Моделирование нелучевой волны, отраженной от

Вопросы геофизики. Выпуск 47. СПб., 2014 — (Ученые записки СПбГУ; № 447)
95
П. Е. Знак, Б. М. Каштан
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛУЧЕВОЙ ВОЛНЫ,
ОТРАЖЕННОЙ ОТ НИЗКОСКОРОСТНОГО
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Введение
Классический лучевой метод не описывает неоднородные волны, возникающие на
границах акустических и упругих слоев. Волны такого типа составляют дополнительную к «геометрической» асимптотической оценке часть точного решения. Они проявляются либо как вклад от дополнительной стационарной точки при оценке решения
методом перевала, либо как вклад от разреза подынтегральной функции, пересекаемого соответствующим перевальным контуром. Однако в рамках лучевого метода с
комплексным эйконалом и они находят подходящее описание [1]. Несмотря на то, что
нелучевые волны получили уже обширное теоретическое обоснование, вопросы практической интерпретации соответствующих вступлений на реальных (численных) сейсмограммах далеко не исчерпаны. Не праздным остается вопрос о возможности однозначной регистрации таких волн как отдельных вступлений, не перекрывающихся волнами
другой природы, в зависимости от рассматриваемых моделей сред и взаимного положения источников и приемников.
В данной работе будут рассмотрены неоднородные поверхностные волны в высокоскоростном полупространстве при прохождении поля в полупространство с меньшей
скоростью. Практический интерес к таким явлениям обусловлен общей задачей шумоподавления во избежание неправильной интерпретации вступлений отраженных волн,
а также особенностью таких волн распространяться со скоростью нижележащего слоя,
тем самым нести о нем информацию [2]. Впервые, по-видимому, неоднородная волна,
порожденная источником в высокоскоростном полупространстве и бегущая параллельно границе со скоростью низкоскоростного полупространства, была описана в [3] как
вклад в волновое поле от разреза подынтегральной функции при оценке решения методом перевала. Так же, как головные волны возникают в виде вклада от разреза,
пересекаемого перевальным контуром слева от разреза самой фазовой функции, неоднородные волны составляют вклад от разреза пересекаемого справа от разреза фазовой
функции. В силу свойств радикалов это приводит к комплексной фазе волны и, как
следствие, затуханию от границы.
Мы будем пользоваться терминологией из работы [1]. Для обозначения неоднородной волны на границе акустических полупространств, отраженной в высокоскоростное
полупространство, применяется символ P ∗∗ . Это связано с тем, что такая волна сопряжена по другую сторону границы с волной P ∗ (порождается ею), соответствующей
дополнительной стационарной точке фазы преломленной волны. Для обозначения неоднородной волны задачи Лэмба будем использовать символ S ∗∗ , так как при смещении
источника в полупространство такая волна порождается волной S ∗ , возникающей как
дополнительная стационарная точка [4].
c
П. Е. Знак, Б. М. Каштан, 2014
П. Е. Знак, Б. М. Каштан
96
Волна P∗∗
В [3] решение строится в форме «метода контурных интегралов» [5]. Мы же будем
действовать в рамках метода Лэмба. Приведем кратко вывод соответствующей оценки. Поместим источник типа центр расширения f = −λ∇δ(x, y, z)f (t) в акустическое
полупространство z < H с бо́льшей скоростью v1 > v2 , где v2 — скорость волн во втором полупространстве z > H. Это простейшая задача [6] на отражение сферической
волны от границы раздела, на которой выполнены
непрерывности
компонент
∂u условия
∂ϕ
ur
∂uz
r
,
u
=
и
давления
t
=
λ
+
+
смещения ur = ∂ϕ
.
