вычисление средней длины свободного пробега молекул газа по

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
БалаковскиЙ институт техники, технологии и управления
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО ВЕЛИЧИНЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ
Методические указания
к выполнению лабораторной работы по физике
для студентов спеииальностей 120100,170900,210100,290300
дневной и вечерней форм обучения
ПО ВЕЛИЧИНЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ
Методические указания к выполнению лабораторной
работы по физике для студентов специальностей
120100,170900,210100,290300 дневной и вечерней форм
обучения
Составили: Леонов Петр Васильевич
Никифоров Виктор Васильевич
Одобрено
Рецензент Т. Н. Мищенкова Редактор
редакционно-издательским советам
Л. В. Максимова Корректор А. М.
Банковского института техники,
Рогачева
технологии и управления
Подписано в печать 06.02.08.
1/16
Бумага тип.
Усл. печ. л. 1,25
Тираж 150 экз.
Заказ 90
Формат 60*84
Уч.-изд. л. 1,2
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Копипринтер БИТТиУ, 413840, г. Балаково, ул. Чапаева, 140
Балаково 2008
ФО
Цель работы: изучение законов явлений переноса в газах на примере
измерения коэффициента динамической вязкости воздуха и расчет
моле-кулярно-кинстических параметров газа - длины свободного пробега и
эффективного диаметра молекул на основе модели идеального газа.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Согласно представлениям молекулярно-кинетической теории, все
физические тела состоят из мельчайших частичек вещества - молекул,
------------ 4—
Рис.1. Взаимное расположение двух одинаковых молекул гам, при котором заметно
находящихся в состоянии непрерывного беспорядочного, хаотического
проявляются силы взаимодействия между ними (цифры показывают номера молекул)
движения. Интенсивность такого движения молекул зависит от температуры, поэтому оно называется также тепловым. Изучение закономерностей
фектнвиым диаметром молекулы. Например, для азота при нормальных
теплового движения молекул обычно начинают с его рассмотрения в газах
условиях d ■ 3,8-10"10 м.
При давлениях порядка атмосферного или более низких средние
В промежутках между соударениями молекулы движутся практиче-
расстояния между соседними молекулами газов очень велики по сравнению
ски свободно, поэтому путь, проходимый молекулой между двумя после-
с размерами самих молекул. Поэтому силы взаимодействия между ними
довательными столкновениями, называется длиной свободного пробега /. В
настолько малы, что ими, в первом приближении, можно пренебречь, за
одном и том же газе, даже при неизменных внешних условиях, величина /
исключением тех случаев, когда молекулы сближаются друг с другом
не является постоянной величиной. Поэтому при статистическом описании
практически вплотную (рис. 1). Точнее говоря, при больших расстояниях
движения множества молекул эту величину усредняют и вводят понятие
между молекулами между ними действуют очень слабые силы взаимного
средней длины свободного пробега /л то есть среднего расстояния,
притяжения, которые по мере сближения молекул вначале постепенно
проходимого между двумя последовательными столкновениями с другими
увеличиваются по модулю, а затем, начиная с определенного (очень ма-
молекулами.
лого) расстояния d между центрами молекул (рис. 1), сменяются быстро
возрастающими силами взаимного отталкивания. Действие последних
приводит к изменению направления движения ранее сближавшихся молекул и к их последующему удалению друг от друга. Описанный процесс
столкновения двух молекул газа весьма напоминает упругое соударение
двух твердых шарообразных тел диаметра d. Расстояние d, на которое
сближаются при столкновении центры молекул (рис.1), называется эф-
Рассчитаем среднее число столкновений (Zc ), которые происходят в
единицу времени между какой-либо одной молекулой газа (например, молекулой 1, изображенной на рисунке 1) и другими молекулами (последние
мы вначале будем для простоты считать неподвижными). Пусть молекула 1
в момент начала рассматриваемого интервала времени движется в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 1, при этом модуль её
скорости равен средней арифметической скорости <v> теплового движения
2
3
молекул данного газа. Тогда за 1 секунду молекула 1 пройдет расстояние,
численно равное <v>, и испытает столкновения со всеми молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра с радиусом основания d и высо-
S
той <v) (как, например, с молекулой 2, также изображенной на рисунке 1).
Ui
Объем указанного цилиндра (V) равен x-d* <v>, а число молекул с цен-
и*
трами внутри него составляет:
- x-d2(v)n,
V-n
(1)
1
где п - число молекул в единице объема газа.
