Н. В. Неустроева ОДНОСТОРОННИЙ КОНТАКТ УПРУГИХ

УДК 517.95
Н. В. Неустроева
ОДНОСТОРОННИЙ КОНТАКТ УПРУГИХ ПЛАСТИН
С ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ∗
Рассматривается контактная задача, описывающая равновесие упругих пластин под действием внешних сил (модель Кирхгофа-Лява). Пластины расположены под заданным углом
друг к другу и в естественном состоянии соприкасаются по линии. При этом нижняя пластина
содержит жесткое включение. Установлена разрешимость задачи и доказана эквивалентность
двух постановок: вариационной и краевой. Найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и соотношение, описывающее воздействие внешних сил на жесткую
часть пластины. Установлено, что задача является предельной для семейства задач с упругим
включением при стремлении параметра жесткости нижней пластины к бесконечности.
Ключевые слова: контактная задача, модель Кирхгофа-Лява, жесткое включение.
Введение
Среди математических задач механики деформируемого твердого тела важное место
принадлежит контактным задачам упругих тел. Классическим примером контактной задачи является задача Синьорини. В упрощенной форме задача была сформулирована
А. Синьорини (1933), а именно, был рассмотрен случай одностороннего контакта упругого и жесткого тел при нулевом трении. Результаты А. Синьорини были обобщены в
различных направлениях в ряде работ Ж. Л. Лионса, Ж. Дюво, Г. Фикеры, Г. Леви;
обзор этих работ и результатов дан в книге Г. Фикеры (1974) [1]. Отметим, что свойства
решений этой задачи впервые исследованы Г. Фикерой (1964), который провел доказательство существования и регулярности слабого решения.
Впоследствии развитию теории и методов решения конкретных задач были посвящены работы многих исследователей как зарубежных, так и отечественных. Впервые в
отечественной механике теорию вариационных неравенств к теории упругости применил А. С. Кравчук; в [2] приведен пример постановки контактной задачи для нескольких
тел как задачи линейного программирования. Задачи об одностороннем контакте двух
упругих тел рассмотрены в [3]. А именно, исследованы как двумерные и трехмерные
контактные задачи, так и задачи о контакте пластин и оболочек. Также отметим работу
[4], где рассматривается упрощенный контакт двух гладких упругих тел и изучается
приближенное решение задачи. Односторонние задачи о контакте упругой пластины с
жестким препятствием были исследованы в работах [5–8]. В частности, двусторонние
ограничения рассмотрены в [6], тонкое жесткое препятствие для пластин — в [7].
∗
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по мероприятию 1.3.2 «Проведение научных исследований целевыми
аспирантами» (регистрационный номер НК-252П/3).
ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 4. C. 51–64
c Н. В. Неустроева, 2009
°
52
Н. В. Неустроева
В настоящей работе рассматривается односторонняя задача о контакте упругих пластин, расположенных под заданным углом друг к другу и в естественном состоянии
соприкасающихся по линии. При этом нижняя пластина содержит жесткое включение.
Пластины являются неоднородными и анизотропными. Будем учитывать только вертикальные перемещения пластин. Задача относится к классу задач со свободной границей,
т. е. область контакта заранее неизвестна и подлежит определению. Найдены краевые
условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и соотношение, описывающее влияние внешних сил, действующих на жесткую часть пластины. Установлена
разрешимость задачи и доказана эквивалентность двух постановок: в виде уравнений
равновесия вместе с полученными краевыми условиями и соотношением, и в виде вариационного неравенства. Доказано, что задача является предельной для семейства задач
с упругим включением при стремлении параметра жесткости нижней пластины к бесконечности.
Данная работа относится к изучению класса задач об одностороннем контакте двух
упругих тел, в частности, к контактным задачам для упругих пластин с жестким включением. Контактные задачи для двух упругих пластин, расположенных под заданным
углом, можно найти в недавно опубликованных работах [9–11]. В работах [10–13] исследованы задачи о контакте упругой пластины и упругой балки, где балка играет роль
тонкого упругого препятствия для пластины. Что же касается контактных задач для
упругих тел с жестким включением, особенностью которых является набор краевых
условий вида равенств и неравенств, выполняющихся на множестве возможного контакта, то систематические исследования таких задач не проводились. Это новый класс
задач о контакте двух упругих тел, содержащих жесткое включение. Жесткое включение рассматривалось в работе [14], в частности, в задаче о равновесии тонкой упругой
пластины, содержащей трещину. Задачи о равновесии упругих и неупругих тел, содержащих трещины, также можно отнести к классу контактных задач, если на берегах
трещины заданы краевые условия взаимного непроникания берегов в виде системы равенств и неравенств. Однако характер и природа краевых условий в контактных задачах
и краевых условий, рассматриваемых в теории трещин, различны [15]. Надо отметить,
что задачи, описывающие контакт упругих тел и упругих тел с жестким включением,
представляют значительный интерес с точки зрения практических приложений, и их
полный математический анализ крайне актуален.
