Тема 1 Числовые и функциональные ряды

Теорема
(необходимое
ч и с л о в о г о р я д а ) Если ряд
условие

a
k 1
сходимости
сходится, то предел общего
k
члена равен нулю: lim аk  0 .
k 
Выражение вида an 1  an  2  ... 

 ak ,
представляющее со-
k  n 1
бой числовой ряд, называется n -м остатком ряда

a
k 1
чается rn 

 an  k
k 1
или rn 
k
и обозна-

 an .
n  k 1
Для сходящегося ряда можно записать равенство

n
k 1
k 1
S   ak   ak 

a
Для сходимости ряда
k 1
k

a
k  n 1
k
 S n  rn .
необходимо и достаточно, чтобы
любой его остаток rn сходился.
Очевидно, что если числовой ряд

a
k 1
k
сходится, т. е.
lim S n  S , то lim rn  0 .
n 
n 
Следовательно, отбрасывание любого конечного числа членов
не влияет на сходимость ряда.

Ряд
 ak , a k  0
 k
, называется рядом с неотрицатель-
k 1
ными членами.
Для рядов с неотрицательными членами справедливы следующие свойства:
– перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа
членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость);
– если ряды

 ak и
k 1
соответственно, то ряд

 bk
сходятся и их суммы равны S a и S b
k 1

 ak  bk  также сходится и
k 1
147

 ak  bk   Sa  Sb .
k 1

Ряд


k 1
k 1
 ak  bk  называется суммой рядов  ak и  bk ;
k 1

– если ряд
 ak
сходится и его сумма равна S , то ряд
k 1

   ak
также сходится и
k 1

   ak    S .
k 1
Ряд 

 ak

называется произведением ряда
k 1
 ak
на число  ;
k 1

– если ряд
 ak
сходится, то и ряд, полученный группировкой его
k 1
членов без изменения порядка их расположения, также сходится и
имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Теорема (критерий Коши сходимости ряда)
Для того чтобы ряд

a
k 1
k
сходился, необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 существовало такое число N   , что для
всех k  N    и всех  p 
имело место неравенство:
ak 1  ak  2  ...  ak  p   .

Для того чтобы ряд
 ak
с неотрицательными членами схо-
k 1
дился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм  S n  этого ряда была ограничена.
Т е о р е м а ( и н т е г р а л ь н ы й п р и з н а к К о ш и ) Если
неотрицательная интегрируемая функция f  x  на промежутке
1; 

монотонно убывает, и члены ряда
 ak
k 1
148
имеют вид


k 1
1
 ak и несобственный интеграл
ak  f  k  , то ряд
 f x dx
сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:



n 1
1
f x dx   an   f x dx  a1 .

1
Т е о р е м а ( п р и з н а к с р а в н е н и я ) Пусть для членов рядов


 ak
 bk
и
k  n0 
справедливо
неравенство
0  ak  bk
k 1
k 1
. Тогда:

1) если ряд
 bk
сходится, то и ряд
k 1
2) если ряд

 ak

 ak расходится, то и ряд
k 1
Следствие
сходится,
k 1
(предельный
Пусть для членов рядов

 ak

 bk
признак
( ak  0 ) и
расходится.
k 1

 bk
сравнения)
( bk  0 ) существу-
k 1
k 1
ет конечный предел:
lim
k 
Тогда ряды

 ak
ak
 A, A  0.
bk

и
k 1
 bk
сходятся и расходятся одновремен-
k 1
но.
Для исследования на сходимость рядов с помощью признаков
сравнения используются ряды:
– ряд из элементов геометрической прогрессии:
a  0  , сходящийся при

 aqk 1 ,
k 1
q  1 и расходящийся при q  1 ;

