О ДВИЖЕНИИ МЕЛКИХ ЧАСТИЦ В r АЗОВОМ ПОТОКЕ

УЧЕНЫЕ
т о.м
У дк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
М2
1974
V
533.6.071.08:532.57
О ДВИЖЕНИИ МЕЛКИХ ЧАСТИЦ
r АЗОВОМ
В
ПОТОКЕ
Г. л. ГродЗО8С1<UЙ
Рассмотрены основные
токе
мелких
частиц,
закономерности
используемых
мерении скорости потока.
за скоростью потока.
рости
в
газового
случаях,
потока
когда
при
Анализируется
Указывается
по
скорость
частиц
в газовом по­
допплеровском
из­
точность слежения частиц
метод
измеренным
движения
лазерном
точного определения ско­
параметрам
существенно
движения
отличается
частиц
от
скоро­
сти потока. Рассмотрен ряд модельных задач о движении мелких
частиц в газовом потоке и приложение полученных решений к за­
дачам
лазерного
Работа
допплеровского
посвящена
измерения
исследованию
скорости
течения
закономерностей
газа.
движения
мелких частиц шаровой формы в газовом потоке при числах Рей­
нольдса их относительного движения Re
1. На основе анализа
уравнений движения таких частиц в газовом потоке предложен
-<
метод
экспериментального
ниям
скорости
допплеровскому
и
определения
ускорения
измерению
частиц
скорости
скорости
газа
применительно
по
к
измере­
лазерному
потока.
Начиная с работы [1], лазерное допплеровское измерение ско­
рости лдис находит все большее применение в гидромеханике и
аэрогазодинамике. лдис основано на непосредственном измерении
скорости
рению
движения
рассеянных
допплеровской
частоты
в
потоке
мелких
частиц
рассеиваемого частицами
по
изме­
света от
лазерного источника. Конкретные схемы реализации лдис и об­
ширная библиография приведены в работах [2 - 9] и др. При ис­
пользовании лдис обычно предполагается, что для достаточно
малых
размеров
движения
вводимых
частиц
в
практически
поток
частиц
совпадает
со
измеряемая
скорость
скоростью
газового.
потока. Однако отдельные примеры, рассмотренные в работах [3~
6J, показывают, что в газовых потоках зачастую могут быть слу­
чаи, когда скорость даже малых частиц будет существенно отли­
чаться от скорости газового потока (при прохождении через скачки
уплотнения, при сильно искривленных линиях тока и т. п.). Кроме
того
чрезмерное
повышает
80
уменьшение размеров используемых
требования
к
чувствительности
лдис,
частиц
так
резко­
как
длsr
малых частиц
(меньших
длины
волны источника света) интенсив­
ность рассеиваемого света падает пропорционально шестой степени
диаметра частицы
[10].
Ниже исследуются общие закономерности движения в газовом
потоке используемых для ЛДИС мелких частиц шаровой формы
и
анализируется
Указан метод
точность
точного
слежения
частиц
определения
за
скоростью
скорости
измеренным параметрам движения частиц в случаях,
частиц существенно
ряд
модельных
движения
внезапном
ным
токе
Показано
в
скорости,
движение
газовом
в
полученных
характерного
предельные
потоке,
вихревые
частоты
зоны
газового
в
потока.
задачам
ЛДИС:
к
газовых
пото­
пульсаций
дополнительного
с
по­
газового
измерения
потока
при
постоян­
пульсирующем
конкретных
необходимость
частиц
течение с
зонах
решений
времени для
Рассмотрен
закономерности
движение
частиц
вихревых
когда скорость
потока.
основные
потоке:
движение
частиц
приложение
рости в газовом
в
скорости
изменении скорости газового потока,
с частицами,
частиц
от
иллюстрирующих
мелких частиц
определение
ков
задач,
градиентом
газа,
отличается
потока.
газового потока по
целью
ско­
ввода
поддержания
заданнОй концентрации частиц.
1. Рассмотрим
час'Гиц диаметром
мкм
лазерных
движение в газовом потоке мелких шаровых
соизмеримым с длиной волны порядка долей
d,
источников
света.
