Идемпотентные абелевы группы

Идемпотентные абелевы группы
Тисовский А.Г.
(Математика и механика, Томск, 1–4 октября 2013)
Абелева группа называется идемпотентной, если любой ее элемент является
идемпотентом при некотором умножении. В статье получено описание идемпотентных
групп в классах периодических групп и групп без кручения.
Проблема взаимосвязи кольцевых структур и их аддитивных групп была поставлена
Р. Бьюмонтом [34] в 1957 г. Примерно в это же время вышла и работа Т. Селе [35], в
которой он исследовал абелевы группы, допускающие только нулевое умножение.
Исследование взаимосвязей аддитивных и мультипликативных структур колец было
продолжено
в
дальнейшем
Р. Пирсом,
Л. Фуксом,
У. Уиклессом,
Ф. Шульцем,
Е.И. Компанцевой и др. Целиком этому вопросу посвящена глава XVII известной
монографии Л. Фукса [29] и несколько параграфов монографии Д. Арнольда [36]. В нашей
работе
продолжается
изучение
влияния аддитивной
структуры
кольца
на
его
мультипликативные свойства.
Определение 1. Группа A называется идемпотентной, если для любого элемента aA
существует умножение aMult A, такое что a a a = a.
Пример: Рассмотрим группу рациональных чисел Q(+). Возьмем в ней произвольный
элемент 0aQ. Зададим умножение aMult Q следующим образом: x a y=a-1xy (a≠0).
Тогда a a a=a-1a·a=a, т.е. Q – идемпотентная группа
Лемма 1. Аддитивная группа любого тела является идемпотентной.
Доказательство. Если A(+, ·) – тело, то по определению для каждого ненулевого
элемента A существует обратный к нему элемент по умножению. Тогда для любого
элемента aA можно задать такое умножение, при котором элемент a будет
идемпотентным. Действительно, пусть aMult A – умножение, которое определяется
следующим образом:
x a y = a-1xy.
Проверим, является ли заданная нами операция a умножением. Для этого рассмотрим
левую и правую дистрибутивности. Пусть x, y, z – произвольные элементы группы A,
тогда
x a (y+z)=a-1x(y+z)=a-1xy+a-1xz=x a y+x a z.
(y+z) a x=a-1(y+z)x=a-1yx+a-1zx=y a x+z a x.
Следовательно, a является умножением, причем
a a a=a-1a·a=(a-1a)·a=1·a=a,
т.е. a – идемпотентный относительно a элемент.
Лемма 2. Прямая сумма идемпотентных групп является идемпотентной группой.
Теорема 3. Если группа A имеет вид:
A=D ⊕ ⊕pPTp,
где D – делимая группа без кручения, все Tp – элементарные p-группы, то A –
идемпотентная группа.
Этот факт несложным образом вытекает из доказанных выше лемм.
Пусть A – идемпотентная группа и пусть A=D⊕C, где D –делимая группа, а C –
редуцированная группа. Докажем, что D – группа без кручения. Любая делимая группа
раскладывается в прямую сумму:
D=⊕r (D)Q ⊕ ⊕pP[⊕rp(D) Zp∞],
0
причем Zp∞ – нуль-группа (т.е. любое умножение на ней нулевое). Следовательно, любой
ее ненулевой элемент не является идемпотентным при любом умножении. Так как A –
идемпотентная группа, то
D=⊕r (D)Q,,
0
т.е. D – делимая группа без кручения. Таким образом, справедливо
Предложение 1. Если A – идемпотентная группа, то ее делимая часть является
группой без кручения.
Далее рассмотрим строение периодических идемпотентных групп.
Предложение 2. Если A – идемпотентная группа, то ее p-примарная часть –
элементарная группа при любом простом p.
Лемма 4. Если A – идемпотентная группа, то A/t(A) – идемпотентная группа.
Наконец, рассмотрим идемпотентные группы без кручения. Они описываются с
помощью следующей теоремы.
Теорема 5. Если A – идемпотентная группа без кручения, то A – делимая группа.