Ход урока 1. Организационный момент. Объявление темы, целей и плана урока.

Ход урока
1. Организационный момент.
Объявление темы, целей и плана урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
Устная работа по рисункам на слайдах презентации.
1. Найдите координаты вершины параболы
Ответ: (-2;-5)
2. Укажите множество значений функции
Ответ: (−∞; −1]
3. Укажите график функции
1
3
y=x2+4x – 1
y= -(x-7)2 – 1
𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3
2
4
Ответ: 3
4. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑐
Определите знаки а, с и D
Ответ: a<0, c<0, D<0
3. Проверка знаний в форме тестирования.
Учитель: А теперь, ребята, вам предстоит выполнить на компьютерах небольшой
тест.
Предлагаются задания на 2 варианта, но количество вариантов, безусловно,
можно увеличить.
Вариант 1
1. Какая из функций является квадратичной?
1) 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 2 − 3; 2) 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 3 ; 3) 𝑦 = 5𝑥 − 1; 4) 𝑦 = √𝑥 − 𝑥 2 ; 5) 𝑦 =
2. Найдите нули функции 𝑦 = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2
1) Нулей нет;
2
2
3
3
2) -1 и 0; 3)1 и ; 4) – 1 и ; 5) 3 и 2
3. Найдите координаты точек пересечения параболы 𝑦 = 𝑥 2 и прямой
1
3
𝑦=− 𝑥+
2
2
3
3
3
9
3 9
1) (1;1) и (− ; − ); 2) (1;1) и (− ; − ); 3) (1;1) и (− ; );
2
2
2
4
2 4
3
3
3
9
4) (-1;1) и ( ; ); 5) (-1;1) и ( ; );
2 2
2 4
4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
y= 0,25𝑥 2 ; −4 ≤ 𝑥 ≤ 2
1) 4; 2) 5; 3) 1; 4) -2; 5) другой ответ
5. Найдите область значений функции 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 1
1) определить нельзя; 2) (−∞; 3]; 3) [3; +∞); 4) (−∞; 8]; 5) [8; +∞)
Вариант 2
2
𝑥2
1. Какая из функций не является квадратичной?
1
1) 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 2 ; 2) 𝑦 = 𝑥 2 + ; 3) 𝑦 = 𝑥 2 − 1; 4)𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 1; 5) 𝑦 = 2𝑥 2
𝑥
2. Найдите нули функции 𝑦 = −3𝑥 2 − 5𝑥 − 2
2
2
3
3
1) -1 и - ; 2) нулей нет; 3) 0 и 1; 4) 1 и −
5) -3 и -2.
3. Найдите координаты точек пересечения параболы 𝑦 = −𝑥 2 и прямой
1
3
2
2
𝑦= 𝑥−
3 3
1) (1; -1) и ( ; );
2 2
3
3
9
3
2) (1; -1) и ( ; − );
2
4
9
4) (1; -1) и (− ; − );
2
4
9
3) (-1; -1) и (− ; );
2 4
3
9
5) (-1; -1) и (− ; − );
2
4
4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
1
𝑦 = − 𝑥 2 , −8 ≤ 𝑥 ≤ 4
8
1) -8; 2) -2; 3) -10; 4) 6;
5) другой ответ.
5. Найдите область значения функции 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
1) (−∞;−1]; 2) [−1;+∞); 3) определить нельзя;
4) (−∞;3];
5) [3;+∞);
4. Построение графиков квадратичной функции (задача-исследование).
Учитель: Следующее задание мы снова будем выполнять с помощью
компьютеров. Требуется построить график заданной функции, указать её
свойства.
На индивидуальных карточках обучающиеся получают задания с указанием
функции.
1. 𝑦 = 𝑥 2 + 4
2. 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 4
3. 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
4) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 4
5) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
Выслушиваются выборочно ответы.
На экран выводятся графики предложенных функций. Замечаем, что записи
функций отличаются только значением b.
Учащимся предлагается, проявив наблюдательность, установить, как изменяется
график квадратичной функции в зависимости от значения b.
При b=0 𝑦 = 𝑥 2 + 4, графиком является парабола вершиной в точке (0;4),
симметричная относительно оси у.
С изменением b вершины парабол смещаются, но все графики проходят через
точку (0;4).
Если b>0, то с увеличением b вершина смещается влево и вниз; если b<0, то с
увеличением |b| вершина смещается вправо и вниз.
5. Отчёт творческой группы.
Учитель: Оказывается, с параболой можно встретиться не только на уроках
математики.