Коэффициент аэродинамического сопротивления при обте кании
таких частиц в сносящем их газовом потоке запишем в виде [11]:
с
24fJ-_фК~
-
D-
(1.1)
СхО'
Ilvpd
где Av - скорость обтекания частицы в сносящем потоке; 1.1. - вяз­
кость газа; р- плотность; Ф, К и сх/с хо - поправки к закону сопро­
тивления Стокса, обусловленные влиянием числа Кнудсена КП
=
1,255 ух M/Re
Ilv
лаМ = а;
х -
а =
1,;55 J1%fJ-
=
}~RT~
.. / - -
v xRT -
, числа Рейнольдса Re
скорость
звука,
Т-
=
= Ilvpd и чис~
температура
газа,
отношение теплоемкостей.
Поправка на свойства разреженного
жет быть записана в виде [12, 13]
Ф
Rea
1
1 =
-1
+ 3,3 Кп
-
4,12
газа Ф
приближенно мо­
.
(1.2)
JI'Х. + Rea '
в диапазоне чисел Ка ~ 10,0 соотношение (1.2) хорошо согла­
суется с аппроксимационной формулой [14], полученной на основе
анализа многочисленных экспериментальных данных (фиг.
Ф?=
"
1
1 + 2,58 Кп
+ 0,87 КП е- ,85/Кп
1
1):
( 1.2')
-<
Для диапазона чисел Re
200 известны два выражения для
поправки К [6, 14J, весьма близкие по абсолютным величинам
(фиг.
2):
К!
= 1 + 0,15 ReO,687;
б-~'ченые записки ЦАГИ N. 2
(1.3)
81
Из фиг.
Re
2
ВИДНО, что
при
-< 1 влияние
Влияние
частицы
;~
(с
характерных
поправки К невелико.
числа М на коэффициент
учетом
разреженности)
дЛЯ ЛДИС значениях
сопротивления
шаровой
по данным {14] может быть
учтено поправкойсх/с хо (фиг. 3):
~
"\
11,8
(1.4)
~
'\
~
L.-1'2
Ф, -
~\
можно
Qжидarь
при
прохожде­
нии сверхзвукового потока М 1
через прямой скачок; шкала М 1
'\f\
8,5
Максимальных значений чи­
М при обтекании частиц
сел
~
/{1 jff
2
'\
/1
5
~
0,2
t
к,,-
~
J
~
Кл
0,1
А
2
"- r---....
r
V/
4
~
Фиг.
j
i
~
-.-:::::- ~
Vл!
V'
2
j:?'
10
1O/J
1
Фиг.
I
f(e
2
приведена на фиг. 3. При характерных для J1ДИС значениях чисел Re
и М влияние поправки с х/с х о также невелико.
Поэтому для большинства задач движения в газовом потоке
мелких частиц, используемых в ЛДИС.
ческого
ниям
сопротивления
частиц
можно
коэффициент аэродинами­
определять
cD
.::::::
соотноше­
2411Л-d Ф (Кп). ,
uvp
о
/.
1
..se
~~
---
:::::.
( 1.5)
Не =20
~
:diI..
i-"
.J
2
1
/J~______~0,~.1__~,____~~/J~____~,~1,~5~M__
1,0
82
по
(1.1), (1.2)
~S;'O],O
,,>0
М,
Фиг.
3
В
и
необходимых
случаях
следует
учитывать
поправки
(1.3)
(1.4).
Проанализированный закон сопротивления
реть
основные
закономерности
движения
позволяет рассмот­
в газовом потоке исполь­
зуемых в ЛДИС мелких частиц.
~
V, а скорость частив соответствии с урав­
Если в заданной точке скорость потока
R
цы ;, то приложенная к частице сила
нением
будет
(1.5)
равна
(1.6)
v--;.
где А-; =
Соответственно уравнение движения запишем в виде
d; = R = 18tJ.Ф
А;
2
т
dt
1t
m = 6 d 3 Р* -
r де
d Р*
масса частицы, Р*
(1.7)
'
- плотность частицы.
