ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЬНОГО ОППОНЕНТА о диссертации Кармановой Марии Борисовны
advertisement
ОТЗЫВ ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЬНОГО ОФИЦИАЛЬНОГО ОППОНЕНТА ОППОНЕНТА о Кармановой Марии Марии Борисовны Борисовны о диссертации диссертации Кармановой _ Каратеодори «Метрические аспекты аспекты пространств пространств Карно Каратеодори и и применения» применения» «Метрические Карно — на доктора физико-математических ученой степени степени доктора физико-математических наук наук на соискание соискание ученой 01.01.01 «вещественный, комплексный комплексный по – «вещественный, по специальности специальности 01.01.01 и и функциональный функциональный анализ» анализ» Диссертация М. М. Б. Б. Кармановой Кармановой посвящена посвящена исследованию исследованию метрических метрических свойств свойств пространств пространств Диссертация ~ Каратеодори Каратеодори и и их их применению применению к к решению решению важных важных задач задач геометрической геометрической теории теории Карно Карно — меры. диссертационного исследования меры. Несмотря Несмотря на на то, то, что что основные основные результаты исследования получены получены результаты диссертационного при минимальных минимальных предположениях предположениях на на гладкость гладкость базисных базисных векторных векторных полей, полей, многие многие из из них них при являются являются новыми новыми и ив в бесконечно бесконечно гладком гладком случае. случае. К К таким таким результатам результатам относятся относятся новые новые коко~ Каратеодори личественные локальные локальные оценки оценки сравнения сравнения геометрий геометрий пространства пространства Карно Карно — личественные Каратеодори и и группы, субримановы субримановь1 формулы формулы площади площади (для (для липшицевых линшицевых во во внутреннем внутреннем смысле смысле локальной локальной группы, M +1 и коплощади коплощади (для (для контактных контактных отображений отображений класса и др. отображений) )и др. Структуры отображений) и класса C СМ+1) Структуры ~ Каратеодори различных пространств пространств Карно Карно — Каратеодори (от (от относительно относительно простых, простых, трехмерных трехмерных до различных до додосложных большой большой глубины) глубины) возникают возникают при при моделировании моделировании и и решении решении разнообразных разнообразных вольно вольно сложных теоретических и и прикладных прикладных задач задач физики, физики, контактной контактной геометрии, геометрии, теории теории гипоэллиптичегипоэллиптичетеоретических ских д. Так ских уравнений, уравнений, экономики, экономики, астродинамики, астродинамики, роботехники, роботехники, нейробиологии нейробиологии и и т. т. д. Так как как не не описывать поставленпоставленвсегда всегда известно известно заранее, заранее, какая какая именно именно модель модель будет будет наиболее наиболее точно точно описывать ~ Каратеодори знать фундаментальные фундаментальные свойства свойства пространств пространств Карно Карно — Каратеодори при при ную ную задачу, задачу, важно важно знать минимальных ограничениях, ограничениях, в в том том числе, числе, и и на на гладкость гладкость базисных базисных полей. полей. Важную Важную роль роль в в минимальных приложениях играет играет теория теория потоков, потоков, в в которой которой существенно существенно используется приложениях используется формула формула коплокоплощади (она (она имеет в рамках рамках интегральной интегральной щади имеет также также большое большое значение значение в в классическом классическом анализе анализе в геометрии и и др.). Кроме того, того, не не меньшую меньшую геометрии, др.). Кроме геометрии, теории теории особенностей, особенностей, алгебраической алгебраической геометрии важность для для решения решения задач задач имеет имеет и и формула формула замены замены переменной. переменной. До недавнего времевремеважность До недавнего ни все все эти эти вопросы вопросы оставались оставались открытыми открытыми для субримановых пространств. пространств. В В диссертации ни для субримановых диссертации М. Б. Б. Кармановой Кармановой проведено проведено исследование поверхностей на на группах группах М. исследование классов классов минимальных минимальных поверхностей Карно и и приведен приведен пример пример такой такой поверхности. поверхности. Карно на то, то, что что исследуемые исследуемые пространства пространства впервые