Решение заданий варианта 1

3.2. Тестовые задания (комплект №2)
Вариант 1
Часть А
А1. Площадь прямоугольного треугольника с
катетами а и b вычисляется по формуле…
А2. Найти сумму НОД и НОК чисел 3 и 17.
А3. Вычислить:
А4. Вычислить:
1 1 1 1
   .
8 3 4 6
2
1 2

6
5 2
 2 5.
А5. Упростить:
1)
5)
1) 17,
2) 34,
4) 52,
5) 35.
3) 51,
1) 
1
5
, 2)
,
12
24
4) 
3
1
, 5) .
24
4
1) 0,
2) -1,
4) -2,
5) 1.
3)
1
,
12
3) -3,
yx
xy  2 y
, 2)
, 3) 1,
x y
x y
4) 1  xy ,
А6. Число А составляет 80% от числа 10. Найти 1) 9,
120% от числа А.
1
ab .
3
4) ab ,
1)
x3  y3
2y
xy
: ( x2  y2 ) 
 2
.
x y
x  y x  y2
1
1
ab , 2) 2ab , 3) ab ,
4
2
4) 10,
5)
x y
.
x y
2) 9,4,
3) 9,6,
5) 10,2.
А7. Длина окружности равна 6π. Найти площадь 1) 12 , 2) 18 , 3) 4,5 ,
4) 6 , 5) 9 .
круга того же радиуса.
А8.
В
арифметической
прогрессии
а8  2 ,6 . Найти а5 .
а2  8 , 1) 6,2,
2) 5,3,
4) 5,6,
5) 5,7.
3) 4,4,
А9. Вычислить х1  х2 2 х1 х2 , где х1 , х2  корни 1) 16807, 2) 2401, 3) 343,
4) 5067, 5) 7888.
уравнения х 2  7 х  2  0 .
А10. Вычислить: 52 log25 8  log 0 ,2 5 .
1) 8,
2) 10,
4) 7,
5) 9.
3) 1,
А11. Найти
cos  , если
sin

2
 cos

2

1
2
и 1)
3
,
2
2) 1,
4)
7
,
16
5) 
 
   0;  .
 2
А12. Найти количество целых значений х из 1) 2,
2) 3,
4) 5,
5) 6.
2
2
 .
3 х 4
1) 6,
2) 7,
4) -7,
5) -6.
А14. Гипотенуза прямоугольного треугольника 1) 12,
2) 24,
равна 10, радиус вписанной в него окруж- 4) 48,
5) 26.
А13. Найти сумму корней уравнения
7
,
4
3
.
2
3) 4,
7х
.
х 1
области определения функции у 
3)
3) -1,
3) 10,
ности равен 2. Найти площадь треугольника.
А15.
Найти
f x  
наибольшее
значение
функции
5
.
cos 2 2 x  6
1) 5,
4)
5
,
6
2)
1
,
7
3)
5
,
7
5) 1.
Часть В
8n 2  6n  4
В1. Указать количество целых значений n, при которых дробь
4n  3
является целым числом.
В2. Через точку М (5; 3) проходят две касательные к графику функции
f  x   2 x 2  4 x  1 . Найти сумму абсцисс точек касания.
В3.
Найти
наибольшее
целое
отрицательное
решение
неравенства
4
2

 1.
x 1 1 x
В4. Найти среднее арифметическое всех корней (в градусах) уравнения
cos 2 х  sin x  cos x  1 , принадлежащих отрезку
В5. Сумма решений уравнения
3
180 ; 180 .

21  x  3 131  x  8 равна…
В6. Решить уравнение log 7  х  2  log 7  х  2  1  log 7 2 x  7  .

