Автомодельные решения нестационарных пограничных слоев

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1
65
УДК 532.516/532.526.2
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
О. А. Фроловская
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск
Рассмотрены автомодельные решения нестационарного диффузионно-динамического
пограничного слоя, возникающего вблизи вертикальной стенки при больших числах
Шмидта, и динамического пограничного слоя, сопрягающегося на внутренней границе
с диффузионно-динамическим слоем. Показано, что в динамическом пограничном слое
в области течения возникает зона противотока.
Введение. Для описания свободной конвекции вязкой жидкости вблизи вертикальной
стенки и переноса примеси применяются классическая модель Обербека — Буссинеска
и модель микроконвекции. Известно, что при использовании модели Обербека — Буссинеска при больших числах Рейнольдса можно выделить пограничный слой и из решений
задачи в этом случае получить интегральные характеристики течения (числа Нуссельта).
При микроконвекции числа Рейнольдса, как правило, невелики. В работе [1] предложен
подход, позволяющий выделить диффузионно-динамический слой и в случае микроконвекции, когда модель Обербека — Буссинеска неприменима. В обеих моделях выделен особый
диффузионно-динамический пограничный слой, если числа Шмидта (Прандтля) велики.
При этом на число Рейнольдса не накладывалось никаких ограничений. В этих пограничных слоях оказались существенными вязкие силы и силы плавучести, а силы инерции
пренебрежимо малы. Вне диффузионно-динамического пограничного слоя структура поля
скоростей зависит от числа Рейнольдса. Если оно велико, то в области движения имеется
еще один чисто динамический слой с большей асимптотической толщиной, сопрягающийся
на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем, а на внешней — с областью
состояния покоя.
В [1] сформулированы уравнения стационарного диффузионно-динамического пограничного слоя, построены их автомодельные решения и рассмотрены начальные асимптотики. Наиболее полные результаты исследования свободно-конвективных течений приведены
в [2, 3].
Нестационарные пограничные слои. Рассмотрим задачу определения компонент
u, v вектора скорости v, концентрации c и отклонения от гидростатического давления p
в области y > 0, ограниченной бесконечной вертикальной стенкой {y = 0}. Сила тяжести
направлена по оси Ox, в координатах (x, y) ускорение свободного падения имеет вид g =
(−g, 0). Считаем, что плотность расплава ρ линейно зависит от концентрации: ρ = ρ0 [1 +
β(c − c∞ )], где ρ0 , c∞ — средние плотность и концентрация раствора; β = (1/ρ0 )(dρ/dc) =
const (для определенности полагаем β > 0).
В случае больших чисел Шмидта Sc = ν/D вблизи вертикальной стенки при тех же
допущениях, что и в [1], можно выделить нестационарный диффузионно-динамический
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
проекта 01-01-00782) и Совета поддержки ведущих научных школ (код проекта 00-15-96162).
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1
66
слой. Уравнения пограничного слоя для модели Буссинеска имеют вид
ν
1 ∂p
∂ 2v
= ν 2,
ρ0 ∂y
∂y
∂ 2u
= gβ(c − c∞ ),
∂y 2
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
(1)
∂c
∂c
∂c
∂ 2c
+u
+v
= D 2.
∂t
∂x
∂y
∂y
Краевые условия для скорости задаются в виде
u
= v
= 0,
u −→ u∞ (t, x).
(2)
Для концентрации ставятся условия первого рода
c
= c∞ ,
c
= f (t, x),
(3)
y=0
y=0
t=0
y→∞
y=0
c −→ c∞
y→∞
или условия второго рода
ct=0 = c∞ ,
∂c = h(t, x),
c −→ c∞ ,
(4)
y→∞
∂y y=0
где c∞ = const; f (t, x), h(t, x) — заданные функции; u∞ (t, x) определяется в процессе
решения задачи.
Задача (1)–(3) (или (1), (2), (4)) описывает движение в тонком диффузионно-динамическом слое толщиной порядка (ScRe2 )−1/4 , вне слоя c ≈ c∞ . В этом слое силы плавучести и вязкие силы одного порядка, а силы инерции и продольный градиент давления по
сравнению с ними пренебрежимо малы. В отличие от случая классического пограничного
слоя [4] внешнее представление скорости опpеделяется в пpоцессе pешения, а не из условия
сpащивания с внешним решением:
u = v = 0,
p = 0,
c = c∞ .