– обобщенный гармонический ряд:
1
kp ,
сходящийся при
k 1
p  1 и расходящийся при p  1 .
Т е о р е м а ( п р и з н а к Д ’ а л а м б е р а ) Пусть для ряда
149

 ak
( ak  0 ) существует предел lim
k 
k 1
ряд

 ak
сходится, а при L  1 ряд
k 1

ak 1
 L . Тогда при L  1
аk
 ak
расходится.
k 1
Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если L  1 .
Теорема
(признак
К о ш и ) Пусть для ряда

 ak
k 1
( ak  0 ) существует предел lim

 ak
k 1
k
k 

сходится, а при L  1 ряд
ak  L . Тогда при L  1 ряд
 ak
расходится.
k 1
Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если L  1 .
a
Из существования предела lim k 1 следует, что существует и
k  а
k
предел lim
k
k 
ak . Обратное утверждение не всегда имеет место,
т. е. признак Коши «сильнее» признака Д’аламбера.
Тема 2 Знакопеременные ряды
2.1 Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница
2.2 Абсолютно и условно сходящиеся ряды
2.3 Признаки Дирихле и Абеля
Знакочередующимся называется ряд, все члены которого поочередно меняют знак:

  1
ak  a1  a2  a3  a4  ...   1
k 1
k 1
ak  ... ,
k 1
где ak , k  1,2,... , – числа одного знака.
Т е о р е м а ( п р и з н а к Л е й б н и ц а ) Пусть члены знакоче
редующегося ряда
  1
k 1
ak удовлетворяют условиям:
k 1
1) ak  ak 1 k 
2) lim ak  0 .
;
k 
150

Тогда ряд
  1
k 1
ak сходится, а его сумма S не превосходит
k 1
первого члена, т. е. S  a1 .
Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1 называется рядом
Лейбница.
Остаток rn   1n an 1  an  2  ... ряда Лейбница удовлетворяет неравенству rn  an 1 .
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные
члены, называются знакопеременными.

Ряд
a
называется абсолютно сходящимся, если ряд с неот-
k
k 1

рицательными членами
a
k
сходится.
k 1
Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Обратное утверждение в общем случае не имеет места.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами:


– если ряд

ak абсолютно сходится и
k 1


ak = S ,
k 1
a
k
= ,
k 1
то S   ;

– если ряды


ak и
k 1
 и  ряд

  a
k
k 1
b
k
k 1
абсолютно сходятся, то при любых
  bk  абсолютно сходится;

– если ряд
a
k
абсолютно сходится, то ряд, составленный из
k 1
тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда;

– если ряды

k 1

ak и
b
k 1
k
абсолютно сходятся, то ряд, состав-
ленный из всевозможных попарных произведений ak bm членов
этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно
сходится.
151

a
Если ряд

a
сходится, а ряд
k
k 1
k
расходится, то ряд
k 1

a
k
называется условно сходящимся.
k 1

Для ряда
a
k
обозначим через a1 , a 2 , …, a k ,… и a1 , a 2 ,
k 1
…, a k , … соответственно его неотрицательные и отрицательные
члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ря
де
a

k
. Рассмотрим ряды
k 1
a
k 1

k

и
a
k 1

k
, члены которых неот-
рицательны.

Если ряд


ak условно сходится, то оба ряда
k 1

k 1
a k и

a
k 1

k
расходятся.

Т е о р е м а ( Р и м а н а ) Если ряд
a
k
условно сходится, то,
k 1
каково бы ни было действительное число s , можно так переставить его члены, что сумма получившегося ряда будет равна s .
Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто
используются признаки Дирихле и Абеля.
Т е о р е м а ( п р и з н а к Д и р и х л е ) Пусть
1) последовательность  ak  монотонна и lim ak  0 ,
2) последовательность сумм
ничена.
 Bn  ,
k 
Bn  b1  b2  ...  bn , огра-

Тогда ряд
a b
k k
сходится.
k 1
Т е о р е м а ( п р и з н а к А б е л я ) Пусть
1) последовательность  ak  ограничена и монотонна,

