Моделирование поверхностных волн.

Моделирование поверхностных волн.
Д.В. Чаликов
Санкт-Петербургский филиал
Института Океанологии им. П.П. Ширшова, Гл.НС
Swinburne University of Technology, Research. Prof.
Август, 25-30,2013
Renoir, The Sea
Introduction
•  Волны – прекрасное и глубоко эстетическое явление
природы
•  Волны – наиболее легко наблюдаемое и наиболее
очевидное гидродинамическое явления на море.
•  Волны оказывают наибольшее влияние на
деятельность человека на море и являются причиной
наибольшего количества потерь и человеческих жертв.
•  Исследование волн необходимо для проектирования и
эксплуатации морской техники
•  Прогноз волн необходим для эффективности и
безопасности работы на море.
•  Волны являются элементом гидродинамической
системы океан-атмосфера осуществляющим и
регулирующим их взаимодействие.
Цели исследований волн
•  Поверхностные волны являются
фундаментальной проблемой
гидродинамики и природной среды.
Прикладные аспекты:
•  Разработка научных основ для написания
инструкций и матобеспечения для
проектировании морской техники.
•  Разработка научных основ для создания
гидродинамических инженерных моделей
мониторинга и прогноза волнового
режима в морях и океанах
Специфика математического моделирование
•  Максимально полное описание объекта
•  Минимальная связь между объектом и
окружением (граничные условия)
•  Аналогия с физическим
моделированием
•  По возможности, использование
первичных уравнений
•  Использование компьютеров (в
частности, параллельных
процессоров).
Формализация в описании
поверхностных волн
•  Волны распространяются в слое
жидкости конечной или бесконечной
глубины
•  Жидкость считается несжимаемой и
невязкой.
•  Движение описывается уравнениями
Эйлера.
•  Предположение о потенциальности
•  Часто предполагается, что движение
периодично.
Литература
Chalikov D.V., 1986: Numerical simulation of the boundary layer above waves. Bound. Layer Met., 1986,
No.34. 63-98.
Chalikov, D., M. Belevich, 1992: One-dimensional theory of the wave boundary layer. Bound. Layer Met., 65-96.
Tolman H. and D. Chalikov, 1996: On the source terms in a third-generation wind wave model. 1996,
Journ Phys. Oceanogr. No. 11, 2497-2518
Chalikov, D., 1995: The Parameterization of the Wave Boundary Layer. J. Phys. Oceanogr., 25, 1335-1349
Chalikov D. , D. Sheinin . 1997 Direct modeling of one-dimensional nonlinear potential waves.
Advances in Fluid Mechanics. Comp. Mech. Publ., 207-258
Chalikov D., Sheinin, D. 2005: Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a
Free Surface. J. Comp. Phys. 210, 247-273, 2005
Chalikov, D: Statistical properties of nonlinear one-dimensional wave fields. Nonlinear processes in geophysics.
12, 1-19, 2005
Chalikov, D. 2007: Simulation of Benjamin-Feir instability and its consequences. Physics of Fluid, 19, 016602-15
Chalikov D (2009) Freak waves: their occurrence and probability. Phys of Fluid, 21, 076602; doi:10.1063/1.3175713
D. Chalikov · S. Rainchik, 2010, Coupled Numerical Modelling of Wind and Waves
and the Theory of the Wave Boundary Layer. Boundary-Layer Meteorol (2011) 138:1–41.
DOI 10.1007/s10546-010-9543-7
Chalikov D.V. Трансформация гармонических волн на глубокой воде. Фундаментальная и прикладная
гидрофизика, 2010, 3(9), 2010, 14-21
Chalikov D.V. Портрет волны убийцы. Фундаментальная и прикладная гидрофизика .5, 1, 5-14, 2012
D. Chalikov, A. Babanin, Simulation of breaking in spectral environment (accepted in Journ. Phys. Oceanogr), 2012
A.  Babanin , D. Chalikov., Numerical Investigation of Turbulence Generation in Non- Breaking Potential
B.  J. Geophys. Res. 117, C00J17, doi:10.1029/2012JC007929, 2012
D. Chalikov. On the nonlinear energy transfer in the unidirected adiabatic surface waves. Phys. Letters,
Volume 376, Issue 44, Pages 2755-2816, 2012
Chalikov, D., Babanin, A. V. Simulation of Wave Breaking in One-Dimensional Spectral Environment.
Journal Phys. Ocean., 2012, Vol. 42, No. 11, 1745-1761
dmitry-chalikov@yandex.ru
Вывод уравнений потенциального движения
жидкости со свободной поверхностью
•  Исходные уравнения движения несжимаемой невязкой
жидкости – уравнения Эйлера.
•  Уравнения переводятся в форму Громеко-Ламба
•  Предполагается, что все вихрь равен нулю.
•  Утверждение, что вихрь равен нулю позволяет ввести
потенциал скорости, так что все три компоненты скорости
выражаются как производные от потенциала
•  После этого оказывается, что все три уравнения содержат
одно и то же выражение, которое называется интегралом
Бернулли
•  Этот интеграл, записанный для поверхности называется
динамическим условием на поверхности
•  Уравнение неразрывности в терминах потенциала скорости
превращается в уравнение Лапласа для потенциала
•  Присоединяется кинематическое условие на поверхности
Кинематическое условие на поверхности
•  Геометрическая скорость смещения поверхности
по нормали равна скорости движения жидкой
частицы в этой точке.
