Лекция 26

Лекция 26
Числовые ряды. Признаки сравнения рядов. Знакопеременные ряды. Функциональные
ряды
П.1. Основные определения. Свойства рядов
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 , u 2 ,..., u n ,...
называется числовым рядом.

u1  u2  ...  un  ...   un
(26.1)
n 1
где u1 , u 2 ,... будем называть членами ряда;
un – общим членом ряда.
n
Определение. Суммы S n  u1  u 2  ...  u n   u k ,
n = 1, 2, … называются частными
k 1
(частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2,
…,Sn, …

Определение. Ряд u1  u2  ...  un  ...   un называется сходящимся, если сходится
n 1
последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности
его частных сумм.

S   un .
lim S n  S ,
n 1
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет
предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в
соответствие никакой суммы.
Свойства рядов:
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или
добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда  u n и  Cu n , где С – постоянное число.
Теорема 26.1. Если ряд
и его сумма равна СS. (C  0)
3) Рассмотрим два ряда
u
n
сходится и его сумма равна S, то ряд
u
n
и
v
n
 Cu
n
тоже сходится,
. Суммой или разностью этих рядов будет называться
ряд  (u n  vn ) , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми номерами.
Теорема 26.2. Если ряды  u n и  v n сходятся и их суммы равны соответственно S и ,
то ряд
 (u
n
 vn ) тоже сходится и его сумма равна S + .
1
 (u
n
 vn )   u n   vn  S  
(26.2)
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и
нахождение суммы ряда.
Критерий Коши
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы для любого   0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0,
где р – целое число, выполнялось бы неравенство: a n  p  a n   .
Доказательство. (необходимость)
Пусть a n  a , тогда для любого числа   0 найдется номер N такой, что неравенство

a  a n  выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
2

a  a n  p  . Учитывая оба неравенства, получаем:
2
 
a n  p  a n  (a n  p  a)  (a  a n )  a n  p  a  a  a n    
2 2
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем
Критерий Коши для ряда

Для того, чтобы ряд u1  u2  ...  un  ...   un был сходящимся необходимо и достаточно,
n 1
чтобы для любого   0 существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы
неравенство u n 1  u n  2  ...  u n  p   .
Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно.
Поэтому часто используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд  u n сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Но это
условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не

1
стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд 
n 1 n
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример 26.1. Исследовать сходимость ряда
1 2 3
n
   ... 
 ...
2 5 8
3n  1
n
1
1
 lim
  0 – необходимый признак сходимости не выполняется, из этого
n  3n  1
n 
1 3
3
n
следует, что ряд расходится.
Найдем lim
2
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его
частных сумм в силу того, что
0, при четных n
Sn  
1, при нечетных n
Однако при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. S n  2 при любом n.
П.2. Ряды с неотрицательными членами
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с
неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить
ряды с отрицательными членами.
Теорема 26.3. Для сходимости ряда  u n с неотрицательными членами необходимо и
достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда
u
и
n
v
n
при un, vn  0.
Теорема 26.4. Если un  vn при любом n, то из сходимости ряда
ряда
u
n
, а из расходимости ряда
u
n
следует расходимость ряда
v
v
n
Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов
условию теоремы ряд
v
n
Пример 26.2. Исследовать на сходимость ряд
1
1
 , а гармонический ряд
ln n n
1
n

u
и
n
v
n
. Т.к. по
u
n
тоже ограничены,
n
1
 ln n .
.

