Применение уравнения состояние идеального газа

ПРИМЕНЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
.
Примеры задач:
№1 Сферическую оболочку воздушного шара
делают из материала, квадратный метр которого
имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием.
Атмосферное давление 105 Па равно давлению
гелия в шаре. Определите минимальную массу
оболочки, при которой шар оторвётся от земли.
Температура гелия и окружающего воздуха
одинакова и равна 0 °С.
.
Примеры задач:
№2 В камере, заполненной азотом, при температуре T0  300
К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1).
Высота сосуда L  50 см. Сосуд плотно закрывают
цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры T1  240
К . В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки
становится равным h см (см. рис. 2). Затем сосуд
нагревают до первоначальной температуры T0. Расстояние
от дна сосуда до низа пробки при этой температуре
становится равным H  46 см (см. рис. 3). Чему равно h ?
Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда
считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх.
Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во
время эксперимента поддерживается постоянным.
Примеры задач:
.
пробка
L
T0
h
T1
H
T0
.
Примеры задач:
№3 В горизонтально расположенной трубке
постоянного сечения, запаянной с одного конца,
помещен столбик ртути длиной 15 см, который отделяет
воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили
вертикально запаянным концом вниз и нагрели на 60 К.
При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился.
Давление атмосферы в лаборатории – 750 мм рт.ст.
Какова температура воздуха в лаборатории?
.
Примеры задач:
№4
Воздушный шар с газонепроницаемой
оболочкой массой 400 кг заполнен гелием. На
высоте, где температура воздуха
17С
и
давление 105 Па, шар может удерживать груз
массой 225 кг. Какова масса гелия в оболочке
шара? Считать, что оболочка шара не оказывает
сопротивления изменению объема шара.
.
1. Учет гидростатического давления
Пустую открытую стеклянную бутылку опускают
в воду на глубину h.
1. Если погружать бутылку дном вниз,
воздух из нее выйдет пузырьками, и
бутылка наполнится водой.
Объясните, почему?
Указание: Плотность воздуха меньше
плотности воды.
.
1. Учет гидростатического давления
2. Почему при этом бутылка сразу утонет?
Указание: Плотность стекла больше
плотности воды.
.
1. Учет гидростатического давления
3. Если погружать бутылку дном вверх,
воздух из нее выйти не сможет.
Объясните, почему?
4. Почему при погружении бутылки
дном вверх объем воздуха в ней будет
уменьшаться с увеличением глубины?
Указание: давление воздуха в бутылке
равно давлению воды, а оно с
увеличением глубины возрастает.
.
1. Учет гидростатического давления
Обозначим плотность воды в ,
внутренний объем бутылки V0, объем
содержащегося в ней воздуха Vвозд,
атмосферное давление Pа. Будем
считать, что температура воздуха в
бутылке остается постоянной.
Найдём соотношение между объёмом
воздуха V0 в бутылке перед
погружением и объёмом воздуха Vвозд в
бутылке на глубине h .
.
1. Учет гидростатического давления
5. Объясните, почему при погружении
бутылки на глубину h справедливо
уравнение?
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
Указание: Воспользуйтесь законом
Бойля–Мариотта.
.
1. Учет гидростатического давления
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
6. Во сколько раз уменьшится объем
воздуха в бутылке при погружении ее на
глубину 10 м?
.
1. Учет гидростатического давления
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
вод gh
V0

1  2
Vвозд
Pа
.
1. Учет гидростатического давления
7. Как изменяется при увеличении
глубины действующая на бутылку с
воздухом сила Архимеда?
.
1. Учет гидростатического давления
7. Как изменяется при увеличении глубины
действующая на бутылку с воздухом сила
Архимеда?
Уменьшается, так как уменьшается объем
воздуха.
( При нахождении силы Архимеда объем
погруженного в воду тела надо считать
равным суммарному объему стекла и
воздуха в бутылке.)
.
1. Учет гидростатического давления
При некоторой глубине погружения сила
Архимеда станет равной силе тяжести.
При погружении на еще большую глубину
сила Архимеда будет уже меньше силы
тяжести, и бутылка с воздухом станет
тонуть.
.
1. Учет гидростатического давления
Можно ли пренебречь силой тяжести,
действующей на воздух, по сравнению с
силой тяжести, действующей на бутылку?
9. Во сколько раз масса воздуха,
содержащегося в бутылке, меньше массы
бутылки, если в ней помещается 0,5 л?
Примите массу бутылки равной 0,5 кг;
плотность воздуха при 20 оС приближенно
равна 1,2 кг/м3.
.
1. Учет гидростатического давления
Примерно в 830 раз.
Массой воздуха в бутылке с хорошей
точностью можно пренебречь по сравнению с
массой бутылки.
.
1. УЧЕТ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
10. Когда погруженная полностью в воду
бутылка с воздухом находится в равновесии,
справедливо следующее уравнение:
с Vс g  в g (Vвозд  Vс )
Объясните, почему?
.
11. В воду опускают дном вверх открытую бутылку,
содержащую воздух при атмосферном давлении.
Вместимость бутылки 0,5 л, объем стекла 0,2 л,
плотность стекла в 2,5 раза больше плотности воды,
атмосферное давление 100 кПа.
а) Чему будет равен объем воздуха в бутылке, когда
бутылка будет находиться в воде в равновесии?
б) На какой глубине будет при этом бутылка?
,
.
а)
с Vc g  в g  Vc  Vвозд 
Vвозд
 c