Уравнения потенциального движения
жидкости со свободной поверхностью в
декартовых координатах
Φ xx + Φ yy + Φ zz = 0
ηt + η xϕ x + η yϕ y − Φ z = 0
2
2
y
z = η ( x, y, t )
2
ϕt + (ϕx + ϕ + Φ z ) + η + p0 = 0
1
2
Φz = 0
Φ - 3 - D потенциал скорости
ϕ - 2 - D потенциал скорости на z = η (x,y,t )
z=H
Одномерная модель поверхностных волн
•  Поверхностное волнение чаще всего развивается
в виде движущихся возмущений с длиной гребня,
значительно превосходящей длину волны. В этом
случае говорят, что волнение является квазиодномерным. Для их описания используется
двумерная модель.
2-D equations for potential flow with a free
surface
Φ xx + Φ zz = 0
ht + hx Φ x − Φ z = 0
2
2
3
2 −2
Φ t + 12 (Φ x + Φ z ) + h + pe − σ hxx (1 + hx )
Domain
− ∞ < x < ∞ ; − H ≤ z ≤ h( x, t )
Periodicity
Φ( x + 2π , z, t ) = Φ( x, z, t ) , h( x + 2π , t ) = h( x, t )
Boundary condition
Φ z ( x, z = −H , t ) = 0
=0
Главные трудности в моделировании волн
•  Уравнения движения должны интегрироваться в слое
жидкости с переменной криволинейной жидкой
границей. Поэтому интегрирование в декартовой
системе координат сопряжено с неустранимыми
ошибками. Даже квази-лагранжевы методы (типа
MAC) позволяют вести устойчивый счёт лишь на
короткое время.
•  Приближённые методы основаны на предположении
о малости поверхностных возмущений.
•  Точные методы должны быть основаны на введении
следующей поверхности системы координат. В этом
случае приходится решать уравнения в
нестационарной криволинейной системе координат.
Уравнения потенциального движения жидкости со свободной
поверхностью в конформных координатах
~
cosh k (ζ + H )
Φ = ∑φ k (τ )
~ ϑk (ξ )
cosh kH
− M ≤k ≤ M
Φ ξξ + Φ ζζ = 0
zτ = xξ ξt + zξ ς t
ϕτ = ξtϕξ − 12 J −1 (ϕξ2 − Φζ2 ) − z − pe + σJ −3/ 2 (− xξξ zξ + zξξ xξ )
2
2
2
2
J = xξ + zξ = xζ + zζ
Φ ζ (ξ , ζ → −∞, τ ) = 0
ζ t = ( J −1Φ ζ )ζ =0
(ξt )k = (ζ t )−k ctgh ( kH )
Важно:
•  Введение конформных координат слегка
усложняет эволюционные уравнения, но
оператор Лапласа сохраняет свою форму,
благодаря чему известна вертикальная структура
решения, простым дифференцированием
вычисляется вертикальная производная
потенциала на поверхности и вся система
обращается в систему двух дифференциальных
(нелинейных) одномерных уравнений, которые
могут решаться с высочайшей точностью Фурьесеточным методом при условии высокой
точности интегрирования по времени
(используется метод Рунге-Кутта четвертого
порядка).
Адиабатические инварианты и
их роль
•  Масса
•  Горизонтальный импульс
•  Полная энергия равная сумме
потенциальной и кинетической энергий
•  Уникальное свойство системы – она имеет
точное решение – волну Стокса
Проверка модели, алгоритма и кодов путём сравнения с
точным решением полных уравнений –бегущей волны Стокса
800 мод
Модель так точна потому,
что она основана на Фурьесеточном методе (Fouriertransform method) Iи не
использует конечноразностные аппроксимации.
Устарелые воззрения
η ( x, t ) = ∑ hk exp(i(kx − ωt ) + к.с.
ω = gk , C =
g
ω
Большинство современных теорий предполагает,
что волновое поле является суперпозицией
гармонических мод, каждая из которых движется
с фазовой скоростью полученной в линейной теории.
Амплитуды этих мод изменяются очень медленно.
Так ли это?
Популярная идеализация волн
•  Элементарной ‘частицей’ волнового поля
является гармоническая мода (линейная
волна).
•  Волновое поле представляется в виде
суперпозиции линейных волн с
случайными фазами и линейным
дисперсионным соотношением
•  Так называемые ‘нелинейные теории’
рассматривают взаимодействие линейных
мод
Расширенное значение волн Стокса
•  Волна Стокса – несколько заострённая и
сглаженная в подошве синусоида
Форма волны Стокса ближе к форме
естественных морских волн
Трансформация гармонических
волн разной крутизны
Вывод: Гармоническая волна
Обращается в волну Стокса
Фазовая скорость как функция волнового числа
‘Время жизни’ волновых мод
E
T=
dE / dT
Вывод
Таким образом, ни постоянство
фазовой скорости, ни постоянство
амплитуд не подтверждается.