1
2
1
 n2
n 1
1
1
 n , а ряд
n
n2
2
тоже сходится.
.
1
1
1

 ... 
 ...
ln 2 ln 3
ln n
расходится, то расходится и ряд
Пример 26.3. Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
следует сходимость
сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n n  M,
где М – некоторое число. Но т.к. un  vn, то Sn  n то частные суммы ряда
а этого достаточно для сходимости.
Т.к.
n
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
n
1
 n2
n 1
n
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема 26.5. Если u n  0, vn  0 и существует предел lim
n 
нуля, то ряды
u
n
и
v
n
un
 h , где h – число, отличное от
vn
ведут одинаково в смысле сходимости.
3
П.3. Признаки Коши и Даламбера
Признак Даламбера
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда  u n с положительными членами существует такое число q<1, что для
всех достаточно больших n выполняется неравенство
u n1
 q,
un
то ряд
u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие
n
расходится.
u n1
 1,
un
то ряд
u
Предельный признак Даламбера
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака
Даламбера.
u
Если существует предел lim n1   , то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится.
n u
n
Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример 26.4. Определить сходимость ряда

n 1
n
n 1
; u n 1  n 1 ;
n
2
2
Вывод: ряд сходится.
un 
n
2
n
.
u n 1
(n  1)2
n 1
 lim


n

1
n  u
n 
2n
2 n
n
n
lim
1
n  1 1
2
2
1
1 1
1
  ...   ...
1! 2!
n!
n!
1
 lim
 lim
 0 1
n (n  1)!
n n  1
Пример 26.5. Определить сходимость ряда 1 
u
1
1
; u n1 
; lim n1
n!
(n  1)! n u n
Вывод: ряд сходится.
un 
Признак Коши (радикальный признак)
Если для ряда  u n с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для
всех достаточно больших n выполняется неравенство
n u  q,
n
то ряд
n
u
n
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
u n  1,
4
то ряд
u
n
расходится.
Следствие. Если существует предел lim n u n   , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд
n 
расходится.
n
 2n 2  1 
 .
Пример 26.6. Определить сходимость ряда   2
n 1  3n  5 
1
2 2
2
2n  1
n  2 1
lim n u n  lim 2
 lim
n 
n  3n  5
n 
5
3
3 2
n
Вывод: ряд сходится.


n
 1
Пример 26.7. Определить сходимость ряда  1   .
n
n 1 
 1
lim n u n  lim 1    1.
n 
n 
 n
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение
необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член
ряда стремится к нулю.
n
 1
lim u n  lim 1    e  0 ,
n 
n 
 n
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши
Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то
ряд (1) + (2) + …+ (n) + … =


n 1
1
 (n) и несобственный интеграл
 ( x)dx одинаковы в смысле
сходимости.
1
1
1
   ...    ... сходится при >1 и расходится 1 т.к.

2
3
n


dx
1
соответствующий несобственный интеграл   сходится при >1 и расходится 1. Ряд  
n 1 n
1 x
называется общегармоническим рядом.
Пример 26.8. Ряд 1 
Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
b
b
f ( x)
lim
 h, h  0, то интегралы  f ( x)dx и  ( x)dx ведут себя одинаково в смысле
x a  0 ( x )
a
a
сходимости.
5
П.4. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
u1  u 2  u 3  u 4  ...  (1) n 1 u n  ...
где u n  0, n  1,2,3,...
Признак Лейбница
Если у знакочередующегося ряда u1  u 2  u 3  u 4  ...  (1) n 1 u n  ... абсолютные величины
ui убывают u1  u 2  u3  ... и общий член стремится к нулю u n  0 , то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

u1  u 2  ...  u n  ...   u n
(1)
n 1
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

u1  u 2  ...  u n  ...   u n
(2)
n 1
Теорема 26.6. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2)
сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом
целом p>0 верно неравенство:
u n 1  u n  2  ...  u n  p  
По свойству абсолютных величин:
u n 1  u n  2  ...  u n  p  u n 1  u n  2  ...  u n  p  
u n 1  u n  2  ...  u n  p  
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение. Ряд  u n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд  u n .
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости
совпадают.
Определение. Ряд
расходится.
u
n
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
u
n
П.5. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
u
n
- знакопеременный ряд.
6
u n 1
  , то при <1 ряд  u n будет
un
абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о
сходимости ряда.
Признак Даламбера. Если существует предел lim
n 
Признак Коши.
Если существует предел lim
n 
n
u n   , то при <1 ряд
u
n
будет
абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о
сходимости ряда.
П.6. Свойства абсолютно сходящихся рядов
1) Теорема 26.7. Для абсолютной сходимости ряда  u n необходимо и достаточно,
чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с
неотрицательными членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с
неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка,
сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов,
также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд,
имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема 26.8. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом
число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть
как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме
исходного ряда.