2) ряд
b
k
сходится.
k 1

Тогда ряд
a b
k k
сходится.
k 1
152
Тема 3 Функциональные ряды
3.1 Сходимость функциональных последовательностей
3.2 Функциональные ряды и их сходимость
3.3 Признаки равномерной сходимости функциональных рядов
3.4 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Пусть на множестве X задана последовательность функций
 fn  x    f1  x ; f2  x ; f3  x ;... ,
принимающих числовые значения в точках x  X .
Последовательность
 f  x 
n
называется ограниченной, если
существует такое число M  0 , что n 
выполняется неравенство f n x   M :
во всех точках x  X
 f  x  – ограничена  n  и  x  X f n x  M .
Последовательность  f  x   называется поточечно сходящейn
n
ся к функции f  x  на множестве X , если при любом фиксированном x  X числовая последовательность
f  x  , т. е.  x  X lim f n x   f x  :
 f  x 
n
сходится к
n 
 x  X    0  N   :  n  N    f n x   f x    .
Поточечная сходимость функциональной последовательности
обозначается f n  x   f  x  , n   .
Функциональная последовательность
 f  x 
n
называется рав-
номерно сходящейся к функции f  x  на множестве X , если для
любого   0 существует такой номер N   , что для всех
n  N   и всех точек x  X имеет место неравенство
f n x   f x    :
153
   0  N   :  n  N   и  x  X  f n x   f x    .
Равномерная сходимость функциональной последовательности
обозначается f n  x  
 f x  , n   .
Для того чтобы последовательность функций
 f  x 
n
равно-
мерно сходилась на множестве X к функции f  x  , необходимо и
достаточно, чтобы lim sup f n x   f x   0 .
n  X
Обозначим rn  sup f n x   f x  .
X
Тогда последовательность
 rn    sup f n  x   f  x  


X
является
числовой последовательностью.
Теорема (критерий Коши равномерной сх од и м о с т и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Для того чтобы последовательность функций  f n  x   равномерно сходилась на множестве X к функции f  x  , необходимо и достаточно, чтобы для
любого   0 существовал такой номер N   , что для всех точек
x  X , всех n  N   и всех p 
выполнялось неравенство
f n  p x   f n x    :
   0  N   :  x  X ,  n  N    p 
fn p  x   fn  x    .
Пусть u1 x  , u 2  x  , …, u n  x  , … – последовательность функций, определенных на некотором множестве X .
Ряд

u1 x   u2 x   ...  uk x   ...   uk x  ,
k 1
членами которого являются функции u k  x  , называется функциональным.
Каждому значению x0  X соответствует числовой ряд

 uk x0 . Этот числовой ряд может быть сходящимся или расхоk 1

дящимся. Если ряд
 uk x0  сходится, то
k 1
154
x0 называется точкой

сходимости функционального ряда
 uk x  . Множество всех тоk 1
чек сходимости функционального ряда называется его областью
сходимости. Обозначим ее через D . Очевидно, что D  X . Если

множество D пусто, то ряд
 u k x 
расходится в каждой точке
k 1
множества X .

 u k x 
Для ряда
n
конечная сумма
u  x
k 1
k 1
k
частичной суммой и обозначается S n  x  , а ряд
называется n -й

u  x
k 1
nk
называ-
ется n -м остатком и обозначается rn  x  .
Поточечная сходимость функциональных р я
д о в . Ряд
 u k x 
называется сходящимся поточечно к функции
k 1
S  x  на множестве X , если последовательность его частичных
сумм  Sn  x   сходится к S  x  на X , т. е.

 u k x   S x 
  x  X lim S n x   S x  .
n 
k 1
Функция S  x  называется суммой ряда.
Очевидно, что для поточечно сходящегося на множестве X ря
да
 uk x  его остаток r  x  удовлетворяет соотношению:
n
k 1
x  X lim rn  x   0 .
n 

Функциональный ряд
 u k x 
называется абсолютно сходя-
k 1
щимся на множестве D1  X , если в каждой точке этого множе
ства сходится ряд
 u  x .
k 1
k
Так как из абсолютной сходимости ряда в точке следует его
сходимость, то D1  D , где D – область сходимости функционального ряда.
155
Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда используются признаки Коши и Д'аламбера, для которых в рассматриваемом случае предел L , вообще говоря, будет
функцией переменной x .
Равномерная
сходимость
функциональных