впервые появились появились еще еще в в начале начале XX ХХ вевеНесмотря Несмотря на ка ка в в работе работе К. К. Каратеодори, Каратеодори, глубокое глубокое их их изучение изучение началось началось лишь лишь сс работ работ Л. Л. Хёрмандера Хёрмандера условия для для гипоэллиптичности гипозллиптичности дифференциального (где дифференциального операто(где он он нашел нашел необходимые необходимые условия оператоМ. Стейна, Стейна, когда объявил программу программу исследования исследования субримановых пространств. ра) и и Э. Э. М. когда он он объявил субримановых пространств. ра) 1 Фундаментальные результаты результаты в в настоящее настоящее время время получены получены в в трудах трудах М. М. Громова, Громова, Г. Г. А. А. МарМарФундаментальные гулиса, др. Г. Д. Д. Мостова, Мостова, С. С. К. К. Водопьянова, А. В. В. Грешнова Грешнова и и др. гулиса, Г. Водопьянова, А. В настоящее настоящее время время субриманова субриманова геометрия геометрия и и смежные смежные области области широко Широко применяется применяется в в В решении разнообразных прикладных прикладных задач задач (отметим, (отметим, что Что многие многие задачи задачи такой такой актуальной актуальной решении разнообразных как геометрическая геометрическая теория теория управления, управления, можно можно интерпретировать интерпретировать на на области области математики, математики, как языке языке субримановой субримановой геометрии), геометрии), см. см. описание описание в в книгах книгах А. А. А. А. Аграчева, Аграчева, М. М. И. И. Зеликина, Зеликина, А. Блока, Блока, Р. Р. Монтгомери, Монтгомери, Ю. и др. А. др. Ю. Л. Л. Сачкова Сачкова и Диссертация Диссертация М. М. Б. Б. Кармановой Кармановой состоит состоит из из введения, введения, четырех четырех разделов, разделов, заключения заключения и и литературы, содержащего 311 наименований и и охватывающего охватывающего наиболее значимые списка литературы, по теме теме диссертации. Общий объем диссертации 258 страниц. публикации по диссертации. Общий диссертации составляет 258 Во введении введении детально описаны известные известные результаты результаты и и методы методы теории теории субримановых субримановых Во детально описаны пространств, дан дан обстоятельный пространств, обстоятельный обзор обзор литературы, литературы, содержащей содержащей классические классические теоретические теоретические и современные современные приложения. приложения. Тем Тем самым, самым, актуальность актуальность диссертационного результаты диссертационного исследорезультаты и исследования подробно подробно и и грамотно грамотно обоснована. обоснована. Также анализ результатов результатов вания Также проведен проведен сравнительный сравнительный анализ диссертации сс приведенными приведенными в в наиболее наиболее известных источниках. Сформулированы и и методов методов диссертации известных источниках. Сформулированы результаты диссертации, диссертации, перечислены перечислены публикации публикации по по теме теме исследования исследования и и список список основные основные результаты научных мероприятий, мероприятий, на на которых которых они они докладывались. докладывались. научных - теорема 1.3.12 результат первого первого раздела диссертации 1.312 о сравнении локальлокальОсновной результат диссертации — ~ Каратеодори ных метрических метрических структур структур пространства пространства Карно ных Карно — Каратеодори и и локальной локальной однородной однородной группы, в в которой которой выведены выведены новые новые количественные количественные оценки. оценки. Такие Такие же же оценки оценки получены получены и и группы, «цепей» точек для «цепей» точек (теоремы (теоремы 1.3.18 1.320). Для указанного результата для 1.318 и и 1.3.20). Для получения получения указанного результата установустановлокальной группы группы структурными структурными константами константами (теорема (теорема 1.1.16), 1.116), лена лена теорема теорема об об определении определении локальной также выведено выведено представление представление базисных базисных векторных векторных полей полей через через нильпотентизированные нильпотентизированные аа также создания нового субримановых структур структур (лемма (лемма 1.3.7). 