Введя характерное время задачи ~
d 2 p*
18tJ.Ф'
~ =
уравнение
(1.8)
можно записать в следующем виде:
(1.7)
~
Анализ уравнений
dv
+ ~ dt.
'v
и
(1.9)
(1.8)
различие в приложениях
~
V=
ЛДИС
(1.9)
позволяет уяснить существенное
дЛЯ
измерений
костных потоках и в газовых потоках.
При
скорости
в
жид­
измерениях скорости
в потоках воды с помощью ЛДИС обычно используют рассеянные
в воде шаровые частицы из полистирола (Р* = 1050 кг/м 3 ) диамет­
0
ром d =0,5 мкм [4]. Для таких течений при Ф = 1,0 и Т=288 К
характерное
время
составит
~~1,2.1O-8c.
(1.10)
За время ~ гидродинамический поток с характерным значением
скорости Vmax ~ 10 м/с проходит путь не более 0,12 мкм. Вслед­
ствие
малости
рость
частиц
полученного
успевает
значения
достаточно
гидродинамического
потока.
воздушных
вследствие
потоков
характерного
точно
Иное
их
времени
следовать
положение
малой
за
~
ско­
скоростью
складывается
вязкости,
для
почти в
100
раз меньшей, чем у воды, а также из-за эффекта разреженности
газа. Для воздушного потока при тех же условиях и атмосферном
давлении
величина
характерного
времени
~
составит
~~1,1.10-6c.
(1.11)
За время ~ газодинамический поток с характерным значением
скорости Vmax ~ 2000 м/с проходит путь до 2,2 мм. При таком зна­
чении характерного времени в ряде случаев скорость частиц будет
существенно
модельных
газового
терного
мелкие
отличаться
задач).
потока
времени
частицы,
от
Поэтому
для
~
скорости
при
достижения
необходимо
чем
при
потока
(см.
использовании
ниже
ЛДИС
решение
в
достаточно малых величин
использовать
исследовании
значительно
гидродинамических
случае
харак­
более
пото­
ков, но этот путь ограничен чувствительностью ЛДИС и влиянием
числа Кну дсена.
.
83
Для точного определения скорости газового потока в случаях,
когда скорость частиц существенно
отличается от скорости пото­
ка, можно непосредственно воспользоваться уравнением (1.9), опи­
раясь на измеренные с помощью лдис значения скорости час-->
тиц
dv
V И ускорения (П. в случае
уравнение
в
(1.9)
следующем
стационарного
можно записать в проекциях
газового
потока
на координатные оси
виде:
1
( 1.12)
J
в
этом
случае
для
точного
потока достаточно определить
с
определения
помощью
рости частиц
(v ... , v y , v z) и ПРQизводные
нат'ным осям (dv .../dx, dVy/dy, dvz/dz).
На фиг.
4
приведены
в
качестве
скорости
лдис
газового
проекции
ско­
этих проекций по коорди-
примера результаты измере­
ния скорости v ... вдоль оси сверхзвукового сопла М оо = 3,0 [6], вы­
полненные лдис при d 2 Р* = 10-9 кг/м (светлые кружочки). Эти
; М/С
М_-3
1..-
оии
~
~
,/
/
500
J
:/
"/
/
о Н.?М"Р"ННfi, /ьlnолнl!'нны'
//
,
/.
~
ЛДНС
{I
• gШОf/Н"НUt' шмерениu ЛДНС
I
nри и 2р.= Ш-ЗНf/М
/'-
А U.?Mf'Ilf!!!!!~P#.#HOU /lишо
;1
"/
J I
V/
U
I!
1l,/J2
Il,DIf.
Фиг.
Il,Uo
II,D!
:с, м
4
результаты, уточненные
по формуле (1.12), хорошо совпадают
с. измерениями трубкой Пито (фиг. 4). В качестве другого примера
на фиг. 5 приведены данные изменения скорости v ... при обтекании
сверхзвуковым потоком
М ОО = 2,9
клина
с полууглом раство­
ра 100 [6], выполненные лдис при 't = 9·10-6 С (светлые кружочки).
