определение плотности твердых тел

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»
Кафедра
физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Москва
2005 г.
Лабораторная работа 101
Теория ошибок, определение плотности твердых тел.
В лабораторном практикуме студенты при выполнении работ должны
производить измерения, но при использовании даже очень точных и
чувствительных приборов и наилучших условий проведения эксперимента во
всяком измерении содержится ошибка (погрешность) характер и причины
которой могут быть различными. Существуют методы анализа и учета влияния
различных погрешностей на результаты измерений. Все погрешности (ошибки)
измерений принято подразделять на систематические и случайные.
Систематические
ошибки
обусловлены
постоянными,
но
односторонними внешними воздействиями. Например, измерение температуры
термометром, у которого нулевая точка смешена, будет систематически
неправильным, пока в результаты измерений не будет внесена
соответствующая поправка.
Так как систематическая ошибка имеет одно и тоже значение, ее нельзя
устранить увеличением числа повторных измерений. Но можно уменьшить
систематическую ошибку, критически анализируя факторы, которые могут
повлиять на результаты, проверяя используемые приборы по соответствующим
эталонам, внося поправки в показания приборов, используя более точные
приборы и инструменты.
Случайные ошибки при измерениях обусловлены влиянием большого
числа факторов, случайным образом изменяющихся в процессе эксперимента.
Например, источником случайных ошибок при взвешивании на аналитических
весах может явиться неоднородность в распределении температуры в
различных частях весов, влияние колебаний стола из-за проезжающего мимо
здания грузовика и т.п.
При повторных измерениях случайные ошибки с одинаковой
вероятностью приводят к отклонениям значений измеряемых величин от
истинного значения как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, т.е.
случайные ошибки имеют разные численные значения и знаки.
Полностью исключить случайные ошибки нельзя, но их можно уменьшить за
счет увеличения числа измерений при одних и тех же условиях эксперимента.
Итак, при измерениях неизбежно возникают погрешности. Теория
погрешностей указывает на то, как следует вести измерения и их обработку,
чтобы допущенные ошибки
были
минимальными.
Кроме
того,
устанавливаются пределы, внутри которых заключается точное значение
определяемой величины.
ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение
величины производится непосредственно по шкале прибора. Например,
2
измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение
промежутков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов
измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в
сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов измерений, то
наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее
арифметическое всех сделанных измерений:
N
a  a 2  ...  a n
a 1

n
a
i
i 1
,
n
(1)
где a1 , a 2 ,....., a n  результаты отдельных измерений, n  число измерений.
Для характеристики степени приближения к истинному значению измеряемой величины вводится понятие абсолютной погрешности  величины,
показывающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может
отличаться от истинного значения измеряемой величины.
Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти
отклонения каждого отдельного измерения от среднего арифметического:
Δa i  a  a i , где a i  отклонение данного измерения, равное разности между
средним значением измеряемой величины a и результатом этого измерения a i .
Случайная погрешность вычисляется по формуле:
n
Δa сл.
Δa1  Δa 2  ...  Δa n


n
a
i 1
n
i
,
(2)
где Δa i  модули отклонений каждого отдельного измерения от среднего
арифметического значения.
Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа
измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.
В качестве систематической погрешности берется приборная
погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления
прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.
В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так
и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная
погрешность Δa при прямых измерениях рассчитывается по формуле:
Δa 
 Δa сл.    Δa сист.  ,
2
2
где Δa сл.  случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),
(3)
3
Δa сист. систематическая погрешность прибора, инструмента.
Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то
для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число
измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической
погрешности (например, использовать более точные приборы).
Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью
штангенциркуля и делается 5 измерений: 34.50 мм, 34.65 мм, 34.30 мм,
34.70 мм, 34.55 мм.
Среднее арифметическое всех сделанных измерений:
34.50  34.65  34.30  34.70  34.55
 34.54мм
5
Полученное значение D  34.54мм даёт наиболее вероятное значение
D
измеряемой величины D.
Для нахождения случайной погрешности ΔDсл. нужно найти
абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего
арифметического Di  D  Di и затем определить среднее значение этих
отклонений:
ΔD сл. 
0.04  0.11  0.24  0.16  0.01
 0.112мм
5
Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно,
систематическая погрешность равна ΔDсист.  0.025мм .
Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:
ΔD 
ΔDсл. 2  ΔDсист. 2

