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.
D1
Решение. Опустим из точки A1 перпендикуляр A1E на прямую BD . Так
равны
C1
1
как A1 D1  ( A1 AB) , то A1 D1  A1 B , а, значит, отрезок A1E ― высота A
1
прямоугольного треугольника A1BD1, откуда
A B A D
A1E  1 1 1 .
BD1
Далее
A1E  2015  12
25
2
2
2
2
1
15
Ответ: 12.
A
Критерии оценивания выполнения задания С2
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит описание алгоритма поиска искомого расстояния, но:
- получен неверный ответ или решение не закончено;
- при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
С3. Решите систему неравенств
 2 x 2  9  21 x 2  19,

 log x 3 ( x 2  x  30) lg( x 4  2 x3  x 2 )

.

2
lg( x 2  x 1)
 log x 3 ( x  x 1)
Решение. Решим первое неравенство системы.
2
Пусть 2 x  t  1 () , тогда данное неравенство принимает вид t  18  19  0 .
t
t  19t  18  0,
t  1,
Учитывая условие () , получаем 
 
t  18.
t  1
2
B1
16
находим: A1 B  A1 A  AB  20 ; BD1  A1 A  AB  A1 D  25 ,
2
E
D
C
B
12
Баллы
2
1
0
2
Далее имеем:
2
1) 2x  1  x  0 .
 x   1  2log 2 3,
2
2) 2 x  18  x 2  log 2 18  
 x  1  2log 2 3.
Решения первого неравенства системы: x   1  2log 2 3 , x  0 , x  1  2 log 2 3 .
Решим теперь второе неравенство системы. Заметим, что при x  3 и x  2 исходное неравенство
равносильно неравенству
lg( x2  x  30) lg( x 4  2 x3  x 2 )
. Положив в последнем неравенстве y  x 2  x ,

2
2
lg( x  x 1)
lg( x  x 1)
 y 2  y  30
lg( y  30)
lg y 2
lg y 2  lg( y  30)

получаем


0  
lg( y 1)
lg( y 1)
lg( y 1)  lg1
y 2
 0,

y 1
 2  y  6.
Далее имеем:
 x 2  x  2,
 x 2  x  2  0,
 2  x  1,

 
 2
 2
 x  x  6
 x  x  6  0
 2  x  6.
Учитывая то, что x  2 , получаем решения второго неравенства: 2  x  1 , 2  x  6 .
Принимая во внимание, что 3  log 2 9  4  4  1  2log 2 3  5  2  1  2log 2 3  5 , находим
Ответ:  1  2 log 2 3; 6 .
Критерии оценивания выполнения задания С3
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
решение данной системы:
1  2log 2 3  x  6 .
Баллы
3
2
1
0
3
С4. Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10.
Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BC
Решение. Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD
соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых
окружности касаются отрезка BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BCD находим:
AD 
CD 
AB 2  BD 2  24 , R  AD  BD  AB  24 10  26  4 ,
2
2
10,5

10 14,5
BC 2  BD2  10,5 , r  CD  BD  BC 
 3.
2
2
Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP
находим из прямоугольного треугольника OKP: OP  OK 2  PK 2 .
B
O
K
A
Puc.1
B
E
F P
D
O
K P
C
A
C
Puc.2
E
F
D
1 случай (точка D лежит
между точками A и С, см.
рис. 1):
OK  EF  DE  EF  R  r ,
PK  PF  FK  PF  EO  R  r
,
OP  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2  5 2 .
2 случай (точка C лежит
между точками A и D, см.
рис. 2): OK  EF  DE  EF  R  r , PK  FK  PF  EO  PF  R  r , OP  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2  2 .
Ответ: 5 2 или
2.
Критерии оценивания выполнения задания С4
Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное
значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические
2
конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки
(описки)
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено
1
значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки (описки)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
С5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
решений.
2 xy  a  x  y  5 не имеет
Решение.
 x  y  5  0,
 x  y  5  0,
2 xy  a  x  y  5  