Согласно сказанному выше, выражение (1) определяет среднее число
столкновений в единицу времени, рассчитанное при указанных допущениях. Учёт движения всех молекул приводит к внесению в выражение (1) поправочного множителя, равного V2, и к получению уточнённой формулы:
zc = j2K-d2(\)n.
(2)
к к
X
Рис.2. Зависимость скоростей направленного движения слоев газа от
координаты X
Очевидно, что средняя длина свободного пробега молекулы равна
отношению среднего расстояния, проходимого ею за 1 секунду (равного
<v>), к среднему числу столкновений за то же время:
/.(У).
zc
<
*
2
)
Smi n{\)
.
'
-
*г
ЛтРп
Молекулы газа участвуют одновременно в двух движениях:
1) хаотическом, тепловом, средняя скорость которого равна (V);
(3)
-ВяРр где к - постоянная
2) направленном движении каждого слоя как целого параллельно оси Y со
скоростью и, вследствие которого каждая молекула массой m обладает
Больцмана; р - давление газа; Т - его абсолютная температура.
импульсом направленного движения, модуль которого равен ти (в данном
Покажем, что среднюю длину свободного пробега молекул газа можно
случае эта величина, как и и, убывает в направлении оси X).
определить на основании результатов экспериментального измерения его
Рассмотрим участок плоской поверхности, расположенный парал-
коэффициента динамической вязкости Г\. Для этого рассмотрим газ,
лельно направлению течения слоев газа, площадь которого равна S (рис.
находящийся в состоянии движения в направлении оси Y (рис. 2),
2). Благодаря хаотическому тепловому движеиию,молекулы газа могут пе-
причём скорость и этого направленного движения различных слоев газа
убывает по модулю в направлении оси X:
4
реходить через этот участок как в направлении слева направо, так и в обратном направлении. В первом случае в более медленно движущемся слое
правее участка S часть молекул замещается молекулами, пришедшими
слева, имеющими большую скорость направленного движения и, следова-
5
тельно. больший импульс; в результате импульс слоя справа от площадки
S возрастает, а импульс слоя слева от не* уменьшается. Нетрудно видеть,
„
ности S, составляет;
1
dy)Sbl*mux
Л/ ■ --------------------- ■ —
n<y)mut.
что переходы молекул справа налево через указанную площадку приводят
к такому же переносу импульса направленного движения, при котором
импульс более быстрого слоя уменьшается, а импульс медленного - растет
(это явление называется внутренним трением).
65Д/
лево через ту же площадь за то же время, составляет:
К2--гиу)ти.
6
что при хаотическом тепловом движении молекул газа ни одно из направперед другими, то есть вероятность теплового движения молекул в направлениях осей X, Y и Z декартовой системы координат одинакова. Поэтому можно принять, что одна треть всех молекул газа движется параллельно оси X, другая треть - параллельно оси Y, а остальные движутся
расстоянии /с справа от участка S (рис. 2).
Величина результирующего переноса импульса через единицу площади рассматриваемого участка за единицу времени равна:
К = К,-К2- -л<у>/я(м -t/J.
лельно оси X, лишь половина движется вправо (число таких молекул в
в том же объёме). За время Ы через участок S (рис.2) слева направо
перейдут все молекулы газа, находящиеся в объёме 5<v>A/ ; число таких
(5)
2
где и - скорость направленного движения слоя газа, расположенного
на
параллельно оси Z. При этом из тех молекул, которые движутся паралединице объёма газа составляет одну шестую от общего числа молекул п
'
Соответственно импульс К2, переносимый молекулами газа справа на-
Для расчета скорости переноса импульса между слоями газа учтем,
лений такого движения в пространстве не имеет каких-либо преимуществ
6
(6)
В пределах весьма малого интервала значений координаты ДГ (ширина которого равна 21е) можно считать, что величина и практически линейно зависит от ДГ (рис.2), поэтому:
молекул равно -nS(\)At. 6
du _ Дм _ (и2 -и,)
(7)
Импульс отдельной молекулы, который она переносит при переходе
<Ь
через площадку S - это тот импульс, которым молекула обладала при по-
Лг
2/
следнем столкновении перед площадкой, то есть на расстоянии порядка
(8)
средней длины свободного пробега от площадки. Если скорость направ-
Отсюда
ленного движения слоя газа на расстоянии /с слева от площадки равна щ
Подставив последнее выражение в (6), получим:
(рис.2), то импульс молекулы указанного слоя, связанный с этим движением, равен ти. Поэтому импульс К,, переносимый всеми такими молекулами слева направо за единицу времени через единицу площади повсрх-
1
и, - м, = -2/ —.