1.3.7). Необходимость Необходимость создания нового метода метода исследования исследования субримановых случае, когда когда базисные базисные поля поля принадлежат обусловлена диссертации случае, обусловлена тем, тем, что что в в изучаемом изучаемом в в диссертации принадлежат 1 классу C никакие ранее ранее известные методы, предполагающие предполагающие использование лишь , никакие лишь классу 01, известные методы, использование теоретеоре- ~ Кэмпбелла ~ мы Громова Громова о о сходимости сходимости масштабированных масщтабированных полей полей и и формулы формулы Бейкера мы Бейкера — Кэмпбелла — Актуальность изучения изучения структур структур сс минимальной минимальной гладкостью гладкостыо подХаусдорфа, Хаусдорфа, не не работают. работают. Актуальность подприведенный пример пример такой такой структуры структуры (пример (пример 1.1.12). 1.1.12). Далее тверждает Далее вв первом тверждает приведенный первом разделе разделе приведены в в качестве качестве следствий следствий результаты, теории (теорема (теорема МитМитрезультаты, составляющие составляющие основы основы теории приведены аппроксимационные теоремы теоремы для метрик и и квазиметрик квазиметрик (теоремы (теоремы 1.3.16 челла, для метрик челла, локальные локальные аппроксимационные 1.316 ~ Каратеодори и 1.3.17), 1.317), тонкие тонкие локальные локальные оценки оценки для и для пространств пространств Карно Карно — Каратеодори сс весовой весовой фильфиль- трацией (подраздел 1 А) ) . трацией (подраздел 1.4)). 2 Раздел 22 посвящен площади для липшицевых во во Раздел для липшицевых посвящен выводу выводу субриманова субриманова аналога аналога формулы формулы площади ~ Каратеодовнутреннем внутреннем смысле смысле отображений отображений многообразий многообразий Карно Карно в в пространства пространства Карно Карно — Каратеодори (теорема (теорема 2.2.7). 2.2.7 В В качестве качестве одного одного из из вспомогательных вспомогательных результатов результатов получена ри получена формула формула площади для радля гладких гладких контактных контактных отображений отображений (теорема (теорема 2.1.41). 21.41). Полезное Полезное средство площади для средство для ра~ новый боты сс поверхностями поверхностями на на неголономных неголономных структурах структурах — новый субриманов субриманов аналог аналог евклидовой евклидовой боты метрики, метрики, сс помощью помощью которого которого возможно возможно однозначное однозначное определение определение формы формы (следовательно, (следовательно, и меры) меры) для для плоского плоского сечения в такой такой квазиметрике квазиметрике (определение 21.16). Другие и Другие посечения шара шара в (определение 2.1.16). по~ описание описание метрической метрической структуры структуры поверхностей-образов поверхностей-образов (теоремы (теоремы 2.1.29 2.1.29 лезные средства — и 2.1.34), 21.34), аа также также определение и диффеопределение субриманова субриманова якобиана якобиана через через значения значения субриманова субриманова диффе- ренциала (определение 21.38). Для применен оригиоригиренциала Для доказательства (определение 2.1.38). доказательства основного основного результата результата применен нальный нальный метод, метод, использующий использующий кроме кроме перечисленных перечисленных вспомогательных вспомогательных результатов, результатов, новые новые в изучении изучении прообразов прообразов отображений отображений при при исходном исходном и и «касательном» «касательном» отобраидеи, идеи, состоящие состоящие в отобра- жениях. жениях. Необходимость Необходимость нового нового подхода подхода вызвана вызвана тем, тем, что что липшицевы липшицевы во во внутреннем внутреннем смысле смысле не могут могут быть быть достаточно достаточно точно точно приближены приближены «касательным» «касательным» отображением. отображением. отображения отображения не что этот этот подход подход эффективен эффективен и и для отображений евклидовых евклидовых пространств. пространств. Следует заметить, что для отображений - субриманова результат третьего третьего раздела Основной диссертации — Основной результат раздела диссертации субриманова формула формула коплощади коплощади M +1 ~ глубина для контактных отображений отображений класса класса C глубина прообраза для контактных , где СМ+1, где M М— прообраза (теорема (теорема 3.5.1). Здесь 3.5.1). Здесь впервые введено введено определение определение субриманова в терминах терминах субримасубримавпервые субриманова коэффициента коэффициента коплощади коплощади в нова дифференциала 3.214). Автор Автор рассматривает отображения, в нова дифференциала (определение (определение 3.2.14). рассматривает отображения, в прообразе