р я д о в . Функциональный ряд
 u k x 
называется равномерно
k 1
сходящимся на множестве X к функции S  x  , если последовательность частичных сумм  Sn  x   сходится равномерно к S  x 
на X :

 uk x   S x 
k 1
 S n x  
 S x   x  X .
Для равномерно сходящегося ряда остаток удовлетворяет соотношению: rn  x  
 0  x X .
Различие определений поточечной и равномерной сходимостей
функционального ряда состоит лишь в том, что в первом случае
номер N   зависит от  и x  X , т. е. N  N  ; x  , а во втором –
только от  , т. е. N  N   . Поточечная сходимость называется
также неравномерной.
Теорема (критерий Коши равномерной сх о
д и м о с т и р я д а ) Для того чтобы ряд
 u k x 
равномерно
k 1
сходился на множестве X к функции f  x  , необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовал такой номер N   ,
что всех n  N   , всех p  N и всех точек x  X выполнялось
неравенство un 1  x   ..  un  p  x    .
Т е о р е м а ( п р и з н а к В е й е р ш т р а с с а ) Пусть

1) члены ряда
 uk x  удовлетворяют неравенствам:
k 1
u k x   ak k 

2) ряд
 ak , an  0 , сходится.
k 1
156
, x  X .

Тогда функциональный ряд
 u k x 
сходится равномерно на
k 1
множестве X .

Числовой ряд
 ak , члены которого удовлетворяют неравенk 1
ствам u k x   ak k 
, x  X , называется мажорантным

рядом или мажорантой для функционального ряда
 uk x  , а сам
k 1
функциональный ряд в этом случае называется мажорируемым на
множестве X .
Т е о р е м а ( п р и з н а к Д и р и х л е ) Пусть
1) последовательность функций  an  x   равномерно сходится
к нулю на множестве X ;
2)  an  x   в каждой точке x  X монотонна;
3)
последовательность
частичных
сумм
 B  x  ,
n
n
Bn x    bk x  , ограничена на X .
k 1

Тогда ряд
 ak x bk x  равномерно сходится на
X.
k 1
Т е о р е м а ( п р и з н а к А б е л я ) . Пусть
1) последовательность функций  an  x   ограничена на множестве X и в каждой точке x  X монотонна;

2) ряд
 bk x  равномерно сходится на X .
k 1

Тогда ряд
 ak x bk x  равномерно сходится на
X.
k 1
Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают свойствами:
– (непрерывность) если на множестве X функциональный ряд

 u k x 
с непрерывными членами сходится равномерно, то его
k 1
сумма непрерывна на X и возможен предельный переход:
157


k 1
k 1
lim  uk  x   lim uk  x  x0  X ;
x  x0
x  x0

– (интегрируемость) если функциональный ряд
 uk x  с неk 1
прерывными членами равномерно сходится на отрезке a; b  , то его
можно почленно интегрировать на любом отрезке x0 ; x   a; b и
справедливо равенство:

 

u
t
dt





k


 uk  t  dt ;
k 1 x0

x0  k 1
x
x
 x
причем ряд
  uk t dt сходится равномерно на a; b ;
k 1 x0

– (дифференцируемость) если ряд
ференцируемыми на отрезке
a; b
 uk x  с непрерывно дифk 1
членами сходится и ряд

 uk  x  сходится равномерно на этом отрезке, то ряд
k 1
сходится равномерно на a; b  и справедливо равенство:

 u k x 
k 1
 
 
u
x



k

   uk  x  .
 k 1
 k 1
Тема 4 Степенные ряды
4.1 Определение степенного ряда, теорема Абеля
4.2 Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
4.3 Свойства сходящихся степенных рядов
Ряд вида:

a0  a1 x  x0   ...  ak x  x0   ...   ak x  x0  ,
k
k 0
k
называется степенным рядом по степеням  x  x0  . Здесь ak , x0 –
заданные действительные числа, x – переменная. Числа ak называются коэффициентами степенного ряда.
158
При x0  0 имеем степенной ряд по степеням x :

