Блок задач Равнобедренный треугольник

Чуйкова Т. А.
Модуль 5
Блок задач по теме «Элементы треугольника. Равнобедренный треугольник.
Сумма углов треугольника.»
Теория
1. Теорема сумма углов треугольника.
2. Свойство внешнего угла треугольника.
3. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
4. Неравенство треугольника.
5. Определение равнобедренного треугольника.
6. Свойства равнобедренного треугольника.
7. Признаки равнобедренного треугольника.
8. Описанная окружность около треугольника.
9. Вписанная окружность в треугольник.
10.Площадь треугольника
Справочный материал
1. Сумма углов треугольника равна 1800.
2. Внешний угол треугольника равен сумме углов несмежных с ним.
3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.
4. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
5. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны
равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья
сторона называется основание треугольника.
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(свойство
углов равнобедренного треугольника).
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса,
проведенные к основанию, совпадают. (В равнобедренном
треугольнике медиана, проведенная к основанию, является
биссектрисой и высотой. В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию,
является медианой и биссектрисой.
7. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
8. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных
перпендикуляров сторон треугольника.
9. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис углов
треугольника.
10.Формулы площади треугольника
B
c h
A
a
S=
b
b𝒉
𝟐
C
B
c
𝟏
a
A
S = ab𝐬𝐢𝐧 𝑪
𝟐
C
a
R b
S=
𝒂𝒃𝒄
𝟒𝑹
, где R- радиус описанной
окружности
c
S=
𝒓(𝒂+𝒃+𝒄)
𝟐
, где r- радиус вписанной
окружности
S=√𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) , 𝒑 =
𝒂+𝒃+𝒄
𝟐
Устная работа
1.Какой треугольник не изображен на рисунке.
1) прямоугольный
3) равносторонний
2) тупоугольный
4) равнобедренный
В
2.
ВD -биссектриса
DВС = 350
А
D
С
Сравнить отрезки АD и DС
3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17см
меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен
7см.
4. Стороны равнобедренного треугольника
периметр этого треугольника.
равны 10см и 25см. Найдите
5. Ключевая задача. (признак равнобедренного треугольника)
Медиана треугольника является также его высотой.
Докажите, что такой треугольник равнобедренный.
В
Дано: ВD – медиана и высота
Доказать: АВ = ВС
А
6.
С
D
Ключевая задача. (признак равнобедренного треугольника)
Биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
В
Дано: ВD – биссектриса и высота
Доказать: АВ = ВС
А
D
7. Ключевая задача.
С
Доказать, что две высоты (биссектрисы) в равнобедренном треугольнике
равны.
8. Ключевая задача.
Доказать, что центр вписанной и описанной окружностей равнобедренного
треугольника лежат на высоте, а значит и на медиане и на биссектрисе,
проведенной к основанию.
Задачи для решения на уроке.
1. Биссектриса ВЕ треугольника АВС перпендикулярна медиане СМ. Найдите
ВС, если АВ = 7.
2. В треугольнике АВС
А = 300, ВH = DВ = DС.
Найдите углы В и С треугольника АВС
3.
Ключевая задача Один из углов треугольника равен α. Найдите угол
между биссектрисами двух других углов.
Дано: АВС АК и СК - биссектрисы
В
В=α
Найти АКС
К
А
Решение:
КАС +
С
А + С = 180 – α по теореме сумма углов треугольника.
1
КСА = (180 – α)
2
1
𝛼
2
2
АКС = 180 - (180 – α) = 90 + .
Ответ: 900 +
𝛼
2
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена
биссектриса АК. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что угол
АКВ равен 1320.
В
Дано:
К
А
АВС АВ = ВС
АК - биссектриса
АКВ = 1320
С
Найти:
А,
В,
С
Решение: КАС = х, тогда А = С = 2х по свойству углов равнобедренного
треугольника. АКВ- внешний угол АКВ, то по свойству внешнего угла
треугольника х + 2х = 1320. Отсюда х = 440. А = С = 880,
4 0.
С = 180 – 176 =
Ответ: 880, 880, 40
5. Ключевая задача
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону
на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
А
Доказать:
ВD
АВ
=
DС
АС
В
D
C
6. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота,
равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.
В
16
8
А
Н
С
Решение: в треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН =
16 – высота, проведенная к основанию АС (рис.).
1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника).
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора
ВС2 = ВН2 + НС2;
ВС2 = 82 + 162 = (8 · 2)2 + 82 = 82 · 4 + 82 = 82 · 5;
ВС = 8√5.
3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов 2R = AB/sin C, где R –
радиус описанной около треугольника АВС окружности.
sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Ответ: 10
7. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника,
равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь
треугольника.
В
О
А
Н
С
Решение. Пусть дан равнобедренный треугольник АВС.
1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой
пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а
так же ОН = r = 10 (рис.).
2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26.
3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АН = ВО/ОН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х.
По теореме Пифагора АВ2 = АН2 + ВН2;
(13х)2 = 362 + (5х)2;
169х2 = 25х2 + 362;
144х2 = (12 · 3)2;
144х2 = 144 · 9;
х2 = 9;
х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) SABC = 1/2 · (AC · BH); SABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Ответ: 540
Задачи для самостоятельной работы.
1. В равнобедренном треугольнике стороны равны 10 и 13. Найдите
высоту, проведенную к боковой стороне треугольника.
Ответ:
120
13
2. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина
высоты, проведенная к боковой стороне, равна 12см, а длина
основания равна 15см.
Ответ: 75 см2
3. Найдите высоты треугольника со сторонами 10, 10 и 12.
Ответ: 8; 9,6; 9,6
4. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника,
если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию,
равен 1200.
Ответ: 6√3 см, 27√3 см2
5. В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти
биссектрису угла при основании треугольника.
Ответ: 6
6. Биссектриса АD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки СD
и ВD, равные соответственно 4,5см и 13,5см. Найдите АВ и АС, если
периметр треугольника АВС равен 42см.
Ответ: АВ = 18см, АС = 6см.