прообразе которых нет нет групповой групповой структуры структуры и и нет нет ограничений ограничений на на глубину, глубину, аа образ которых образ имеет имеет неголонеголономную структуру. трудных задач задач состоит состоит в соотношения номную структуру. Здесь Здесь одна одна из из самых самых трудных в нахождении нахождении соотношения римановой и и субримановой субримановой мер мер на на поверхностях поверхностях уровня, уровня, необходимого необходимого для получения субрисубриримановой для получения варианта формулы формулы из Эти трудные трудные задачи о метрических метрических свойствах свойствах манова манова варианта из классического. классического. Эти задачи о М. Б. Б. Карманова Карманова успешно успешно решила решила сс помощью помощью применения применения оригинальных оригинальных методов, методов, испольиспольМ. зующих в в основном, основном, свойства нормальным рангом, рангом, новую новую зующих дифференциала сс нормальным свойства субриманова субриманова дифференциала «СМЄШЗННУЮ» квазиметрику КВаЗИМЄТрИКУ и И свойства СВОЙСТВЭ, шаров ШарОВ в В новой НОВОЙ квазиметрике, КВаЁЗИМЄТрИКЄ, выведенных ВЫВЄДЄННЫХ в В раздераЁЗДЄ«смешанную» (теоремы 3.2.4 и 3.2.8). ле ле 22 (теоремы 3.2.4 и 3.2.8). Наконец, в четвертом разделе заложены основы нового подхода к исследованию класНаконец, сов минимальных минимальных поверхностей поверхностей на на группах группах Карно. Карно. Впервые Впервые изучены изучены метрические метрические свойства свойства сов (определение 4.1.14), 4.114), определяемых определяемых липшицевыми липшицевыми в в субсубклассов поверхностей-«графиков» поверхностей-«графиков» (определение смысле отображениями отображениями групп групп Карно. Карно. Как Как выяснилось, выяснилось, отображения-«графики» римановом римановом смысле отображения-«графики» могут даже не быть быть липшицевыми липшицевыми во во внутреннем внутреннем смысле смысле отображениями отображениями (в (в отличие отличие от от риримогут даже не манова случая), развитую С. К. ВоВослучая), поэтому поэтому теорию теорию субримановой субримановой дифференцируемости, С. К. манова дифференцируемости, развитую 3 допьяновым, к таким таким отображениям отображениям применить применить невозможно. невозможно. Тем Тем не не менее, менее, автором допьяновым, к автором эта эта трудность дифференполиномиальной субримановой субримановой дифферентрудность преодолена: преодолена: она она ввела ввела новое новое понятие понятие полиномиальной цируемости, обобщающее 4.1.8), и цируемости, доказала, обобщающее определение определение С. С. К. К. Водопьянова Водопьянова (определение (определение 4.1.8), и доказала, что дифференцируемы почти что отображения-«графики» отображения-«графики» полиномиально полиномиально субриманово субриманово дифференцируемь1 почти всюду. всюду. Кроме того, того, для поверхностей доказана 4.125 содержит оба оба реКроме для поверхностей доказана формула площади (теорема 4.1.25 зультата). инструментарием выступают выступают адаптированный адаптированный базис базис и и адаптированная адаптированная зультата). Основным Основным инструментарием «внутренняя» мера мера (определение 4.117), сс помощью помощью свойств свойств которых которых установлены установлены эти эти важваж«внутренняя» (определение 4.1.17), ные факты. факть1. В В подразделе подразделе 4.2 4.2 выведены выведены необходимые необходимые и и достаточные условия минимальности минимальности ные достаточные условия «внутренней» меры) меры) (теорема (теорема 4.2.4). 4.2.4). Далее введено понятие субримановой (относительно Далее введено (относительно «внутренней» понятие субримановой кривизны (определение (определение 4.2.5), 4.2.5), и и найдено найдено условие минимальности поверхности поверхности средней для минимальности средней кривизны условие для на кривизну (предложение (предложение 4.2.7). 4.2.7). Также Также автор приводит пример пример поверхности, поверхности, удовлетвоудовлетвона ее ее кривизну автор приводит ряющей условиям условиям критерия, критерия, иными иными словами, словами, субриманова субриманова средняя средняя кривизна кривизна которой которой равна равна ряющей нулю (пример 4.2.8). 