 Vc 
 1
 в

3
Vвозд  0,3  10 м
3
,
.
б)


pа Vо  p а в gh Vвозд

pа  Vo
h
 1  6, 67 м


в g  Vвозд

.
В рассмотренной ситуации массой воздуха можно было
пренебречь, потому что при давлении, близком к
атмосферному, плотность воздуха намного меньше
плотности воды и твердых тел.
Но если речь идет о поднятии грузов с большой глубины
с помощью сжатого воздуха, то надо учитывать, что
масса сжатого воздуха может оказаться существенной.
.
12. Исследователи океанских глубин обнаружили на
глубине 1 км затонувший сундук с сокровищами. Масса
сундука 2,5 т, объем — 1 м3.
Сундук привязали тросом к прочному пустому
водонепроницаемому мешку и стали закачивать в мешок
воздух до тех пор, пока он начал всплывать вместе с
сундуком.
Для упрощения расчетов примем плотность морской
воды равной плотности пресной воды. Будем считать
воду несжимаемой, а объем оболочки мешка
пренебрежимо малым. Температуру воды на большой
глубине можно считать близкой к 0 оС.
.
а) Надо ли учитывать атмосферное давление для
определения давления воздуха в мешке?
б) Обозначим  плотность воды, mс и mв массу сундука и
массу воздуха в мешке, Vс и Vв объем сундука и объем
воздуха в начале всплытия, Mв — молярную массу
воздуха, T — абсолютную температуру воды. Запишите
систему двух уравнений с двумя неизвестными (mв и Vв),
считая, что атмосферным давлением можно пренебречь.
.
б)
m
с
 mвозд  g  в g  Vс  Vвозд 
pVвозд 
mвозд
Mвозд
RT
.
в) Чему равен объем воздуха в мешке, когда мешок с
сундуком начал всплывать?
m
с
 mвозд  g  в g  Vс  Vвозд 
pVвозд 
mвозд
Mвозд
Vвозд
RT
Vвозд
mс  в Vс

pMвозд
в 
RT
 1,724 м3
.
г) Чему равна масса воздуха в мешке, когда мешок с
сундуком начал всплывать?
mвозд 
mвозд
pVвозд Mвозд
RT
 220 кг
.
д) Можно ли не выпускать из мешка воздух до тех пор,
пока мешок с сундуком не всплывут на поверхность?
.
д) Можно ли не выпускать из мешка воздух до тех пор,
пока мешок с сундуком не всплывут на поверхность?
Воздух надо постепенно выпускать, потому что давление
воздуха в мешке в начале всплытия настолько велико (в
сто раз больше нормального атмосферного давления), что
даже самый прочный мешок лопнул бы при подъеме.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
В стеклянной трубке, запаянной с одного конца, находится
воздух. Этот воздух отделен от атмосферного воздуха
столбиком ртути длиной lрт.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
Рассмотрим, как зависит длина заполненной воздухом
части трубки от положения трубки и температуры
воздуха в ней. Будем считать, что длина трубки
достаточно велика для того, чтобы ртуть не выливалась
из трубки при любом ее положении.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
Обозначим атмосферное давление Pа, плотность ртути  рт , а
длину заполненной воздухом части трубки, когда она
расположена горизонтально, обозначим l0.
Примем сначала, что температура воздуха в трубке
постоянна.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
13. Запишите уравнение, которое связывает величины  рт ,
lрт, l0 и длину l заполненной воздухом части трубки, когда
она расположена:
а) вертикально открытым концом вверх;
б) вертикально открытым концом вниз.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
T  const
p1  pа  р glр
pа Sl0   pа  р glр  Sl
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
p2  pа  р glр
pа Sl0   pа  р glр  Sl
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
14. В начальный момент трубка расположена
открытым концом вниз. Когда ее перевернули
открытым концом вверх, длина заполненной
воздухом части трубки уменьшилась на 10 %.
Чему равна длина столбика ртути, если
атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.?
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
14.
l2  0,9l1
p1  lp  pa
pa  lp  p2
p1l1  p2l2
lp  40 мм
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
Рассмотрим случай, когда температура воздуха в трубке
изменятся.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
15. В начальный момент трубка с воздухом и столбиком
ртути расположена горизонтально. Когда ее опустили в
кипяток открытым концом вверх, длина заполненной
воздухом части трубки увеличилась на 20 %. Чему равна
начальная температура воздуха в трубке, если длина
столбика ртути равна 5 см? Атмосферное давление равно
760 мм рт. ст. (291,6 К)
.
3. ДВА ГАЗА В ЦИЛИНДРЕ С ПОРШНЕМ ИЛИ ПЕРЕГОРОДКОЙ
А) Цилиндр расположен горизонтально
.
3. ДВА ГАЗА В ЦИЛИНДРЕ С ПОРШНЕМ ИЛИ ПЕРЕГОРОДКОЙ
Б)
Цилиндр расположен вертикально
.
4. Подъемная сила воздушного шара