a0  a1 x  ...  ak x k  ...   ak x k .
k 0
Поскольку заменой x  x0   ряд

 ak x  x0 k
можно свести
k 0

к ряду
a 
k 0
k
k
, то не ограничивая общности можно рассматривать

только ряд
 ak x k .
k 0

Степенной ряд
 ak x k
всегда сходится в точке x  0 . При
k 0
x  0 степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Т е о р е м а ( А б е л я ) Если степенной ряд
 ak x k
сходится в
k 0
точке
x0  0 ,
то
он
сходится
абсолютно
в
интервале
 x0  x  x0 и сходится равномерно на отрезке  q  x  q , где
0  q  x0 . Если в точке x1  0 степенной ряд

 ak x k
расходит-
k 0
ся, то он расходится во всех точках x , таких, что x  x1 .

Из теоремы Абеля вытекает, что если степенной ряд
 ak x k
k 0
сходится хотя бы в одной точке x  0 , то всегда существует число
R  0 , такое, что степенной ряд сходится (абсолютно) для всех
x   R; R  и расходится для всех x   ; R   R;  .
Число R  0 называется радиусом сходимости степенного ряда

 ak x k , если степенной ряд сходится в каждой точке интервала
k 0
 R; R 
и расходится при x  R . Интервал  R; R  называется
интервалом сходимости.
При x   R ряд

 ak x k
может быть как сходящимся, так и
k 0
159
расходящимся. Если ряд хотя бы в одной точке x1  R или
x2   R сходится, то эти точки вместе с интервалом сходимости
образуют область сходимости.

Если ряд
 ak x k
сходится только в точке x  0 , то R  0 ; если
k 0
же он сходится для всех x 
, то R   .

Пусть для коэффициентов ряда
 ak x k
существует предел
k 0
lim k ak  0 . Тогда радиус сходимости находится по формуле
k 
1
Коши-Адамара: R 
.
lim k ak
k 
Аналогично,
если
существует
предел
ak 1
L,
k  a
k
lim
то
ak
.
k  a  1
k
R  lim

Для степенного ряда общего вида
 ak x  x0 k
существует
k 0
R  , R  0 , такое, что данный ряд абсолютно сходится при
x  x0  R и расходится при x  x0  R . Здесь число R  0 называют радиусом сходимости, а интервал x0  R; x0  R  – интервалом сходимости степенного ряда.

Ряд
 ak x k
обладает свойствами:
k 0
– если радиус сходимости степенного ряда отличен от нуля, то
его сумма непрерывна на интервале сходимости  R; R  ;
– операции почленного дифференцирования и интегрирования
на любом промежутке x0 ; x    R; R  степенного ряда не изменяют его радиуса сходимости;
– если радиус сходимости степенного ряда отличен от нуля, то
степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале
сходимости;
– степенной ряд можно почленно интегрировать на любом от160
резке x0 ; x  , принадлежащем интервалу сходимости:
Тема 5 Ряд Тейлора
5.1 Разложение функций в степенные ряды
5.2 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
5.3 Приложения степенных рядов
Пусть функция f  x  имеет в окрестности точки x0 производные любого порядка. Ряд

f k  x0 
 k! x  x0 k 
k 0
 f  x0   f   x0  x  x0  
f   x0 
2!
 x  x0 
2
 ... 
f  k   x0 
k!
 x  x0 
k
 ...
называется рядом Тейлора функции f  x  в точке x0 .
Если x0  0 , то ряд Тейлора имеет вид
f 0 2
f k  0 k
f k  0  k





f
0

f
0
x

x

...

x  ...
x

 k!
2!
k!
k 0
и называется рядом Маклорена.