Волны на воде являются гораздо
более сложным процессом, в
котором очень велик элемент
случайности
Последователи
Хассельманна
Фундаментальные разногласия
двух известных теорий
•  Нелинейные взаимодействия между волновыми
модами приводят к эволюции волнового спектра
•  Резонансная теория нелинейных взаимодействий
К. Хассельманна (1963) основана на
предположении о линейности мод
•  Из теории следует, что взаимодействие может
развиваться только в том случае, если волны
разнонаправлены.
•  Теория Бенджамина-Фейера утверждает, что
эволюция спектра происходит и в случае
однонаправленных волн
Numerical scheme for 1-­‐D potential waves
Chalikov D. D., Sheinin: Direct Modeling of One-dimensional
Nonlinear Potential Waves. Nonlinear Ocean Waves, ed. W. Perrie,
Advances in Fluid Mechanics, 17, 207- 258, 1998
Chalikov D., D. Sheinin: Modeling of Extreme Waves Based on
Equations of Potential Flow with a Free Surface. Journ. Comp. Phys.,
210, 247-273, 2005
Benjamin-­‐Feir instability
Benjamin, T. B., J. E. Feir: The disintegration of wave trains in
deep water. J. Fluid. Mech., 27, 417-430, 1967
McLean, J. W., Instabilities of finite-amplitude water waves. J.
Fluid Mech., 114, 315-330, 1982
Mellvile, W. K. The instability and breaking of deep-water waves.
J. Fluid. Mech. 115, 165-183, 1982.
Chalikov, D. Numerical simulation of Benjamin-Feir instability
and its consequences. Phys. of Fluid, 19, 016602 (2007) (15
pages) Example of evolu-on of spectrum due to development of unstable modes. Ver-cal axis corresponds to wave numbers, and horizontal axis to amplitudes. Вывод
•  Нелинейные взаимодействия, ведущие к
трансформации спектра и его
гомогенизации происходят и в
однонаправленных волнах
•  Следовательно теория Хассельманна не
учитывает многочисленные
взаимодействия волн идущих в одном
направлении
•  Это приводит к многочисленным
последствиям…
Development of one-dimensional waves
•  Согласно общепринятым взглядам,
одномерное волнение не может развиваться,
потому что нелинейные взаимодействия могут
существовать только в том случае, если
волны распространяются под разными
углами.
•  Проверка этого утверждения может быть
осуществлена с помощью модели, основанной
на полных уравнениях.
•  Такая проверка сделана для двух вариантов:
адиабатической трансформации волн и
развитии волн под действием притока энергии
и диссипации.
Нелинейные заимодействия и смещение энергии к
низким частотам (downshifting).
1.  Адиабатичность характеризуется полным
сохранением энергии (равной сумме
потенциальной и кинетической энергий).
2. Адиабатичность физически невозможна даже в
недиссипативной среде из-за нелинейного потока
энергии в область высоких волновых чисел.
3. Условная адиабатичность вводится путём
поддержания полной энергии со скоростью равной
убыли энергии в подсеточную область.
ΔS
Et
= (1 + ε )S , ε = t + Δt − 1 ~ 10 −5
Δt
E
Эволюция взвешенной спектром
частоты (‘центра тяжести спектра’)
как функция расстояния и
нелинейности
ωs
ωSdω
∫
=
∫ Sdω
Интегральная крутизна
s=
∫k
2
Sdk
Зависимость полного сдвига от крутизны
Эволюция волнового поля под действием
притока энергии и диссипации
• 
Использовалась 1-D модель основанная на полных
уравнениях
−1
ϕτ = fϕξ − J (ϕξ − Φζ ) − z − p
1
2
2
2
Как происходит диссипация потенциальных волн?
Параметризация процесса обрушения волн
∂η
∂ ∂η
= ..... −
B
∂τ
∂ξ ∂ξ
∂ϕ
∂ ∂φ
= ..... −
B
∂τ
∂ξ ∂ξ
⎛ ∂η ⎞
B = cb ⎜
⎟
⎝ ∂ξ ⎠
2
Evolution of wave spectrum over period t=2000
(7202 initial peak wave periods)
1 
2 
3 
4 
5 
0.0-0.2
0.2-0.4
0.4-0.6
0.6-0.8
0.8-1.0
Components of integral balance of total energy
1 – Input energy from wind
2 – Nonlinear interactions
3 – Breaking dissipation
4 – High-frequency dumping
Spectrum of wave dissipation for different steepness
Эволюция энергии
Эволюция волнового
числа пика спектра
Вывод
•  Вопреки общепринятому мнению
одномерная модель
поразительно хорошо описывает
процесс развития волнового
поля под действием ветра и
обрушения.
•  Это имеет далеко идущие
последствия
Numerical investigation of breaking waves
Численные исследования процесса обрушения волн
•  Опрокидывание волн (’барашки’) –основной
механизм диссипации энергии волн
•  Модель для исследования опрокидывания
должна быть основана на полных уравнениях,
упрощенные модели неприменимы. Конформная
модель высокого разрешения способна
описывать с большой точностью поверхность с
высокой крутизной с высоким сохранением
интегральных инвариантов.
•  Поскольку при приближении к опрокидыванию
наступает неустойчивость, расчёты должны
многократно повторяться для получения
статистически значимых результатов.
