1. Исследование в обучении

Исследование в обучении.
Тема. Теоремы о корнях квадратного уравнения. (9 класс)
Цель. Формирование умений формулировать и обосновывать теоремы о корнях
квадратного уравнения.
Учебная задача: научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о
корнях квадратного уравнения, применять полученные теоремы для решения задач
с параметрами.
Развивающие задачи:
- развивать творческую сторону мышления;
-учить осуществлять исследовательскую деятельность.
Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда – поиск
рациональных путей решения.
О б о р у д о в а н и е:
- персональные компьютеры;
- презентации для создания проблемной ситуации (см. Приложение 1);
- презентации для самоконтроля (см. Приложение 2);
- карточки с задания (см. Приложение 3).
План занятия.
Информационный ввод – 2 мин.
Актуализация ЗУН – 3 мин.
Исследовательская работа в группах – 15 мин.
Психофизиологическая пауза – 1 мин.
Решение задач с параметром – 12 мин.
Решение задач с параметром с помощью компьютера – 5 мин.
Итог занятия – 2 мин.
Ход занятия
1. Информационный ввод.
- На предыдущем занятии мы с вами научились использовать теорему Виета для
решения задач с параметрами. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию
расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметрами. Тема
нашего занятия – «Теорема о корнях квадратного уравнениях».
2. Актуализация ЗУН.
- Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.
F(x) =Ax2+Bx+C
- Какую информацию о графике f(x) можно получить, зная коэффициенты
квадратного трёхчлена?
Дети отвечают:
 Если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви
параболы направлены вверх,
 Если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви
параболы направленны вниз.
 Если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то график
функции является не парабола, а прямая; и соответствующее уравнение не как
квадратное, а как линейное.
 Если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух
точках.
 Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс.
 Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс.
 Абсцисса вершины параболы равна – .
3. Исследовательская работа в группах.
Особую роль среди уравнений с параметрами играю задачи, связанные с
расположением корней квадратного уравнения. Для решений таких задач можно
сформулировать теоремы, но кол-во таких теорем практически необозримо. Нам
остается только одно – научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой
конкретной задаче.
Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного
уравнения, которые мы с вами только что повторили, но и умение мыслить
одновременно на двух языках – алгебраическом и геометрическом.
На доске сформулированы задачи в общем виде:
При каких значениях
При каких значения
При каких значения
параметра α оба корня
параметра α оба корня
параметра α заданное
квадратного уравнения квадратного уравнения число М лежит между
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0
корнями квадратного
больше заданного числа меньше заданного
уравнения
М?
числа М?
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0 ?
(х1,х2 >M)
(х1,х2 <M)
(х1<M< х2)
Р а б о т а ю т т р и г р у п п ы. Задание каждой группе: составьте теорему для
вашей задачи. Поможет вам в этом презентация Power Point.
Каждая группа запускает свою презентацию, составляет свою теорему.
- Какая группа готова сформулировать свою теорему?
Представители каждой группы выходят к доске, записывают свою систему
неравенств и формулирует теорему.
Теорема. Оба корня
Теорема. Оба корня
Теорема. Заданное
квадратного уравнения квадратного уравнения число М лежит между
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0
корнями квадратного
больше заданного числа меньше заданного
уравнения
М если (и только если)
числа М если (и только
А(α)х2+В(α)х+С(α)=0 если
имеет место система
если) имеет место
(и только если) имеет
место система
В о п р о с каждому представителю групп:
- Обоснуйте свой ответ. Объясните, почему ни одно из неравенства нельзя удалить
из вашей системы.
Учащиеся приводят противоречащие примеры.
Обсуждая третью теорему, учащиеся замечают, что требование
вовсе
необязательно.
- Итак, вы научились формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения и
обосновывать эти теоремы.
4. Психофизиологическая пауза.
Учащимся предложены упражнения для коррекции осанки и упражнения
гимнастики для глаз.
5. Решение задач с параметром.
- Предлагаю вам ряд задач с параметрами (см. Приложение 3).