2
c
dx
A: = iw<v>42)/c^ = -in<v)m/^.
V
6
' cdx
3
(9)
c
dx
Сравнив полученное соотношение (9) с известной формулой:
K = -rj—St
dx
(10)
6
1
В установке имеется камера 1 с прозрачным окном на передней
найдем (при 5=1):
стенке. Внутри камеры находятся два алюминиевых диска (2 и 3), распо-
rj=-n<\)mlc = -p{v)le.
01)
ложенных соосно и близко друг к другу (ширина воздушного зазора h между ними составляет 2 мм). Диск 2 закреплён на валу электродвигателя 4, а
где р - плотность газа, равная суммарной массе всех молекул в
единице объема (пт).
диск 3 - на валу подшипника качения S с малым моментом сил трения. Вал
подшипника в верхней части камеры прикреплён к центральному концу
Полученная формула (11) лежит в основе выполнения настоящей
работы.
ленточной спиральной пружины 6, внешний конец которой укреплён на
неподвижной стойке 7 (рис. 4).
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОРУДОВАНИЯ
1. Лабораторная установка для определения средней длины свободного
пробега молекул газа.
rl—i\*
\
2. Термометр (настенный).
3. Барометр.
4. График зависимости частоты вращения вала электродвигателя от приложенного напряжения.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Установка для измерения коэффициента динамической
вязкости воздуха схематически изображена на рис. 3.
Рис. 4. Вид диска 3 с пружиной н стойкой сверху
Диск 2 приводится электродвигателем во вращение с довольно
большой угловой скоростью СО и увлекает за собой прилегающие к нему
слои воздуха (то есть создаст направленное движение воздуха в зазоре
между обоими параллельными дисками 2 и 3), а это, в свою очередь, приводит к повороту и диска 3 на определённый угол <ро (величина этого угла
ограничивается тормозящим действием пружины 6). Частота вращения
диска 2 зависит от напряжения, подаваемого на электродвигатель. Его величину можно изменять с помощью потенциометра /?, ручка которого
выведена на переднюю панель установки; она измеряется вольтметром В
Рис.3. Схема лабораторной установки
(рис. 3). Установка снабжена градуировочным графиком, с помощью которого по значению подаваемого напряжения можно определить частоту
S
9
вращения диска 2. Угол поворота диска 3 измеряется по нанесенной на
нём шкале с помощью указателя 8 (рис. 4).
Рассчитаем вращательный момент А/„ действующий со стороны
слоя воздуха в зазоре на диск 3. Для этого вначале найдём момент силы
сительно прибора (то есть для него W;=0), а слой воздуха, находящийся в
непосредственной близости к поверхности диска 2 напротив рассматриваемого участка (на таком же расстоянии г от центра диска 2), движется
внутреннего трения, действующий на элементарный (бесконечно малый)
вместе с прилегающим участком этой поверхности со скоростью Ui— cor.
участок этого диска, находящийся на расстоянии г от его центра, контуры
Тогда:
^z^Au2~ui) --*»•
которого условно показаны на рис. 4 жирными линиями (указанный участок рассматривается в полярных координатах: величина интервала значений координаты г для него составляет dr, а интервал значений координаты <р обозначен символом d(p). Тогда площадь этого участка dS равна
dx
Дх
h
(I4)
h
Подставив полученное соотношение в выражение (13) и проинтегрировав его по всему диску 3 (на котором координата Г изменяется в пределах от нуля до радиуса всего диска /?<ь а координата <р — от нуля до 2х
rdr-dqty а модуль элементарного момента силы dF, действующей на него,
радиан), найдём полный закручивающий момент указанного диска, созда-
составляет
ваемый движением слоев воздуха в зазоре:
dM = r<JF,
(12)
и-ТЬ—sdrdv =T?*L.
(так как вектор названной силы направлен по касательной к траектории
вращения рассматриваемого участка, поэтому он перпендикулярен к его
(I5
радиус-вектору, проведённому из центра диска 3).
