Презентация к лекции
advertisement
Электронная оптика Электронная оптика Частный случай фокусировки в аксиальносимметричном электрическом поле. Радиальная составляющая всякого аксиальносимметричного поля вблизи оси пропорциональна расстоянию от нее и приближенно равна r Er = Φ00 . 2 (5.1) Следовательно, и сила, действующая на заряженную частицу, линейно меняется с расстоянием от оси. Отсюда следует, что аксиальносимметричные поля способны сводить в одну точку-изображение параксиальные (т. е. идущие вблизи оси и под малыми к ней углами) электронные лучи, вышедшие из одной точки-объекта. Электронная оптика Рис.: а—к доказательству фокусировки электронных лучей в аксиальносимметричном поле; б—реализация собирающего аксиальносимметричного поля с помощью диафрагмы и двух сеток. Электронная оптика Пусть между двумя плоскостями z1 и z2 (рис. 25, а) действует аксиальносимметричное поле и притом такое, что сила, действующая на электрон, повсюду направлена к оси (Fr < 0). Для этого нужно, чтобы везде было Er > 0, или по формуле (5.1) Φ00 > 0. На расстоянии p от области, занятой полем, большом сравнительно с расстоянием |z1 − z2 |√находится точка S — источник электронов со скоростями V = 2ηUa . Электронная оптика Условие |p| À |z1 − z2 | позволяет считать p величиной, определенной достаточно точно. Электронный луч, вышедший из S под углом α1 к оси z, проходя через поле, изменит свое направление (см. § 3) на угол αE = lE lE Φ00 Er = r0 = F (z)r0 . 2Ua 4Ua (5.2) Здесь lE = |z1 − z2 | и F (z) не зависит от r . Формула (5.2) верна для небольших углов. Пусть поле Er настолько сильно, что αE > α1 . Тогда после прохождения через него луч опять пересечет ось, скажем, в точке S 0 . Электронная оптика Из рисунка, если предположить все углы малыми и считать отрезки влево от (AB) отрицательными, а вправо положительными, видно, что µ ¶ 1 1 r0 r0 αE = α1 + α2 = − + = r0 − + . p q p q Сравнивая оба выражения для αE , получим: 1 1 1 − + = F (z) = const = . p q f (5.3) Так как в окончательное выражение r0 не входит, то это значит, что все лучи, выходящие из S под малыми углами (параксиальные лучи), сходятся в S 0 — изображении S. Формула (5.3) совпадает с оптической формулой тонкой линзы. Область поля между плоскостями z1 и z2 , где Φ00 6= 0, можно поэтому назвать электронной (электростатической) линзой, а f — ее фокусным расстоянием. Электронная оптика Возможно ли реализовать такое устройство, чтобы на всем протяжении линзы поле было только собирающим или только рассеивающим? На рисунке изображено поле между двумя экранирующими сетками из тонкой проволоки и диафрагмой с круглым отверстием. При условии U2 > U1 поле везде собирающее, а если взять U2 < U1 , то поле везде рассеивающее. Но этого удается добиться только с помощью сеток, которые нежелательны в электроннооптических устройствах. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Выше было разобрано фокусирующее действие тонких электростатических линз. Теперь нужно показать, что всякое аксиальносимметричное электрическое поле фокусирует электронные лучи. Для этого нужно прежде всего вывести уравнение траекторий электронов. Уравнения движения для параксиальных электронов получатся, если в формулах для Er и Ez (§ 4) отбросить величины, содержащие r 2 , r 3 , . . . Обозначая точками производные по t и штрихами производные по z, запишем уравнения движения в виде er 00 mr̈ = −eEr = − Φ , 2 (5.4) mz̈ = eΦ0 . Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Исключим из (5.4) время, воспользовавшись соотношениями: r0 = ṙ ; ż r̈ ż − ṙ z̈ r̈ 0 z̈ = − r , ż 3 ż 2 ż 2 mż 2 . eΦ = 2 r 00 = (5.5) Последнее из равенств (5.5) следует из условия параксиальности электронов и означает, что радиальная составляющая скорости электронов много меньше осевой. Оно справедливо при условии, что в точке, где Φ = 0, скорость электронов очень мала. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Умножим второе из уравнений (5.4) на r 0 и вычтем из первого: ³r ´ m(r̈ − z̈r 0 ) = −e Φ00 + Φ0 r 0 . (5.6) 2 Отсюда, так как e m =η= ż 2 2Φ : r̈ − z̈r 0 r Φ00 00 = r = − − fracr 0 Φ0 2Φ, ż 2 4 Φ или Φ0 0 Φ00 r + r = 0. (5.7) 2Φ 4Φ Это дифференциальное уравнение траекторий электронов, пробегающих вблизи оси под малыми к ней углами. Его называют уравнением параксиальных электронных лучей. Относительно уравнения (5.7) надо сделать следующие замечания. r 00 + Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Уравнение (5.7) не содержит удельного заряда η = e/m, так что электроны и ионы независимо от их массы и знака следуют по одинаковым путям, хотя скорости и времена пробега у них, конечно, разные. Если изменить напряжение всех электродов в K раз, не меняя их геометрии, то в каждой точке оси потенциал изменится также в K раз, т. е. в уравнении (5.7) надо заменить Φ, Φ0 , Φ00 через K Φ0 , K Φ00 , K Φ00 Но уравнение (5.7) однородно относительно Φ и его производных и поэтому не изменится при такой замене. Траектории электронов, а значит, и оптические свойства линз зависят только от отношения напряжений, а не от их абсолютных значений, и можно, например, подавать на устройство не постоянные, а переменные синфазные напряжения. Это верно, впрочем, только для медленных электронов, к которым относится уравнение (5.7). Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Наконец, из линейности уравнения (5.7) следует, что параксиальные электронные лучи образуют неискаженные изображения. Уравнение (5.7) — 2-го порядка относительно r , и его общее решение r (z) есть линейная комбинация двух любых частных решений r1 (z) и r2 (z): r (z) = C1 r1 (z) + C2 r2 (z). (5.8) Из (5.8) следует, что любой луч r (z) можно построить с помощью двух других лучей r1 (z) и r2 (z). Постоянные C1 , и C2 зависят от выбора исходных лучей r1 и r2 но можно лучи выбрать так, что C1 и C2 будут иметь простой геометрический смысл. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Из теории дифференциальных уравнений известно, что частным решениям r1 , и r2 и их первым производным можно задать для любого значения z, например z = a, произвольные значения. Выберем их следующим образом: ) r1 (a) = 0; r10 (a) = 1; (5.9) r2 (a) = 1; r20 (a) = 0. Частным решениям r1 (z) и r2 (z) соответствуют два луча, имеющих вообще криволинейную форму (рис. 27). Мы будем считать, что они являются плоскими кривыми, лежащими в меридианной плоскости. Это равносильно предположению, что начальная скорость электронов лежит в меридианной плоскости. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Подставляя выбранные значения r1 (a), r10 (a), r2 (a), r20 (a) в формулы для r (z) и r 0 (z), получим: C2 = r (a); C1 = r 0 (a). C1 и C2 определяются, таким образом, расстоянием луча r (z) от оси и его наклоном при z = a. Формула (5.8) принимает вид r (z) = r 0 (a)r1 (z) + r (a)r2 (z). (5.10) Пусть точка A в плоскости z = a — источник лучей. Тогда для каждого луча, выходящего из A, величины r (a) и r 0 (a) заданы (рис. 27). Возьмем плоскость z = b, для которой r1 (b) = 0. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Точка S 0 , где луч r2 (z) пересекает ось, является изображением точки S. В самом деле, любой луч, выходящий из S, согласно (5.10), будет представлен формулой rS (z) = rS0 (a)r1 (z), где rS0 (a) определяется его наклоном к оси в точке S. В точке S 0 имеем rS (z)z=b = rS (b) = 0 независимо от значения rS0 (a), так как r1 (b) = 0. Покажем, что изображение произвольной A, лежащей в плоскости z = a вне оси, будет лежать в плоскости z = b, т. е. что эта плоскость есть плоскость изображения. Из (5.10), так как r1 (b) = 0, следует для луча, выходящего из A: rA (b) = rA (a)r2 (b), т. е. rA (b) = r2 (b). rA (a) (5.11) Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля rA (b) не зависит от rA0 (a), а это значит, что все лучи, выходящие из точки A, независимо от их направления в точке A сойдутся в точке A0 с координатами z = b, r = rA (b). Иными словами, точка A0 есть изображение A; r2 (b), как следует из (5.11), равно линейному увеличению линзы. Оно одинаково для всех точек объекта вне оси. Отсюда следует, что изображение в параксиальных лучах не искажено. Уравнение электронных лучей. Общая теория фокусирующего действия аксиальносимметричного поля Рис.: Построение изображения в параксиальных лучах
