Статья №5. Гравитация.

Дистанционная подготовка Abitu.ru
ФИЗИКА
Статья №5. Гравитация.
Теоретический материал.
В этой статье мы рассмотрим задачи на применение закона Всемирного тяготения.
Закон Всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения между двумя материальными точками массами
m1 и m2 , находящимися на расстоянии R друг от друга, направлена вдоль прямой, их соединяющей, и равна
F 
m1m2
,
R2
Н  м2
- гравитационная постоянная.
кг 2
Большинство задач по теме гравитации сводятся к записям второго закона Ньютона и Закона всемирного
тяготения.
где   6, 67  10 11
Первой космической скоростью VI для некоторой планеты называется минимальная скорость, при которой тело,
брошенное горизонтально с поверхности этой планеты, начнёт вращаться вокруг неё. Орбита тела, брошенного
горизонтально с первой космической скоростью, будет представлять собой окружность.
VI  gR 
M
,
R
где R - радиус круговой орбиты, M - масса планеты, g - ускорение свободного падения на планете.
Рассмотрим примеры решения задач. Ниже будет использоваться следующая аббревиатура: 2ЗН – второй закон
Ньютона.
Примеры решения задач.
Пример 1. [МФТИ 1995]
Спутник Фобос обращается вокруг Марса по орбите радиуса R=9400 км с периодом T=7ч.39мин. Радиус Марса
R0=3400 км. Найти по этим данным ускорение свободного падения на поверхности Марса.
Решение:
Ускорение свободного падения на поверхности Марса g 
M
, где M - масса Марса,  - гравитационная
R02
2
  mM
 2  3
постоянная. Пусть m - масса Фобоса. Найдём  M . 2ЗН для спутника: m R 
, откуда M  
 R .
2
R
 T 
2
2
3
м
 2  R
Следовательно, g  
 2  3,7 2 .
с
 T  R0
2
Ответ:
3
м
 2  R
g 
 2  3,7 2 .
с
 T  R0
Пример 2.
Определите минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Её плотность   1017 кг / м3 .
Решение:
Сила притяжения между нейтронной звездой и её спутником равна F  
mM
, где m - масса спутника,
R2
4
M   r 3 - масса нейтронной звезды,  - гравитационная постоянная, R - радиус орбиты спутника. Запишем
3
v2
mM
M
2 R
2
2ЗН для спутника: m  F  
, откуда v  
. Период обращения спутника T 

R R
2
R
R
R
V
M
прямо пропорционален радиусу орбиты R и будет минимальным в случае, когда радиус орбиты будет
минимальным, т.е. при R  r . Следовательно, Tmin 
Ответ:
Tmin 
2
3
r r
 1, 2  103 c.

M
3
 1, 2 103 c.

Пример 3. [МФТИ 1993]
Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх с некоторой скоростью, упало на Землю через 3 с. Через
какое время упадет тело, брошенное вертикально вверх с той же скоростью на Луне? Радиус Земли в 3,8 раза
больше радиуса Луны, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны.
Решение:
Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли равно g з  
Mз
, где  - гравитационная постоянная,
Rз
M з - масса Земли, Rз - радиус Земли, аналогично для ускорения свободного падения вблизи поверхности Луны
можно записать g л  
Mл
. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v будет двигаться с постоянным
Rл
ускорением, равным ускорению свободного падения g . Из кинематики V  V  gt , откуда 2V  gt , где t время, в течение которого тело находилось в воздухе. Запишем это соотношение для тела, брошенного с
g зt з
. Аналогично для тела, брошенного с поверхности Луны 2V  g лt л .
2
g
M R2
Подставив выражение для V , находим, что t л  з t з  з л 2 t з  16,8 с.
gл
M л Rз
поверхности Земли: 2V  g з t з , откуда V 
Ответ:
M з Rл 2
tл 
t з  16,8 с.
M л Rз 2
Пример 4.
Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что всё
время находится в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника R больше
радиуса Земли RЗ  6400 км ? Считать известным ускорение свободного падения у поверхности Земли:
g  9,8 м / с 2 .
Решение:
Чтобы спутник постоянно находился над одной и той же точкой поверхности Земли необходимо, чтобы период
обращения спутника вокруг Земли был равен периоду обращения Земли вокруг своей оси:
2 R
 T , где V V
скорость спутника, T  86400 c - период обращения Земли вокруг своей оси. Запишем 2ЗН для спутника:
m
V2
Mm
  2 , где m - масса спутника, M - масса Земли. Выразим из последнего соотношения V и подставим его
R
R
в первое. Используя равенство g  
Ответ:
M
R
gT 2
3
,
получаем,
что:

 6,7 .
RЗ
4 2 RЗ
RЗ2
R
gT 2
3

 6,7 .
RЗ
4 2 RЗ
Домашнее задание.
Задача 1. [МФТИ 1995] Луна движется вокруг Земли с периодом T  27, 3 суток по орбите, которую можно
считать круговой. Радиус Земли r  6400 км . Ускорение свободного падения на поверхности Земли
g  9, 8 м / с2 . Определить по этим данным расстояние между Землей и Луной.
Задача 2. [МФТИ 1993] Во сколько раз отличаются минимальные периоды обращения спутников для Марса и
Земли? Масса Марса составляет  = 0,11 Массы Земли, а радиус  = 0,53 радиуса Земли.
Задача 3. [МФТИ 1979] Искусственный спутник Земли запущен с экватора и вращается по круговой орбите в
плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли,
при котором он периодически проходит над точкой запуска ровно через двое суток. Радиус Земли R  6400 км .
Задача 4. Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца в 108 раз больше
радиуса Земли, а его плотность относится к плотности Земли как 1 : 4 ?
6 октября 2009 г.
Межвузовский центр воспитания и развития
талантливой молодежи в области
естественно-математических наук
"Физтех-центр"
Составители: Пенкин М.А., Шимко О.В., Шувалов Н.Д.
E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com
Сайт: www.abitu.ru