Уравнение координаты тела, движущегося под действием постоянной силы, имеет
вид 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑎𝑡 2
2
; зависимость кинетической энергии от скорости 𝑊 =
𝑚𝑉 2
2
;
электрической мощности от тока 𝑁 = 𝑅𝐼 2
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность
жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Падение баскетбольного мяча происходит также по параболе
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и
куполов.
Я предоставляю слово творческой группе для рассказа о параболе в школьном
курсе физики.
Примерная структура отчёта.
Вторая космическая скорость у поверхности Земли равна 11,18 км/с. Эту скорость
называют также параболической, так как при такой скорости тело будет двигаться
вокруг Земли по параболической траектории (орбите).
Тонкая струя, выходящая сбоку из наполненного жидкого сосуда, принимает
форму параболы.
При помещении в фокус параболического зеркала источника света небольших
размеров зеркало отражает свет в виде параллельного пучка. Параболическое
зеркало находит применение в прожекторах, телескопах, рупорно-параболических
антеннах.
6. Решение прикладной задачи
Учитель: Следующая задача позволит вам побыть в роли детектива.
Задача. Водитель автомобиля «Opel Vectra», двигавшегося ночью по крайней
правой полосе загородного шоссе, совершил наезд на стоявший у обочины
трактор. Автомобиль двигался со скоростью 90 м/ч с ближним светом фар.
Водитель утверждает, что применил экстренное торможение, но остановиться не
успел. Эксперту задан вопрос: «Имел ли водитель автомобиля возможность избежать столкновения, применив экстренное торможение?»
С условием ученики были ознакомлены на прошлом уроке, на этом уроке
обсуждаются результаты «расследования».
В этой задаче рассматривается часто встречающаяся в экспертной практике ситуация — участник ДТП
применяет торможение. Но установить, производилось ли торможение, по наличию тормозного следа невозможно,
так как автомобиль «Opel Vectra» оснащен антиблокировочной системой (устройством, препятствующим
блокировке колес и вхождению автомобиля в юз). Возможность избежать столкновения в данной ситуации
определяется дальностью света фар автомобиля «Opel Vectra» и длиной остановочного пути.
Р е ш е н и е . Сформулируем вопрос эксперту на языке физики: «На каком расстоянии автомобиль при
экстренном торможении, т.е. при максимально возможном ускорении, может снизить скорость с 90 км/ч до 0?
Больше или меньше это расстояние того, на котором водитель имел возможность увидеть препятствие — стоящий
у обочины трактор?»
Выберем физическую модель движения автомобиля во время торможения — равноускоренное движение.
Обратим внимание учащихся на то, что водитель не может начать торможение в тот же момент, когда он заметил
опасность. С момента, когда опасность обнаружена, и до момента, когда нога водителя нажала на педаль, проходит
время, называемое временем реакции ( t p ) . Время реакции зависит от многих причин: от того, насколько
неожиданной была для водителя опасность, от его психофизиологических особенностей, уровня квалификации,
времени суток, дорожной ситуации. Обычно в расчетах используют среднее значение времени реакции, равное 0,8
с. Для того чтобы полностью нажать на педаль и чтобы усилие передалось с педали на тормозные колодки, также
требуется время, в течение которого тормозящая сила и вместе с нею ускорение (замедление) постепенно
нарастают. Это время называется временем нарастания тормозного усилия ( t H ) . Оно также зависит от многого:
от конструкции тормозной системы, качества и состояния дорожного покрытия. В технических расчетах обычно
считают, что движение автомобиля начинает замедляться только после полного срабатывания тормозов. Для
тормозных систем с гидравлическим приводом время нарастания тормозного усилия берется равным 0,2 с.
Таким образом, обнаруживается, что выбранная модель движения нуждается в уточнении. Во время,
складывающееся из времени реакции и времени нарастания тормозного усилия, движение автомобиля можно
считать равномерным. При этом он прошел путь s, за время tp + tH и имел скорость v0. После срабатывания
тормозов, с момента, когда тормозное усилие достигает максимума, движение автомобиля было равноускоренным
с отрицательным ускорением. А пройденный путь равнялся sT.
Записываем уравнения равномерного и равноускоренного движений (обращаем внимание на физический смысл
знака «—» во втором уравнении):
𝑎𝑡 2
𝑠1 = 𝑣0 (𝑡𝑝 + 𝑡𝐻 ) и 𝑠𝑇 = 𝑣0 𝑡 −
2
Уравнение пути, пройденного автомобилем с момента обнаружения водителем опасности до момента
остановки:
𝑠ост. = 𝑠1 + 𝑠𝑇 = 𝑣0 (𝑡𝑝 + 𝑡𝐻 ) + 𝑣0 𝑡 −
𝑎𝑡 2
2
(1)
Этот путь носит название остановочного пути, t — время, прошедшее с момента полного срабатывания
тормозов до момента остановки автомобиля.