0.1122  0.0252
 0.12мм
Результат измерений принято записывать следующим образом:
D  34.54  0.12мм .
(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм
должны заканчиваться в одинаковом разряде)
Для характеристики точности измерения вводится понятие
относительной погрешности:
ε
Δа
а
Относительная погрешность ε представляет собой отношение
абсолютной погрешности Δa к среднему значению измеряемой величины. В
нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:
4
ε
0,12
 0,0035
34,54
Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она
показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная
погрешность.
Иногда относительная погрешность выражается в процентах:
ε
0,12
 100%  0,35%
34,54
I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.
В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить
искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае
прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются
измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по
математическим формулам.
πD 2 h
Например, объем цилиндра определяется по формуле V 
, где с
4
помощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h,
объем же получается в результате косвенных измерений.
В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от
погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы,
по которой находится физическая величина.
Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину
функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргументами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой
A  f a1 , a 2 ,...., a n , где А  результат косвенного измерения, a1 , a 2 ,...., a n 
результаты прямых измерений. По определению относительная погрешность
равна
ε
С другой стороны dlnA  
ΔA
A
(5)
dA
. Так как погрешность ΔA всегда много
A
меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами.
Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной
ошибки Δ . То есть, можно записать:
 lnA  
A
.
A
5
Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную
погрешность косвенного измерения можно найти путем:
1) логарифмирования исходного выражения lnA  lnf a1 , a 2 ,...., a n  ;
2) последующего дифференцирования d(lnA)  dlnf a1 , a 2 ,...., a n ;
3) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности  ;
4) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных
погрешностей  .
Пример.
Для определения плотности цилиндрического тела применяется формула:
ρ
m
4m

,
V πD 2 h
где m  масса тела, D  диаметр, h  высота. Величины m, D, h определяются в
результате прямых измерений. Плотность ρ определяется из косвенных измерений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие
действия:
1) находим натуральный логарифм исходного выражения ρ 
lnρ  ln 4  ln m  lnπ  2lnD  lnh ,
2) выполняем дифференцирование :
dρ dm
dD dh