)
Применяя выражение (10) к рассматриваемому здесь случаю, считая,
«•
что ось X направлена вертикально вверх (по оси вращения дисков), и учи-
A
lh
тывая, что, согласно второму закону Ньютона, изменение импульса в еди-
После остановки поворота диска 3 указанный закручивающий мо-
ницу времени равно действующей на участок силе dF, получим из (12)
мент уравновешивается равным ему по модулю тормозящим моме1ггом
следующее соотношение:
пружины Мт. Последний в условиях работы на данной установке (при которых механическое напряжение в материале пружины не превышает
dM = -J/— r-dS = -Ti— Sdr-dq,.
dx
dx
(13)
Для нахождения необходимого для расчёта градиента скорости на-
предела упругости) практически прямо пропорционален углу закручивания
(поворота) рассматриваемого диска (рй:
правленного движения воздуха в зазоре между дисками учтём, что слой
воздуха, непосредстветю прилегающий к рассматриваемому участку диска 3, после полной остановки поворота этого диска также покоится отно-
Mr=aq>o,
(16)
где а - коэффициент пропорциональности, равный 3,8210"*Нм/град.
Поэтому в состоянии равновесия диска 3 справедливо следующее выражение:
О» «2=£ .
2А
(17)
10
и
Поскольку угловая скорость вращения диска 3 связана с частотой
вращения v известным соотношением co=2xv> из (17) можно выразить
коэффициент динамической вязкости воздуха через известные или опреде-
Наконец, подставив в последнее выражение величину rj из (18), получим окончательно:
ляемые в опытах величины следующим образом:
Соотношение (22) представляет собой рабочую формулу для расчета
Для дальнейшего расчёта искомой длины свободного пробега молекул воздуха с помощью соотношения (11) необходимо знать плотность
воздуха р в условиях эксперимента. Е* можно вычислить из уравнения
искомой величины средней длины свободного пробега молекул воздуха.
ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ТРУДА
Менделеева-Клапейрона (поскольку при обычных лабораторных условиях
1. Перед началом работы на установке необходимо ознакомиться с назна-
воздух практически можно считать подчиняющимся законам идеальных
чением и расположением ей органов управления, проверить состояние
газов):
сетевого шнура и вилки, убедиться в надёжности присоединения клем-
р^пт^ЕЬ.,
(19)
RT
гдер - атмосферное давление;
/^- средняя молярная масса воздуха, которая принимается равной
29-10° кг/моль.
мы заземления корпуса к шине защитного заземления.
2. Включение установки производится только с разрешения преподавателя
или лаборанта и в их присутствии.
3. Необходимо учитывать, что в установке используется напряжение 220
В, опасное для жизни, поэтому при работе следует соблюдать осторожность и аккуратность, не допускать сгибания сетевого шнура, не тро-
Кроме того, для расчетов по соотношению (11) необходимо вычислить среднюю скорость теплового движения молекул воздуха. Это можно
сделать по известной формуле:
(20)
4. В случае возникновения неисправностей, посторонних звуков, гудения
необходимо немедленно отключить установку и сообщить об этом
преподавателю или лаборанту.
Щ
Подставив
гать неизолированные выводы.
выражения (19) и (20) в соотношение
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
(11), найдем из него:
1. После внимательного изучения настоящего методического руководства
и полного усвоения основных понятий, методики эксперимента и по-
(21)
рядка работы получите разрешение преподавателя на ев включение и
проведите ее* внешний осмотр. 2. Установите регулятор напряжения в
крайнее левое положение, а указа12
13
тсль угла поворота диска 3 на нулевое деление шкалы.
Окончание табл. I
3. Включите установку в электрическую сеть.
4. По графику зависимости частоты вращения диска 2 от напряжения на
34
электродвигателе выберите желаемое число оборотов указанного диска в
секунду и установите регулятором необходимое напряжение, контро-
Примечание: число строк таблицы с результатами измерений должно
соответствовать числу проведбнных опытов.
лируя его вольтметром.
5. Спустя 3 - 5 минут после прекращения поворота диска 3 измерьте угол
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
его поворота по шкале, нанесенной на поверхности диска, и запишите
его значение в таблицу.
6. Измените скорость вращения диска 2 путем повышения напряжения,
приложенного к электродвигателю, и повторите действия по пункту 5.
Выполняйте эту операцию 3 - 5 раз, последовательно увеличивая час-
1. По формуле (19) рассчитайте /9, по формуле (20) вычислите < v> и
вне-
сите эти данные во вторую строку таблицы.
2. С учетом значений постоянных величин, записанных в верхней строке
тоту вращения диска вплоть до максимально достижимой (в последнем
таблицы, и экспериментальных значений V и (ро вычислите коэффици-
опыте).
ент динамической вязкости Г\ по формуле (18) для каждого опыта и за-
7. Повторите действия по пункту 6 в обратном порядке, то есть при последовательном уменьшении напряжения на электродвигателе в каждом
следующем опыте, проведя ещё 3 - 5 опытов.
3. По формуле (22) рассчитайте значения 1С для каждого опыта и запишите
их в таблицу.
