Решения. 8 класс

8 класс
8.1 Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В
по течению реки за время t1 = 3 ч, а плот – за время t = 12 ч. Сколько времени
t2 затратит моторная лодка на обратный путь?
Решение
Обозначим расстояние между пунктами A и В через s, скорость
моторной лодки относительно воды v, скорость течения реки (т.е. скорость
плота) u.
s
s
Тогда t  , t1 
.
vu
u
t

Отсюда v  u  1, s=ut.
 t1 
Обратный путь займет время:
s
ut
tt1
t2 


 6 ч.
vu
t  2t1
t

u  1  u
 t1 
Заметим, что величины v, u, s остались неизвестными. Для решения
задачи оказалось достаточным установить связи между этими величинами.
Полученное решение имеет смысл лишь при t  2t1. Иначе это означает v  u.
Ответ: 6 ч.
8.2 Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает
на спуск 1 минуту. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на 15
секунд меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе?
Решение
Введем обозначения.
VЧ
–
скорость
человека
относительно
эскалатора
при
продолжительности спуска, равной 1 минуте;
VЭ – скорость эскалатора;
V1 – скорость перемещения человека на эскалаторе при
продолжительности спуска, равной 1 минуте, при этом V1 = VЧ + VЭ;
V2 – скорость перемещения человека на эскалаторе при
продолжительности спуска, равной 45 секунд, при этом V2 = 2VЧ + VЭ;
V3 – скорость перемещения человека, стоящего на эскалаторе, при этом
V3 = VЭ.
Пусть S – путь, который проделывает человек.
S
S
= 60 с,

V1 VЧ  VЭ
S
S
= 45 с.
t2 

V2 2VЧ  VЭ
Получаем систему уравнений:
60VЧ  VЭ   S ,

452VЧ  VЭ   S.
Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований получим:
V
VЧ  Э .
2
Подставляя полученное выражение в первое уравнение системы,
получим: S = 90 VЭ.
Время, которое необходимо, чтобы человек спустился, стоя на
эскалаторе:
S
S 90VЭ
= 90 с.
t3 


V3 VЭ
VЭ
Тогда t1 
Ответ: 90 с.
8.3 В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину
своего пути. С какой высоты H и какое время t падало тело?
Решение
Пусть полное время падения тела t. Тогда
gt 2
H
.
2
Их условия задачи следует
H g t  12

.
2
2
Отсюда
t2
 t  12 .
2
Решая квадратное уравнение, получим
t  3,4с.
Тогда
H  57 м.
Ответ: t  3,4с. H  57 м.
8.4 Лыжник скатился с горы длиной S1 = 60 м за
время t1 = 15 с, а затем проехал по горизонтальному
участку еще S2 = 30 м до остановки. Найдите скорость
V1 лыжника в конце спуска и ускорение а2 на
горизонтальном участке.
Решение
На каждом из участков движение будем считать
равноускоренным.
Воспользуемся
тем,
что
средняя
скорость
равноускоренного движения равна полусумме начальной и конечной
скоростей. Средняя скорость на первом участке пути (на склоне горы) равна
0  v1
v 0
. На горизонтальном участке средняя скорость та же: 1
.
2
2
s v
s
v
Итак, 1  1 ; 2  1 , где t2 – время прохождения горизонтального
t1 2 t 2 2
2s
2s
участка. Отсюда v1  1 = 8 м/с, t2  2 =7,5 с.
v1
t1
График v(t) приведен на рисунке.
v, м/с
t, с
Ускорение на горизонтальном участке:
0  v1
8
16
a2 

  (м/с2)  1,1 м/с2.
t2
7,5
15
Ответ: 8 м/с, -1,1 м/с2.