В7. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения 2 x 2  7 x  m  0
равна 21,25?
В8. В правильной треугольной пирамиде высота равна 2 3 , боковая грань
наклонена к плоскости основания под углом 60  . Найти объем пирамиды.
В9. Найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
x  x 3  6 x 8.
В10. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но
один ряд оказался неполным. Когда же группу перестроили по 7 человек в
ряд, то все ряды были полными, а их число увеличилось на 2. Если бы их
построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше (по
сравнению с построением по 8 человек в ряд), причем один ряд был бы
неполным. Сколько всего было людей?
Решение заданий варианта 1
А1.
Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b вычисляется по
1
формуле S  ab .
2
Ответ: №3.
А2.
Числа 3 и 17 – простые, поэтому их наибольший общий делитель равен 1,
а наименьшее общее кратное равно 3  17  51 . Сумма НОД и НОК исходных
чисел равна 1+51=52.
Ответ: №4.
А3. Вычислим:
1 1 1 1 38 6 4 5
.
   

8 3 4 6
24
24
Ответ: №2.
А4. Вычислим значение выражения:


2
6
2 1 2

2 5 

1 2
5 2
1 2 1 2


 


6 5 2
2 5 
5 2 5 2





22 2 6 5  2

 2 5  2  2 2  2 5  2 2  2 5  2 .
1
3
Ответ: №4.
А5. Упростим выражение:



x3  y3
2y
xy
x  y   x 2  xy  y 2
1
2
2
: x y 
 2

 2

2
x y
x y x  y
x y
x  y2


2y
xy
x 2  xy  y 2
2y
xy

 2


 2

2
2
2
x y x  y
x  y x  y2
x y

x 2  xy  y 2  2 xy  2 y 2  xy x 2  y 2
 2
 1.
x2  y2
x  y2
Ответ: №3.
А6.
Найдем число A , составляющее 80% от числа 10:
Теперь вычислим 120% от числа 8:
A
80%
 10  8 .
100%
120%
 8  9,6.
100%
Ответ: №3.
А7.
Длина окружности равна 6 . Найдем радиус окружности, используя
формулу l  2r . Получим: 6  2r  r  3 .
Используя формулу S  r 2 , найдем площадь круга того же радиуса:
S  r 2  9 .
Ответ: №5.
А8.
Для нахождения пятого члена арифметической прогрессии будем
использовать
формулу
n -го
члена
арифметической
прогрессии
an  a1  d n  1 . Получим: a2  a1  d , a8  a1  7d . Решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными:
a1  d  8,
a  d  8 ,
a  d  8 ,
a  8,9 ,
  1
  1
  1

6d  5,4
d  0,9
d  0,9.
a1  7d  2,6
Найдем пятый член прогрессии: a5  a1  4d  8,9  4 0,9  5,3 .
Ответ: №2.
А9.
Заметим, что корни уравнения x 2  7 x  2  0 существуют, так как D  0 .
 x  x2  7 ,
По теореме Виета:  1
Тогда x1  x2 2 x1x2  7 4  2401 .
 x1  x2  2.
Ответ: №2.
А10.
5
2 log25 8
 log 0 ,2
1
2 log5 8
55 2
 log 51 5  5log5 8  log 5 5  8  1  9 .
Ответ: №5.
А11. Возведем обе части равенства в квадрат и найдем sin  :
  1
 
 sin  cos    
2
2

2
2
2
 sin 2
 1  sin  

2
 2 sin

2
 cos

2
 cos 2

2

1
4

1
3
 sin   .
4
4
В первой четверти cos   0 , поэтому cos   1  sin 2   1 
9
7
.

16
4
Ответ: №3.
А12. Найдем область определения функции y 
7x
:
x 1
7  x  0,
x  7,
 

x  1  0
 x  1.
Решение системы изобразим на координатной оси:
1
7
х
Решением системы является промежуток x  1;7 . Целыми значениями из этого промежутка является числа 2, 3, 4, 5, 6, 7. Их количество равно 6.
Ответ: №5.
А13. Решим уравнение:
3  x  4,
 x  1,
 3  x  4,
2
2



 
 3  x  4,   x  7 ,
3 x 4
x  3
x  3
 x  3.