- Определите, каким методом решать каждую из предлагаемых задач с
параметрами. Проверить своё решение вы можете, открыв презентацию с
решением вашей задачи (см. Приложение 2).
Учащиеся решают задачи.
6. Решение задач с параметром с помощью компьютера.
- Составьте собственные задачи с параметром, которые решаются с помощью
составленных вами сегодня теорем.
- Запишите эти уравнения в тетрадь и решите их.
7. Итог занятия.
- Сегодня мы научились получать геометрическую интерпретацию задачи с
параметром, с помощью этого чертежа составлять подходящую систему
неравенств для решения данной задачи.
В качестве домашнего задания составьте задачи с параметром, которые решаются
с с=помощью составленных вами сегодня теорем, и решите эти задачи
аналитически.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Приложение 1
ПРЕЗЕНТАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ В ГРУППАХ
.
При каких значениях параметра α оба корня квадратного уравнения меньше
заданного числа М?
Возможны два случая:
Случай: А>0.
- Подумайте, что можно сказать о дискриминанте.
X1
Случай: А>0.
- Подумайте , что можно сказать о
X2
.
X1
X2
M
Случай: А>0.
Сравните М и абсциссу вершины параболы.
M
X1
Случай: А>0.
Запишите систему неравенств:
X2
M
X1
X2
Случай: А<0.
- Подумайте, что можно сказать о дискриминанте.
X1
X2
M
Случай: А<0.
- Подумайте, что можно сказать о
.
X1
X2
M
Случай: А<0.
Сравните М и абсциссу вершины параболы.
X1
X2
M
Случай: А<0.
Запишите систему неравенств:
X1
X2
M
Сравните две полученные системы и постарайтесь составить
универсальную систему для обоих случаев.
Итак, вы получили т е о р е м у: Оба корня квадратного уравнения м е н
ь ш е заданного числа М, если (и только если) имеет смысл система:
- При каких значениях параметра α заданное число М лежит между
корнями квадратного уравнения?
Возможны два случая: А>0 и А<0.
Случай: А>0.
- Подумайте, что можно сказать о дискриминанте.
М
X1
Случай: А>0.
- Подумайте, что можно сказать о
X2
.
М
X1
X2
Случай: А>0.
Запишите систему неравенств:
М
X1
X2
Случай: А<0.
- Подумайте, что можно сказать о дискриминанте.
X1
X2
М
Случай: А<0.
- Подумайте, что можно сказать о
.
X1
X2
М
Случай: А<0.
Запишите систему неравенств:
X1
X2
М
Сравните две полученные системы и постарайтесь составить
универсальную систему для обоих случаев.
Итак, вы получили т е о р е м у: Заданное число М лежит между
корнями квадратного уравнения, если (и только если) имеет смысл
система:
Приложение 2
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИЙ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ И САМОКОРРЕКЦИИ
При каких значениях параметра α корни квадратного уравнения
лежат по разные стороны от числа 2?
Р е ш е н и е.
Рассмотрим функцию
.
;
;
;
.
Ответ:
.
При каких значениях параметра α оба корня квадратного уравнения
больше ?
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
.
Решений нет.
О т в е т: решений нет.
Найти все значения параметра α, при которых оба корня квадратного уравнения
больше 3.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
.
Решаем первичное неравенство системы:
,
.
.
Ответ:
.
Найти все значения параметра α, у которых оба корня квадратного уравнения
меньше -1.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
.
Решений нет.
Ответ: решений нет.
Найти все значения параметра α, при которых число 3 лежит между корнями
квадратного уравнения
.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
.
;
;
;
.
Ответ:
.
Приложение 3
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решите следующие задачи с параметром.
При каких значениях параметра α корни квадратного уравнения
лежат по разные стороны от числа 2?
При каких значениях параметра α оба корня квадратного уравнения
больше ?
Найти все значения параметра α, при которых оба корня квадратного уравнения
больше 3.
Найти все значения параметра α, при которых оба корня квадратного уравнения
меньше -1.
При каких значениях параметра α оба корня квадратного уравнения
меньше 1.
Найти все значения параметра α, при которых число 3 лежит между корнями
квадратного уравнения
.