2

,
ρ
m
D
h
3) заменяем знак d на знак  :
Δρ Δm
ΔD Δh

2

,
ρ
m
D
h
4) перед всеми знаками  ставим знаки плюс ε 
4m
πD 2 h
Δm
ΔD Δh
2

.
m
D
h
Далее можно найти абсолютную погрешность: ΔA  ε  A ,
где ΔA  абсолютная погрешность косвенного измерения, A  среднее
значение искомой величины, ε – относительная погрешность.
Примечание.
Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти
абсолютную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной
погрешностью. Для этого используют следующее правило для нахождения
абсолютной ошибки при косвенном измерении:
6
1) дифференцируют исходное выражение;
2) заменяют знак дифференциала d на знак погрешности  ;
3) перед всеми знаками  ставят знаки плюс.
Пример. A  a  b  c
dA  da  db  dc
1)
ΔA  Δa  Δb  Δc ,
2)
ΔA  Δa  Δb  Δc .
3)
III. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ.
При записи результата косвенного измерения необходимо соблюдать
следующие правила:
1. Величину абсолютной погрешности ΔA необходимо округлить до
двух значащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех
остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме
нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце
являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в
числе 5100  четыре значащие цифры.
Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка
оказалась равной ΔV  1.16  10 -6 м 3 , ее следует округлить до двух значащих
цифр: ΔV  1.2  10-6 м 3 . Если ΔV  5.24  10 -6 м 3 , ее следует округлить до
одной значащей цифры ΔV  5  10 -6 м 3 .
2. Среднее значение измеряемой величины A следует записать таким
образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная
погрешность.
πD 2 h
Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле V 
4
-6 3
получается равным V  45.77  10 м , а абсолютная ошибка после округления
равна ΔV  1.2  10-6 м 3 , то объем следует записать также только до десятых
V  45.8  10 -6 м 3
Окончательный результат записывается в виде: A  A  ΔA .
Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное
значение измеряемой величины.
В случае нашего примера для объема цилиндра окончательный
результат записывается следующим образом: V  (45.8  1.2)  10 -6 м 3 .
Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:
44.6  10 6 м 3  V  47.0  10 6 м 3 .
7
ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.
При определении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника используется расчетная формула:
4  π2n 2  l
,
g
t2
где l  длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой,
n - число колебаний маятника, t - время десяти колебаний маятника,
определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины
получаем следующие данные:
t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76;
n = 10;
-2
l= 54.2 см ±0.05 см = (54.2 ±0.05)10 м
1) Результаты измерений заносим в таблицу
№
1
2
3
4
5
Результаты измерений и расчетов.
t, с
l, м
t  ti , с
14.72
0.02
54.210-2
14.74
0
14.77
0.03
14.76
0.02
14.71
0.03
Δt  0.02
t =14.74
0,02с
t =(14.74±0.02)
g =(9.84 ±0.05) м/с2,
Таблица.
Δl, м
l = (54,20 + 0,05)10-2 м
 = 0.005
2) Определяем погрешности при прямых измерениях:
2
2
Δt  Δt сл.
 Δt сист.
Δt сл. 
0.0510-2
0.02  0  0.04  0.02  0.04
 0.02с
5
Δt сист.  0.005с
Δt  0.022  0.0052  0.02c
t = (14.74±0.02) c.
8
б) Так как измерения длины производились один раз, в качестве
абсолютной погрешности берем погрешность инструмента (линейки),
l  lсист. 
т.е. половину деления ее шкалы
l  54,20  0,05102 м
1мм
 0.5  10 3 м
2
3) Определяем относительную погрешность при косвенном измерении g:
а) берем натуральный логарифм от выражения:
4  π2n 2  l
g
t2
lng  ln4  2lnπ  lnl  2lnn  2lnt
б) выполняем дифференцирование
dg
dπ dl
dt
2  2
g
π
l
t
в) знак d заменяем на знак 
Δg
Δπ Δl
Δt
2

2 ,
g
π
l
t
г) знак минус перед знаком  заменяем на знак плюс
ε
Δg
Δπ Δl
Δt
2

2 .
g
π
l
t
Число π  3.141593...... Если ограничиться значением π  3.14 , то
относительная погрешность
ε
Δπ 0.001593