Выясняем, какие данные необходимы для расчета остановочного пути. Ускорение (замедление) находят в
справочнике: а = 6,5 м/с2, из условия задачи v0 = 90 км/ч, t = 0,8 с, tH = 0,2 с, а для определения времени
торможения составим еще одно уравнение — изменения скорости в зависимости от времени при равноускоренном
движении:
v = v0 - at.
(2)
Из уравнения (2) имеем 𝑡 =
𝑣−𝑣0
𝑎
. Для вычислений приведем все данные к одной системе измерений:
v0 = 90 км/ч = 25 м/с, v = 0 (в результате торможения автомобиль останавливается), тогда 𝑡 =
уравнения (1) имеем
𝑠ост = 25(0,8 + 0,2) + 25 ∙ 3,8 −
6,5∙3,82
2
25
6,5
=3,8(c). Из
= 120 − 46,93 ≈ 73(м).
Сравнив длину остановочного пути с расстоянием, на котором водитель мог обнаружить препятствие, т.е. с
дальностью света фар, составляющей 30 м при ближнем свете, формулируем вывод: «В сложившейся ситуации
водитель не мог избежать наезда с помощью торможения».
Рассмотрим графическую иллюстрацию решения данной задачи. Выяснив, что остановочный путь и время
остановки после срабатывания тормозов связаны квадратичной зависимостью, воспользуемся графиком
квадратичной функции у = Ах2 + Вх + С, вид которой аналогичен виду уравнения 𝑣0 (𝑡𝑝 + 𝑡𝐻 ) + 𝑣0 𝑡 −
𝑎𝑡 2
2
Независимой переменной в этом случае является время, отсчитываемое от момента срабатывания тормозной
−𝑎
системы — момента начала снижения скорости; коэффициент А равен , коэффициент В равен v0, роль параметра
2
С играет слагаемое v0(tp+tc), постоянное для каждого конкретного случая (конкретной скорости движения автомобиля, конкретного водителя и конкретной тормозной системы); функция у = s(t) — пройденный путь с момента
начала отсчета.
График изобразим схематически (рис. 4), определяя по значениям коэффициентов направление ветвей
параболы, точки пересечения кривой с координатными осями и абсциссу вершины параболы.
Рис. 4
Обратим внимание, что математическая модель в данном случае соответствует физической реальности только на
𝑣
отрезке значений аргумента[0; 0]. Поскольку время не может быть отрицательным, не имеет физического смысла
𝑎
часть кривой, лежащая слева от оси ординат. А путь, пройденный телом, не может со временем уменьшаться,
𝑉
поэтому не имеет физического смысла и та часть кривой, которая соответствует значениям 𝑡 > 0 .
𝑉
𝑎
Эти части параболы на рисунке выделены пунктирной линией. При достижении времени 𝑡 = 0 абсцисса вершины
𝑎
параболы) скорость автомобиля становится равной 0, движение прекращается, и пройденное расстояние в этот
момент времени будет равно длине остановочного пути.
Подставив данные задачи в построенную модель, получим уравнение
13
𝑦 = − 𝑡 2 + 25𝑡 + 25.
4
Так как абсцисса вершины параболы t = 3,8, находим ординату вершины у ≈73. Остановочный путь равен 73 м.
Полученный результат позволяет сделать тот же самый вывод: «В сложившейся ситуации водитель не мог
избежать наезда с помощью торможения».[2]
7. Подведение итогов. Рефлексия.
Учащимся предлагается завершить фразу:
1. На уроке я узнал…
2. Было интересно…
3. Я понял, что…
4. Было трудно…
8. Задание на дом (раздать ученикам в распечатанном виде на карточках).
Мячик падает с высоты 20м, начальная скорость его равна нулю.
1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h (в м)
мячика над землёй и временем падения е (в сек).
2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный
масштаб по осям).
3) определите по графику:
а) сколько времени будет падать мячик;
б) когда он падает быстрее – в первую секунду или во вторую;
в) на каком расстоянии от земли окажется мячик через 1,5 сек.
Литература
1. Математика. Тренировочные упражнения за курс 7-11 класса / Под редакцией
Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион - М, 2010.
2. Семенко Е.А. Прикладные курсы разных направлений // Математика в школе.2005. - №4
3. Сычёва Е.И., Сычёв А.В. Тесты по алгебре для 8 класса // Математика в школе.2005. - №9