§ 1. Постановка задачи
Пусть заданы ограниченные области Ω, G ⊂ R2 с гладкими границами Γ, ∂G соответственно. Вектор внешней нормали к области Ω обозначим через q = (q1 , q2 ). Область Ω
отвечает срединной плоскости верхней (горизонтальной) пластины. Срединную поверхность нижней пластины обозначим через G. Через n = (n1 , n2 ) обозначим единичный
вектор внутренней нормали к ∂G. Пусть G1 ⊂ G подобласть с границей ∂G1 , такой что
∂G1 состоит из двух частей γ1 и ∂G1 \γ1 . Полагаем, что γ — связное множество (интервал), γ = γ1 ∪ γ\γ1 и γ ∩ Γ = ∅. Угол между Ω и G обозначим через α, α ∈ (0; π
2 ]. Будем
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
53
считать, что Ω ∩ G = ∅, Ω ∩ ∂G 6= ∅. Обозначим γ0 = ∂G\Ω. В этом случае ∂G = γ ∪ γ¯0 .
Пусть ν = (ν1 , ν2 ) — вектор нормали к γ, расположенный в плоскости Ω, а ν0 = (ν01 , ν02 )
— вектор нормали к ∂G1 , расположенный в плоскости G:
Область G1 соответствует жесткому включению. Термин жесткое включение означает, что перемещение точек тела подобласти G1 является элементами пространства
L(G1 ), где L(G1 ) — пространство аффинных непрерывных функций
L(G1 ) = {l | l(y) = a0 + a1 y1 + a2 y2 , ai = const, i = 0, 1, 2; y = (y1 , y2 ) ∈ G1 }.
Множество γ будет соответствовать зоне контакта, а область G\Ḡ1 — упругой части
срединной поверхности нижней пластины с границей ∂(G\G1 ) = γ0 ∪ (γ\γ1 ) ∪ (∂G1 \γ1 ).
Пусть dijkl ∈ L∞ (Ω) — заданный тензор модулей упругости верхней пластины, удовлетворяющий условиям симметрии и положительной определенности
dijkl = djikl = dklij ,
dijkl ξji ξkl ≥ C|ξ|2 ,
∀ξji = ξij , C > 0, i, j, k, l = 1, 2.
Тензор модулей упругости нижней пластины bijkl ∈ L∞ (G) обладает такими же свойствами, что и тензор dijkl .
Полная система уравнений и краевых условий, описывающих контакт упругих пластин с жестким включением, состоит в следующем. В области Ωγ найти функции w,
m = {mij }, i, j = 1, 2; в области G найти u, u|G1 ∈ L(G1 ), а в области G\G1 также
функцию M = {Mij }, i, j = 1, 2, такие что
−mij,ij = f
в Ωγ,
mij = −dijkl w,kl
−Mij,ij = g
в Ωγ,
в G\Ḡ1 ,
Mij = −bijkl u,kl
в G\Ḡ1 ,
(1)
(2)
(3)
(4)
w = wq = 0 на Γ,
(5)
u = un = 0 на γ0 ,
(6)
u = l0
на G1 ,
w − u cos α ≥ 0 на γ,
(7)
(8)
54
Н. В. Неустроева
[w] = [wν] = 0, [mν] = 0, [tν(m)] ≥ 0 на γ,
0
T ν (M )(w − u cos α) = 0 на γ\γ1 ,
0
(10)
0
T ν (M ) ≤ 0, Mν0 = 0, [tν(m)] cos α = −T ν (M ) на γ\γ1 ,
Z
Z
Z
Z
ν
ν0
Mν0 lν0 = gl
∀l ∈ L(G1 ).
[t (m)]l cos α +
T (M )l −
Здесь w,i =
∂G1 \γ1
∂G1 \γ1
γ1
∂w
∂xi ,
i = 1, 2, (x1 , x2 ) ⊂ Ω; u,i =
∂u
∂yi ,
(9)
(11)
(12)
G¯1
i = 1, 2, (y1 , y2 ) ⊂ G; f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (G)
— заданные внешние нагрузки; w — перемещение точек срединной плоскости верхней
пластины вдоль вертикали, u — перемещение точек срединной поверхности нижней пластины вдоль вертикали; [v] = v + − v − — скачок функции v на γ, величины v ± соответствуют положительному и отрицательному (по отношению к нормали ν) берегам разреза
γ± ; m = {mij }, M = {Mij }, i, j = 1, 2 — тензоры моментов. Кроме того,
wq =
∂w
,
∂q
un =
∂u
,
∂n
tν(m) = −mij,k sk sj νi − mij,j νi ,
mν = −mij νj νi ,
s = (s1 , s2 ) = (−ν2 , ν1 ).
Граничные операторы для нижней пластины определяются аналогично
Mn = −Mij nj ni ,
T n (m) = −mij,k sk sj ni − mij,j ni ,
s = (s1 , s2 ) = (−n2 , n1 ).
На границе области G\Ḡ1 векторы ν0 , n совпадают. Всюду используем правило суммирования по повторяющимся индексам. Все величины с двумя нижними индексами
предполагаются симметричными по этим индексам. Для удобства записи в интегралах
будем опускать дифференциал от переменной интегрирования.
