РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ ТЕМА 7. АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ . СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Цель: ознакомить студентов с правилами построения, основными приемами обработки и анализа рядов динамики, с методами выявления тенденции развития уровней ряда, моделирования и прогнозирования. Задачи: рассмотреть требования, предъявляемые к уровням динамического ряда, порядок расчета цепных и базисных показателей динамики, их средних значений в единицу времени, особенности построения среднего уровня интервального и моментного рядов динамики, методики сглаживания и аналитического выравнивания, изучения сезонных колебаний и прогнозной экстраполяции. РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ ..................................................... 126 ТЕМА 7. АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ . СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ............................................................................................................... 126 7.1. Ряды динамики, их виды. Компоненты уровня динамического ряда. Задачи статистического изучения динамики .......................... 126 7.2. Сопоставимость уровней динамического ряда. Смыкание рядов динамики. Периодизация рядов динамики ....................................... 127 7.3. Показатели динамики (цепные и базисные) .............................. 128 7.4. Средние показатели динамики. Выявление основной тенденции динамики............................................................................................. 129 7.5. Приемы изучения сезонных колебаний ..................................... 133 7.6. Методы прогнозирования. Интерполяция и экстраполяция в рядах динамики .................................................................................. 134 Выводы ............................................................................................... 135 Вопросы для самопроверки ............................................................... 135 Библиография .................................................................................... 136 7.1. Ряды динамики, их виды. Компоненты уровня динамического ряда. Задачи статистического изучения динамики Ряд динамики (динамический ряд, временной ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности статистических величин, которые отражают развитие изучаемых явлений. Моментным является ряд динамики, уровни которого характеризуют изучаемое явление в конкретный момент времени. Моментные ряды используются для описания величин типа запаса (остатки средств на счетах клиентов, объем собственных средств (капитала); объем основных фондов и т. п.). Интервальным является ряд динамики, уровни которого характеризуют накопленный результат изменения явлений за определенные промежутки (интервалы, периоды) времени. Таким образом, интервальные ряды динамики используются для описания величин типа экономического потока, операции (проценты полученные, проценты уплаченные, комиссионные доходы и расходы; выпуск продукции, текущие затраты и т. п.). Следовательно, уровни интервальных рядов динамики обладают свойством суммарности, показатели моментных рядов такого свойства не имеют. Можно сложить показатели объема промышленной продукции за кварталы и получить итог производства за год. Но если за год сложить данные о числе рабочих на начало каждого квартала, полученная сумма не будет иметь реального смысла. В рядах с равностоящими уровнями даты регистрации или окончания периодов представлены через равные, следующие друг за другом отрезки времени. В рядах с неравностоящими уровнями принцип равенства отрезков времени не соблюдается. Ряд динамики, в изменении уровней которого не наблюдается общей направленности (тенденции), является стационарным. Напротив, нестационарный ряд отличается наличием общей направленности в изменении изучаемого показателя. 7.2. Сопоставимость уровней динамического ряда. Смыкание рядов динамики. Периодизация рядов динамики Сопоставимость уровней динамического ряда рассматривается в нескольких аспектах: по кругу охватываемых объектов; по территории; по методологии расчета показателей. Несопоставимость по кругу охватываемых объектов возникают, например, в силу особенности учета изучаемых единиц совокупности, в результате изменений в классификации единиц и т. п. В таком случае для обеспечения сопоставимости показателей динамики проводится прямой пересчет данных по первичному материалу. К несопоставимости уровней динамического ряда приводят различия в методике их расчета. В этом случае обычно прибегают к пересчету предшествующих данных в соответствии с новой методикой. Вопрос о сопоставимости встает и при анализе уровней разных динамических рядов. Так, для совместного анализа уровней моментного и интервального рядов динамики моментные динамические ряды