Сумма корней уравнения равна 7  1  6 .
Ответ: №1.
А14.
В
К
М
О
С
А
N
Пусть BM  x , тогда BK  x , AK  AN  10  x .
Для нахождения неизвестной применим теорему Пифагора:
AC 2  BC 2  AB 2 
10  x  22  x  22  10 2
 144  24 x  x 2  x 2  4 x  4  100


 2 x 2  20 x  48  0 
x 2  10 x  24  0 .
Решая данное уравнение, получим x1  4 и x2  6 . Оба полученных
значения x приводят к тому, что один из катетов будет равен 6, а второй будет
равен 8.
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
1
1
S   AC  BC   6  8  24 .
2
2
Ответ: №2.
А15. Оценим знаменатель функции f  x  
5
:
cos 2 x  6
2
0  cos 2 2 x  1  6  cos 2 2 x  6  7 .
Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель дроби
будет наименьшим, то есть равным 6. Поэтому наибольшее значение функции
равно
5
.
6
Ответ: №2.
B1.
8n 2  6n  4
Выделим целую часть дроби
, разделив числитель на
4n  3
знаменатель, в результате чего получим:
8n 2  6n  4
13
.
 2n  3 
4n  3
4n  3
Следовательно, исходная дробь является целым числом, если число 13 делится
на
4n  3 .
Это возможно, когда 4n  3  1, 4n  3  1 , 4n  3  13 и
4n  3  13 . Так как искомые числа n должны быть целыми, то это возможно,
если только n  1 и n  4 . Таким образом, количество целых значений n
равно 2.
Ответ: 2.
В2. Запишем общее уравнение касательной:
f  x   f  x0   f  x0    x  x0 , где x0  абсцисса точки касания.
Найдём значение функции в точке x0 : f  x0   2 x02  4 x0  1 . Найдем
производную
функции
и
вычислим
ее
значение
в
точке
касания:
f  x0   4 x0  4 . Тогда уравнение касательной преобразуется к виду:
f  x   2 x02  4 x0  1   4 x0  4   x  x0  .
По условию, точка
M 5; 3 лежит на касательной, значит её
координаты удовлетворяют уравнению касательной. Подставим координаты
точки в уравнение касательной:
3  2 x02  4 x0   4 x0  4  5  x0  . Решая
данное уравнение, получим координаты абсцисс точек касания: x0  1 и x0  9 .
Найдем их сумму: 1+9=10.
Ответ: 10.
В3. Решим неравенство:
4
2
4
2
4 x  4  2 x  2  x2  1

1 

1  0 
0 
x  1x  1
x 1 1 x
x 1 x 1
 x2  2 x  5

0 
x  1x  1
x2  2 x  5
 0.
x  1x  1
Заметим, что x 2  2 x  5  0 для любых действительных значений х.
x2  2 x  5
Поэтому
0 
x  1x  1
Решая
данное
x  1  x  1  0 .
неравенство
методом
интервалов,
получим
x   ;1  1;  . Наибольшим целым отрицательным числом из этого
промежутка является число (-2).
Ответ: -2.
В4. Решим уравнение:
cos 2 x  sin x  cos x  1  cos 2 x  sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x 
sin x  0 ,
 sin x  cos x  sin 2 x  0  sin x  cos x  sin x   0  
cos x  sin x  0 .
Решением уравнения sin x  0 является множество x  180   n , n  Z .
Для решения уравнения cos x  sin x  0 разделим обе его части на cos x  0 .
Получим: 1  tgx  0  tgx  1 
x  45  180   k , k  Z .
Отметим найденные решения на единичной окружности.
45
180 
 180 
0
 135 
Найдём среднее арифметическое всех корней уравнения (в градусах),
принадлежащих отрезку


 180   135   0  45  180 0
 180 ;180 :
 18 .
5


Ответ:  18.
В5. Прежде заметим, что справедлива следующая формула:
3
1
1
1
 1
1 
 a 3  b 3   a  b  3  ab3   a 3  b 3  .








Теперь возведём обе части уравнения в куб:
3 21  x  3 131  x 3  83 
21  x  131  x  3  3 21  x   131  x   3 21  x  3 131  x   512
 3 21  x   131  x   3 21  x  3 131  x   120 .