Задача имеет следующий физический смысл: ищется состояние равновесия для упругих пластин, подверженных действию внешних нагрузок, а также удовлетворяющих одностороннему ограничению (8). При этом нижняя пластина содержит жесткое (недеформируемое) включение. Уравнения (1),(3) суть уравнения равновесия, (2),(4) — уравнения
состояния (соответствующие линейной модели Кирхгофа-Лява упругого деформирова0
ния пластины)[3]; mν, Mν0 — изгибающие моменты, tν(m), T ν (M ) — перерезывающие
силы на границе. Соотношения (5), (6) обеспечивают жесткое защемление пластин на Γ
и γ0 . Условие (8) описывает взаимное непроникание пластин. Краевые условия (9)–(11)
сопровождают условие взаимного непроникания пластин. Соотношение (12) описывает
влияние внешних сил на жесткую часть нижней пластины.
§ 2. Вариационная формулировка
Контактную задачу для упругих пластин с жестким включением сформулируем как
вариационную (т. е. как задачу минимизации функционала). Вариационный подход позволяет исследовать вопросы существования и единственности решений. Для этого введем пространства Соболева
H02 (Ω) = {w ∈ H 2 (Ω) | w = wq = 0 на Γ},
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
55
1
Hγ2,G
(G) = {u ∈ H 2 (G) | u|G1 ∈ L(Ω1 ); u = un = 0 на γ0 }
0
и множество допустимых перемещений
1
K = {(w, u) ∈ H02 (Ω) × Hγ2,G
(G)| w − u cos α ≥ 0 на γ}.
0
1
(G) мноВ силу замкнутости и выпуклости, K будет слабо замкнутым в H02 (Ω) × Hγ2,G
0
жеством. Решаем задачу минимизации
inf
F (w, u),
(13)
(w,u)∈K
где F (w, u) — функционал энергии пластин, имеющий вид
Z
Z
Z
Z
1
1
F (w, u) =
dijkl w,kl w,ij − f w +
bijkl u,kl u,ij − gu.
2
2
Ω
G\G¯1
Ω
G
Проверим свойства введенного функционала F (w, u). Оценим его нормой функций
w, u. Учитывая свойство положительной определенности тензоров dijkl , bijkl , согласно
неравенству Пуанкаре, имеем
Z
dijkl w,kl w,ij ≥ C1
Z X
2
Ω i,j=1
Ω
Z
bijkl u,kl u,ij ≥ C5
| 5 w|2 ≥ C3
w2 ,
Ω
Ω
Z
Z
Z X
2
| 5 u| ≥ C7
|u,ij | ≥ C6
u2 .
2
2
G i,j=1
G\G¯1
Z
Z
|w,ij |2 ≥ C2
G
G
Отсюда следует, существуют C4 > 0, C8 > 0, такие что
Z
dijkl w,kl w,ij ≥ C4 kwk2H 2 (Ω) ,
(14)
0
Ω
Z
bijkl u,kl u,ij ≥ C8 kuk2
2,G1
(G)
Hγ 0
.
(15)
G\G¯1
Следовательно, в силу (14),(15) и неравенства Коши, получим
F (w, u) ≥
° °
° °
°
° °
C1 °
°w° 2 − C4 °u° 2,G1
°w°2 2 + C2 °u°2 2,G1
→ +∞
−
C
3
H0 (Ω)
H0 (Ω)
Hγ 0 (G)
Hγ 0 (G)
2
2
при kwkH02 (Ω) → +∞, kukH 2,G1 (G) → +∞, т. е. функционал F (w, u) коэрцитивен. В силу
γ0
слабой полунепрерывности снизу этого функционала убеждаемся, что решение задачи
(13) существует и удовлетворяет следующему вариационному неравенству:
Z
(w, u) ∈ K :
Z
dijkl w,kl (w̄,ij − w,ij ) −
Ω
Z
f (w̄ − w) +
Ω
Z
bijkl u,kl (ū,ij − u,ij ) −
+
G\G¯1
g(ū − u) ≥ 0 ∀(w̄, ū) ∈ K. (16)
G
56
Н. В. Неустроева
Используя дифференцируемость и выпуклость функционала энергии, можно показать
эквивалентность задачи (13) и вариационного неравенства (16). Отметим также, что решение задачи (16), следовательно и задачи (13), будет единственным. Граничные условия дифференциальной постановки задачи являются естественными при вариационной
формулировке. Они выводятся из вариационного неравенства (16). Сформулируем это
в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Если вариационное решение задачи (16) достаточно гладкое, то оно является классическим. Каждое классическое решение уравнений (1)–(4) с краевыми условиями (5)–(11) и соотношением (12) является также вариационным решением.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (w, u) ∈ K — достаточно гладкое решение вариационного неравенства (16). Возьмем в качестве пробных функций (w̄, ū) = (w ± ξ, u ± ρ),
ξ ∈ C0∞ (Ωγ), ρ ∈ C0∞ (G\Ḡ1 ). Считаем, что функция u продолжена нулем на G1 . При
этом пробные функции (w̄, ū) при выбранных условиях на ξ и ρ являются элементами
множества K. Подставляя в (16), получим
Z
Z
f ξ,
dijkl w,kl ξ,ij =
Ωγ
Ωγ
Z
Z
bijkl u,kl ρ,ij =
G\G¯1
gρ.