Probability of periods of
development of breaking
Example of individual wave breaking
Evolution of wave energy
and maximum columnar energy
elevation
energy
Дифференциальные характеристики
Кинематические характеристики
U max / C
max(dz / dx)
U min / C
min(dz / dx)
(
H s min d 2 z / dx 2
Wmax / C
)
Wmin / C
Свойства процесса опрокидывания
•  Опрокидывания волн развивается и происходит очень быстро,
на масштабах порядка половины периода волны
•  Надежных предикторов опрокидывания не найдено,
опрокидывание является случайным, индивидуально
непредсказуемым процессом. Эволюция геометрических и
кинематических характеристик скорее описывают сам процесс,
чем предсказывают его.
•  Интенсивность опрокидывания увеличивается с увеличением
плотности энергии и среднеквадратичной крутизны
поверхности.
•  Поскольку с развитием опрокидывания процесс вычислений
прекращается, в моделях прямого моделирования волн
необходима параметризация эффектов опрокидывания,
описывающая его последствия и предотвращающие
прекращение вычислений
Ιτ ιδ τηε φορϑε οφ ωινδ τηατ µακεσ τηε ωαϖε σο γρεατ
Homer, Iliad, BookXV, 800B.C.
Translated by Samuel Batler
Волны- убийцы
или экстремальные волны
Freak waves, rogue waves,
extreme waves
Мистификация
Личный
опыт
Экстремальная волна
Измерения
Численное моделирование
Публикации
•  Chalikov, D, 2005 Statistical properties of nonlinear
one-dimensional wave fields. Nonlinear processes in
geophysics. 12, 1-19
•  Chalikov, D., 2007 Numerical simulation of BenjaminFeir instability and its consequences. Phys. Fluids.
19, 016602-15
•  Chalikov D 2009 Freak waves: their occurrence and
probability. Phys of Fluid, 21, 076602; doi:
10.1063/1.3175713
•  Чаликов Д.В. Портрет воlны убийцы
Фундаментальная и прикладная геофизика, 5, 1,
5-14, 2012.
Свойства экстремальных волн
•  Э.В. характеризуются экстремальной
высотой в 2-3 раза превосходящей
высоту окружающих волн.
•  Э.В. – уникальное явление. Они
появляются как единичный случай
между многими тысячами волн
•  Время развития и существования
волны – порядка одного периода
главной волны
Как это
происходит?
По непредсказуемым
причинам одна из волн
начинает менять свою
форму, она становится
заостренной, у неё
развивается асимметрия
(наклон вперёд).
Всё это происходит при
сохранении полной
энергии волны. Однако
энергия начинает
концентрироваться в
окрестности пика волны.
В результате волна
разрушается.
Поле скорости в экстремальной волне до и
перед самым опрокидыванием
1 - профиль волны;
2 - распределение по фазе волны
горизонтальной компоненты
скорости на поверхности,
3 – то же для вертикальной
компоненты скорости;
4 – то же для кинетической
энергии.
Верхняя панель относится
к началу эволюции волны,
на нижней панели показана
волна перед самым обрушением.
Объёмное распределение кинетической энергии в волне в начале
эволюции (верхняя панель) и перед обрушением (нижняя панель).
Использованы размерные переменные, выбранные для случая, когда
скорость ветра U=25 м/сек. Масштаб длины L в этом случае равен 350 м,
высота от подошвы до гребня волны перед обрушением равна 31 м,
фазовая скорость волны - 23 м/с. Волны с такими характеристиками
фиксировались с помощью акселерометров на экспедиционных судах
в Южном океане. Горизонтальная компонента скорости в гребне волны
приближается к фазовой скорости волны и составляет около 20 м/с.
Поскольку плотность воды очень велика, она может создать давление
на препятствие около 100 тысяч паскалей. Только верхняя часть волны,
готовая к отделению, с длиной вдоль гребня 10 м, обладает
энергией порядка 10^8 Дж, что эквивалентно примерно 3 кг тротила.
Вероятность
полной
высоты волны
Одна волна из 1000 или 10000
может быть отнесена к экстремальной.
Понятие ‘экстремальная’ в данном
определении относительно.
Индивидуальное предсказание
экстремальных волн невозможно
(аналогия с внутримассовыми осадками),
потому возможен только статистический
прогноз.
Типичный прогноз должен звучать,
например, так:
В течение следующих 24 часов в
данном районе океана
(скажем 1000х1000 км) вероятность
встречи с волной высотой 24 м
равна 2% (или время ожидания
такой волны равно 36 часов)
Перспективы
•  Экспериментальное исследование
экстремальных волн в натуре и в лаборатории
малоэффективно из-за низкой вероятности их
возникновения.
•  Необходимо дальнейшее изучение механизма
генерации и динамики экстремальных волн на
основе 2D и 3D полных моделей.
•  С точки зрения практики ещё более важно
исследование повторяемости экстремальных
волн и связь повторяемости с интегральными
параметрами ветрового волнения.
Совместное моделирование ветровых волн и
Волнового Пограничного Слоя.