5) Если ряды
 un и
n 1

v
n 1
n
сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и , то
ряд, составленный из всех произведений вида ui vk , i, k  1,2,... взятых в каком угодно порядке,
также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно
получить расходящийся ряд.
П.7. Функциональные последовательности
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется
функциональным.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых
рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а
7
при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к
определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости.
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое
число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
f ( x)  lim f n ( x)
n 
Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если
для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x),
такой, что неравенство f ( x)  f n ( x)   выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и,
следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное
множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для
всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке
[a,b], если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
f ( x)  f n ( x)   выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].
sin x sin 2 x
sin nx
,
,...,
,...
1
2
n
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.
sin nx
lim
 0,    x  
n 0
n
Построим графики этой последовательности:
Пример 26.9. Рассмотрим последовательность
sin 5 x
5
sinx
1
0. 5
-4
-2
2
4
- 0. 5
sin 2 x
2
-1
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.
8
П.8. Функциональные ряды
Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда

u
n 1
n
( x)
n
называются функции S n ( x)   u k ( x), n  1,2,...
k 1
Определение. Функциональный ряд

u
n 1
n
( x ) называется сходящимся в точке (х=х0), если в
этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности {S n ( x0 )}
называется суммой ряда

u
n 1
Определение.

u
n 1
n
n
( x ) в точке х0.
Совокупность
всех
значений
х,
для
которых
сходится
ряд
( x ) называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд

u
n 1
n
( x ) называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если
равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема 26.9. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда

u
n 1
n
( x ) необходимо и достаточно, чтобы для любого
числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
u n 1 ( x)  u n  2 ( x)  ...  u n  p ( x)   выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема 26.10. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд

u
n 1
n
( x ) сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его
членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда
с положительными членами: M 1  M 2  ...  M n  ...
т.е. имеет место неравенство: u n ( x)  M n .

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд
u
n 1
n
( x ) мажорируется числовым

рядом

n 1
n
.

Пример 26.10. Исследовать на сходимость ряд
cos nx
.
n3
n 1

9
cos nx
1
 3.
3
n
n

1
При этом известно, что общегармонический ряд   при =3>1 сходится, то в соответствии с
n 1 n
признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.
Так как cos nx  1 всегда, то очевидно, что
Пример 26.11. Исследовать на сходимость ряд

xn
.

3
n 1 n
xn
1
 3 т.е. по признаку Вейерштрасса на этом
3
n
n
отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1)  (1, ) расходится.
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство
Свойства равномерно сходящихся рядов
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

u
Если члены ряда
n 1
n
( x ) – непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится
равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно
интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку
[a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
 
 u
 n 1
 
n
( x)dx    u n ( x)dx; ,   [a, b]
n 1 
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда

u
n 1
n
( x ) сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные
функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных

 u  ( x) сходится
n 1
n
на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его
можно дифференцировать почленно.

du n ( x)
d 
u
(
x
)



n
dx n 1
dx
n 1
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно
производить операцию представления какой-либо функции в виде ряда (разложения функции в
ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других
действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
10
П.9.Ряды Фурье для функций любого периода
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число
точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
a0  
n
n 
   a n cos
x  bn sin
x
2 n 1 
l
l 
f ( x) 
l
a0 
1
f ( x)dx;
l l
l
1
n
a n   f ( x) cos
xdx, n  1,2,...
l l
l
l
bn 
1
n
f ( x) sin
xdx, n  1,2,...