Заметив, что
3
3

21  x  3 131  x  8 , получим:
21  x   131  x   8  120

3
2751  110 x  x 2  15  2751  1  x 2  3375 
 x1  104 ,
 x 2  110 x  624  0  
 x2  6 .
Проверкой убеждаемся, что эти значения являются решениями
исходного уравнения. Сумма решений уравнения равна 110.
Ответ: 110.
В6. Найдём область допустимых значений уравнения:
x  2  0 ,
x  2 ,


 x  2  0 ,   x  2 , 
2 x  7  0
 x  3,5


x  3,5 .
Решим уравнение, применяя свойства логарифмов:
log 7 x  2  log 7  x  2  1  log 7 2 x  7  
 log 7
x2
x2
7
 log 7 7  log 7 2 x  7  log 7
 log 7

x2
x2
2x  7
x2
7

 2 x 2  11x  14  7 x  14  2 x 2  18 x  0 
x  2 2x  7

 x1  0 ,
 2 x  x  9  0  
 x2  9 .
Значение x1  0 является посторонним корнем, значит решением
уравнения является x  9.
Ответ: 9.
7

x

x

,
1
2


2
В7. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета: 
x  x  m .
1
2


2
Найдем сумму квадратов корней уравнения:
x12

x22
  x1  x2 
2
2
m 49
7
 2 x1 x2     2  
 m.
2
4
2
Найдем значение параметра m , при котором сумма квадратов корней
уравнения равна 21,25. Получим:
49
 m  21,25  m  9 . Проверкой
4
убедимся, что при m  9 уравнение имеет корни.
Ответ:  9 .
В8.
S
Найдём OM , являющийся ради-
A
B
ной пирамиды окружности радиуса r :
O
M
усом вписанной в основание правиль-
r  SO  tg 30   2 3 
С
3
 2.
3
Зная радиус вписанной в основание пирамиды окружности, вычислим
сторону основания: a  AB  2 3  r  2 3  2  4 3 .
Площадь основания правильной пирамиды будет равна:
Sосн
 2
a2  3 4 3  3


 12 3 .
4
4
1
1
Найдём объём пирамиды: V   S осн .  H  12 3  2 3  24 .
3
3
Ответ: 24.
В9. Найдём область допустимых значений уравнения:
 x  0,

 x  3  0,
x  8  0


Запишем уравнение в виде
 x  0,

 x  3,
 x  8


x  0.
x  x  3  x  8  6.
Очевидно, что x  1 является решением данного уравнения. Докажем,
что это решение единственное.
Левая часть уравнения
x  x  3  x  8  6 является возрастающей
функцией, как сумма трёх возрастающих функций, а правая часть уравнения –
функция постоянная, значит, данное уравнение имеет единственное решение,
равное 1.
Ответ: 1.
В10.
Пусть x человек построили в y рядов по 8 человек, тогда  y  1 рядов
будут полными, а последний ряд y будет неполным, то есть 8 y  1  x  8 y.
Если построить x человек по 7 человек в ряд, то рядов будет  y  2 ,
то есть x  7 y  2  .
Если построить x человек по 5 человек в ряд, то  y  8 рядов будут
полными, а  y  9  ряд – неполным, то есть 5 y  8  x  5 y  9  .
В итоге имеем следующую систему:
8 y  1  x  8 y ,

 x  7 y  2,
5 y  8  x  5 y  9 .

Решим ее, для чего подставим значение x  7 y  2  в оба неравенства
системы:
7 y  14  8 y ,
 y  14 ,

 y  22 ,
8 y  8  7 y  14  8 y ,
7 y  14  8 y  8,

 
 

5 y  40  7 y  14  5 y  45
7 y  14  5 y  45 ,
 y  15 ,5,
7 y  14  5 y  40
 y  13.
Решением последней системы является интервал y  14; 15,5.
Так как значение y должно быть натуральным числом, то единственно
возможным значением из этого интервала является y  15 .
Найдём общее количество людей: x  7 y  14  7  15  14  119 .
Ответ: 119.
Вариант 2
Часть А
А1. Площадь равнобедренного прямоугольного
a2
1)
,
2
треугольника с катетом а вычисляется по
формуле…
А2. Найти сумму НОД и НОК чисел 8 и 12.
А3. Вычислить:
1 1 1 3
   .
3 4 6 8
a2
4)
,
3
a2
5)
.
4
1) 30,
2) 28,
4) 38,
5) 26.
1
1)  ,
6
1
2)  ,
4
1
,
8
1
5)  .
8
4)
А4. Вычислить:
2
4

 6.
2 1 2  2
2
2
 2 a  b 2a  b  a  b
А5. Упростить: 
.