2-D модели поверхностных волн и волнового пограничного слоя
Equations of 2D potential waves
Φξξ + Φζζ = 0
zτ = xξ ζ t + zξ ξ t
−1
ϕτ = fϕξ − J (ϕ − Φ ) − z − pe + σJ
1
2
2
ξ
2
ζ
−1
ζ t = ( J Φ ζ )ζ = 0
(ξt )k
~
= (ζ t )−k coth kH
−3 / 2
(− xξξ zξ + zξξ xξ )
Уравнения волнового пограничного слоя
Параметризация турбулентности
−1
u ʹ′u ʹ′ = 2 KJ Φ11 = 2 KJ
−1
∂uzξ ⎞ 2
⎛ ∂uxξ
−
⎜
⎟ + e
∂ζ ⎠ 3
⎝ ∂ξ
⎛ ∂ ( uzξ + wxξ ) ∂ ( uxξ − wzξ
u ʹ′wʹ′ = KJ Φ12 ⎜
−
⎜
∂ξ
∂ζ
⎝
∂wxξ ⎞ 2
⎛ ∂wzξ
−1
wʹ′wʹ′ = 2 KJ Φ 22 ⎜
+
⎟ + e
∂ζ ⎠ 3
⎝ ∂ξ
−1
) ⎞⎟
dJe
∂
∂e
∂
∂e
=
Ke
+
Ke
+ P −ε
dτ
∂ξ
∂ξ ∂ζ
∂ζ
dJ ε
∂
∂ε
∂
∂ε
ε
=
Kε
+
Kε
+ ( c2 P − c4ε )
dτ
∂ξ
∂ξ ∂ζ
∂ζ
e
⎟
⎠
Граничные условия
•  На верхней границе области
задаётся вертикальный
турбулентный поток импульса и
отсутствие вертикальной скорости
•  На нижней границе области
вертикальная скорость равна нулю
•  Простота граничных условий
свидетельствует, что решается
наиболее полная задача.
Объединение модели волн и пограничногослоя
•  Обмен информацией между моделями
происходит на каждом шаге по времени
•  Водная часть передаёт в воздух информацию о
геометрических характеристиках поверхности,
которые используются для расчёта метрических
коэффициентов и поверхностной скорости,
используемой для расчёта поверхностного
давления.
•  Воздушная часть передает в воду информацию о
нормальном напряжении на поверхности,
которое изменяет импульс и энергию волн.
Эволюция, приток и диссипация энергии
Ek
Ep
Приток энергии от ветра
Диссипация обрушением
Different components of vertical momentum flux as a function of Z
normalized by the outer stress (see. Eq. 52). Aggregated grey lines are
instantaneous profiles; solid lines are averaged profiles:
1 - an averaged turbulent momentum flux (0th mode);
2 - momentum flux provided by wave fluctuations of turbulent stresses;
3 - momentum flux provided by pressure field;
4 - momentum flux provided by velocity field;
5 - the total momentum flux.
1
2
3
4
5
a (1) – Spectrum of surface pressure
(2) – Spectrum of pressure
restored with beta-function
(3) – Wave spectrum
b (1) - Co-spectrum p & η x
(2) – Co-spectrum p & η
β
x
Vertical profiles of spectral components
of wave-produced momentum flux.
0.813
G = .985 + 0.400 ( k / k p )
1-D equations of Wave Boundary Layer
W = Ft + Fp + Fw
∂u ∂ ⎛ ∂u
⎞
= ⎜ K + W ⎟
∂t ∂z ⎝ ∂z
⎠
c = 3.7, ck = c −2,
c2 = 1.92. c3 = 1.3
e
K = ck
ε
c1 = c2 − c1κ 2 / c3
2
∂e ∂ ∂e
∂u
⎛ ∂u ⎞
= K + P − cd ε
P = K ⎜ ⎟ + W
∂t ∂z ∂z
∂z
⎝ ∂z ⎠
∂ε ∂
∂ε 1
e
= Kε
+ ( c1P − c2ε ) , Te =
∂t ∂z
∂z Te
ε
π k =M
c4 = ( c1 − c2 ) k −2 / c1
ωu ( Lk / 2)
W ( z ) = ∫ ∫ kgβ 2 (Ω k ) exp −G (ω )kz S (ω )dω dθ , Ω k =
cos θ
g
−π k =− M
(
)
Boundary conditions for 1-D model of WBL
∂u
∂e
∂ε 1
Z = 0 : K + W = W0 , K = 0, K
~
∂z
∂z
∂z z
∂u
τ 3/ 2
Z = H : K + W = τ , e = cτ , ε =
∂z
H
Сравнение профилей среднего ветра (жирные
линии) с логарифмической экстраполяцией с
верхних уровней (тонкие линии). В каждой группе
линии соответствуют значениям
U / c =0.855, 1.0, 1.25, 1.5, 2.0, 3.0.
29.5 < U < 36.3
13.4 < U < 15.4
Коэффициент сопротивления С10 как функция скорости ветра и
возраста волнения Ср/U10
C10 =
τ
U
2
10
⎛ U10 ⎞ v*2
⎟
z0 = m⎜
⎜ c ⎟ g
⎝ p ⎠
Понижение коэффициента сопротивления
при сильном ветре за счёт подавления энергии
высокочастотных волн (на частотах,
превышающих на порядок частоту пика).