z
zz
∂r
∂z
∂r
r
∂z
Интегральное уравнение для отраженного поля в частотной области имеет вид
Ur =
ω2
8π
ρ2 α1 − ρ1 α2 ζ 2 −α1 (2H−z) (2)
e
H1 (ωζr)dζ,
ρ2 α1 + ρ1 α2 α1
γ
ω2
Uz = −
8π
γ
ρ2 α1 − ρ1 α2 −α1 (2H−z) (2)
ζe
H0 (ωζr)dζ,
ρ2 α1 + ρ1 α2
где γ – контур метода Лэмба, проходящий через
ρ1 , ρ2 — плот0 из III в I квадрант;
1
1
2
2
ности соответствующих полупространств; α1 = ζ − v2 , α2 = ζ − v2 — радикалы,
1
2
ветви которых зафиксированы условиями αi (0) = i|αi (0)|, i = 1, 2, а разрезы проведены вниз от положительного ветвления и вверх от отрицательного. В высокочастотном
приближении можно заменить функции Ханкеля их асимптотическими выражениями:
ω2
Ur ∼
8π
2 i 3π
e 4
πωr
ρ2 α1 − ρ1 α2 ζ 2 ω(−iζr−α1 (2H−z))
√
e
dζ,
ρ2 α1 + ρ1 α2 ζα1
γ
ω2
Uz ∼ −
8π
2 iπ
e 4
πωr
γ
ρ2 α1 − ρ1 α2 ζ ω(−iζr−α1 (2H−z))
√ e
dζ.
ρ2 α1 + ρ1 α2 ζ
Для оценки этих интегралов применяется метод перевала. Известно, что седловая
θ
= sin
точка отраженной волны располагается на вещественной оси ζ0 = √ 2 r
v1 ,
2
v1
r +(z−2H)
где θ — угол падения. Также вычисляется координата правой точки пересечения пере1
вального контура с вещественной осью — ζ1 = v1 sin
θ (рис. 1, а). Существенным для описания неоднородной волны P ∗∗ является положение этой точки, определяющей вклад
в волновое поле ветвления v12 . При условии sin θ > sin θl = vv21 перевальный контур
пересекает разрез, проведенный из точки ветвления, соответствующего полупространству с низкой скоростью. Заметим, что обычно синус критического угла равен обратной
величине, отношению скоростей в полупространстве с источником и без источника. Соответствующий интеграл по петле, охватывающей разрез (рис. 1, а), необходимой для
непрерывной деформации исходного контура, и составляет волну P ∗∗ . Стандартная
оценка интеграла по разрезу, обычно применяемая для головной волны [6] с разложением фазы до линейного члена и подынтегрального выражения до первого члена,
Моделирование нелучевой волны, отраженной от низкоскоростного полупространства
97
содержащего ветвящийся радикал, дает:
−ω(2H−z)
1
1 ρ1 1
1
√
Ur ∼ −
e
2
3
⎛
⎞
2π ρ2 1 − v22 r
2
v1
(2H−z)
⎝r − i ⎠
2
1−
1
1 ρ1
Uz ∼ −i
2π ρ2 1 −
v22
v12
1
2
v2
−
1
2
v1
1
v2
2
−
r
e−iω v2 ,
v
2
v2
1
−ω(2H−z)
1
1
√ ⎛
3 e
⎞
r
2
(2H−z) ⎠
⎝r − i 2
1−
1
v2
1
r
e−iω v2 .
(1)
v2
2
v1
Рис. 1. Перевальный контур отраженной волны акустической задачи (а) и фронты возникающих волн (б )
Таким образом, решением монохроматической задачи является неоднородная волна,
бегущая со скоростью нижнего полупространства (с меньшей скоростью) и убывающая
экспоненциально от границы как с удалением приемника, так и источника. Она более
низкочастотна [3] и быстрее затухает с расстоянием, чем отраженная волна (рис. 2).
Причем поле находится только в области, ограниченной конусом, выпущенным из точки, симметричной источнику относительно границы под предельным углом. Фронты
всех волн задачи изображены на рис. 1, б : помимо лучевых прямой P , отраженной P отр
и преломленной P пр присутствуют сопряженные нелучевые волны P ∗ и P ∗∗ .
Математически интересным представляется получение оценки решения, когда правая точка пересечения стационарного контура с вещественной осью находится в окрестности ветвления v12 . В этой области подынтегральная функция перестает быть плавно меняющейся [6]. О неприменимости полученной выше оценки свидетельствует тот
факт, что в ее рамках поле на предельном конусе имеет конечное значение, а внутри
него равняется нулю.