:
 a  2b a  2b  a 2  4b2
1) -1,
2) 0,
4) 2,
5) 3.
3) 2a 2 ,
3) 24,
3)
3
,
8
3) 1,
a 2  b2
4 a 2b 2
1) 8, 2) 2 2 , 3) 2
,
a  b2
a b
4) 4,
А6. Число А составляет 60% от числа 50. Найти 1) 40,
140% от числа А.
2) a 2 ,
4) 50,
5) 1.
2) 42,
3) 48,
5) 52.
А7. Площадь круга равна 8π. Найти длину 1) 2 3 , 2) 4 , 3) 4 2 ,
окружности того же радиуса.
4) 4 3 , 5) 8 .
А8.
В
арифметической
прогрессии
а2  5 , 1) 9,2,
а7  8 . Найти а 9 .
А9. Найти модуль разности корней уравнения
х
1 2
х  1,5 .
2
А10. Вычислить: 5log5 6 log5 1,2 .
4) 8,8,
1) 4,
4)
5
,
6
2) 8,6,
3) 9,8,
5) 10,4.
2) 8,5,
3)
2 5
,
3
5) 2.
1) 1,
2) 2,
4) 4,
5) 5.
3) 3,
А11. Найти sin , если sin

2
 cos

2

7
.
5
1)
12
,
25
2) 
4)
16
,
25
5)
А12. Найти количество целых значений х из 1) 1,
2) 2,
5) 5.
1
1
 .
х2 3
1) 5,
2) 4,
4) 6,
5) 3.
А14. В равнобедренном треугольнике угол при 1) 12,
24
,
25
3) 3,
4) 4,
вершине равен 30  , основание равно 6. 4) 2 3 ,
3)
5
.
6
5 х
.
х2
области определения функции у 
А13. Найти сумму корней уравнения
24
,
25
3) -4,
2) 18,
5)
3) 6,
3.
Найти радиус описанной около треугольника окружности.
А15. Найти наибольшее значение функции 1) 31,
f  x   24 cos x  7 sin x .
2) 30,
4) 17,
3) 25,
5) 21.
Часть В
В1. Найти сумму целых значений n, при которых число
6n  2
является
2n  1
натуральным.
В2. Через точку М 2;3 проходят две касательные к графику функции
f x   9 
0,5
. Найти значение выражения 24 х1  х2  , где
х
х1 , х2 
абсциссы точек касания.
В3. Найти количество натуральных решений неравенства
2х  5
x2  6х  7

1
.
х3
В4. Найти количество решений (в градусах) уравнения cos 6 х  2 cos 2 x  1 ,
принадлежащих отрезку
В5.
Сумма
3
корней
 45 ; 45 .
(или


корень,
1  x  1  3 1  x  1  2 равна…
если
он
один)
уравнения
В6. Решить уравнение log 4 х  3  log 4 х  1  2  log 4 8 .
В7. При каком положительном значении m сумма квадратов корней уравнения
x2  2m  1  x  m2  m  6  0 равна 73?
В8. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной
призмы, равен 2, а ее объем равен 27 3 . Найти высоту призмы.
В9. Найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
x  16  6  x  4  x  9 .
В10. Число двухкомнатных квартир в доме в 4 раза больше числа
однокомнатных,
а
число
трехкомнатных
квартир
кратно
числу
однокомнатных. Если число трехкомнатных увеличить в 5 раз, то их станет
на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в доме, если
известно, что их не меньше 100?
Вариант 3
Часть А
А1. Площадь квадрата со стороной а вычисляется
по формуле…
А2. Найти сумму НОД и НОК чисел 11 и 22.
А3. Вычислить:
А4. Вычислить:
1 1 1 1
   .
2 8 4 3
5
2