G\G¯1
Это означает, что уравнения равновесия
(dijkl w,kl ),ij = f
в Ωγ,
(17)
(bijkl u,kl ),ij = g
в G\Ḡ1
(18)
выполнены в смысле распределений. Уравнения (17) и (18) можно записать в виде (1)–
(4). Краевые условия (5)–(8) выполнены в силу определения (w, u) ∈ K.
Теперь установим справедливость краевых условий на внутренней границе γ в области Ωγ. Рассмотрим продолжение кривой γ до замкнутой кривой Σ, так что Σ ⊂ Ω. При
этом область Ωγ разбивается на две непустые подобласти: внутреннюю Ω1 и внешнюю
Ω\Ω1 с границами Σ и Σ ∪ Γ соответственно. Оставим за нормалью к Σ обозначение ν,
которое совпадает с ν на γ. Возьмем в (16) пробные функции в виде (w̄, ū) = (w + ϕ, u),
где ϕ ≥ 0 на γ и ϕ является достаточно гладкой функцией. Получим
Z
Z
dijkl w,kl ϕ,ij − f ϕ ≥ 0.
Ω
Ω
Для гладких функций m = {mij }, w, определенных в Ω1 , имеем формулу Грина
Z
Z
Z
Z
∂w
∀w ∈ C ∞ (Ω̄1 ).
− mij w,ij = − mij,ij w − tν(m)w + mν
∂ν
Ω1
Ω1
(19)
Σ
(20)
Σ
Формула, аналогичная (20), имеет место и для гладких функций m = {mij }, w определенных в области Ω\Ω1 , таких что w = wq = 0 на Γ. В этом случае граница области
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
57
Ω\Ω1 состоит из компонент Σ и Γ. Применяя (20) и учитывая справедливость уравнения
(17), из (19) найдем
Z
−
Z
[tν(m)]ϕ ≥ 0.
[mν]ϕν +
Σ
(21)
Σ
Поскольку ϕν являются произвольными функциями на Σ, отсюда получим
[tν(m)] ≥ 0 на γ.
[mν] = 0,
(22)
Остается проверить выполнение краевых условий (10), (11) и соотношения (12). Подставим в (16) пробные функции вида (w̄, ū) = (w, u + ψ), причем ψ ≤ 0 на γ\γ1 , ψ = 0 на
G1 и ψ — достаточно гладкая функция. Имеем
Z
Z
bijkl u,kl ψ,ij −
f ψ ≥ 0.
G\G¯1
(23)
G\G¯1
Воспользуемся формулой Грина для подобласти G\Ḡ1
Z
Z
Z
Z
n
− Mij u,ij = − Mij,ij u +
T (M )u −
G\G¯1
G\G¯1
∂(G\G1 )
Mn
∂u
,
∂n
(24)
∂(G\G1 )
справедливой для гладких функций M = {Mij }, u, таких что u = un = 0 на γ0 . Интегрируя по формуле (24) и учитывая справедливость уравнения (18), из (23) имеем
Z
Z
0
−
Mν0 ψν0 +
T ν (M )ψ ≥ 0,
γ\γ1
γ\γ1
откуда следует
0
T ν (m) ≤ 0 на γ\γ1 .
Mν0 = 0,
(25)
Возьмем в неравенстве (16) пробные функции в виде (w̄, ū) = (w +ϕ, u+ψ), где (ϕ, ψ) ∈
∈ K, ψ = 0 на G1 . Также применяя формулу Грина вида (20), (24) и уравнения (17),
(18), первые условия (22), (25), получим
Z
Z
0
ν
[t (m)]ϕ +
T ν (M )ψ ≥ 0.
Σ
(26)
γ\γ1
Из неравенства (26) следует точная запись краевых условий
0
T ν (M ) ≤ 0,
0
[tν(m)] cos α = −T ν (M ) на γ\γ1 .
Далее, выберем в (16) пробные функции (w̄, ū) = (w ± ϕ, u ± ψ), где (ϕ, ψ) ∈ H02 (Ω) ×
× Hγ20 (G), ϕ − ψ cos α = 0 на γ, ψ = l на G1 , ϕ = l cos α на γ1 . Получим
Z
Z
Z
Z
dijkl w,kl ϕ,ij − f ϕ +
bijkl u,kl ψ,ij − gψ = 0.
Ω
G\G¯1
Ω
G
Используя формулы Грина вида (20),(24), уравнения (17),(18) и первые условия (22),
(24), найдем
Z
Z
ν
[t (m)]l cos α +
γ1
∂G1 \γ1
ν0
Z
T (M )l −
Z
Mν0 lν0 +
∂G1 \γ1
γ\γ1
Z
ν
[t (m)]ϕ +
γ\γ1
ν0
Z
T (M )ψ =
gl. (27)
Ḡ1
58
Н. В. Неустроева
В силу условия ϕ − ψ cos α = 0 на γ, имеем
Z
Z
0
ν
[t (m)]ϕ + T ν (M )ψ = 0.
γ\γ1
(28)
γ\γ1
Учитывая (28), соотношение (27) запишем в виде
Z
Z
Z
Z
0
Mν0 lν0 =
gl.