2
2
2
2
2 xy  a  x  y  25  2 xy  10 x  10 y
( x  5)  ( y  5)  a  25.
Неравенство x  y  5  0 задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с
границей x  y  5  0 , а уравнение ( x  5)2  ( y  5)2  a  25 при a  25 ― окружность с центром
y
P(5; 5) и радиусом R  a  25 (см. рисунок).
Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и
только тогда, когда радиус окружности меньше половины
диагонали
PO
квадрата
APBO,
т.е.,
a  25  5 2 ,
2
A
5
O
x
откуда
25  a  12, 5 .
При a  25 уравнение, а, следовательно, и вся система
решений не имеют, а при a  25 решением уравнения является
пара ( 5; 5) , которая не удовлетворяет неравенству x  y  5  0 .
P
5
B
Ответ: a  12,5 .
Критерии оценивания выполнения задания С5
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены искомые значения a,
возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки
(описки) или не рассмотрен случай a  25
С помощью верного рассуждения получены искомые значения a,
возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки
(описки) и при этом не рассмотрен случай a  25
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков
неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Баллы
4
3
2
1
0
4
С6. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что
длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также
натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если
дополнительно известно, что n  100 .
Решение.
а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно,
что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре
достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны
быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа,
длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади
прямоугольника равно 1 000 000.
б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна
x ( 1  x  1000 ), тогда другая сторона равна (2000  x) . В этом случае площадь
прямоугольника равна (2000 x  x 2 ) . Графиком данной функции является парабола, ветви
которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы.
Следовательно, значение функции (2000 x  x 2 ) будет тем меньше, чем дальше находится
число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается
при x  1 , а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как
число 1999 равно 199900% от числа 1.
в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна
an . Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:
100
a  an  2000; 100a  an  200 000; a(100  n)  200000 .
100
Так как a и n ― целые числа, то число 200 000 кратно числу (100  n) .
Заметим, что 100  (100  n)  200 , так как n  100 . Следовательно, требуется найти все
делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как 200000  26 ·55 , то искомый
делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем
соответствующие степени не превосходят 6 и 5.
Возможны три случая:
1) Число (100  n) не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не
более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.
2) Число (100  n) делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида 5·2n в искомый
промежуток попадает только число 5·25  160 . В этом случае a  1250 , а площадь равна
937 500.
3) Число (100  n) делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но
число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа
200 000. Если же 100  n  125 , то a  1600 , а площадь равна 640 000.
Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.
Критерии оценивания выполнения задания С6
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно
обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в)
Верно выполнен один из 2-х пунктов: а) или б)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 ― С6.
Баллы
4
3
2
1
0
4
Вариант 2
С1. а) Решите уравнение cos x(2 cos x  tg x)  1 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   5 ;    .
2
 2
Решение. Область определения данного уравнения задается условием cos x  0 .
При этом условии имеем: cos x(2cos x  tg x)  1  2 cos 2 x  sin x  1 

2 sin 2 x  sin x  1  0 , откуда
()
sin x   1 . Корни уравнения
sin x  1 или
sin x  1 не
2
удовлетворяют условию () , а из уравнения sin x   1 получаем x     2k , x  7  2k , k  Z ;
2
6
6
Из найденных решений промежутку   5 ;    принадлежат числа  13 ,  5 .
6
6
2
 2

7

13

5

Ответ: а) x    2k , x   2k , k  Z ; б) 
,  .
6
6
6
6
Критерии оценивания выполнения задания С1
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Баллы
2
1
0
2
С2. Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1
соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.
Решение. Опустим из точки D1 перпендикуляр D1E на прямую A1C . Так
как A1 D1  ( D1 DC ) , то A1 D1  D1C , а, значит, отрезок D1E ― высота
D C A D
прямоугольного треугольника A1CD1, откуда D1 E  1 A C1 1 .
1
D1
D1E  815  120
17
17
2
2
2
Далее
B1
E
2
1
A
Критерии оценивания выполнения задания С2
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит описание алгоритма поиска искомого расстояния, но:
- получен неверный ответ или решение не закончено;
- при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
С3. Решите систему неравенств
3x 2  2  31 x 2  7,

 log x 5 ( x 2  2 x  56) log 2 ( x 4  4 x3  4 x 2 )

.

2
log 2 ( x 2  2 x  2)
 log x 5 ( x  2 x  2)
Решение. Решим первое неравенство системы.
2
Пусть 3x  t  1 () , тогда данное неравенство принимает вид t  6  7  0 .
t
t  7t  6  0,
t  1,
Учитывая условие () , получаем 
 
t  6.
t  1
12
D
Ответ: 120 .
17
2
C1
A1
находим: D1C  D1 D  DC  15 ; A1C  D1 D  DC  AD  17 ,
2
равны
9
C
B
Баллы
2
1
0
2
8
 x   1  log3 2,
2
2) 3x  6  x 2  log3 6  
 x  1  log3 2.
Решения первого неравенства системы: x   1  log3 2 , x  0 , x  1  log3 2 .
2
Далее имеем: 1) 3x  1  x  0 .
Решим теперь второе неравенство системы.
Заметим, что при x  5 и x  4 исходное неравенство равносильно неравенству
log 2 ( x2  2 x  56)
log 2 ( x2  2 x  2)

log 2 ( x4  4 x3  4 x2 )
log 2 ( x2  2 x  2)
. Положив в последнем неравенстве y  x 2  2 x , получаем
 y 2  y  56
log 2 ( y  56)
log 2 y 2
log 2 y 2  lg( y  56)



