моделирование трехмерного течения газа методом частиц на

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА МЕТОДОМ ЧАСТИЦ
НА АДАПТИВНО–ВСТРАИВАЕМОЙ СЕТКЕ. РАСЧЕТ ЗАДАЧИ О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ
О.Н. ПАВЛЕНКО, И.А. ЛИТВИНЕНКО
Российский федеральный ядерный центр 
Всероссийский НИИ технической физики им. акад. Е.И. Забабахина, Снежинск, Россия
Введение
В данной статье рассматривается модернизация метода частиц в ячейках, предложенного Ф. Харлоу [1]
в 1955 году. В методе частиц процесс газодинамического движения предполагает наличие двух этапов: эйлерового и лагранжевого. Расчет первого этапа производится без учета эффектов, обусловленных перемещением
среды. На втором этапе с помощью модели частиц учитываются процессы переноса.
Модернизация, предлагаемая в данной статье, заключается в использовании адаптивно–встраиваемой эйлеровой нерегулярной сетки. Вычислительная модель строится для трехмерного случая. Все достоинства метода
частиц при этом сохранены: безавостность и описание больших деформаций.
Метод расчета
В фиксированном расчетном пространстве вещество разбито на области и представлено набором частиц.
Исходя из начальных данных конкретной задачи, каждая область последовательно заполняется частицами.
Число частиц в области зависит от плотности вещества в ней. Частицам приписываются массы, начальные
скорости и внутренняя энергия. Совокупность частиц по всем областям называется ансамблем. Ансамбль частиц дает полную информацию о рассчитываемой системе.
Рассмотрим поэтапно последовательность вычислений на одном временном шаге. На эйлеровом этапе производятся следующие вычислительные действия:
− разбиение расчетной области на кубические ячейки;
− определение с использованием законов сохранения усредненных параметров (плотности, давления, ско–
рости, удельной энергии), все найденные величины приложены в центре ячейки;
− выбор шага ∆ t из условия Куранта;
− расчет изменения за шаг ∆ t средних параметров ячеек (решение разностных уравнений);
− возврат частицам новых значений скоростей и энергии.
Ключевым моментом эйлерового этапа является использование нерегулярной адаптивно–встраиваемой
сетки. Построение сетки осуществляется следующим способом. Сначала в области решения строится регулярная кубическая сетка, затем осуществляется процедура ее дробления, при котором каждая ячейка делится
на 8 одинаковых ячеек. Процесс дробления прекращается, когда в каждой расчетной ячейке попавшее число
частиц не станет меньше заданного предельного значения.
Система дифференциальных уравнений, решаемая на эйлеровом этапе, имеет вид
ρ
ρ
∂u ∂p
+
=0;
∂t ∂x
ρ
∂v ∂p
+
=0;
∂t ∂y
ρ
∂w ∂p
+
=0;
∂t ∂z
 ∂u ∂v ∂w 
∂I
+ p + +
=0.
∂t
 ∂x ∂y ∂z 
2
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
Здесь u, v, w  компоненты скорости по направлениям, ρ  плотность в ячейке, P  давление в ячейке,
I – удельная внутренняя энергия. Полученная система означает, что изменение величин, характеризующих газ,
в любой фиксированной области равно работе сил давления на границе области.
Для расчета изменения средних величин на шаге ∆t используется конечно–разностная форма уравнений,
предложенная в оригинальной работе Харлоу, обобщенная на трехмерный случай.
M i , j ,k  u i , j ,k − uin, j ,k

δx δy δz 
δt

 1

 +  p n 1
− pn 1
=0
,
,
,
,
i
j
k
i
j
k
+
−
 δx 
2
2


(1.1)
M i , j ,k  v i , j ,k − vin, j ,k

δx δy δz 
δt

 1

 +  p n
− pn 1  = 0
i, j − 2,k 
 δy  i , j + 1 2,k

(1.2)
i i , j , k − wn
M i , j ,k  w
i , j ,k

δx δy δz 
δt

 1

 +  p n
− pn
=0
i , j , k − 1 2 
 δz  i , j ,k + 1 2

(1.3)
n
i
1  Qi , j ,k − Qi , j ,k
δx δy δz 
δt


+


(1.4)
 u i + 1 , j ,k − u i − 1 , j ,k vi, j + 1 ,k − vi, j − 1 ,k wi, j , k + 1 − wi, j , k − 1 
2
2
2
2
2
2 
+ pin, j ,k 
+
+
=0