[tν(m)]l cos α +
T ν (M )l −
∂G1 \γ1
∂G1 \γ1
γ1
(29)
Ḡ1
Из соотношения (28) следуют граничные условия вида
0
0
[tν(m)] cos α = −T ν (M ),
T ν (M )(w − u cos α) = 0 на γ\γ1 .
Таким образом, любое гладкое решение вариационного неравенства (16) удовлетворяет уравнениям равновесия (1),(3) и состояния (2),(4); всем полученным граничным
условиям (5)–(11) и соотношению (12).
Теперь, докажем обратное. Покажем, что любое гладкое решение (классическое решение) краевой задачи (1)–(12) является решением вариационного неравенства (16).
Пусть (w, u) — гладкое решение, принадлежащее множеству K. Умножим уравнение
равновесия (1) на w̄ − w, а (4) на ū − u, где (w̄, ū) ∈ K, проинтегрируем по Ω1 , Ω2 и G\Ḡ1
соответственно и сложим. Имеем
Z
Z
dijkl w,kl (w̄,ij − w,ij ) − [tν(m)](w̄ − w) +
Ω
Σ
Z
Z
[mν](w̄ν − wν) −
+
Σ
f (w̄ − w) +
bijkl u,kl (ū,ij − u,ij ) −
G\G¯1
Ω
Z
−
Z
Z
ν0
T (M )(ū − u) +
∂(G\G1 )
Z
Mν0 (ūν0 − uν0 ) −
g(ū − u) = 0.
G\G¯1
∂(G\G1 )
Для получения вариационного неравенства необходимо доказать, что
Z
−
Z
[t (m)](w̄ − w) +
[mν](w̄ν − wν) −
ν
Σ
Σ
Z
−
Z
ν0
T (M )(ū − u) +
∂(G\G1 )
Z
Mν0 (ūν0 − uν0 ) ≤ −
g(ū − u). (30)
G¯1
∂(G\G1 )
Запишем (30) в виде
Z
Z
Z
Z
Z
ν0
ν
Mν0 ūν0 ≤ − gū,
T (M )ū +
− [t (m)]w̄ + [mν]w̄ν −
Σ
Z
Σ
∂(G\G1 )
Z
Z
[t (m)]w −
ν
Σ
[mν]wν +
Σ
Z
T (M )u −
∂(G\G1 )
G¯1
∂(G\G1 )
ν0
(31)
Z
M u
∂(G\G1 )
ν0
ν0
=
gu.
(32)
G¯1
Если покажем справедливость неравенства (31) и соотношения (32) для всех (w̄, ū) ∈ K,
то придем к доказательству справедливости вариационного неравенства (16).
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
59
Неравенство (31), с учетом вторых условий (9), (11), можно записать в виде
Z
−
Z
ν0
[t (m)]l cos α −
ν
Mν0 lν0 −
T (M )l +
∂G1 \γ1
γ1
Z
∂G1 \γ1
Z
−
Z
Z
[t (m)](w̄ − l cos α) −
γ1
∂G1 \γ1
Z
Mν0 (ūν0 − lν0 ) −
+
∂G1 \γ1
0
T ν (M )(ū − l) +
ν
Z
[t (m)]w̄ −
ν
γ\γ1
Z
ν0
T (M )ū ≤ −
(33)
gl.
G¯1
γ\γ1
В силу (12), первые три слагаемых в левой части (33) в сумме дают −
R
gl; четвертое
Ḡ1
слагаемое неположительно в силу (8) и третьего условия (9); пятое и шестое слагаемые
равны нулю, так как ū−l = 0 на G1 ; оставшиеся два слагаемых в сумме неположительны
в силу третьего условия (11). Отсюда следует, что неравенство (31) верно.
Неравенство (32), с учетом вторых условий (9), (11), можно записать в виде
Z
£
¤
t (m) l0 cos α +
Z
γ1
Z
ν0
T (M )l0 −
ν
∂G1 \γ1
Z
+
γ1
Mν0 l0ν0 +
∂G1 \γ1
£ν
¤
t (m) (w − l0 cos α) +
0
T ν (M )(u − l0 ) −
∂G1 \γ1
Z
−
Z
Z
Mν0 (uν0 − l0ν0 ) +
∂G1 \γ1
γ\γ1
£
¤
t (m) w +
Z
ν
Z
ν0
gl0 . (34)
T (M )u =
G¯1
γ\γ1
Согласно (12), первые три слагаемых в левой части (34) в сумме дают
R
gl0 ; четвер-
Ḡ1
тое, пятое и шестое слагаемые равны нулю, так как w − l0 cos α = 0 на γ1 и u − l0 = 0 на
G1 ; оставшиеся два слагаемых в сумме равны нулю в силу третьего условия (11). Отсюда следует, что соотношение (32) верно. Учитывая справедливость (30), будем иметь
неравенство (16). Следовательно, (w, u) — вариационное решение задачи (1)–(12). Таким
образом, рассуждения показывают, что формально, т. е. в предположении достаточной
гладкости решения, формулировки (1)–(12) и (16) эквивалентны. Теорема полностью
¤
доказана.
Решение задачи (1)–(12) не обладает достаточной гладкостью, для того, чтобы краевые условия (9)–(11) выполнялись поточечно на γ и γ\γ1 . Также отметим, что точная формулировка краевых условий (9)–(11) требует дополнительных предположений о
гладкости границ Σ и ∂(G\G1 ).