8. Отключите установку.
9. Определите по настенному термометру температуру воздуха в лаборатории и по барометру - атмосферное давление, запишите значения
этих
4. При помощи соотношения (3) рассчитайте значения d для каждого
опыта и запишите их в таблицу.
5. Сравните полученные значения /с и d с имеющимися в справочной ли-
величин в таблицу.
тературе, сделайте вывод о результатах такого сравнения.
Рекомендуемая форма таблицы такова*:
Таблица 1
Значения величин, полученные при выполнении опытов и расчетов
а-3.82 1(Г*Нм/град.
«■210\
Г-...,
*-...,
опыта
пишите его значения в таблицу.
V.B
У. с
1
р-.,
/>-....
f-град.
iy. Пас
1
2
14
Яв-бДКГ'м
<V>-...
/с-
d.u
6. Рассчитайте абсолютную погрешность определения величины 1С по
формуле:
^МШШгде коэффициент к примите равным 1,1 (при доверительной вероятно-
сти 0,95), Ь<р = Г, ДГ= 1К, величину Ар (абсолютную погрешность
измерения атмосферного давления) примите равной половине цены деления используемого барометра.
7. Рассчитайте среднее арифметическое (/с| из всех значений /с.
8. Представьте окончательный результат в следующем виде:
/с=(/с)±Д/с;/> = 0,95,
3. От каких величин и как конкретно зависит средняя длина свободного
пробега молекул газа?
4. Что такое модель идеального газа?
5. Можно ли применять для описания свойств воздуха при нормальных
условиях соотношения, выведенные для идеальных газов? Почему?
где величину Д/с примите равной максимальному значению абсолют-
6. Что такое внутреннее трение в газе и чем оно обусловлено?
ной погрешности, рассчитанному в п. 6.
7. Дайте определение и объясните физический смысл коэффициента динамической вязкости газа.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЁТА
Письменный отчет о лабораторной работе должен содержать сле-
8. От каких величин зависит коэффициент динамической вязкости газа?
9. Как связан коэффициент динамической вязкости воздуха с его плотностью, средней скоростью теплового движения его молекул и со средней
дующие разделы:
1. Название работы, фамилию и инициалы исполнителя, дату ев выполне-
длиной свободного пробега молекул?
10. Выведите рабочую формулу.
ния.
2. Цель работы.
11. Опишите устройство экспериментальной установки.
3. Основные понятия (кратко, только самое главное).
12. Опишите методику проведения эксперимента и порядок выполнения
4. Методика эксперимента (с кратким описанием установки).
5. Порядок выполнения работы (с таблицей полученных результатов экс-
работы.
13. Каковы источники возникновения погрешностей в данной работе и как
рассчитывается абсолютная погрешность определения средней длины
периментов).
6. Обработка результатов эксперимента (с подробными расчетами всех
косвенно определяемых величин).
свободного пробега молекул воздуха в настоящей работе?
ВРЕМЯ, ОТВЕДЁННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
7. Выводы по работе.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое длина свободного пробега и эффективный диаметр молекулы
газа? Как связаны между собой эти величины?
2. От каких величин и как конкретно зависит среднее число столкновений
между молекулами газа в единицу времени?
Подготовка к работе
1 академический час
Выполнение экспериментальной
1 академический час
части работы
2 академических часа
Обработка результатов эксперимента, подготовка и сдача письменного и устного отчета
16
17
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И. В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. - М.: Астрель, 2004. - С. 175 - 195.
2. Трофимова Т. И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2002. - С. 92 - 97.
3. Кикоин И. К., Кикоин А. К. Молекулярная физика. - М.: Физматгиз,
1963. -С. 142-194.
4. Леонов П. В. Вычисление средней длины свободного пробега молекул
газа, исходя из величины коэффициента динамической вязкости-, методические указания. - Саратов: СГТУ, 1998.
5. Терешин Ю. В. Обработка результатов измерений: методические указания. - Саратов: СПИ, 1983.
СОДЕРЖАНИЕ
Цель работы .................................................................................................... 2
Основные понятия............................................................................................ 2
Перечень оборудования.................................................................................. 8
Методика эксперимента .................................................................................. 8
Требования безопасности труда................................................................... 13
Порядок выполнения работы ...................................................................... 13
Обработка результатов эксперимента........................................................... 15
Содержание и оформление отчета .................................................................. 16
Вопросы для самоконтроля .......................................................................... 16
Время, отведённое на выполнение работы ............................................... 17
Литература....................................................................................................... 18
is
19