П. Е. Знак, Б. М. Каштан
98
Рис. 2. Сейсмограмма r-компоненты (а) и z-компоненты (б ) акустической задачи
В случае временной зависимости источника f (t) со спектром F (ω)
ur ∼
1
1
1 ρ1 1
√
34 (cos ϕχ − sin ϕψ),
2π ρ2 1 − v222 r 2
v1
(2H−z)
r2 +
v2
1−
uz ∼ −
1
1 ρ1
2π ρ2 1 −
1
ψ = Re
π
1
χ = Im
π
v22
v12
1
1
√ r
r2 +
∞
F (ω)e
∞
F (ω)e
(2H−z)2
1−
iω t−
0
2
v2
1
iω t−
34 (− sin ϕχ − cos ϕψ),
v2
2
v2
1
r
v1
−i(2H−z)
r
v1
−i(2H−z)
(2)
1
2
v1
−
1
2
v1
−
1
2
v2
dω,
1
2
v2
dω,
0
ϕ=
2H − z
3
arctg .
v2
2
r 1− 1
v22
Эти соотношения аналогичны представлению поля отраженной волны сигналом и
его преобразованием Гильберта за критическим углом при падении волны из низкоскоростного полупространства. Оценки (2) содержат преобразование поворота на угол ϕ,
определяющийся горизонтальной дальностью приемника и близостью как приемника,
так и источника к границе раздела.
Рассмотренная волна не имеет фронта в обычном понимании. С другой стороны,
она является суперпозицией неоднородных волн, имеющих фронтом ограниченный предельным конусом цилиндр t = vr2 . И естественно ожидать, что суммарное возмущение
будет двигаться с той же скоростью.
Моделирование нелучевой волны, отраженной от низкоскоростного полупространства
99
Для источника, временной функцией которого является δ-функция Дирака, ψ и χ
на квазифронте явно вычисляются:
ψ=
1
π(2H − z) v12 −
2
1
v12
,
χ = 0.
Откуда следует соотношение компонент амплитуды на квазифронте в зависимости от
геометрии источник-приемник-граница:
v2
uz
= tg ϕ 1 − 22 .
(3)
ur
v1
Из формулы (3) видно, что в дальней зоне быстрее затухает z-компонента. Это согласуется с экспериментом (рис. 2), в котором источником является не δ-функция, а
производная функции Гаусса с центральной частотой 50 Гц. Несмотря на это, вступления r-компоненты выражены сильнее (рис. 2, а). Численное моделирование проводилось в программном пакете OASES [7] для двух акустических сред со скоростями
v1 = 2000 м/c и v2 = 1000 м/c. Расстояние от границы до приемников H − z = 5 м,
между границей и источником — H = 1 м.
Время хода вдоль лучей таково, что сейсмограмма теоретически должна иметь прямые ответвления, как в случае наличия головной волны. Ветви должны располагаться
внутри гиперболы и иметь начала именно на годографе отраженной волны. Однако для
небольшого высокочастотного сигнала эти точки крепления ветвей на сейсмограмме
невозможно увидеть. Чтобы координаты этих точек были не слишком малы, необходимо ставить приемники и источник дальше от границы. А это, в свою очередь, ведет к
затуханию неоднородной волны и невозможности ее регистрировать.
Волна S ∗∗
Задачу Лэмба [8] о сосредоточенной силе f = μez δ(x, y, z)f (t), приложенной перпендикулярно к границе упругого полупространства, условно можно считать следующей
по сложности на отражение от низкоскоростного полупространства. Так как существуют обменные волны, предполагается, что продольная волна отражается от другого полупространства, обладающего скоростью поперечной волны. Механизм возникновения
нелучевой волны этой задачи аналогичен механизму возникновения волны P ∗∗ в задаче
о двух акустических полупространствах. Перевальный контур поперечной волны, пересекающий разрез слева, приводит к незатухающей экспоненциально головной волне, а
перевальный контур продольной волны, пересекающий разрез, связанный со скоростью
поперечной волны (рис. 3, а), при sin θ > sin θl = vvps дает вклад в неоднородную волну,
распространяющуюся со скоростью поперечных волн параллельно границе.