4.2.8). нулю (пример В качестве качестве замечаний замечаний отметим следующее. В тексте диссертации оговорить, В диссертации следовало бы оговорить, что способ введения субримановых субримановых мер мер (с (с центрами центрами сс точках точках покрываемого покрываемого множества) множества) в в исследования случаях случаях эквивалентен зквивалентен классическому способу, а в случае существенных для для исследования множеств нулевой нулевой меры меры не не влияет влияет на на формулы формулы геометрической геометрической теории теории меры, меры, несмотря несмотря на на множеств несовпадение. Имеется Имеется незначительное незначительное количество количество несущественных несущественных опечаток опечаток в в диссертации несовпадение. диссертации и автореферате. автореферате. Указанные замечания не не снижают снижают высокой высокой оценки оценки научного научного уровня уровня диссери диссер- тации М. М. Б. Б. Кармановой. Кармановой. тации работе М. М. Б. Б. Кармановой Кармановой проведено проведено глубокое глубокое и В диссертационной работе В целом, целом, в в диссертационной и систематисистематизадач анализа анализа на на субримановых субримановых пространствах; пространствах; оно оно ческое ческое исследование исследование и и решение решение важных важных задач выполнено на на очень очень высоком высоком научном научном уровне уровне и и свидетельствует свидетельствует о о высоком высоком потенциале выполнено потенциале ее ее в качестве качестве основных основных следующие результаты: автора. автора. Отмечу Отмечу в следующие новые новые результаты: 1) Установлены новые количественные локальные оценки оценки сравнения сравнения локальных локальных структур структур 1) Установлены новые количественные локальные - Каратеодори. пространства Карно пространства Карно — Каратеодори. 2) Для липщицевых во во внутреннем внутреннем смысле смысле отображений отображений доказана 2) Для липшицевых доказана новая новая формула формула площаплощади и введено введено определение определение субриманова субриманова якобиана якобиана в в терминах терминах субриманова ди и дифференциала. субриманова дифференциала. (в римановом римановом смысле) смысле) контактных контактных отображений отображений получена получена субриманова 3) Для гладких гладких (в субриманова 3) Для поведение мер мер на на множествах множествах уровня уровня и и введено введено определение формула коплощади, коплощади, изучено изучено поведение определение формула коплощади в в терминах терминах субриманова субриманова дифференциала. субриманова дифференциала. субриманова коэффициента коэффициента коплощади 4) Для Для групп групп Карно Карно проведено проведено фундаментальное класса поверхностей-«гра4) фундаментальное исследование исследование класса поверхностей- <<графиков», в в котором котором обобщено обобщено понятие понятие субримановой фиков», дифференцируемости, доказана доказана формусубримановой дифференцируемости, форму- 4 и найдены найдены критерии критерии минимальности минимальности для таких ла для поверхностей-«графиков» для таких ла площади площади для поверхностей-«графиков» и классов поверхностей. внутренним единством, единством, она она изложена изложена ясным ясным языком, языком, все Диссертация Диссертация обладает обладает внутренним все ее ее попо- ложения ложения четко четко прописаны, прописаны, аа все все новые новые результаты результаты строго строго доказаны доказаны и и представляют представляют собой собой новые факты факты теории теории субримановых субримановых пространств. пространств. Результаты Результаты и и методы Методы разделов разделов о о геометрии геометрии новые ~ Каратеодори пространств пространств Карно подкреплены примепримеКарно — Каратеодори и ио о субримановой субримановой формуле формуле площади площади подкреплены рами их их применения применения другими другими авторами авторами к к решению решению трудных трудных и и интересных интересных задач: задач: обобщенное рами обобщенное ~ Чоу треугольника (установлено теорема Рашевского неравенство неравенство треугольника (установлено С. С. К. К. Водопьяновым), Водопьяновым), теорема Ращевского — Чоу 1 для многообразий Карно Карно сс C векторными полями полями (доказана (доказана в для многообразий -гладкими векторными Сї-гладкими в совместной совместной работе работе Г. Басалаева Басалаева и Водопьянова), Ball-Box ВаП-Вох теорема С. и С. С. К. К. Водопьянова), теорема и и теорема теорема о о локальной локальной билипшицевой билипшицевой С. Г. ~ Каратеодори эквивалентности эквивалентности метрики метрики Карно Карно — Каратеодори и и квазиметрики (100 (выведена С. К. ВодоВодоквазиметрики d С. К. ∞ (выведена пьяновым), развитие развитие