и
π
3.14
Δg
Δπ Δl
Δt
2

 2  0.005  0.5% .
g
π
l
t
5) Запись окончательного результата.
ускорения свободного падения
Находим
среднее
значение
4  3014 2  54.20  10-2  10 2
м
g
 9.8381  2 .
14.74
с
Найдем абсолютную погрешность: Δg  g  ε  9.838  0.005  0.049
Округляем
Δg  0.05
полученный
результат
до
одной
м
. Записываем окончательный результат:
с2
м
g  9,84  0.05 2 .
с
значащей
м
.
с2
цифры
9
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1)
2)
3)
4)
Какие измерения называются прямыми а какие косвенными?
Как определяется абсолютная погрешность при прямых измерениях?
Как рассчитывается относительная погрешность?
Как определить относительную ошибку косвенного измерения?
Как можно определить абсолютную ошибку при косвенном
измерении?
Как записать окончательный результат измерения.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ
В некоторых лабораторных работах зависимость между изучаемыми
величинами
изображается
графически.
Обыкновенно
пользуются
прямоугольной системой координат. Значение аргумента откладывается по оси
X, значение функции по оси Y. Около каждой оси нужно написать обозначение
изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется. Для
правильного построения графика важным является выбор масштаба.
Рекомендуется руководствоваться следующими соображениями:
1) Масштаб по каждой оси может быть свой. Равномерно через 10-20 мм
откладывают масштабные деления на координатных осях, причем пределы изменений обеих величин должны ограничивать на осях отрезки примерно
одинаковые по величине, иначе график может оказаться очень сжатым по
одной из осей и неудобным для пользования.
2) При построении графика следует полностью использовать всю площадь
чертежа. Если первое значение измеряемой величины сильно отличается от
нуля, отсчет в начале координат нужно начать не от нуля, а от значения,
близкого к первому значению измеряемой величины.
3) На график наносят точки по полученным из эксперимента данным. Через
них проводят прямую или плавную кривую линию. Так как все измерения сделаны с той или иной ошибкой, то может иметь место некоторый разброс точек
(они не укладываются точно на одной кривой). В этом случае линию нужно
проводить между точками так, чтобы возможно большее число точек легло на
эту линию, а остальные распределились примерно равномерно по обе стороны
кривой на одинаковом от нее расстоянии.
Используя
график,
можно
в
пределах
произведенных наблюдений интерполировать, то
есть находить значение величины Y для тех
значении Х, которые непосредственно не
наблюдались. Для этого из любой точки оси
абсцисс можно провести ординату до пересечения
с кривой. Длина такой ординаты будет представлять значение величины Y, соответствующее
значению величины X.
10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Цель работы:
экспериментально определить плотность твердого тела
цилиндрической формы и ознакомиться с методом
обработки результатов измерений.
ВВЕДЕНИЕ
Плотностью однородного тела называется величина равная отношению
ρ=
массы тела к его объему
πD2H
Объем цилиндра V=
4
m
V
, где
(1).
D  диаметр цилиндра,
H  его высота. Поэтому плотность тела цилиндрической формы
ρ=
определяется по формуле
4m
πD2 H
(2)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Измерить диаметр D и высоту Н цилиндра 5 раз. Результаты измерений
занести в таблицу 1.
Таблица 1.
Номер цилиндра № ____
N
1.
2.
3.
4.
5.
3
Di 10 , м
D=
кг
m ±  m=
(D - Di ) 103 , м
м
Hi 103 , м
H=
(H - Hi ) 103 , м
м
кг/м3
ρ=
ερ =
ρ = ρ ± Δρ
кг/м3
2. Занести в таблицу указанный на цилиндре номер, его массу
абсолютную погрешность  m.
m и
11
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.
По результатам измерений диаметра D и высоты H определить их среднее
арифметическое значение:
2.
D=
1 n
D
n i=1 i
и
H=
1 n
H
n i=1 i
Определить случайные ошибки для величин D и H
ΔDсл =
  D - Di 
и
n
ΔHсл =
  H - Hi 
n
3.
Определить
систематическую
(приборную)
погрешность
штангенциркуля
( ΔDсист , ΔHсист ), которая равна половине точности нониуса.
4.
Абсолютную погрешность в определении диаметра и высоты цилиндра
найти по формулам
ΔD =
ΔH =
5.

ΔH
2
 
2
сл
+ ΔH
2

2
сист
Определить среднее значение плотности цилиндра по формуле
ρ=
6.
ΔDсл  + ΔDсист 
4m
πD 2 H
Относительную ошибку в определении плотности

вычислить по
формуле
ερ =
Δρ
Δm
ΔD
ΔH
+2
+
m
D
H
7.
Абсолютную ошибку
определить по формуле
8.
9.
Окончательный результат записать в виде:
Результаты вычислений занести в таблицу 1.
Δρ = ρ × ερ
ρ = ρ ± Δρ