Асимптотические выражения монохроматической задачи аналогичны (1):
−ω v12 − v12 z
r
2
vs2 1
1
s
p
vs 1 − 2 √ ⎛
Ur ∼
e−iω vs ,
3 e
⎞
ωπ
vp r
2
⎝r − i z 2 ⎠
v
1− vs2
p
П. Е. Знак, Б. М. Каштан
100
1
1
2
v2
vs 1 − s2 √ ⎛
Uz ∼
iωπ
vp
r
⎝r − i z
−ω
⎞3 e
1
2
vs
− v12 z
p
r
e−iω vs .
2
v2
⎠
1− vs2
p
Цилиндрический фронт волны S ∗∗ ограничен предельным конусом и дневной поверхностью, которые также определяют область существования головной волны. Фронты всех
волн задачи Лэмба представлены на рис. 3,б : продольная P , поперечная S, головная
H, волна Рэлея R и неоднородная волна S ∗∗ .
Рис. 3. Перевальный контур продольной волны задачи
Лэмба (а) и фронты возникающих волн (б )
Аналогично (2) выпишем соотношения для немонохроматического источника. Также для источника, временной функцией которого является δ-функция Дирака, будет
верно соотношение (3):
v2
uz
= tgϕ 1 − s2 ,
ur
vp
связывающее компоненты смещения в зависимости от координат приемников, где
ϕ = 32 arctg z v2 .
r
1− vs2
p
Несмотря на кажущуюся стройность теории, на эксперименте не получается регистрировать данную волну. Причиной этого также является невозможность наблюдать
точки крепления ветвей сейсмограммы, соответствующие P ∗∗ . Чтобы волна S ∗∗ имела
достаточную для регистрации амплитуду, необходимо располагать приемники и источник близко к поверхности. Но при этом в области, где должна регистрироваться эта
волна, происходит интерференция более сильных вступлений другой природы (рис. 4).
Таким образом, волну S ∗∗ нельзя наблюдать отдельно (по крайней мере, в нашем численном эксперименте это не удалось). Для иллюстрации (рис. 4) взяты следующие параметры модели. Функция источника — производная функции Гаусса с центральной
частотой 50 Гц. Скорости vp = 3000 м/c и vs = 1000 м/c позволяют дифференцировать вступления по различному наклону годографов. Приемники находятся на глубине
z = 20 м, что уже приводит к существовенному затуханию неоднородной волны, но тем
Моделирование нелучевой волны, отраженной от низкоскоростного полупространства
101
Рис. 4. Сейсмограмма r-компоненты (a) и z-компоненты (б ) задачи Лэмба
не менее область потенциального существования волны S ∗∗ еще перекрыта другими
вступлениями.
Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 11.38.217.2014.
Указатель литературы
1. Babich V. M., Kiselev A. P., Lawry J., Starkov A. S. A ray desctiption of all wavefields generated by a high-frequency point source near an interface // SIAM J. Appl. Math Vol. 62. N 1. 2001.
P. 21–40.
2. Tsvankin I. Seismic wavefields in layered isotropic media. Samizdat Press, 1995. P. 85–88.
3. Зайцев Л. П. Головные волны поверхностного типа // Вопросы динамической теории
распространения сейсмических волн. 1959. Т. 3. С. 378–383.
4. Daley P. F., Hron F. High-frequency approximation to the nongeometrical S ∗ arrival // Bull.
Seismol. Soc. Amer. Vol. 73. 1983. P. 109–123.
5. Петрашень Г. И., Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Л.: Наука, 1982. 288 с.
6. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957. 504 с.
7. Schmidt H. OASES Version 3.1. User Guide and Reference Manual // Department of Ocean
Engineering Masschusetts Institute of Technology. February 20, 2004.
8. Aki K., Richards P. G. Quantitative seismology: theory and methods. W. N. Freeman & Co.,
1980. P. 186–245.