теории теории неэквирегулярных незквирегулярных пространств пространств при при условии условии минимальной минимальной гладгладпьяновым), кости кости (результаты изложены в в работах работах С. В. Селивановой), развитие теории теории субримановой субримановой (результаты изложены С. В. Селивановой), развитие дифференцируемости при минимальной минимальной гладкости гладкости (основные (основные факты факты установлены установлены в в работах работах дифференцируемости при Водопьянова), развитие теории минимальных минимальных поверхностей поверхностей на на классах классах групп групп Карно С. С. К. К. Водопьянова), развитие теории Карно (результаты получены получены автором) автором) и и т. т. д. Таким образом, образом, поставленные поставленные и и решенные решенные в (результаты д. Таким диссерв диссертации задачи задачи имеют имеют общий общий характер, характер, а а автором автором диссертации, М. Б. Б. Кармановой, Кармановой, созданы созданы тации диссертации, М. новые методы, методы, имеющие имеющие перспективы перспективы применения применения сс очевидными очевидными обобщениями обобщениями к к трудным трудным новые актуальным задачам анализа и приложений. приложений. актуальным Методы диссертации составляют Методы и и результаты результаты диссертации составляют существенный существенный вклад вклад в в теорию теорию субриманосубримановь1х пространств, пространств, аа их их обобщение обобщение и и распространение распространение на структуры позволят позволят не не только только вых на новые новые структуры устанавливать новые новые важные важные факты факты субримановой субримановой геометрии, геометрии, но но также также решать решать трудные трудные ототустанавливать крытые проблемы проблемы в в других направлениях анализа. анализа. крытые других направлениях Все источники источники заимствования заимствования материалов материалов и и отдельных отдельных результатов результатов правильно правильно процитипроцитиВсе ровань1 в в диссертации и автореферате автореферате М. М. Б. Б. Кармановой. Кармановой. В В случае, случае, когда когда научный научный результат результат рованы диссертации и работы работы получен получен в в соавторстве, соавторстве, это это обстоятельство обстоятельство отдельно отдельно отмечается отмечается перед перед формулировформулироввклад соавторов соавторов является является равнозначным, равнозначным, единым единым и и неделинеделикой кой результата результата сс указанием, указанием, что что вклад мым. мым. Автореферат полностью полностью и и правильно правильно отражает отражает основные Автореферат диссертации. Они основные результаты результаты диссертации. Они опубликованы в в 17 17 работах. Из них них 13 13 работ в российских российских журжурсвоевременно своевременно опубликованы работах. Из работ опубликованы опубликованы в перечня ВАК ВАК российских российских рецензируемых рецензируемых научных научных журналов журналов и и изданий изданий для опубналах для опубналах из из перечня ~ в ликования основных основных результатов результатов докторских в международных международных научных научных ликования докторских диссертаций, диссертаций, 22 — ~ в индексируемых в и еще еще 22 — в международных международных нанажурналах, данных Web журналах, индексируемых в базе базе данных Шеф) of ої Science, Ѕсіепсе, и учных серийных серийных изданиях изданиях (книгах), (книгах), выпускаемых выпускаемых издательством издательством Birkhäuser. ВігкЬаиЅег. По По теме теме дисучных дис- 5 сертации автор неоднократно делала доклады, в том числе, основные (приглашенные), на различных научных конференциях и семинарах. Считаю, что ддиссертация «Метрические аспекты пространств Карно - Каратеодори и применения» удовлетворяет всем требованиям ВАК к диссертациям на соискание ученой степени доктора наук, а ее автор, Карманова Мария Борисовна, несомненно, заслуживает присуждения ей ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 _ <<вещественньїй, комплексный и функциональный анализ». Официальный оппонент доктор физико-математических наук, профессор Август Карлович Цих 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79 телефон: +7 (391) 2062076 е-шаі1: АТЅіКЬСЄЁЅїЦ-кгыаги Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Сибирский федеральный университет" Заведующий кафедрой теории функций о Института математики и фундаментальной информатики 5% из, А. К. Цих 21 октября 2014 г. 1 ДПись <І4/)<0~“ *"'“" 1