δx
δy
δz


где M  масса ячейки, Q  внутренняя энергия. Величины с целыми значениями нижнего индекса относятся
к центру ячейки. Величины с полуцелыми значениями нижнего индекса получены как средние величины по
соседним ячейкам соответственно с каждой из шести возможных сторон. В уравнении энергии скорости отмечены черточкой, которая означает, что берется среднее значение между старой и предварительной новой величинами, т. е.
1
1
1 i
w≡ w
+ wn .
u ≡ u + u n ;
v ≡ v + v n ;
2
2
2
(
)
(
)
(
)
Используемая на эйлеровом этапе схема является явной и имеет второй порядок аппроксимации по пространству и первый по времени. При соответствующих граничных условиях она сохраняет полный импульс
и полную энергию. Свойства схемы были изучены в работах Анучиной Н.Н. [24]. В расчетах мы не используем искусственную вязкость. Необходимую диссипацию в областях со скачком газодинамических величин
обеспечивает схемная вязкость и вязкость, возникающая при вычислении средней скорости ячейки при попадании в нее частиц с разными скоростями.
Эйлеров этап заканчивается возвратом частицам новых значений скорости и внутренней энергии.
Задача лагранжева этапа  передвинуть частицы. Частицы передвигаются не со своей скоростью, определенной на эйлеровом этапе, а с некоторой скоростью передвижения. Для ее определения используется сетка,
полученная на эйлеровом этапе со значениями скоростей в центрах ячеек. Скорость передвижения вычисляется
с помощью интерполяции сеточных значений скоростей в точку расположения частицы. Таким образом, перемещение частицы зависит от временного шага, расположения частицы в начале шага, расположения узлов сетки и значений скоростей в этих узлах.
На следующий шаг по времени уходит «обновленный» ансамбль частиц: новые координаты, энергия, скорости. Сетка текущего шага на следующем шаге не используется.Результаты расчета задач
Задача №1. О точечном взрыве
Рассматривается одномерная сферическая задача о точечном взрыве в однородном идеальном газе без
противодавления. Задача является автомодельной и решена Л.И.Седовым [5]. Целью теста является
− Определение величины энергетического дисбаланса.
− Определение точности расчета скорости распространения сильной ударной волны.
− Проверка сохранения симметрии сферического движения на кубической адаптивно–встраиваемой сетке.Постановка задачи взята из [6]. В шаре радиусом 0,1 (область 1) задана начальная внутренняя энергия
единицы массы 107. В сферическом слое 0,1< r <20 (область 2) начальная энергия равна 0. Для обеих областей:
в начальный момент времени плотность равна 1, газ покоится. Модель среды идеальный газ с показателем
3
VII Забабахинские научные чтения
адиабаты 1,4. При уходе ударной волны на расстояние существенно большее, чем радиус области 1, влияние
размера области 1 становится несущественным и решение должно выйти на автомодельное.
Для расчета была выбрана кубическая область с размерами −20 ≤ x, y, z ≤ 20 . На границах расчетной области были выбраны условия типа жесткая стенка, поскольку ударная волна не достигает границ расчетной области. Ансамбль на начальный момент времени создавался следующим образом: частицами заполнялась сферическая область радиуса r = 20, им приписывались начальные скорости и энергии согласно условиям задачи.
Несмотря на то, что материальная плотность по условию теста везде одинакова, плотность частиц в начале
расчета была задана разная. Для области энерговыделения она была максимальная и далее ступенчато уменьшалась. В результате на начальный момент времени шаг сетки в области энерговыделения был в 5 раз меньше
радиуса области 1. Всего было проведено два расчета: грубый с 572 483 частицами и основной (подробный),
в котором использовалось 4 579 785 частиц.
Задача решалась с момента взрыва (t = 0 ) до времени t = 4. В основном варианте задача сосчиталась за
13900 шагов.
На рис. 1 приведена картина распределения плотности и расчетной сетки на моменты времени t = 0,1; 0,5,
1,0; 4,0. Рисунки получены разрезанием трехмерной расчетной области тремя плоскостями, проходящими через центр координат. Обратимся более подробно к результатам расчета.
Рис. 1. Трехмерное распределение плотности на моменты времени t = 0,1; 0,5; 1.0, 4,0
На рис. 2. проведено сравнение аналитического профиля плотности с одномерной зависимость ρ(r ) вдоль
двух лучей с направляющими векторами (0,1; 0,5) и (–2,1; –2), пронизывающих кубические ячейки сетки, на
момент времени t = 3,0. Как видно скачок уплотнения размазывается на три интервала сетки, и наблюдается
удовлетворительное совпадение с аналитическим решением.
ρ
ρ
r
r
Рис. 2. Профиль плотности вдоль луча c направляющими векторами (0,1; 0,5) и (–2,1; –2)на момент времени t = 3,0.
Сплошная линия  расчет, пунктир  аналитика.
На рис. 3 приведен профиль плотности на луче, с направляющим вектором (1; 1; 1) на разные моменты
времени t = 0.05; 0,1; 0,6; 1,95; 3,85.
4
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
ρ
r
Рис. 3. Профиль плотности на луче с направляющим вектором (1,1,1) на моменты времени t = 0.05; 0,6; 1,95; 3,85
Сплошная  расчет, пунктир  аналитика.