l l
l
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

a
n
f ( x)  0   a n cos
x;
2 n 1
l
l
a0 
2
f ( x)dx;
l 0
l
2
n
a n   f ( x) cos
xdx; n  1,2,...
l 0
l
Для нечетной функции:

f ( x)   bn sin
n 1
n
x;
l
l
bn 
2
n
f ( x) sin
xdx; n  1,2,...

l 0
l
П.10. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции (х) и (х), определенные на отрезке [a, b], называются
b
ортогональными на этом отрезке, если  ( x)( x)dx  0
a
Определение. Последовательность функций 1(x), 2(x), …, n(x), непрерывных на отрезке
[a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно
ортогональны (26.3).
b
  ( x )
i
j
( x)dx  0;
i j
(26.3)
a
11
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков
этих функций.
Определение. Система
(ортонормированной), если
функций
называется
b
  ( x )
i
j
a
ортогональной
и
нормированной
0, i  j
( x)dx  
1, i  j
(26.4)
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций 1(x), 2(x), …,n(x)
называется ряд вида:

a 
n 1
n
n
( x) коэффициенты которого определяются по формуле (26.5):
b
an 
 f ( x )
n
( x)dx
a
b
 
( x) dx
(26.5)
2
n
a
где

f(x) =
a 
n 1
n
n
( x) – сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной
системе функций;
f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на
отрезке [a, b].
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются (26.6):
b
a n   f ( x) n ( x)dx
(26.6)
a
П.11.Интеграл Фурье
Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно-гладкая или
кусочно-монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится

несобственный интеграл

f ( x) dx

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

a
n
n 

f ( x)  0    a n cos
x  bn sin
x
2 n 1 
l
l 
12
l
1
n
a n   f (t ) cos tdt, n  0,1,2,...
l l
l
l
bn 
1
n
f (t ) sin
tdt, n  1,2,...

l l
l
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
f ( x) 
l
l
l
1
1  
n
n
n
n 

f
(
t
)
dt

f
(
t
)
cos
tdt
cos
x

f
(
t
)
sin
tdt
sin
x 




2l l
l n 1  l
l
l
l
l 
l
l

l
1
1 
n
f
(
t
)
dt

f (t ) cos (t  x)dt



2l l
l n1 l
l
l
1
f (t )dt  0 и
l  2l 
l
Переходя к пределу при l, можно доказать, что lim
l
1 
n
f ( x)  lim   f (t ) cos (t  x)dt
l  l
l
n 1 l
n

; u n  u n1  u n  ;
l
l
При l un 0.
l

1
f ( x)  lim  u n  f (t ) cos u n (t  x)dt
 l  n1
l
Обозначим u n 
1 u n

;
l

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу


0

 du  f (t ) cos u(t  x)dt
Тогда

f (x ) 

1
du f (t ) cos u (t  x)dt
 0 
(26.7)
– двойной интеграл Фурье.
Окончательно получаем:

f ( x)   a(u ) cos ux  b(u ) sin ux du
0

a (u ) 
1
f (t ) cos utdt
 
(26.8)

1
b(u )   f (t ) sin utdt
 
13
- представление функции f(x) интегралом Фурье.
Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

f ( x) 

1
du  f (t )e iu ( x t ) dt

2    
(26.9)
П.12. Преобразование Фурье
Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция,
непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то
функция

F (u ) 
 f ( x )e
iux
dx
(26.10)

называется преобразованием Фурье функции f(x).
Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).
Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

1
f ( x) 
F (u )e iux du

2  
(26.11)
Равенство (26.11) называется обратным преобразованием Фурье
Интегралы

F (u ) 
2
f ( x) cos uxdx
 0
(26.12)
и

F (u ) 
2
f ( x) sin uxdx
 0
(26.13)
называются соответственно (26.12) – косинус – преобразование Фурье и (26.13) – синус –
преобразование Фурье.
Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций,
синус – преобразование – для нечетных.
Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе,
операционном исчислении, теории линейных систем и др.
14