 7.
7 2
22
А5. Упростить:
4a  4 a  2  6a
2a
1 

: 3
 2

.
a  2 a  2  a  8 a  2a  4 2  a 
1)
1 2
1
a , 2) 4a 2 , 3) a 2 ,
2
4
4) a 2 ,
5) 2a 2 .
1) 22,
2) 32,
4) 36,
5) 66.
1)
17
,
24
2)
7
,
12
4)
3
,
4
5)
5
.
8
1) 0,
2) 1,
4) 3,
5) 4.
3) 33,
3)
13
,
24
3) 2,
a 2  2a  4
a 2  2a  4
1)
, 2)
,
a2
a2
3) a ,
4)  a ,
5)
a
.
2a
А6. Число А составляет 30% от числа 60. Найти 1) 3,2,
25% от числа А.
2) 3,6,
4) 4,5,
5) 5.
А7. Длина окружности равна 4π. Найти площадь 1) 2 ,
2) 4 ,
4) 8 ,
5) 9 .
круга того же радиуса.
А8.
В
арифметической
а8  9 , 1) 7,6,
прогрессии
а11  10 ,2 . Найти а 5 .
5
 х  3х 2 .
2
А10. Вычислить:
4)
1
log 2 64
22
.

2)
31
,
3
1
,
3
1) 4,
2)
4) 8,
5) 16.

8,
2)
3
,
2
2
,
2
5)
1
.
4
4) 
А12. Найти количество целых значений х из 1) 8 ,
А13.
Найти
сумму
корней
2  х 2  3 .
х2
.
9 х
4) 6 ,
33
,
2
3)
5) 0,04.
3
1
А11. Найти sin 2 , если sin   ,   0 ; 90  . 1) 
,
2
2
области определения функции у 
3) 7,8,
5) 8,2.
31
,
3
1)
3) 6 ,
2) 7,4,
4) 8,
А9. Найти модуль разности корней уравнения
3) 4,
2) 4 ,
3) 32,
3)
2
,
2
3) 5 ,
5) 7 .
уравнения 1) 2 5 ,
2) 2,
3) 2  2 5 ,
4) 4,
5) другой ответ.
А14. В треугольнике АВС сторона АС равна 1) 20,
10 2 , угол А равен 30  , а угол В равен 45 . 4) 5,
2) 5 3 ,
3) 10 2 ,
5) 10.
Найти длину стороны ВС.
А15.
Найти
наибольшее
f  x   sin4 x  cos 4 x .
значение
функции 1) 0,
4)
1
,
2
2) 1,
5) -2.
3) 2,
Часть В
В1. Найти сумму целых значений n, при которых число
3n  1
является
n2
натуральным.
В2. Через точку М  1;1  проходят две касательные к графику функции
f  x   2 х  3 . Найти сумму абсцисс точек касания.
В3. Найти наименьшее натуральное число, являющееся решением неравенства
1
1
1

 .
x  2 x 1 x


В4. Найти сумму решений (в градусах) уравнения sin  2 x   sin x  0 ,
2

принадлежащих отрезку
0 ; 270 .


В5. Сумма корней (или корень, если он один) уравнения
3
13  x  3 78  x  7
равна…
В6. Найти сумму корней уравнения lg х  1  lg х  1  3 lg 2  lg х  2 .
В7. При каком отрицательном значении b сумма квадратов корней уравнения
x 2  bx  3  0 равна 10?
В8. Основанием прямой призмы является ромб. Найти площадь боковой поверхности призмы, если площади ее диагональных сечений равны 16 и 12.
В9. Найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
x3
x 1  3  .
4
В10. Мастер делает за 1 час целое число деталей, больше 18, а ученик на 10
деталей меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а три
ученика  на 2 часа быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
Вариант 4
Часть А
А1. Площадь прямоугольника со сторонами а и b
вычисляется по формуле…
1) 2ab ,
4)
А2. Найти сумму НОД и НОК чисел 7 и 21.
А3. Вычислить:
А4. Вычислить:
1 1 1 1
   .
6 3 2 4
3
15

3 7.
2 1
7 2
А5. Упростить:



6a  c 
 6a  c
2
2
2
2
 2
 2
 : a  c  a  36c .
 a  6ac a  6ac 
1) 14,
2) 21,
4) 42,
5) 35.
1)
2
,
3
2)
1
,
6
4)
1
,
2
5)
1
.
4
1) -3,
2) -2,
4) 0,
5) 1.
1) 12,
2)
4)
1
ab ,
2
3)
1
ab , 5) 4ab .
4
12
a c
2
А6. Число А составляет 50% от числа 24. Найти 1) 18,
150% от числа А.
2) ab ,
4) 28,
2
3) 28,
3) -1,
6
,
a
a
, 5)
1
,
3
3)
12
,
a
3)
12
2
 36c
2) 20,

2 2
.
3) 24,
5) 36.
А7. Площадь круга равна 16π. Найти длину 1) 4 3 , 2) 8 , 3) 4 2 ,
окружности того же круга.
4) 6 ,
5) 12 .
А8.
В
арифметической
прогрессии
а4  10 , 1) 1,
а8  4 . Найти а10 .
4) -0,5,
А9. Найти модуль разности корней уравнения
х
х 2    0,75 .
2
1) 0,5,
4)
log 0 ,5 5 8
А10. Вычислить: 8  2
2) 2,
.
1)
5
3) 3,5,
5) -1.
2)
3
,
7
5
,
4
5) 1,65.
4,
2)
5
2,
4) 25 4 , 5) 45 4 .
3)
3)
13
,
2
5,
А11. Найти cos 2 , если sin  
3
.
2
1
1)  ,
2
2)
1
4)  ,
4
3
5)  .
4
А12. Найти количество целых значений х из 1) 3,
4 х
.
2х  4
области определения функции у 
А13. Найти сумму корней уравнения х  5  2 .
1
,
2
3)
2) 2,
3
,
4
3) 0,
4) 4,
5) 1.
1) 7,
2) 3,
4) 10,
5) -10.
3) -7,
А14. Найти площадь прямоугольного треугольни- 1) 12,
2) 46,
ка, если радиус вписанной в него окружности 4) 48,
5) 24.
3) 14,
равен 2, а радиус описанной равен 5.
А15.
Найти
наибольшее
значение
функции 1) 7,
f  x   3 cos x  4 sin x .
2) 5,
4) 4,
3) 1,
5) 3 2 .
Часть В
3n  2
будет целым.
n 1
В1. Найти сумму целых значений n, при которых число
В2. Через точку M  3; 4  проходят две касательные к графику функции
f  x   4 x  x 2 . Найти сумму абсцисс точек касания.
В3.
Найти
количество
1
3x  2  x 2
В4.
Найти

целых
3
7 x  4  3x 2
положительных
Сумма
сумму
3
корней
неравенства
.
решений


cos 2   x   3 cos 2   x   2 на отрезке
2

В5.
решений
(или
корень,
(в
градусах)
уравнения
180 ; 360 .

если

он
один)
6  x  1  3 3  x  1  3 равна…


1
В6. Найти сумму корней уравнения lg 5  х   lg 35  х3  0 .
3
уравнения
В7. При каком значении m один корень уравнения x 2  2m  1  x  m2  2  0
в два раза больше другого?
В8. В основание правильной четырехугольной пирамиды вписан круг радиуса
2. Боковые грани составляют с плоскостью основания углы 60  . Найти
площадь полной поверхности пирамиды.
В9. Найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
4
18  x  2  8 x  2 .
В10. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки
2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше,
чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось
на 10, а число пятерок было четным. Сколько студентов получили двойки?
Вариант 5
Часть А
А1. Длина диагонали квадрата со стороной а 1) a 3 ,
вычисляется по формуле…
3
4) a ,
2
А2. Найти сумму НОД и НОК чисел 13 и 5.
А3. Вычислить:
А4. Вычислить:
1 1 1 5
   .
2 8 3 6
2
7

 1.
2 2 3 2
А5. Упростить:
2
3
2a  3
 a  3 a  3  9a  3a
.



