Лекция 64

355
§ 6 Поток векторного поля
r
Пусть вектор a( P) в некоторой области (V) определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости и ( Q) ⊂ (V ) - двусторонняя
гладкая незамкнутая ориентированная поверхность. Вычислим W - количество жидr
кости, протекающее за единицу времени через поверхность (Q) в направлении n 0
r
( n 0 - единичный вектор к выбранной стороне поверхности). Для решения поставленной задачи воспользуемся алгоритмом составления интегральных сумм.
Разобьем поверхность (Q) на n достаточно малых частей ( ΔQ1 ) , ( ΔQ2 ) ,..., ( ΔQn ) .
Выберем точки Pi ∈( ΔQi ) , i = 1, n , и вычислим a( Pi ) . Будем считать элементарную поr
верхность
( ΔQ )
i
плоской, а значение a( Pi ) постоянным на всей поверхности ( ΔQi ) .
r
Тогда количество жидкости ΔWi , протекающее через поверхность ( ΔQi ) за единицу
времени в направлении вектора n 0 ( Pi ) , будет приближенно численно равно объему
r
цилиндра с площадью основания Δqi и образующими, равными a( Pi ) . Высота этого
r
цилиндра равна проекции вектора a( Pi ) на направление вектора нормали n 0 ( Pi ) .
r
r
Просуммируем по всем участкам ( ΔQi ) , получаем приближенное равенство
n
n
r
r
r
W ≈ ∑ npnr 0 a( Pi )Δqi = ∑ a ( Pi ), n 0 ( Pi ) Δqi
i =1
i =1
(
)
(13)
Для получения точного равенства найдем предел при условии, что λ → 0 . Получаем
n
r
r
r r
W = lim ∑ a ( Pi ), n 0 ( Pi ) Δqi = ∫∫ (a , n ) dq
λ →0
i =1
(
)
( Q)
r
r
Определение Потоком Π векторного поля a = a( P) через ориентированную
поверхность (Q) называется число, равное значению поверхностного интеграла втоr r
рого рода ∫∫ (a , n )dq .
(Q)
Для потока приняты обозначения:
356
def
def
r r
r
r →
Π = ∫∫ ( a , n ) dq = ∫∫ npnr 0 adq = ∫∫ ⎛⎜ a , dq⎞⎟
⎝
⎠
( Q)
→
( Q)
(14)
( Q)
r
где dq = n 0 dq .
Термин "поток" употребляется независимо от физического смысла векторного
r
поля. Поток вектора зависит от стороны поверхности (на направление вектора n 0 .
Рассмотрим физическое толкование понятия "поток" в случае замкнутой поверхности.
Будем считать, что поверхность (Q) состоит из двух частей ( Q1 ) и ( Q2 ) , через которые
жидкость соответственно втекает и вытекает.
r
Поток Π вектора a( P) через внешнюю сторону замкнутой поверхности (Q) будет равен сумме двух поверхностных интегралов второго рода, т.е. сумме двух потоков
(
)
r r
Π = ∫∫ a , n 0 dq =
( Q)
∫∫ ( a , n )dq + ∫∫ ( a , n )dq = Π
r r0
( Q1 )
r r0
( Q2 )
r
r
1
+ Π2
Поток Π 1 < 0 , так как угол между векторами a( P) и n 0 тупой. Поток Π 2 > 0 т.к.
угол острый. Поток Π1 выражает количество жидкости, которое поступает за единицу
времени в часть пространства, ограниченное замкнутой поверхностью, а Π 2 - соответствующее количество жидкости, которое вытекает.
Если Π > 0 то жидкости вытекает больше, чем поступает и, следовательно
внутри поверхности (Q) находится источник. Если Π < 0 , то внутри поверхности (Q)
находятся стоки.
357
В точке М1 находится источник, а в точке М2 – сток.
Для вычисления потока применяют также метод сведения поверхностного интеграла 2 рода к поверхностному интегралу 1 рода.
Пусть незамкнутая (Q) пересекается любой прямой, параллельной оси Oz, не
более чем в одной точке и проектируется на плоскость Oxy в область Dxy . В этом
случае
dq =
(D ) z = f (x, y) .
xy
( )
Как уже известно элемент площади такой поверхности
dxdy
. Следовательно вычисление потока приводит к двойному интегралу
cos γ
r r
a, n 0 )
(
r r0
Π = ∫∫ ( a , n ) dq = ∫∫
dxdy .
(15)
( Q)
( D ) cos γ
z= f ( x, y)
xy
Уравнение поверхности (Q): z − f ( x , y ) = 0 можно рассматривать как уравнение экви-
потенциальной поверхности U = z − f ( x , y ) = U ( x , y , z ) , следовательно, вектор n 0 может
быть найден через градиент этого поля:
∂Ur ∂U r ∂U r
i+
j+
k
gradU
∂x
∂y
∂z
r0
r
n =±
gradU
=±
=±
2
2
⎛ ∂ U⎞
⎛ ∂ U⎞
⎛ ∂ U⎞
⎜
⎟ +⎜
⎟
⎟ +⎜
⎝∂x⎠
⎝∂z⎠
⎝∂y⎠
2
=
r
r
r
U x′ i + U y′ j + U z′ k
(U ′ ) + (U ′ ) + (U ′ )
2
2
x
y
2
z
В этой формуле знак зависит от стороны поверхности (Q), а cos γ - это коэффициент
r
при орте k :
cos γ = ±
U z′
(U ′ ) + (U ′ ) + (U ′ )
2
2
x
y
z
2
358
r
Если угол между осью Oz и вектором нормали n 0 острый то в формуле берем знак
"+", и знак "-" в противном случае.