84
Уточненные по формуле (1.12) результаты измерений ЛДИС хоро­
шо согласуются с теорией. На фиг. 6 приведены данные изменения
скорости V x при обтекании гиперзвуковым потоком м оо = 5,0 сфе­
ры [16]. Приведенные примеры наглядно показывают возможность
точного
определения
скорости
га­
зового потока методом ЛДИС даже
при использовании достаточно
ных частиц
ох
М/С
круп­
(d ---- 1 мкм В указанных
~. -
примерах).
I I I
V:r,M/C
~
500
О измС'рС'нин, !ьluолненны'
\
ЛДНС
• jlmOI{HeHUe U.JMejleHu!l,
'#ы!олненнь/,f ЛДНС
I!flu 'Г= 9 -10 -5с
Ы/О
\
I}ОО
!'
1-., r-
~
О U.JМС'jlС'НUЯ, #ыuлненныыe
1---
ЛДIIС
• !/mOI{H6'HU(' измеР6'Н(ff;
2 -g
n7Р'U d f.--:",L(f.§I.М
-\: 1--Теорин
500 1--- - '
M~
- -
\
1--1--
100 -
~
IJ
f/,OJ
Фиг.
-
1---
при
,
--"",
~
-
0,02 Х,м
<
...... ~ ~
2'103
Q
1f..1O -3
Фиг.
изменении
....
~
ТеОjlUЯ
-
5
внезапном
1' .... 0
• r- ~
В качестве первой модельной
2.
частиц
200
задачи
скорости
"1
..о
i~
г-
,х,М
6
рассмотрим движение
газового
потока
в
мо­
мент времени t = О. При t
О частицы имели постоянную ско­
рость V o, равную скорости равномерного потока. При t
О ско­
рость потока равна V
const и совпадает по направлению с v o'
Такая постановка соответствует, например, задаче прохождения
газового потока с частицами через скачок уплотнения (результаты
численного расчета течения приведены в работе t6]). Ниже дано
>-
=
()бщее решение задачи.
Введем безразмерные
наты
значения
времени,
скорости
и
коорди­
частицы:
(2.1 )
где
V
i:X
=--:= •
dt
В соответствии
жения
легко
с
получить
уравнением
в
(1.9)
интегралы
уравнения дви­
виде
v=1-(1-vo)e- t ; x=t+(l-vo)e-f-(l--vo),
при t
О, V = v o' х О.
Изменения относительной разницы
цы
1-
=
-
(2.2)
=
-
скоростей потока и части-
V по координате х приведены на фиг.
7.
-
Кривые V o
2
= Лео>
1,О
соответствуют прохождению через прямой скачок уплотнения сверх-
85
I-if
~!JJ f----t-~'"
2
[J
Фиг.
7
звукового потока с приведенной скоростью лоо • Аналогично могут
быть определены параметры устаНDвления течения после прохож­
дения
газового
потока
с
частицами
ния. В качестве иллюстрации
вая (1 - v) =
j(x)
для случая
на
через
фиг.
7
косые
скачки
уплотне­
приведена расчетная кри­
1,093, соответствующая течению
Vo =
за косым скачком уплотнения, при М оо =2,9 и угле скачка 280.
Там же нанесены экспериментальные точки по измерениям ЛДИС [6].
Данные фиг. 7 могут быть использованы для определения харак­
терного
Так,
времени
для
't
для
конкретного
рассмотренного
9·10-6
3.
с.
ентом
скорости
примера
газового
значение
потока
't
с
частИцами.
оказалось
равным
Рассмотрим движение газового потока с постоянным гради­
вдоль
оси
х:
dV
(3.1),
Kl=~=const
dx
при
постоянном
относительном
отставании
частиц
от
потока
(3.2),
vx/Vx=v=const.
После преобразований с учетом уравнения (1.12) получаем
1
v=
1
Следовательно,
+
1
1
(3.3),
dv x
1: dx
для
достижения,
например,
относительн ой
ошибки в скорости частиц (1 - -и) G:; О, 1 % необходимо выполнени е
условия
4.
dV
't=
d': ;;:;;;0,001.