f  k   x0 
x  x0 k
Радиус сходимости R степенного ряда 
k!
k 0
может быть как равным нулю, так и отличным от него, причем в
последнем случае сумма S  x  ряда Тейлора может не совпадать с
f  x  . Важно определить, когда в формуле

f  k   x0 
x  x0 k
k!
k 0
допустим знак равенства, т. е. когда ряд Тейлора сходится к функции f  x  , для которой он составлен. Если S  x   f  x  на

f x  ~ 
161
x0  R; x0  R  ,
то говорят, что функция f  x  разложима в ряд
Тейлора в окрестности точки x0 .
Частичные суммы ряда Тейлора
Sn  x   f  x0   f   x0  x  x0  
f   x0 
2!
 x  x0   ... 
f  n   x0 
n!
 x  x0 
n
представляют собой многочлены Тейлора для f  x  в точке x0 .
Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Пусть
1) функция f  x  имеет в окрестности U R; x0  точки x0 производные любого порядка;
k!
2)  x  U R; x0  выполняется условие
f k  x   M n ,
R
.
k  0,1,2,...
Тогда функция f  x  разлагается на множестве U R; x0  единственным образом:
f  k   x0 
k
f  x   f  x0   f   x0  x  x0   ... 
 x  x0   ... .
k!
С л е д с т в и е 1 Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки x0 функция f  x  разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы остаток в формуле Тейлора стремился к нулю:
lim Rn x   0 x  x0  R; x0  R  .
n 
С л е д с т в и е 2 Если для любых x  x0  R; x0  R  все произ-
водные функции f  x  ограничены одной и той же константой

M , то ряд Тейлора

k 0
f  k   x0 
x  x0 k сходится к функции f x 
k!
в интервале x  x0  R .
При x0  0 формула Тейлора имеет вид:
f k  0  k
f 0 2
x  ...
x  ... 
k!
2!
и называется формулой Маклорена.
Основные разложения в ряд Маклорена:

x x2
xk
xk
ex  1  
 ... 
 ...   , x  ,
1! 2!
k!
k 0 k !
f x   f 0  f 0x 
162

x2k
x2 x4
x2k
1

 ... 
 ... , x 
2! 4!
 2 k !
k  0  2k !
ch x  
sh x  x 
,

x3 x5
x 2 k 1
x 2 k 1
  ... 
 ...  
, x
3! 5!
 2k  1!
k  0  2 k  1!
,
sin x  x 

x3
x 2 k 1
x 2 k 1
n
k
 ...   1
 ...    1
, x
3!
 2k  1!
 2k  1!
k 0
cos x  1 
2k
2k

x2 x4
k x
k x
  ...   1
 ...    1
, x
2! 4!
 2 k !
 2 k !
k 0
ln 1  x   x 
1  x 

,
,
k 1

x 2 x3 x 4
k x
, x   1;1 ,


 ...    1
2
3
4
k 1
k 0
1  x 
a   1
   1 ...  k  1
x k  ...
2!
k!
    1   2 ...   k  1


 
 k , x   1;1 .
1 
x
k!
k 1
Ряд


x 2  ... 
   1  2  ...  n  1
xn
n!
называется биномиальным, так как при   n  все коэффициенты данного ряда, начиная с номера n  1 , обращаются в нуль, и
степенной ряд преобразуется в бином Ньютона
n
1  x n  1  nx  nn  1 x 2  ...  x n   Cnk x k .
n!
k 0
Ряды Тейлора и Маклорена используются при вычислении приближенных значений функций, интегралов, решении дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление значений фун кц и й . Для нахождения приближенного значения функции f  x  в
n 1
точке x0 с заданной точностью поступают следующим образом.
Функцию f  x  раскладывают в ряд по степеням x  x1 в интервале сходимости, содержащим точку x0 . Точка x1 – это точка, в которой значения функции и ее производных вычисляются точно.
Переменной x придается значение x0 . В полученном числовом
163
ряду