Пусть Σ и ∂(G\G1 ) являются более гладкими, например, принадлежат классу C 1,1
(т. е. первые производные удовлетворяют условию Липщица). Введем пространство
функций H i/2 (Σ), i = 1, 3, с нормами
° °2
° °2
°ϕ° 1/2
= °ϕ°L2 (Σ) +
H
(Σ)
° °2
°ϕ° 3/2
H
(Σ)
Z Z
|ϕ(x) − ϕ(y)|2
dxdy ,
|x − y|2
Σ Σ
Z Z
° °2
|∇ϕ(x) − ∇ϕ(y)|2
°
°
= ϕ H 1 (Σ) +
dxdy .
|x − y|2
Σ Σ
60
Н. В. Неустроева
Обозначим через H −i/2 (Σ) пространства, сопряженные к H i/2 (Σ), i = 1, 3. Из урав-
нений (1), (2) и (3), (4) следует, что m, mij,ij ∈ L2 (Ω) и M, Mij,ij ∈ L2 (G\Ḡ1 ) соответственно. Отсюда имеют место включения (см. [15; 16])
mν ∈ H −1/2 (Σ), tν(m) ∈ H −3/2 (Σ);
0
Mν0 ∈ H −1/2 (∂(G\G1 )), T ν (M ) ∈ H −3/2 (∂(G\G1 )).
R
1/2 (Σ). АналоСледовательно, tν(m)w в (20) определено, так что w ∈ H 3/2 (Σ), ∂w
∂ν ∈ H
Σ
R
0
∂u
1/2 (∂(G\G )).
гично
T ν (M )u в (24) определено, так что u ∈ H 3/2 (∂(G\G1 ), ∂ν
0 ∈ H
1
∂(G\G1 )
Пусть скобки h·, ·ii/2,Σ обозначают двойственность между пространствами H −i/2 (Σ) и
H i/2 (Σ), i = 1, 3. Можно показать, что второе, третье условия (9) выполнены в следующем смысле:
[mν] = 0 в смысле пространства H −1/2 (Σ),
h[tν(m)], ϕi3/2,Σ ≥ 0 ∀ϕ ∈ H02 (Ω) ϕ ≥ 0 на γ.
Будем использовать также пространства
k−1/2
H00
k−1/2
(γ) = {ϕ ∈ H0
(γ)| ρ−1/2 Dαϕ ∈ L2 (γ), 0 ≤ |α| ≤ k − 1},
k = 1, 2,
с нормами
kϕk2
k−1/2
(γ)
H00
= kϕk2k−1/2,γ +
k−1
X
kρ−1/2 Dαϕk20,γ,
|α|=0
−i/2
i/2
где ρ(x) = dist(x, ∂γ). Обозначим через H00 (γ) пространства, сопряженные к H00 (γ),
i = 1, 3. Для функции ϕ, заданной на γ, обозначим через ϕ̄ ее продолжение нулем вне
γ, т. е. ϕ̄ = ϕ на γ, ϕ̄ = 0 на Σ\γ. В этом случае ϕ̄ ∈ H 1/2 (Σ) тогда и только тогда, когда
ϕ ∈ H00 (γ) (см. [15; 16]). Отметим также, что если ϕ ∈ H −1/2 (γ), то можно считать
1/2
−1/2
ϕ ∈ H00
(γ). Откуда следует
−1/2
[mν] = 0 в смысле пространства H00
(γ),
−3/2
[tν(m)] ≥ 0 в смысле пространства H00
(γ).
Далее, первое и второе условия (11) выполнены в смысле неравенства
0
−hMν0 , ψν0 i1/2,∂(G\G1 ) + hT ν (M ), ψi3/2,∂(G\G1 ) ≥ 0
(35)
1
∀ψ ∈ Hγ2,G
(G), ψ ≤ 0 на γ\γ1 , ψ = 0 на G1 . В силу ψ = ψν0 = 0 на γ0 следует, что
0
3/2
1/2
ψ ∈ H00 (γ\γ1 ), ψν0 ∈ H00 (γ\γ1 ). Поэтому неравенство (35) можно записать в виде
0
ν
00
2,G1
−hMν0 , ψν0 i00
1/2,γ\γ1 +hT (M ), ψi3/2,γ\γ1 ≥ 0 ∀ψ ∈ Hγ0 (G), ψ ≤ 0 на γ\γ1 , ψ = 0 на G1 ,
−i/2
где скобки h·, ·i00
i/2,Σ обозначают двойственность между пространствами H00 (Σ) и
i/2
H00 (Σ), i = 1, 3. Откуда следует
−1/2
Mν0 = 0 в смысле пространства H00
(γ\γ1 ),
−3/2
ν0
T (M ) ≤ 0 в смысле пространства H00
(γ\γ1 ).
Что же касается условия (10) и третьего условия (11), то они выполнены в смысле
неравенства
0
ν
00
h[tν(m)], ϕi00
3/2,γ\γ1 + hT (M ), ψi3/2,γ\γ1 ≥ 0.