Рассмотрим движение частиц в пульсирующем потоке
v= Vosinrof,
(4.1}
где
ro=2тcj,
при
заданном
лении
начальном
скорости
значении
скоро сти
частицы
Vo
в
направ
потока.
Введем безразмерные
значения
скорости
частицы
и
времени:
(4.2)
86
В соответствии с
запишем уравнение движения
(1.9)
dv
-=- =
--
sin (OYtt) - v.
dt
Решение
форме [15]:
v
=
уравнения
е- t
при
(4.3)
(Vo + ~-)
+
1+w 't
2
(J)'t
У 1
2
(4.3)
< тr:j2
запишем
+1 w2't2 sin (w't
{-
Из приведенного решения видно, что начальная
тицы
в
пульсирующем
потоке
быстро
затухает
в
известной
arctg Ш't).
(4.4)
скорость час­
(пропорциональ­
t
ное е
~); движение частицы
сительной амплитудой У
стремится
1
1+
v
't
w2 2
к
гармоническому с отно-
* (по отношению к амплитуде
колебаний скорости потока
o) и сдвигом фаз колебаний - arctg (J)'t.
В качестве примера укажем, что при частоте j= 10000 Гц и харак­
терном времени 't = 10-6 С скорость движения частиц в колеблю-
щемся потоке (Г~ 1) от JIичается от скорости потока менее
чем
на
0,2 % при сдвиге фаз колебаний ,--.., 3,60.
5. Рассмотрим движение частиц в вихревых зонах газового
потока. Уравнения движения (1.12) в цилиндрических координатах
запишем
в
виде
V=v
"
+'t
2)
dv
v<p
V -'-- •
, dr
г'
(
(5.1 )
)
V<p=V<p+'t Vr<P [2v,+r ~-(V:)1
Пусть поток движется по закону свободного вихря
V<p=1'!r; V,=O.
Характерной скоростью
11l'!'t,
такого
(5.2)
движения
характерной длиной - величина 11~.
является
величина
Соответственно
вво­
дим безразмерные параметры задачи:
V,
- _ V<p .
v,= y,/'t; v<p- Y,/'t'
г=
r
y",'t .
С учетом соотношений (5.1), (5.2), (5.3) уравнения
частиц в .свободном вихре запишем в виде
Vr
(1 + ~,) =~ ;
\.
dr
-V'P -г= 1- V<p
- [2-V,
r
)
(5 3)
.
движения
(5.4)
+ -r d'fd (V<p)]
r .
При достаточно больших значениях г, когда 1Гr4~ 1, система
уравнений ~.4) имеет асимптотическое решение
V<p
или
в
размерном
~ 1/г;
V,~ 1/г3
(5.5)
виде
(5.6)
*
Численные значения относительной амплитуды колебания частиц в потоке
приведены в работе
[6].
87
,-
;Д"
__
; 0""
<-о
li
1\
/J,/J
1\
\
ljr
.-/
11 ~
1/;;3
./
\~ V
I
/1/1.
1\
~ t7
Н
\.
I
р.\
t'-....
.""
~~
"'"
1'-....
1\1
,\
\
\
U-~
........
\.
11,2
r- 1-0..
V
V
V
~\\
r
/1
U"tp
-:.. t=
/'
lJТ,
q.
2
а
и
б
8
приведены
результаты
точного
расчета
параметров движения частиц в вихревом потоке
щих
начальных
~O=O или
v<po =
Полученное
условиях:
при
r
(5.4) при следуюo =I,O; 2,0; 3,0; vzo=O;
что
при достаточно малых
t=O;
l/""'io.
решение
показывает,
значениях характерного времени
't
C~:2 ~
1) тангенциальная
ско­
рость движения частиц V<p приближается к скорости вихревого
потока V'f" Однако следует подчеркнуть, что в вихревом потоке
частицы имеют положительную радиальную скорость
уносит частицы из вихревого потока. Поэтому для
заданной концентрации
подавать расход частиц
которая
поддержания
(5.6),
частиц n в вихревой поток необходимо
(на единицу длины), равный
Q
12 't
Q=2'1trv,n =2'1t 7
(5.7)
N.