Трёхмерное моделирование вихревого
движения в потенциальных волнах
•  Формально, потенциальное движение не
может генерировать вихревое движение и
турбулентность
•  Однако, вихревое движение в чистом виде
не существует
•  Даже если есть мелкомасштабная
турбулентность, она не может
взаимодействовать с потенциальным
движением
Тем не менее
• 
• 
потенциальные волны генерируют и
взаимодействуют с вихревое
движение и взаимодействуют с ним.
Поскольку вихревое движение
генерирует турбулентность, оно
ослабляется турбулентной вязкостью,
следовательно потенциальные волны
тоже диссипируют.
Benilov, A.Y., and Y. Lozovatskiy, 1977:
Semi-empirical methods of the
turbulence description in the ocean. In
The Turbulent Diffusion of the
Ingredients in the Sea, The coordination
Center of COMECON (SEV), Inf. Bull., 5,
89-97
У берегов Болгарии
Продолжение истории…
Эта идея очень понравилась одному русскому учёному, и он
опубликовал её снова 6 лет спустя, в несколько расширенном виде,
но без ссылок на незначительный болгарский журнал
Автор первичной работы, естественно, загрустил
И уехал в Америку…
История получила продолжение после
Великой Капиталистической Революции:
друг Бенилова, не изменивший Родине
провёл подробные расчёты,
подтвердившие качественные выводы статьи 1977 г.
Естественно, что Автор её был доволен
Мы решили подкрепить эту работу
численным моделированием.
•  Волнение считается двумерным, а вихревые движения и
турбулентность трёхмерными.
•  Это допущение позволяет использовать цилиндрическую
конформную систему координат (y=y),что на порядки
упрощает решение трёхмерного уравнения Пуассона для
давления.
•  Использовался LES метод, т.е. крупномасштабная часть
вихревого движения описывалась явно, а подсеточная –
уравнениями основанными на гипотезах замыкания.
•  Двумерные переменные: орбитальные скорости U(x,H) и
W(x,H) на поверхности H(x)
•  Трёхмерные переменные: скорость, давление, энергия
подсеточной турбулентности, скорость её диссипации.
•  Несмотря на упрощения, система уравнений в
криволинейной нестационарной системе координат
выглядит устрашающе, поэтому не показывается.
Качественное распределение энергии
вихревых движений и турбулентности
Объёмное распределение суммарной энергии
вихревых движений и турбулентности
•  A. Babanin , D. Chalikov., Numerical
Investigation of Turbulence Generation in
Non- Breaking Potential J. Geophys. Res.
117, C00J17, doi:10.1029/2012JC007929, 2012
•  Существование ‘волновой’
турбулентности было подтверждено
специальными экспериментами
•  Savelyev, I.B. Maxeiner E., D. Chalikov
Turbulence production by non-breaking
waves: laboratory and numerical simulations.
Journal of Geophys Res-Oceans, doi:
10.1029/2012JC007928, 2012
Распределение скорости диссипации волновых
движений для вонения с разной крутизной.
Результаты используются
для алгоритма расчёта
объёмной диссипации
Энергии волн в
прогностических волновых
моделях/
Параметризация диссипации волн
2
H s−1/ 2 g −3/ 2 P = 3.87 ⋅10−7 exp ( 0.506z%+ 0.0057 z%
)
z
~
z=
Hs
Волны бывают и такие!
Трёхмерные волны
Хотя двухмерность является хорошим приближением,
которое хорошо работает при исследовании процессов
притоков и диссипации энергии, реальные волны
являются трёхмерными.
Ввиду отсутствия удобного преобразования системы
координат трёхмерная задача является гораздо более
сложной, чем двумерная.
EQUATIONS (splitted form)
Curvilinear coordinate system:
Surface:
3-D:
{
ξ = x, ϑ = y, ζ = z −η (ξ ,ϑ,τ ), τ = t
ητ = −ηξϕξ − γ 2ηϑϕϑ + (1 +ηξ2 + γ 2ηϑ2 ) Φς
1 2
ϕτ = − ϕξ + γ 2ϕϑ2 − (1 + ηξ2 + γ 2ηϑ2 ) Φζ2 − η − p
2
Φξξ + γ 2Φϑϑ + Φζζ = 2ηξ Φξζ + 2γ 2ηϑ Φϑζ + ηξξ + γ 2ηϑϑ Φζ − ηξ2 + γ 2ηϑ2 Φζζ
(
)
(
)
(
)
The potential can be represented as a sum of two components:
~
analytic Φ and non-linear Φ . The equation for potential take the form:
% + γ 2Φ
% +Φ
% = 2η Φ
% + 2η γ 2Φ
% + (η + γ 2η ) Φ
% − (η 2 + γ 2η 2 ) Φ
% +Ψ
Φ
ξξ
ϑϑ
ζζ
ξ ξζ
ϑ
ϑζ
ξξ
ϑϑ
ζ
ξ
ϑ
ζζ
where
Ψ = 2ηξ Φξζ + 2ηϑγ 2Φϑζ + (ηξξ + γ 2ηϑϑ ) Φζ − (ηξ2 + γ 2ηϑ2 ) Φζζ
(The highlighted terms are fixed inside an iterations)
The equation is solved by iterations with correction of right side
Численная схема
•  Схема основана на Fourier transform method
FTM,предполагающим, что каждая переменная представлена
в Фурье и сеточном пространствах.