должны быть преобразованы таким образом, чтобы пересчитанные уровни охватывали те же промежутки времени, что и уровни интервального динамического ряда. Трудности сравнения взаимосвязанных рядов динамики возникают в силу наличия так называемого временного лага. Временной лаг – это мера отставания во времени изменений одних явлений по сравнению с другими. При подготовке информации для анализа динамики необходимо учитывать сопоставимость условий, которые определяют формирование уровней динамического ряда. Разграничение в динамических рядах однородных этапов развития называется периодизацией динамики. Это, по существу, типологическая группировка во времени. Значительно способствует проведению анализа развития явлений графическое изображение рядов динамики. Для более наглядного отображения характера развития рекомендуется использовать на графике не сами уровни ряда, а их относительное изменение. 7.3. Показатели динамики (цепные и базисные) При изучении динамики явлений для характеристики особенности их развития на отдельных этапах рассчитываются производные показатели: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. В зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики. Абсолютный прирост равен разности между текущим уровнем и уровнем более раннего периода. Интерпретация абсолютного прироста осуществляется в тех же единицах измерения, что и уровни ряда с добавлением единицы времени, за которую определено изменение. Если текущий уровень уменьшился по сравнению с предыдущим периодом, то абсолютный прирост, имея отрицательное значение, характеризует абсолютную убыль (сокращение) уровня. Абсолютный прирост за единицу времени измеряет абсолютную скорость изменения. Для оценки эффективности изменения уровня динамического ряда используются относительные показатели динамики: коэффициент роста, выраженный в долях единицы; темп роста, выраженный в процентах, темп прироста – отклонение темпа роста от 100%. Коэффициент роста показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным уровнем, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень. Темп прироста показывает, насколько процентов изменилась величина уровня динамического ряда за изучаемый период времени. Если уровень ряда сокращается, то темпы прироста будут со знаком минус. Они будут характеризовать относительное уменьшение уровней ряда. Для правильной интерпретации относительных показателей динамики рекомендуется рассматривать их совместно с исходными уровнями ряда динамики. Если уровень ряда принимает положительные и отрицательные значения (например, финансовый результат деятельности организации может быть прибылью или убытком), то темп изменения и темп прироста не имеют экономической интерпретации и не рассчитываются. Для цепных показателей прироста и темпов прироста рассчитывается показатель абсолютного значения одного процента прироста. Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному), (%). Этот показатель может быть исчислен и иначе: как одна сотая часть предыдущего уровня. Аналитическое значение данного показателя состоит в том, что при возрастающей скорости (и растущем уровне) темпы роста могут иметь тенденцию к уменьшению или оставаться без изменения. Затухающий темп прироста вовсе не означает приостановки роста: при высоких абсолютных уровнях развития изучаемого явления может значительно увеличиться его абсолютный объем даже при небольшой величине темпов. Поэтому, чтобы правильно оценить значение показателя темпа, его следует рассматривать не изолированно, а в связи с показателями абсолютного уровня и абсолютного прироста. Для анализа интенсивности изменения во времени одного явления по сравнению с другим рассчитывается коэффициент опережения в виде отношения базисных темпов роста двух динамических рядов за одинаковые отрезки времени. При таком сравнении темпы должны характеризовать тенденции одного направления. 7.4. Средние показатели динамики. Выявление основной тенденции динамики Для обобщающей характеристики динамики используются два типа средних показателей: средние уровни ряда; средние показатели изменения уровней ряда. Порядок расчета среднего уровня различается применительно к отдельным видам рядов динамики. В рядах динамики с равноотстающими по времени уровнями порядок расчета среднего уровня следующий: а) средний уровень интервального ряда абсолютных величин: у уровень моментного ряда у n i ; б) средний абсолютных 1 1 у1 y 2 ... y n 1 y n 2 2 величин: у . n 1 Для моментного ряда с неравными промежутками времени при известных точных датах изменения уровней ряда средний уровень определяется по формуле: y yt , t где t – время, в течение которого сохранялся уровень. Средние показатели изменения уровней ряда включают: средний коэффициент роста K ; средний темп роста T ; средний темп прироста T . Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем увеличивался или уменьшался каждый уровень ряда по сравнению с предыдущим за ту или иную единицу времени, и рассчитывается в зависимости от исходных данных следующими способами: как простая средняя арифметическая из абсолютных приростов (цепных) за ц y , где t – последовательные промежутки времени: y t продолжительность периода; как частное от деления базисного абсолютного прироста конечного уровня ряда и продолжительности yn y1 ; и наконец, через накопленный (базисный) t б y б y . Средний коэффициент роста абсолютный прирост : y t периода: y (снижения) показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики, и в зависимости от наличия исходных данных расчет проводится следующим образом: если исходной информацией служат цепные коэффициенты роста, то ц ц ц t ц формула имеет вид: K t K1 K 2 ... K 3 ПK , где П означает произведение цепных показателей динамики. Второй способ расчета б через базисный коэффициент роста конечного периода: K t K к. п . И третий способ -если известны уровни динамического ряда: K t yn . y1 Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах: T K 100 . Средний темп прироста равен: T T 100 . Теоретически при анализе рядов динамики различают следующие компоненты: тенденция, или тренд; периодически повторяющиеся колебания; случайные колебания. Под тенденцией понимается общее направление в изменении уровней ряда: к росту, снижению или стабилизации с течением времени. К периодически повторяющимся колебаниям относят долговременные циклические колебания и кратковременные или сезонные колебания (регулярные изменения внутри года). Случайные колебания складываются под влиянием внешних факторов. Выявление основной тенденции развития называется в статистике выравниванием временного ряда. Тенденция выявляется различными методами, в числе которых, как правило, называют следующие: метод укрупнения интервалов; метод скользящей средней (механическое сглаживание); аналитическое выравнивание. Метод укрупнения интервалов предполагает переход от первоначального динамического ряда к расчету уровней за большие промежутки времени. По сформированным укрупненным интервалам либо просто суммируются уровни первоначального ряда, либо рассчитываются средние величины. В тех случаях, когда ряд является моментным или если уровни ряда выражены относительной или средней величиной, то суммирование уровней не имеет смысла; тогда по укрупненным интервалам рассчитывают средние показатели. При укрупнении интервалов число уровней динамического ряда существенно сокращается. Кроме того, при анализе не учитывается изменение уровней внутри укрупненных интервалов. Поэтому для более детальной характеристики тенденции изменения уровней используется выравнивание динамического ряда с помощью скользящей (подвижной) средней. Суть скользящей средней сводится к замене фактических уровней динамического ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные данные. Число уровней, по которым рассчитывается скользящая средняя, называется периодом (интервалом) сглаживания. Чем меньше интервал сглаживания, тем больше сглаженный ряд приближается к исходному фактическому ряду. Вопрос о том, какой период сглаживания следует использовать, решается в зависимости от характера колебаний уровней ряда. Если в колебаниях уровней фактического динамического ряда наблюдается определенная периодичность, то период сглаживания следует принять равным (или кратным) периоду колебаний. Так, при наличии динамического ряда с уровнями за каждый месяц, которые ежегодно отличаются сезонными колебаниями, целесообразно использовать 12-месячный (или 24месячный) период сглаживания, а при наличии уровней за кварталы – 4- или 8-квартальный период сглаживания. Если колебания уровней являются беспорядочными, то целесообразно постепенно укрупнять период сглаживания, пока не выявится отчетливая картина тренда. Предпочтительнее использовать период сглаживания с нечетным числом уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре числа слагаемых скользящей средней и им легко заменить фактическое значение. При четном периоде сглаживания используется специальная процедура центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для того, чтобы соотнести полученный уровень с определенной датой. Метод аналитического выравнивания состоит в построении аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Понятие об уравнении тенденции динамики было введено в статистику английским ученым Гукером в 1902 г. Он предложил называть такое уравнение трендом. Выбор вида функции первоначально происходит с позиции содержательного подхода к задаче: устанавливается, насколько изменяющиеся во времени процессы протекают на всем промежутке времени одинаково. Если в рамках изучаемого периода времени имело место существенное изменение условий развития явлений, то необходима "периодизация" динамики. Следовательно, выбор функции проводится отдельно для каждого этапа изменения уровней