Замечание: если поверхность (Q) удобнее проектировать на плоскость Oyz или
Oxz, то будем пользоваться формулами
Π=
∫∫
(D )
yz
( ar, nr )
0
cos α
∫∫
Π=
dydz ;
( ar, nr )
0
cos β
( Dxz )
x =ϕ ( y , z )
r
r
dxdz
y =ψ ( x , z )
r
Пример Вычислить поток вектора a = y 2 j + zk через часть поверхности
z = x 2 + y 2 , отсеченную плоскостью z = 2 в направлении внешней нормали.
Для решения задачи удобно воспользоваться формулой (15). В нашем случае
U = U (x, y, z) = z − x 2 − y 2 .
Тогда
r
r
r
r
r
r
− 2xi − 2 yj + k
2xi + 2 yj − k
r0
n =−
=
1 + 4x 2 + 4 y 2
1 + 4x 2 + 4 y 2
Перед дробью поставили минус т.к. угол γ - тупой.
1
cos γ = −
1 + 4x 2 + 4 y 2
, dq =
2y3 − z
( ar, nr ) =
0
искомый поток
(
)
r r
Π = ∫∫ a , n 0 dq =
( Q)
∫∫ ( 2 y
( Dxy )
3
−z
dxdy
= 1 + 4x 2 + 4 y 2 dxdy;
cos γ
1 + 4x 2 + 4 y 2
)
2
z=x + y
2
dxdy =
,
∫∫ ( 2 y
( Dxy )
3
)
− x 2 − y 2 dxdy
Полученный двойной интеграл удобно вычислять в полярных координатах (т.к. область интегрирования круг радиуса 2 и с центром в начале координат).
Π=
∫∫ ( 2r
(D )
xy
3
sin ϕ − r )rdrdϕ =
3
2
2π
2
∫ dϕ ∫ ( 2 r
0
0
4
sin 3 ϕ − r 3 )dr = −2π .
359
§7 Дивергенция векторного поля
r
r
В поле a = a( P) , P ∈(V ) , выберем точку Р, принадлежащую области ( ΔV ) ⊂ (V ) ,
границей которого служит замкнутая поверхность ( ΔQ) ⊂ (V ) , и рассмотрим отношение
r r
⎞
⎛r
∫∫ ( a, n )dq ∫∫ ⎜⎝ a( P), dq⎟⎠
→
0
( ΔQ )
Δv
=
( ΔQ )
Δv
.
(16)
Формулы (16) можно трактовать как средний расход жидкости в точке Р в единицу
времени.
r r
Независимо от физического истолкования вектора a = a ( P) введем скалярную
характеристику векторного поля в точке
r r
Определение Дивергенцией векторного поля a = a ( P) в точке Р или расходиr
мостью, обозначаемой diva( P) , называется величина равная пределу отношения поr r
тока векторного поля a = a ( P) через замкнутую поверхность ( ΔQ) к величине объема, ограниченного этой поверхностью, при условии Δv → 0 , т.е. при условии, что
( ΔQ) стягивается в точку Р:
→
⎛⎜ ar( P) , dq
⎞⎟
∫∫ ⎝
⎠
r def
( ΔQ )
diva( P) = lim
r
Δv → 0
( ΔQ→ P )
(17)
Δv
r
r
При diva( P) > 0 в точке Р источник; при diva ( P) < 0 - сток. Если diva ( P) = 0 в
точке Р нет ни источника ни стока.
Определение дивергенции (17) инвариантно относительно выбора системы координат, однако в прямоугольной системе координат при задании векторного поля
r
r
r
r
равенством a( P) = X ( x , y , z ) i + Y ( x , y , z ) j + Z( x , y , z ) k дивергенция определяется по формуле
∂ X ( P) ∂ Y ( P) ∂ Z( P)
r
diva( P) =
+
+
∂x
∂y
∂z
(18)
r
r
r
Пример Найти дивергенцию векторного поля a ( P) = y 2 i − ( x 2 + y 2 ) j + z( 3 y 2 + x ) k
r
в точках P1 ( − 2;1;−2), P2 ( 7;0;1), P3 ( 0;0;0)
Имеем
X ( x , y , z ) = y 2 , Y ( x , y , z ) = −( x 2 + y 2 ), Z( x , y , z ) = z (3 y 2 + x );
∂X
∂Y
∂Z
≡ 0,
= −2 y ,
= 3y 2 + x,
∂x
∂y
∂z
∂ Y ( P1 )
∂ Y ( P2 )
∂ Y ( P3 )
= −2,
= 0,
= 0,
∂y
∂y
∂y
360
∂ Z ( P1 )
∂ Z ( P2 )
∂ Z ( P3 )
= 1,
= 7,
= 0.
∂z
∂z
∂z
Тогда, согласно формуле (18)
r
r
r
diva( P1 ) = 0 − 2 + 1 = −1, diva( P2 ) = 0 + 0 + 7 = 7, diva( P3 ) = 0 + 0 + 0 = 0.
Таким образом поле в точке P1 имеет сток, в точке P2 источник.
Основные свойства дивергенции:
r
r
1. divc = 0, c = const;
r
r
r
r
2. div (αa ± βb ) = αdiva ± βdivb , α , β ∈ R ;
r
r
r
3. div(Ua ) = Udiva + ( a , gradU );
r
r
r
4. div(Uc ) = ( c , gradU ), c = const .
Докажем 4 свойство
r
r
r
r ∂ ( Uc) ∂ ( Uc) ∂ ( Uc) r ∂ U r ∂ U r ∂ U
+
+
=c
+c
+c
div (Uc ) =
=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
⎛ r ⎛ ∂ U r ∂ U r ∂ U r⎞ ⎞
r
= ⎜c,⎜
i+
j+
k ⎟ ⎟ = ( c , gradU ) .
∂y
∂ z ⎠⎠
⎝ ⎝∂x