(5)
Компоненты вектоpа скоpости и концентpации находятся независимо от давления,
которое опpеделяется интегpиpованием второго уpавнения (1) по y от y до ∞ с учетом
уpавнения неpазpывности:
∂u
∂u ∞
p(t, x, y) = p∞ (t, x) + ρ0 ν
−
,
(6)
∂x
∂x
где p∞ (t, x) — давление на внешней гpанице погpаничного слоя.
Задача для диффузионно-динамического пограничного слоя при микроконвекции состоит в нахождении концентpации c, вектора модифицированной скорости w = v + βD∇c
и модифицированного давления q = p/ρ∗ − gx + β(ν − D)D∆c, где ρ = ρ∗ (1 − β(c − c∞ ))−1 ,
удовлетворяющих начально-краевой задаче [1]
∂ 2 w1
∂q
∂ 2 w2
∂w1 ∂w2
=
gβ(c
−
c
),
=
ν
,
+
= 0,
∞
2
2
∂y
∂y
∂y
∂x
∂y
∂c 2
∂c
∂c
∂c
∂ 2c
+ w1
+ w2
− βD
= D(1 − β(c − c∞ )) 2 ,
∂t
∂x
∂y
∂y
∂y
∂c ∂c w1 y=0 = βD
w2 y=0 = βD ,
w1 −→ w∞ (t, x) < ∞,
,
y→∞
∂x y=0
∂y y=0
ct=0 = c∞ ,
cy=0 = r(t, x),
c −→ c∞ .
ν(1 − β(c − c∞ ))
(7)
y→∞
Здесь w1 , w2 — компоненты вектора скорости w; r(t, x) — заданная функция; w∞ (t, x)
определяется в процессе решения задачи. Здесь также можно задавать для концентрации
условия второго рода.
67
О. А. Фроловская
Поскольку в общем случае u∞ 6= 0 (w∞ 6= 0), решение задачи (1)–(3) (или (7)) нельзя
срастить с внешним решением (5). Для компенсации этой невязки, если Sc/Re2 → 0, в
области движения можно выделить, как это сделано в [1], еще одну асимптотику задачи,
которая описывает движение в области с асимптотической толщиной, большей толщины
рассмотренного выше погpаничного слоя. В данном случае справедлива гипотеза Прандтля о равенстве порядков вязких сил и сил инеpции. Движение в этом слое толщиной
порядка (Sc/Re2 )1/4 описывается системой уравнений
∂u
∂u
∂u
∂ 2u
+u
+v
= ν 2,
∂t
∂x
∂y
∂y
∂p
= 0,
∂y
∂u ∂v
+
= 0.
∂x ∂y
(8)
В начальный момент времени
ut=0 = 0.
(9)
Из условий сpащивания получаем граничные условия для продольной компоненты скорости u
uy=0 = u∞ (t, x),
u −→ 0.
(10)
y→∞
Граничное условие для поперечной компоненты скорости v задается в виде
v
= 0.
y=0
(11)
Задача для динамического слоя отличается от классической тем, что значение продольной скорости задается на внутренней, а не на внешней границе. Давление в задаче
можно считать нулевым, поскольку из второго уpавнения (8) следует, что давление p такое же, как при y → ∞, где p ≡ 0 (состояние покоя, давление равно гидростатическому).
Поэтому в фоpмуле (6) в этом случае p∞ ≡ 0.
Автомодельные решения. Если заданы условия первого рода, то можно искать автомодельные решения задачи (1)–(3) при f (t, x) = c∞ − νxt−2 /(gβD). Решение рассматриваемой задачи будем искать в виде u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, c−c∞ = (c∞ −f (t, x))(C(ξ)−1),
где функция тока
√
√
ψ = Dxt−1/2 Ψ(ξ),
ξ = yt−1/2 / D.
Тогда уравнения (1) примут вид
Ψ000 = C − 1,
C 00 = (Ψ0 − 2)(C − 1) − (Ψ + ξ/2)C 0 .
(12)
Из условий (2), (3) следует
Ψ(0) = Ψ0 (0) = 0,
C(0) = 0,
lim Ψ0 (ξ) = U∞ = const < ∞,
ξ→∞
lim C(ξ) = 1.
ξ→∞
(13)
Начальные условия здесь не ставятся. Характерный профиль концентрации приведен на
рис. 1.