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
61
§ 3. Предельный переход от упругого включения к жесткому
Рассмотрим семейство задач, описывающих контакт упругих пластин, расположенных под углом α друг к другу и в естественном состоянии соприкасающихся по линии γ. Семейство будет характеризоваться положительным параметром λ. При каждом
λ > 0 подобласть G1 будет соответствовать упругому включению в нижней пластине
(см. рис.). Для коэффициента bλijkl используем выражение
(
bλijkl
=
в G\Ḡ1 ,
bijkl
λ−1 b
в Ḡ1 ,
ijkl
λ > 0,
i, j, k, l = 1, 2.
В областях Ωγ и G будем решать следующую задачу. Требуется найти функции wλ,
uλ, mλ = {mλij }, M λ = {Mijλ }, i, j = 1, 2, такие что
−mλij,ij = f
в Ωγ,
λ
mλij = −dijkl w,kl
λ
−Mij,ij
=g
Mijλ = −bλijkl uλ,kl
(36)
в Ωγ,
(37)
в G,
(38)
в G,
(39)
wλ = wqλ = 0 на Γ,
(40)
uλ = uλn = 0 на γ0 ,
(41)
wλ − uλ cos α ≥ 0, T n (M λ)(wλ − uλ cos α) = 0 на γ,
(42)
λ
[wλ] = [wν
] = 0, [mλν] = 0 на γ,
(43)
T n (M λ) ≤ 0, Mnλ = 0, [tν(wλ)] cos α = −T n (M λ) на γ.
(44)
Здесь используются обозначения первого раздела. В случае, когда пластина однородная
и изотропная, для любого фиксированного λ>0 задача (36)–(44) исследована в работе [9].
Задача (35)–(43) допускает вариационную формулировку. Рассмотрим в пространствах Соболева
H02 (Ω) = {w ∈ H 2 (Ω) | w = wq = 0 на Γ},
Hγ20 (G) = {u ∈ H 2 (G) | u = un = 0 на γ0 }
множество допустимых перемещений
K = {(w, u) ∈ H02 (Ω) × Hγ20 (G)| w − u cos α ≥ 0 на γ}.
Множество K выпукло и замкнуто и, следовательно, слабо замкнуто. Можно решить
задачу минимизации функционала энергии
½ Z
¾
Z
Z
Z
1
1
inf
dijkl w,kl w,ij − f w +
bλijkl u,kl u,ij − gu .
2
(w,u)∈K 2
Ω
Ω
G
(45)
G
Задача (45) имеет решение, поскольку функционал обладает свойствами коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу. Эта задача равносильна нахождению решений
(wλ, uλ) ∈ K следующего вариационного неравенства:
62
Н. В. Неустроева
Z
Z
λ
dijkl w,kl
(w̄,ij
−
λ
w,ij
)
−
Ω
f (w̄ − wλ) +
Ω
Z
Z
bλijkl uλ,kl (ū,ij
+
−
uλ,ij )
G
−
g(ū − uλ) ≥ 0 ∀(w̄, ū) ∈ K. (46)
G
Следовательно, для любого фиксированного λ > 0 мы можем найти решение (wλ, uλ) вариационного неравенства (46). Более того, можно показать, что оно единственно. Предполагая дополнительную гладкость решения вариационного неравенства (46), можно
проверить, что выполнены все соотношения (36)–(44), и наоборот, любое гладкое решение задачи (36)–(44) удовлетворяет вариационному неравенству (46). Если же не предполагать дополнительной гладкости решения, то вывод краевых условий (42)–(44) также
можно осуществить с помощью подходящего выбора пробных функций в вариационное
неравенство (46). В этом случае краевые условия (42)–(44) будут выполнены в обобщенном смысле.
Далее, рассмотрим предельный переход в (46) при стремлении параметра λ к нулю. Подставим пробные функции вида (w̄, ū) = (0, 0), (w̄, ū) = 2(wλ, uλ) в (46). После
сложения полученных соотношений имеем
Z
Z
Z
Z
λ
λ
λ
λ λ
λ
dijkl w,kl w,ij + bijkl u,kl u,ij = f w + guλ.
Ω
G
Ω
G
Для обоснования ограниченности первого и второго слагаемых воспользуемся оценкой [1]
kwkH02 (Ω) ≤ C(Ω)
2
X
kw,ij kL2 (Ω) .
(47)
С другой стороны, в силу неравенства Коши, имеем оценку
Z
¯
¯
¯ f w¯ ≤ kf kL2 (Ω) kwk 2 .
H0 (Ω)
(48)
i,j=1
Ω
Используя свойство положительной определенности коэффициентов dijkl , bijkl , с помощью неравенства вида (47) и (48) получим две равномерные по λ оценки
kwλk2H 2 (Ω) + kuλk2Hγ2 (G) ≤ C1 ,
0
Z0
1
bijkl uλ,kl uλ,ij ≤ C2 ,
λ
(49)
(50)
Ḡ1
с постоянными C1 , C2 , не зависящими от λ. Таким образом, выбирая подпоследовательности, для которых будем сохранять прежние обозначения, считаем, что при λ → 0
wλ → w
слабо в H02 (Ω),
uλ → u слабо в Hγ20 (G).
Тогда, в силу (50), имеем
u,ij = 0 в Ḡ1 , i, j = 1, 2.