0  
log 2 ( y  2)
log 2 ( y  2)
log 2 ( y  2)  log 2 1
y 3
 0,

y  2
 3 y 8.
Далее имеем:
 x 2  2 x  3,
 x 2  2 x  3  0,
 4  x  3,
  2
 
 2
1  x  2.
 x  2 x  8
 x  2 x  8  0
Учитывая то, что x  4 , получаем решения второго неравенства: 4  x  3 , 1  x  2 .
Принимая во внимание, что 0  log3 2  1  1  1  log3 2  2  1  1  log3 2  2 , находим
решение данной системы: 4  x  3;
1  log3 2  x  2 .
Ответ:
 4;  3  
Критерии оценивания выполнения задания С3
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
1  log 2 3; 2  .
Баллы
3
2
1
0
3
С4. Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24.
Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.
Решение.
Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH соответственно,
R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка
MH. Из прямоугольных треугольников KMH и MNH находим:
KH  KM 2  MH 2  18 , R  MH  KH  KM  24 18  30  6 ,
2
2
MH

HN

MN
24

7
 25  3 .
r

2
2
HN  MN  MH  7 ,
2
2
Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP
находим из прямоугольного треугольника OKP: OP  OK 2  PK 2 .
1 случай
(точка H лежит между точками K и N, см. рис. 1):
OK  EF  HE  EF  R  r ,
PK  PF  FK  PF  EO  R  r , OP  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2  3 10 .
2 случай
(точка N лежит между точками K и H, см. рис. 2):
OK  EF  HE  EF  R  r ,
PK  FK  PF  EO  PF  R  r , OP  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2  3 2 .
M
O
K
K
Puc.1
M
E
F P
H
O
K P
N
K
N
Puc.2
E
F
H
Ответ: 3 10 или 3 2 .
Критерии оценивания выполнения задания С4
Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен
3
правильный ответ
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено
правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные
2
геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за
одной арифметической ошибки (описки)
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в
которой получено значение искомой величины, неправильное из-за
1
арифметической ошибки (описки)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
a  2 xy  y  x  7 имеет
С5. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение
единственное решение.
Решение.
 y  x  7  0,
 y  x  7  0,
a  2 xy  y  x  7  


2
2
2
2
a  2 xy  x  y  49  2 xy  14 x  14 y
( x  7)  ( y  7)  a  49.
Неравенство y  x  7  0 задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с
границей y  x  7  0 , а уравнение ( x  7)2  ( y  7)2  a  49 при a  49 ― окружность с центром
P(7; 7) и радиусом R  a  49 (см. рисунок).
Окружность и полуплоскость имеют ровно одну
точку тогда и только тогда, когда радиус окружности
половине диагонали PO квадрата APBO, т.е.,
y
A
O
7
общую
x равен
a  49  7 2 , откуда a  24,5 .
2
При a  49 уравнение, а, следовательно, и вся
решений не имеют, а при a  49 решением уравнения
пара (7; 7) , которая не удовлетворяет неравенству
y x7  0.
B
система
является
7
P
Ответ: a  24,5 .
Критерии оценивания выполнения задания С5
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получено искомое значение a, возможно неверное,
из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) или не рассмотрен случай
a  49
С помощью верного рассуждения получено искомое значение a, возможно неверное,
из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) и при этом не рассмотрен
случай a  49
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и
уравнения (приведен правильный рисунок)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Баллы
4
3
2
1
0
4
С6. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что
длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также
натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если
дополнительно известно, что n  100 .
Решение.
а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно,
что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре
достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны
быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина
одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади
прямоугольника равно 2500.
б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна
x ( 1  x  50 ), тогда другая сторона равна (100  x) . В этом случае площадь прямоугольника
равна (100 x  x 2 ) . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены
вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение
функции (100 x  x 2 ) будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины.
Таким образом, наименьшее значение функции достигается при x  1 , а тогда площадь равна
99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.
в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна
an . Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:
100
a  an  100; 100a  an  10 000; a(100  n)  10 000 .
100
Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.
Заметим, что a  50 , так как n  100 . Следовательно, требуется найти все делители числа
10 000 , меньшие 50. Так как 10 000  24 ·54 , то искомый делитель может содержать в своем
разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может
быть в степени, не превосходящей 4.
Возможны три случая:
4) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более,
чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет
равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.
5) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40.
Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.
6) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь
равна 1875.
Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.
Критерии оценивания выполнения задания С6
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно
обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в)
Верно выполнен один из 2-х пунктов: а) или б)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл
Баллы
4
3
2
1
0
4