ряда. Предварительно происходит ограничение круга потенциально приемлемых функций. Наиболее простой эмпирический прием – выбор формы тренда на основе графического изображения ряда. В случае очень сильных и резких колебаний уровней целесообразно использовать график скользящей средней этого ряда. Наиболее приемлемой является функция, которая соответствует тенденции основных показателей динамики (абсолютного прироста, темпов роста и прироста). Так, если уровни исходного ряда изменяются с достаточно постоянной абсолютной скоростью, т. е. примерно одинаковыми являются цепные абсолютные прироста, то математическим выражением такой тенденции будет являться прямая линия. Следовательно, расчетные (теоретические) уровни, освобожденные от колебаний, определяются на основе линейной формы тренда: где – уровни, yt y t a bt , освобожденные от колебаний, выравненные по прямой; а – средний выравненный уровень в момент или период, принятый за начало отсчета времени t; b – средний абсолютный прирост за единицу изменения времени. В случае, если цепные абсолютные прироста более или менее равномерно увеличиваются (уменьшаются), т. е. примерно стабильными оказываются приросты абсолютных приростов, то для выравнивания может быть использована парабола второго порядка: y t a bt ct 2 , где b – это средний (за единицу времени) для всего периода прирост, который уже не является постоянным, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2с; с – квадратичный параметр, равный половине ускорения, константа параболического тренда. Когда уровни динамического ряда изменяются примерно равными темпами роста, то в качестве приближенного математического выражения тенденции можно принять показательную кривую, экспоненциальный тренд, выраженный уравнением: y t a b t или в форме exp [lga + t∙lgb], где b – постоянный (цепной) темп изменения уровней. Однако анализ цепных показателей динамики не всегда приводит к достаточно обоснованному выбору конкретной формы тренда. Поэтому при выборе уравнения тренда используются также специальные математические критерии. После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Наиболее распространенный способ определения параметров уравнения – это метод наименьших квадратов. При этом методе необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выравненных была наименьшей: ( y i y t ) 2 min .Так, в случае выравнивания с помощью линейной функции: y t a bt с ( y i a bt ) была минимальной, параметры а и b тем, чтобы должны удовлетворять следующей системе нормальных уравнений: 2 y an b t ; t 2 yt a t b t . Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять середину ряда динамики. Тогда система уравнений b y t 0 2 принимает вид: y an 2 . y t b t Отсюда: a y n ; t . На основе найденного уравнения рассчитываются t выравненные уровни, соответствующие во времени фактическим уровням ряда динамики. 7.5. Приемы изучения сезонных колебаний Наиболее часто употребляемый метод измерения сезонных колебаний – это так называемый индекс сезонности. Порядок расчета индекса сезонности зависит от вида динамического ряда: стационарного или нестационарного. В стационарных (стабильных) рядах динамики, в которых нет ярко выраженной тенденции к росту или снижению, внутригодовые колебания происходят вокруг некоторого постоянного уровня. В этом случае формула расчета yi , где уi – фактические уровни индекса сезонности следующая: i s y ряда; y – общий для всего динамического ряда средний уровень. Для того, чтобы получить устойчивую оценку размера сезонных колебаний, на которой не отражались бы особенности условий конкретного года, индекс сезонности рекомендуется рассчитывать за is i несколько лет, используя следующую формулу: s , где Т – T число лет. В стационарных рядах динамики расчет индекса сезонности состоит в определении простой средней арифметической за одни и те же внутригодовые промежутки времени всего изучаемого периода, а затем в сопоставлении полученных средних с общей средней динамического ряда. Формула расчета: is yi 100, где y y i – средний уровень по одноименным внутригодовым отрезкам времени (месяцам, кварталам). При наличии тренда, т. е. в нестационарных рядах динамики, порядок расчета индекса сезонности следующий: 1. По одноименным внутригодовым уровням ряда (месячным, квартальным) за ряд лет определяют расчетные уровни y t при помощи скользящей средней или методом аналитического выравнивания. 2. Определяется процентное отношение фактических уровней ряда уi и расчетных (выравненных) уровней. 3. Получение показателей сезонности усредняются за все годы. Упрощенная формула расчета индекса сезонности для нестационарных рядов динамики выглядит так: y i is 100 : n. Наглядное представление о характере колебаний y t позволяет получить график ‹‹сезонной волны››. 