•  Кинематическое и динамическое условия на поверхности
рассматриваются как эволюционные уравнения для
поверхностного потенциала скорости. Используется Метод
Рунге-Кутта 4-го порядка
•  Вертикальные производные аппроксимируются конечными
разностями второго порядка на растянутой вертикальной
сетке.
•  Диагностическое трёхмерное уравнение для потенциала
решается ТДМА методом (‘прогонка’) обобщённым на
трёхмерный случай в Фурье пространстве. Правая часть
уравнения последовательно уточняется на каждой итерации
−10
до достижения точности порядка 10
Сравнение аналитической и
нелинейной компонент
Нелинейная на два порядка меньше
Analytic
component
Non-linear
component
Validation of scheme against exact Stokes waves (ak=0.4)
(assigned in the wave numbers k=1,2,3,… in an absence of initial
disturbances and with no room for their (B-F.) development
−4
The first several modes of the Stokes wave with the amplitudes as small as 10
remain practically unchanged, while the rest of the amplitudes fluctuate.
The relative magnitude of the fluctuation increases with the wavenumber growth.
However, the averaged values of amplitudes for each mode do not change, and
their values decrease monotonically with growth of the wave number.
There are no any signs of instability
Simulation of Stokes waves (ak=0.35) assigned at wave numbers
k=8,16,24… with superimposed small-amplitude noise for
simulation of McLean et al (1982) instability.
Evolution of first 7 amplitudes.
Aggregated lines is growing noise
‘Horse-shoe’ structure as an intermediate
stage of McLean instability
Example of surface obtained at 318 periods of simulation of
wave field assigned initially with Pierson-Moskowitz spectrum.
Точное моделирование
трёхмерных волн
The largest Freak wave in the run
(the small fraction of surface is shown)
The fraction of wave surface
containing the maximum wave
with trough-to crest height
The location of maximum, where
is indicated by 1,
The location of minimum, where
is indicated by 2.
H / H s = 2.445
H max / H s = 1.265
H min / H s = −1.180
Dispersion relation
Widely spread myth:
The linear dispersive relation is valid in
a broad range of frequencies.
The distribution of energy is shown
in coordinates
(ωlin , ωtrue )
If the dispersive relation were exact
the energy would have been
concentrated along bisecting line.
However the energy declines
significantly.
It means that dispersive relation
is fluctuating.
Besides, the high-frequency modes
Include the fast moving bound waves
and slow free waves. The effective
dispersive relation is larger than
the linear one
Nonstationarity of spectrum
The temporal evolution of the amplitudes of largest modes is shown.
It is seen that the magnitudes of modes changes in irregular manner
due to reversible and irreversible interaction. It contradicts to
general opinion that the spectrum changes smoothly.
Rate of nonlinear interaction
Initial and final spectrum.
Note the ‘jagginess’ of 2-D spectrum
S nl = (S (t ) − S (t + Δt ) / Δt
a – Wave spectrum integrated over
lateral wave numbers . Thick line is the
initial waves spectrum, and thin line is
the final wave spectrum obtained to 318 wave
period. b –spectrum of rate of nonlinear
interactions integrated over lateral wave
numbers
Перспективы
•  Эта единственная в мире точная
модель реальных волн
предназначена для исследования
развития волнового поля под
действием ветра, нелинейности и
диссипации.
Conclusions
•  A straightforward method of a numerical solution of the full
three-dimensional potential wave equations is suggested.
•  Method has been validated by comparison with exact solution
for steep Stokes waves.
•  The ‘horse-shoe’ structure , McLean et al (1982) instability and
final randomization of wave field is reproduced.
•  Model is designed for direct investigation of evolution of 2-D
wave field under the action of input, dissipation and nonlinear
interaction.
•  Evolution of wave field under the action of nonlinear
interactions between all wave components is simulated
directly.
•  Model with number of freedom degrees of the order of 100,000
can be integrated at 1-processor PC. Parallelization can
accelerate the process by several times.
Современное состояние
проблемы прогноза
ветрового волнения
D. Chalikov
Институт океанологии РАН
Санкт-Петербургское отделение
Морские волны
Навигация
Рыболовство
Разведка и добыча полезных ископаемых,
включая нефтедобычу
Проектирование и эксплуатация судов,
морских и прибрежных сооружений,
Рекреация
Функционирование военно-морских сил
Renoir, The Sea
Суда
Береговые сооружения
Нефтяные платформы
Научные основы прогнозы ветрового волнения
были впервые сформулированы крупным
американским учёным У. Манком, (эмигрировавшим
из Австрии после вступления в неё фашистов
и вступившим на службу в американскую армию
в 1940 году). Метод разработанный Манком был
положен в основу прогнозов обеспечивающих
действия военно-морских сил союзников и,
в частности, высадку союзных войск в Нормандии
в 1944 году. Схема прогноза Манка была основана
на эмпирических данных о скорости рота волн
под воздействием ветра и геометрической теории
распространения волн. Для составления волнового
прогноза требовались данные метеорологического
прогноза ветра, основанного на синоптическом анализе.