в заключение автор выражает благодарность
за проведенные вычисления на ЭЦВМ.
Т. А.
Адамову
ЛИТЕРАТУРА
1. У е h У., С u т т i n s Н. Z. Localize d flow measurements with
He-Ne laser spectrometer. Appl. Phys. Letter, vol. 4, No 10, 1964.
2. Д У б н и щ е в Ю. Н., к о р о н к е в и ч В. П., С о б о л е в В.
С т о л п о в с к и й
А.
А.,
Ут к и н
Е.
Н..
Ш м о й л о в
рение скорости в потоке жидкости с использованием
плера •• Автометрия·, СО АН СССР, 1969, Ng 6.
Н. Ф.
ап
С.,
Изме­
эффекта Доп­
3. Huffaker R. М., Fuller С. Е., Lawrence Т. R. Application
of Iaser doppler velocity instrumetation to the measurement of jet turbulence. SAE Preprint No 690266, 1969.
88
1--
r
б
Фиг.
8,
t---.
/
а
фиг.
.......
~
2
На
rr-..
\1" .. IV
zr,.
v
"" O"r
k /.
\IX\
-r-
v? lJГ.
f'"'- -..L
о
'/r
V
V
\
~
\ Jrl/r \. \
1'\\
\
11,2
,\
\
\
U"'f.
I
v
1:::- t7
1\
11 \
1\
11\
~O"~
V
v
I!
(.\ V
/J,5
,
,
I
1\
4. Р и н к е в и ч юс Б. С. Измерения локальных скоростей в по­
'Токах жидкости и газа по аффекту Допплера. ТВТ, т. 8, N! 5, 1970.
5. А Р и с т о в Е. М., П а в л о в с к и й Б. А., С м о т р и Ц к и й Ф. Л.,
Т а р а т о р к и н Б. С. Измерение скоростей потоков с помощью оп­
'Тических квантовых генераторов. ЛДНТП, Л., ,Знание", 1970.
6. У а n t а W. J., G а t е s О. F., В r о w n F. W. ТЬе use of а laser
dopp1er ye10clmeter in supersonic flow. AIAA Paper No 71-287, 1971.
7. DlSA Туре 55L 1aser doppler anemometry. DISA Information
No 12, 1971.
8. D u r s t F., М е 11i n R' А., W h i t е 1 а w J. Н. Laser anemometry:
'Il report оп Еurошесh 36. J. fluid МесЬ., yol. 56, part 1, 1972.
9. Р и н к е в и ч юс Б. С., Т о л к а ч е в А. В., Ха р ч е н к о В. Н.
Определение скорости гиперзвукового потока по аффекту Допплера.
,Ученые записки UАГИ", т. IV, М 1, 1973.
10.
Ш и фри н
К.
С.
Рассеяние
света в мутной среде. ГМТТЛ,
]951.
11. К рай к о А. Н., Н и г м а т у л и н Р. И., С т а р к о в В. К.,
С т е р н и н Л. Е. Механика многофазных сред. Итоги науки и тех­
ники. Гидромеханика, т. 6, М., ВИНИТИ, 1972.
12.
К о г а н
М.
Н.
Динамика
разреженного
газа. М., ,Наука",
1967.
13. С е r с 1 g пап j С. Маthешаtiсаl шеthоds in kinetlc theory. Рlепuш
Press, N. У., 1969.
14. С а r I s о n О. J., Н о g 1 u n d R. F. Particle drag and Ьеа! transfer In rocket nozzles. AIAA J., yol. 2, No 11, 1964.
15. К а м к е Э. Справочнqк по обыкновенным дифференциаль­
ным уравнениям. М., .HaYKa""J971.
16. Р и н к е в и ч ю с Б. С., Т о л к а ч е в А. В., Ха р ч е н к о В. Н.
Измерение полей скорости гиперзвукового потока лазерным доппле­
ровским анемометром .• Изв. АН СССР, МЖГ", 1974, N2 3.
Ру"оnись поступила
15/lV 1973 z.