7.6. Методы прогнозирования. Интерполяция и экстраполяция в рядах динамики Интерполяцией называется расчет неизвестных уровней динамического ряда, исходя из имеющихся значений того же динамического ряда, либо по данным другого динамического ряда, связанного с характеризуемым. Метод экстраполяции основывается на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключается в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее. Для прогнозирования в зависимости от характера исходной информации могут быть использованы различные группы методов экстраполяции: приемы, основанные на средних показателях динамики; методы, основанные на выявлении основной тенденции; адаптивные методы, учитывающие степень влияния предыдущих уровней. Особое место в прогнозировании занимают методы многофакторного моделирования. Временем упреждения при прогнозировании называется отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные, до момента, к которому относится прогноз. Рекомендуется руководствоваться следующим эмпирическим правилом: срок упреждения не должен превышать третьей части длины базы прогноза. Экстраполяция позволяет получить точечное значение прогноза. Однако точное совпадение прогнозных оценок с фактическими данными маловероятно. Следовательно, прогноз должен быть дан в виде интервала значений. Наиболее простым методом прогноза по данным изолированного ряда динамики является использование средних показателей ряда. При отсутствии тенденции можно предположить, что прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом. На основе нестационарных рядов динамики краткосрочные прогнозы могут быть получены в зависимости от типа развития с помощью среднего абсолютного прироста (если общая тенденция развития является линейной) и среднего темпа роста (в случае тенденции развития по геометрической прогрессии). Эти методы рассматриваются как предварительный прогноз и могут использоваться для оценки качества краткосрочных прогнозов, полученных иными методами, когда проводится сравнение ошибок прогноза. Распространенным методом является прогнозирование на основе экстраполяции тренда. Результаты прогноза зависят от принятого вида уравнения тренда. Долгосрочные прогнозы предполагают многофакторное моделирование динамики. Многофакторное моделирование осуществляется на основе анализа корреляции взаимосвязанных рядов динамики. Выводы Задачи описания изменения явлений во времени решаются путем сопоставления уровней динамического ряда, с помощью средних показателей динамики, а также на основе анализа отдельных составляющих уровней временного ряда: тренда, периодической составляющей и случайной компоненты. Показатели динамики с переменной базой сравнения (цепные) используют для выявления типа изменения уровней ряда. В статистической практике в соответствии с показателями динамики различают следующие типы изменений: равномерный рост снижения (цепные абсолютные приросты одинаковы); ускоренный рост или снижение (цепные приросты систематически увеличиваются по абсолютной величине); замедленный рост или снижение (цепные приросты систематически уменьшаются тоже по модулю). Одним из методов прогнозирования на основе одномерного временного ряда является экстраполяция, т. е. распространение прошлых и настоящих закономерностей на будущее. Прогноз определяет, к каким результатам можно прийти при развитии с той же скоростью или ускорением, что и в прошлом, если сохраняются основные факторы и можно учесть направление их изменений в рассматриваемой перспективе. Вопросы для самопроверки 1. Из каких элементов состоит динамический ряд? 2. Какие условия определяют сопоставимость динамического ряда? 3. Какие виды рядов динамики вы знаете? уровней 4. Что характеризуют показатели динамики? 5. Как связаны между собой цепные и базисные показатели динамики? 6. Что представляет собой средний уровень ряда? 7. Какие показатели называют темпом роста и темпом прироста? 8. Чему равен средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста? 9. Какие компоненты могут включать значения уровней динамического ряда? 10. Как производится сглаживание рядов динамики способом скользящей средней? 11. В чем особенность определения основной тенденции динамики методом аналитического выравнивания? 12. Что такое сезонные колебания? 13. От чего зависит методика построения индекса сезонных колебаний? 14. Какие приемы экстраполяции по одномерному временному ряду вы знаете? 1. 2. 3. 4. 5. Библиография Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. И. И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. Статистика: Учебник/ Под ред. В. С. Мхитаряна. ─ М.: Экономист, 2005. Афанасьев В. Н., Юзбашев М. М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учеб. пособие. ─ М.: Финансы и статистика, 2001. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Д. М. Левин, Д. Стефан, Т. С. Кребиль, М. Л. Беренсон. ─ 4-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие/ Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. ─ М.: Финансы и статистика, 2004.