Renoir, The Sea
Наиболее развитые современные
модели прогноза волн
1. WAM
Европейский Центр Среднесрочного
Прогноза Погоды, Англия)
2. WAVEWATCH
(Национальный Центр Прогноза окружающей
среды http://polar.ncep.noaa.gov/waves),
Национального Агентства по океану и
атмосфере (NOAA).
Renoir, The Sea
Модель
Математическая модель основана на уравнении
переноса волновой энергии.
Модель учитывает:
приток энергии от ветра,
диссипацию энергии за счёт
обрушения волн,
трения на дне
турбулентной диссипации
волновых движений.
морфологию бассейна
очертания береговой линии
батиметрию
подсеточные цепочки островов
расположения ледяного покрова
Renoir, The Sea
Компоненты WAVEWATCH модели
• 
• 
• 
• 
Система передачи и контроля прогностических метеорологических
параметров: скорости ветра, температура воды и воздуха, течения.
Собственно модель, работающая в автоматическом режиме каждые 6
часов.
Обработка и представления через Интернет прогнозируемой информации:
двумерные волновые спектры, высота и направление существенной
волны и характерный период.
Система оценки качества прогноза путем сравнения со спутниковыми
данными, данными буйковых станции и эпизодическими данными.
Модель использует многопроцессорный компьютер, однако
бесплатно распространяется в различных конфигурациях
Разрабатываются версии модели для локальных ценров а также для
оперативного использования на судах ВМФ
Типичный прогноз волнового режима
Районы повышенного интереса: Вложенные сетки.
Традиционный подход
Будущее волнового прогнозирования.
Неструктурированная сетка: метод конечных элементов
SWAN coarse grid : 16400 nodes (7748 active)
SWAN fine grid : 11200 nodes (10377 active)
WWM: 5948 Nodes
Buoy 1 (approx. 20m Depth)
Buoy 2 (approx. 10m Depth)
Движущиеся сетки
Волны под ураганами
Applications of the WWM
1. U.S. East Coast: Storm of the Century
Amount of Measurements
Совместные модели волн и течений
1. Ветер переносит часть импульса и энергии
течениям и волнам
2. Волновая энергия переносится течениями
3. Взаимодействие волн и течений
осуществляется за счёт радиационных
взаимодействий и переносом энергии и
импульса от разрушающихся волн к
течениям
4. Разрушающиеся волны питают
турбулентность в верхнем слое океана
Renoir, The Sea
Недостатки и перспективы
Противоречия в экспериментальных
данных
2. Плохое понимание физики, роль
нелинейности
3. Приток энергии от ветра
4. Диссипация волн – наиболее уязвимое
место
5. Главный источник ошибок прогноза –
ошибки прогноза ветра
1.
Renoir, The Sea
Wind Waves as a Link between
Ocean and atmosphere
Wave and current momentum and energy as function of wind velocity
Estimations for fully developed waves and wind drift currents
The structure of boundary layers
Wave Boundary Layer
•  The Wave Boundary Layer (WBL) is a lowest part
of Surface Layer (SL) where the wave-produced
fluctuations of velocity and pressure are traced.
Its height is an order of significant wave height.
•  The Fluxes of momentum and energy are formed
in WBL.
•  The dynamics of WBL is investigated on a basis
of coupled WBL-surface waves model. Model
reproduces the statistical structure of WBL and
allows to construct the parameterization of
Wave-Produced Momentum Flux by pressure
and velocity field.
Interactions in WBLWaves-Mixed Layer
System
1  Exchange by of Energy and Momentum between
WBL and waves
Fe (ω, φ ) = gωβ (Ω) Se (ω, φ )
r
τ w (ω , φ ) = ω 2 β (Ω) Se (ω , φ ) cos φ
2 Flux of Momentum from WBL to Mixed Layer
Currents through Tangent stress and Short waves.
3
!
!
!
τ cof= Momentum
τ 10 − τ w
Flux
and Energy from dissipating
waves to Mixed Layer Currents
Fe (ω, φ ) = gω D(ω ) Se (ω, φ )
r
2
τ
(
ω
,
φ
)
=
ω
D(ωLayer
) Se (ωturbulence
, φ ) cos φ by breaking
wc
4. Generation
of Mixed
waves and orbital motion (through vorticity field)
Fwc (ω , φ ) = ω 2 D(ω ) Se (ω , φ ) cos φ − τ wu0
2
⎛
⎞
⎛
⎞
z
z
−7
1/ 2 3/ 2
Fwt = 3.87 ⋅10 H s g exp ⎜ 0.506
+ 0.0057 ⎜
⎟ ⎟⎟
⎜
Hs
5. Generation of Mixed Layer Turbulence
by Shear
⎝ H s ⎠ ⎠
⎝
Currents
Fcw = K∇ 2u
Заключение
•  Волны интересны сами по себе как
объект гидродинамики. Наибольший
интерес имеют их нелинейные
свойства
•  Волны как важный элемент
гидрометеорологической обстановки
•  Волны как активный компонент
погодной и климатической системы
Благодарю за внимание