Также для сравнения аналитического профиля с расчетным была использована процедура вычисления расчетной плотности, определенной в сферических слоях. Массы частиц, попавших в слой, суммировались, и вычислялось значение плотности в центре слоя. Такие расчетные зависимости на моменты времени 0,05; 0,1; 0,5;
1,0; 2,0; 3,0; 3,95 приведены на рис. 4. Построенная зависимость позволила определить эффективный расчетный радиус фронта ударной волны. Его значение совпадает с радиусом расположения пика в построенной
функции плотности. На графике рис. 5 приведено выраженное в процентах относительное отклонение расчетного радиуса фронта ударной волны от аналитического с течением времени для двух расчетов грубого и подробного. Видно, что уменьшение размера сетки в два раза реализующегося в подробном расчете вдвое уменьшает относительную погрешность расчета расположения фронта ударной волны.
ρ
r
Рис. 4. Средняя плотность сферических слоев на моменты времени t = 0,05; 0,6; 1,95; 3,95.
Сплошная линия  расчет, пунктир  аналитика.
%
t
Рис. 5. Относительное отклонение расчетного радиуса фронта ударной волны от аналитического с течением времени для
двух расчетов:
1  572 483частиц, 2  4 579 785 частиц.
VII Забабахинские научные чтения
5
Для иллюстрации сферичности решения рассмотрим на рис. 6 сечение трехмерного распределения плотности плоскостью z = 0 на момент времени t = 3,95. Видно, что сферичность скачка уплотнения на сетке, представленной тут же реализуется с хорошей точностью.
Рис. 6. Сечение трехмерного распределения плотности плоскостью z = 0 на момент времени t = 3,95
Результаты расчета показали следующее:
− Условие сохранения полной энергии выполнялось с точностью до 13 знака.
− Точности расчета скорости распространения сильной ударной волны для основного расчета менее 3%.
− Симметрии сферического движения на кубической адаптивно–встраиваемой сетке сохраняется. Получено
удовлетворительно согласие с аналитическим решением.Задача № 2. О взаимодействии сферической
ударной волны, порожденной точечным взрывом,
с плотным телом сферической формы
В условие задачи № 1 внесены изменения. Внутри области 2 помещен неподвижный шар радиусом 1 из того же вещества с плотностью ρ = 20, начальная энергия равна 0. Координаты центра шара (0; 4; 4).
Эта задача со сложным движением вещества. Аналитическое решение поставленной задачи неизвестно, однако она допускает двумерную постановку, что позволяет сравнить результаты трехмерного расчета с результатами, полученными по двумерной программе в цилиндрической системе координат.
В расчете участвовало 4 620 496 частиц.
На рис. 7 приведена картина распределения плотности и расчетной сетки на моменты времени t = 0,1; 0,5,
1,0; 1,5; 2,0; 4,0. Рисунки получены разрезанием трехмерной расчетной области тремя плоскостями, проходящими через центр координат. Видна сложная картина обтекания, сжатия и разгрузки шара. Внесение плотного
тела не влияет на решение в далеких точках пространства. Сферичность ударной волны от точечного взрыва
нарушается вблизи плотного тела. Вследствие возникающих различных комбинаций ударных волн шар приобретает форму близкую к вытянутому цилиндру, практически пустому внутри.
Рис. 7. Трехмерное распределение плотности на разрезе тремя плоскостями, проходящими через центр координат.
t = 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0
6
Снежинск, 812 сентября 2003 г.
На рис. 8 представлено положение частиц, изменение плотности и расчетной сетки на момент окончания
счета t = 4. Для иллюстрации изменения плотностью во времени, выбрали логарифмическую шкалу, чтобы на
одном рисунке показать изменение плотности в широком диапазоне: от 0 до 6 на границе скачка в области
сферической волны и выше 100 в области плотного тела.
На рис. 9 мы видим качественное совпадение результатов по двумерной и трехмерной методике.
t = 4,0
Рис. 8. Частицы, распределение плотности и сетка на момент времени t = 4,0
в сечении трехмерного пространства плоскостью x = 0
3D
2D
3D
2D
Рис. 9. Сравнение расчетов по 3D– и 2D–программам. Распределение плотности в сечении трехмерного пространства плоскостью x = 0 на момент времени t = 1,45; 4,0
Ссылки
1. Харлоу Ф.Х. Численные методы частиц в ячейках для задач гидродинамики. // Вычислительные методы
в гидродинамике,1967.
2. Яненко Н.Н., Анучина Н.Н., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газовой динамики
с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды, 1970.
3. Анучина Н.Н. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями // Численные
методы механики сплошной среды, 1970
4. Анучина Н.Н. О решении нестационарных задач газовой динамики методом «частиц в ячейке» Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. / Под ред. К.И. Бабенко, 1979.
5. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.  Москва, Наука, 1981
6. Бондаренко Ю.А., Воронин Б.Л., Делов В.И., Зубов Е.В., Ковалев Н.П., Соколов С.С., Шемарулин В.Е.
Описание системы тестов для двумерных газодинамических методик и программ. Ч.1.Требования к тестам.
Тесты 17.  ВАНТ, серия Математическое моделирование физических процессов.  1991.  Вып. 2.