(51)
(52)
Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением
63
Следовательно, u(y) = a0 + a1 y1 + a2 y2 , где a0 , a1 , a2 — постоянные. Это означает, что
¯
¯
u ¯ ∈ L(G1 ).
G1
Поскольку wλ, uλ слабо сходятся в пространствах H02 (Ω), Hγ20 (G), то предельные функции w, u обладают свойством
w − u cos α ≥ 0 на γ.
Это означает, что w и u будут принадлежать множеству K.
С помощью полученных сходимостей можно перейти к пределу в вариационном неравенстве (46). Возьмем произвольную функцию (w̄, ū) ∈ K так, чтобы ū|G1 ∈ L(G1 ) (при
этом w̄ − ū cos α ≥ 0 на γ и ū,ij = 0 в Ḡ1 ) и подставим эту функцию в (46). Получим
Z
Z
≥
bijkl uλ,kl ū,ij
G\G¯1
1
+
λ
bijkl uλ,kl uλ,ij
G\G¯1
Z
bijkl uλ,kl uλ,ij +
Ḡ1
Z
Z
Z
g(ū − u ) −
λ
dijkl w,kl
(w̄,ij
λ
+
−
f (w̄ − wλ). (53)
+
Ω
Ω
G
λ
w,ij
)
Используя сходимости (51) и (52), осуществим переход к нижнему пределу при λ → 0 в
обеих частях (53)
Z
Z
bijkl u,kl ū,ij ≥
G\Ḡ1
bijkl u,kl u,ij + lim inf
λ→0
G\Ḡ1
≥
ZΩ
Z
f (w̄ − w) ≥
Ω
Z
g(ū − u) −
bijkl u,kl u,ij +
G
G\Ḡ1
bijkl uλ,kl uλ,ij +
dijkl w,kl (w̄,ij − w,ij ) +
g(ū − u) −
G
Z
Z
Ḡ1
Z
Z
+
1
λ
Z
dijkl w,kl (w̄,ij − w,ij ) +
Ω
f (w̄ − w). (54)
Ω
Здесь использовано очевидное неравенство
Z
1
lim inf
bijkl uλ,kl uλ,ij ≥ 0.
λ→0 λ
Ḡ1
Таким образом, соотношение (54) может быть записано в виде следующего вариационного неравенства:
Z
(w, u) ∈ K :
Z
dijkl w,kl (w̄,ij − w,ij ) −
Ω
Z
+
G\G¯1
f (w̄ − w) +
Ω
Z
bijkl u,kl (ū,ij − u,ij ) −
g(ū − u) ≥ 0 ∀(w̄, ū) ∈ K,
G
в точности совпадающего с (16). Следовательно, контактная задача с жестким включением (1)–(12) будет предельной для семейства контактных задач с упругим включением (36)–(44).
64
Н. В. Неустроева
Список литературы
1. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
2. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных
размеров // ДАН СССР. 1976. Т. 230, № 2. С. 308–310.
3. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. BaselBoston-Berlin: Birkhauser, 1997.
4. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.
5. Caffarelli L. A., Friedman A. The Obstacle Problem for the Biharmonic Operator //
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1979. Vol. 6. Ser. IV. No. 1. P. 151–184.
6. Caffarelli L. A., Friedman A., Torelli A. The Two-Obstacle Problem for the Biharmonic Operator // Pacific J. Math. 1982. Vol. 103. No. 2. P. 325–335.
7. Schild B. On the Coincidence Set in Biharmonic Variational Inequalities with Thin
Obstacles // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1986. Cl. Sci. IV. Ser. 13. No. 4. P. 559–616.
8. Dal Maso G., Paderni G. Variational Inequalities for the Biharmonic Operator with
Varying Obstacles // Ann. Mat. Pura Appl. 1988. Vol. 153. P. 203–227.
9. Хлуднев А. М. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // ПМТФ. 2008. T. 49, № 4. C. 42–58.
10. Khludnev A. M., Leugering G. Unilateral Contact Problems for Two Perpendicular
Elastic Structures // J. for Analysis and its Applications. 2008. Vol. 27. No. 2. P. 157–177.
11. Khludnev A. M., Tani A. Unilateral Contact Problem for Two Inclined Elastic Bodies // European J. of Mechanics, A/Solids. 2008. Vol. 27. No. 3. P. 365–377.
12. Хлуднев А. М., Хоффманн К.-Х., Боткин Н. Д. Вариационная задача о контакте
упругих объектов разных размерностей // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 707–717.
13. Неустроева Н. В. Контактная задача для упругих тел разных размерностей //
Вест. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, вып. 4.
C. 60–75.
14. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине: Препр. / Ин-т гидродинамики СО РАН; № 1-2009 Новосибирск, 2009.
15. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. Boston; Southampton: WIT-Press, 2000.
16. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.
М.: Мир, 1971.
Материал поступил в редколлегию 04.06.2009
Адрес автора
НЕУСТРОЕВА Наталья Валерьяновна
РОССИЯ, 677891, Якутск
ул. Кулаковского, 48,
ФГНУ «НИИ математики при
ЯГУ им. М. К. Аммосова»
тел.: (4112)36-43-47, (4112)32-08-52
e-mail: NNataliaV@mail.ru