: 2
2a  5
 2a  5 a  5  a  5a
2) 18,
4) 66,
5) 71.
1
1)  ,
8
1
2)  ,
4
4) 0,
5) 
1) -1,
2) 0,
4) 2,
5) 3.
1) 1,
4)
a3
,
a5
4) 6,8,
3) 2a ,
5) a 2 .
1) 13,
А6. Число А составляет 60% от числа 25. Найти 1) 6,
40% от числа А.
2) 3a ,
1
,
4
3) 1,
3)
2a  1
,
a5
2a  2
.
2a  5
2) 6,4,
5) 7.
3)
1
.
12
2) -1,
5)
3) 65,
3) 6,6,
А7. Длина окружности равна 8π. Найти площадь 1) 6 ,
4) 16 ,
круга того же радиуса.
2) 8 ,
5) 24 .
А8. В арифметической прогрессии а3  2 , а5  8 . 1) 11,
2) 12,
4) 15,
5) 16.
Найти а7 .
А9. Найти модуль разности корней уравнения
х
х 2    1,75 .
3
1) 1,25,


А10. Вычислить: 1251log125 8  4 .
1
А11. Найти сos 2 , если tg   .
5
2)
8
,
3
13
,
5
5) 4,05.
1) 125,
2) 60,5,
4) 62,5,
5) -62,5.
4)
1)
12
,
13
2)
11
,
12
4)
12
,
169
5)
6
.
13
А12. Найти количество целых значений х из 1) 5,
2) 4,
х2
.
6 х
4) 2,
5) 6.
А13. Найти сумму корней уравнения 2  3  х .
1) 5,
2) 4,
4) 3,
5) -6.
области определения функции у 
А14. В треугольнике АВС угол В тупой, 1) 16,
sin B  0,6 ,
BC  2, AB  10 .
Найти 4) 138,
3) 12 ,
2) 36,
3) 14,
3) 2,5,
3) 16,
3)
13
,
63
3) -5,
3) 6,
3) 72,
5) 136.
квадрат длины стороны АС треугольника.
А15. Найти наибольшее значение функции 1) 1,
f  x   2 cos 2 x  sin2 x .
4) 3,
2) 2,
3) 4,
5) 0.
Часть В
2n 2  5n  4
В1. Найти сумму целых значений n, при которых число
является
n2
натуральным.
В2. Найти абсциссу точки пересечения с осью ОХ касательной с угловым
коэффициентом
k  0,7 ,
проведенной
к
графику
функции
f  x   4,2  х  3 .
В3. Найти количество целых решений неравенства
2 х 2  18 х  4
х2  9 х  8
 2.
В4. Найти число корней уравнения sin x  cos 2 x  0 на отрезке   ; 3 .
В5. Сумма корней (или корень, если он один) уравнения
x  34  3 x  3  1
3
равна…
В6. Решить уравнение log 2
В7.
При


х5
 log 2 х 2  25  0 .
х5
каком отрицательном значении
m корни
3x 2  2 x  m  0 удовлетворяют условию x13  x23  
х1 , х 2
уравнения
98
?
27
В8. Длина ребра основания правильной треугольной призмы равна 2. Найти
объем призмы, если в нее можно вписать шар.
В9. Найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения
x5  3x3  x  5  0 .
В10. Некто решил накопить деньги на телевизор, который может стоить от 550$
до 640$. Для этого он откладывал каждый месяц одну и ту же сумму денег.
После того, как покупка была сделана, он рассчитал, что если бы он
откладывал ежемесячно на 5$ меньше, то копить пришлось бы на 4 месяца
дольше. Сколько стоил телевизор?
Ответы к тестовым заданиям (комплект №2)
Вариант
1
2
3
4
5
А1
3
1
4
2
5
А2
4
2
3
3
4
А3
2
5
1
5
1
А4
4
2
3
1
2
А5
3
4
4
3
5
А6
3
2
4
1
1
А7
5
3
2
2
4
А8
2
1
3
1
3
А9
2
1
1
3
2
А10
5
5
4
5
4
А11
3
3
2
1
1
А12
5
3
5
2
2
А13
1
2
5
4
3
А14
2
3
5
5
5
А15
2
3
2
2
2
В1
2
-2
14
6
-12
В2
10
-2
14
6
-12
В3
-2
3
3
0
6
В4
-18
4
300
540
6
В5
110
1
65
5
-31
В6
9
5
8
5
6
В7
-9
5
-4
-4
-5
В8
24
9
40
48
2
В9
1
0
2
2
1
В10
119
132
120
11
600