Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ

Решения задач студенческой олимпиады по
математике БГЭУ
2014 год
1. Составить уравнение прямой, параллельной прямой 2 x  5 y  0 и образующей
вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид
2x  5 y  C .
(1)
Разделив обе части уравнения на С, получим уравнение прямой (1) в отрезках:
x
y

 1 (cм. рисунок).
y
0,5C 0,2C
Площадь треугольника, образованного прямой и
0,2С
координатными осями, определяется равенством
0,5С x
1
2
О
S   0,5 C  0,2 C  0,05C  5 . Следовательно, С  10 ,
2
и условию задачи удовлетворяют две прямые 2 x  5 y  10  0 .
2. Найти наибольшее возможное значение a, при котором квадратный трёхчлен f ( x)  ax 2  ax  1 удовлетворяет неравенству | f ( x) | 1 при всех 0  x  1 .
b 1
 , то
2a 2
при а  0 возможное расположение параболы y  f ( x) показано на рисунке.
Очевидно, что для выполнения условия | f ( x) | 1 при всех
y
0  x  1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нераa a
венство yв    1  1. Отсюда получаем а  8 , следова4 2
1
тельно, наибольшее возможное значение a  8 .
Решение. Так как f (0)  f (1)  1 , а абсцисса вершины параболы xв  
x
О
1
x2
 sin
3. Найти предел lim
x 0
0
x3
x dx
.
x

Решение. Так как   f (t )dt   f ( x) , то по правилу дифференцирования сложной
a

2
x

функции   sin x dx   sin x   x 2   2 x sin x . Применим правило Лопиталя:
0



2
x2
x

  sin x dx 
0 sin x dx
0


  lim 2 x sin x  2 .
lim

lim
x 0
x 0
x 0
x3
3x 2
3x 2
3
4. Какой максимальной длины шест можно пронести в горизонтальном положении по коридору шириной 2 метра, поворачивающему под прямым углом?
Решение. Максимальная длина шеста равна минимальной возможной длине от2
2
A
резка АВ (см. рисунок). Очевидно, AC 
, CB 
.
sin x
cos x
2м
2
2
Рассмотрим функцию l ( x) 
и найдем ее

C
sin x cos x
 
наименьшее значение при x   0;  . Из уравнения l ( x)  0 
x
 2
B
2м

2cos x 2sin x


 0 находим x  . Несложно показать, что это ‒ точка
sin 2 x cos 2 x
4
 
минимума. Следовательно, максимальная длина шеста равна l    4 2 .
4
1
1
0
0
x
h
1
0
5. Вычислить определитель   x 2
hx
h
0.
xn
hx n1 hx n2
h
Решение. Порядок определителя равен n  1, т.е.    n1 . Прибавим ко второму
столбцу определителя первый, и разложим полученный определитель по элементам 1-й строки:
1
0
0
0
x
xh
1
0
x 2  hx
h
 n+1  x 2
xn
1
0
0
x  x  h
h
1
0
hx
h
0
2
0  x  x  h
x n  hx n1 hx n2
1
x
 x2
xh
x n1  x  h  hx n2
h
1
h
hx
0
1
h
x n1 hx n2
hx n3
h
0
0
0   x  h n .
hx n3
h
Аналогично,  n   x  h   n1 , и т.д. Таким образом,
 n1   x  h 
n 1
2   x  h 
n 1
1 1
n
  x  h .
x h
6. Функция y  f ( x) возрастает и непрерывна на отрезке 0;a  . Также известно,
что f  0   0, f (a)  b и
a
b
0
0
 f ( x)dx  s . Чему равен  f
1
( y )dy , где x  f 1 ( y ) ‒ об-
ратная к y  f ( x) функция?
Решение. В силу геометрического смысла определен-
y
b
y=f(x)
a
ного интеграла, S1   f ( x)dx  s (см. рисунок). Следова0
b
тельно,

f 1 ( y )dy  S 2  ab  s .
O
a
x
0
7. Что больше: 20132014 или 20142013 ?
Решение. Сравним логарифмы данных чисел, т.е. 2014ln 2013 и 2013ln 2014 .
Для этого рассмотрим функцию f  x   x ln 2013  2013ln x . Очевидно, что
2013
 0 при x  2013 , то функция возрасx
тает, следовательно f ( x)  0 при x  2013 . Значит, 2014ln 2013  2013ln 2014 и
f (2013)  0 . Так как f   x   ln 2013 
20132014  20142013 .