Для внешнего представления скорости имеем
u∞ (x) = U∞ xt−1 ≈ 0,975xt−1 .
Для характеристики массообмена между растущей пленкой и раствором введем общее
и местное числа Нуссельта:
Zl
Nu =
0
1
∂c dx,
c∞ − cω ∂y y=0
x
∂c Nux =
,
c∞ − cω ∂y y=0
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1
68
Рис. 1
где cω — значение концентрации на стенке {y = 0}. Для рассматриваемых решений формулы для определения чисел Нуссельта принимают вид
lt−1/2 0
lt−1/2
xt−1/2 0
xt−1/2
Nu = √
|C (0)| ≈ 0,434 √ ,
Nux = √
|C (0)| ≈ 0,434 √ .
D
D
D
D
Определим толщину диффузионно-динамического слоя. Для оценки толщины пограничного слоя в классической теории используется так называемая толщина вытеснения [4].
В данном случае пограничный слой характеризуется тем, что в нем концентрация c отличается от средней, а вне слоя c ≈ c∞ . Аналог толщины вытеснения δc∗ определим равенством
Z∞
δc∗ (c∞ − cω ) = [c∞ − c(t, x, y)] dy.
0
После вычислений для автомодельных решений получим
∞
√
√ Z
∗
δc = Dt [1 − C(ξ)] dξ ≈ 1,276 Dt.
0
В случае задания условия второго рода для концентрации на стенке автомодельное
решение задачи (1), (2), (4) можно построить, если
√
h(t, x) = qνxt−5/2 /(gβD D)
(q = const > 0).
Тогда решение ищем в том же виде, что и при решении задачи первого рода. При этом
уравнения (12) и граничные условия (13) сохраняют вид, за исключением условия для
концентрации на стенке: в (13) условие C(0) = 0 заменяется на C 0 (0) = q. Концентрация
на стенке в зависимости от величины теплового потока (при 0 < q < 1) изменяется по
закону
c∞ − c
= νxt−2 (1 − C(0))/(gβD),
y=0
0,139q 3
− 0,485q 2
где 1 − C(0) =
+ 1,896q + 2,132.
Задача (7) не допускает автомодельного решения.
Решение задачи (8)–(11) ищем в виде u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, где функция тока ψ
имеет вид
√
√
ψ = νxt−1/2 Ψ(η),
η = yt−1/2 / ν.
69
О. А. Фроловская
Рис. 2
Тогда для определения Ψ получаем задачу
Ψ000 = (Ψ0 − 1)Ψ0 − (Ψ + η/2)Ψ00 ,
Ψ(0) = 0,
Ψ0 (0) = U∞ ,
lim Ψ0 (η) = 0.
η→∞
(14)
Из численного решения задачи (14) следует, что в области течения возникает зона противотока. Распределение Ψ0 (η) представлено на рис. 2. В этом случае (в отличие от классического) можно вычислить объемный расход Q в динамическом пограничном слое
Z∞
Q=
u(t, x, y) dy
0
и толщину вытеснения
δv∗
динамического слоя по формуле
δv∗ u∞ (t, x)
Z∞
=
u(t, x, y) dy.
0
Проведя вычисления, получим Q =
тивотока
√
√
νxt−1/2 Ψ∞ ≈ −0,256 νxt−1/2 . Толщина зоны про-
√
√
δ = ((Ψ(η∗ ) − |Ψ∞ |)/U∞ ) νt ≈ 0,201 νt
составляет 76,66 % толщины динамического слоя δv∗ . Здесь Ψ∞ — значение Ψ(η) при
η → ∞; η∗ — точка, в которой Ψ0 = 0.
Выводы. Рассмотрена задача о массообмене и свободной конвекции вблизи вертикальной стенки при больших числах Шмидта. В неустановившемся режиме движения построены автомодельные решения. Получены формулы для массообмена.
Если число Рейнольдса велико, то в области движения имеется также чисто динамический пограничный слой с большей асимптотической толщиной, сопрягающийся на
внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем. В области течения возникает
зона противотока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов В. В., Фроловская О. А. Пограничные слои при свободной конвекции // ПМТФ.
2000. Т. 41, № 3. С. 92–100.
70
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N-◦ 1
2. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Cвободно-конвективный теплообмен на вертикальной поверхности. Минск: Наука и техника, 1977.
3. Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические методы
в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
Поступила в редакцию 21/VI 2001 г.