a x
k 0
k
0
 x1 
k
оставляются только члены, гарантирующие
заданную точность вычислений. Минимальное число n0 таких
членов ряда определяется из соответствующей оценки либо остатка Rn  x0  формулы Тейлора, либо остатка rn  x0  ряда Тейлора, так
как в случае сходимости степенного ряда функции f  x  они равны
между собой.
П р и б л и ж е н н о е в ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в . Многие
определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных
функциях, могут быть вычислены с помощью рядов.
Интегрирование дифференциальных уравн ен и й . Степенные ряды могут применяться также для решения
дифференциальных уравнений, например, в случае, если их решения не удается найти в элементарных функциях.
Вопросы для самоконтроля
Определения
1 Какое выражение называется числовым рядом?
2 Что называется суммой ряда?
3 Какое выражение называется остатком ряда?
4 Какие ряды называются рядами с неотрицательными членами?
5 Какой ряд называется знакочередующимся?
6 Какой ряд называется абсолютно сходящимся?
7 Какой ряд называется условно сходящимся?
8 Какая функциональная последовательность называется ограниченной?
9 Какая функциональная последовательность называется поточечно сходящейся на множестве X ?
10 Дайте определение равномерно сходящейся функциональной
последовательности.
11 Дайте определение функционального ряда, его области сходимости.
12 Сформулируйте определения поточечной и равномерной сходимости функционального ряда.
13 Какой ряд называется степенным?
14 Что называется радиусом сходимости, интервалом сходимости,
областью сходимости степенного ряда?
Формулировки теорем и формулы
1 Сформулируйте критерий Коши сходимости ряда.
2 Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов.
3 Какими свойствами обладают условно сходящиеся ряды?
164
4 Сформулируйте признак Дирихле.
5 Сформулируйте признак Абеля.
6 Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости последовательности.
7 Следует ли из равномерной сходимости ряда поточечная? Верно ли обратное?
8 Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.
9 Перечислите свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
10 По каким формулам вычисляется радиус сходимости степенного ряда?
11 Перечислите свойства сходящихся степенных рядов.
12 Какой степенной ряд называется рядом Тейлора для функции
y  f  x  ? Как из него получить ряд Маклорена?
Доказательство теорем
1 Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости
ряда.
2 Сформулируйте и докажите интегральный признак сходимости
рядов с неотрицательными членами.
3 Сформулируйте и докажите признак сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами.
4 Сформулируйте и докажите признак Д’аламбера сходимости
рядов с неотрицательными членами.
5 Сформулируйте и докажите признак Коши сходимости рядов с
неотрицательными членами.
6 Сформулируйте и докажите признак Лейбница.
7 Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.
8 Сформулируйте и докажите теорему Абеля о радиусе сходимости степенного ряда.
9 Сформулируйте и докажите теорему Тейлора о разложении
функции в ряд Тейлора.
Вопросы и задачи на понимание
1 Приведите примеры двух расходящихся рядов, для которых их
сумма является: а) сходящимся рядом, б) расходящимся рядом.

2 Доказать, если ряды
a
k 1

ряды
a b
k 1
k k

и
a
k 1

2
k
и
 bk  .
2
k
165
b
k 1
2
k
– сходятся, то сходятся и
Задания к практическим занятиям
Раздел 1 Числовые множества
Тема 1 Множества
1 Какие элементы множества
1 5
2
A  {  40;32,4;8; ;0; ;6;12;19 ;30 }
9 7
9
являются натуральными числами, целыми числами, дробными, рациональными числами, отрицательными числами, неотрицательными числами?
2 Составьте подмножества множества
1
1
B  {  24;23 ;22;9;0; ;2;5;9;10;12;24 } ,
3
5
элементами которых являются , , нечетные, четные числа, отрицательные числа, числа кратные 4.
3 Какие из следующих утверждений
 ,  ,  ,
справедливы?

4 Укажите пустые множества среди:
а) множество целых корней уравнения x 2  16  0 ;
б) множество целых корней уравнения x 2  16  0 ;
в) множество натуральных чисел, меньших 1.
5 Найдите пересечение, объединение, разность множеств из
упражнения 1 и 2.
6 Найдите пересечение, объединение, разность множеств
 1

 1

A   n n  и B   n n  .
3
10




7 Доказать, что 3 – иррациональное число.
8 Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, не
имеющую цифры 9 в периоде, можно получить как результат деления двух натуральных чисел.
9 Доказать, что 0,69   0,70  .
166