Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä

Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä
5 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷.
Ó÷èòåëüíèöà ïðîâåðÿëà äîìàøíåå çàäàíèå. Îíà âûçûâàëà ê äîñêå ïî ñïèñêó ÷åðåç
îäíîãî, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ÷åëîâåêà ïî àëôàâèòó. Äåâÿòûì ê äîñêå âûøåë Âàñÿ. Îí îòâå÷àë òàê ïëîõî, ÷òî ó÷èòåëüíèöà ðàññåðäèëàñü è ïîñëå íåãî âûçûâàëà ïî ñïèñêó óæå âñåõ
îñòàâøèõñÿ 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî ÷åëîâåê â êëàññå?
Ðåøåíèå. Äî Âàñè ïî ñïèñêó âûøëî 8 ÷åëîâåê, è åùå 8 áûëî ïðîïóùåíî. Çíà÷èò, Âàñÿ
17-é â ñïèñêå. Ïîñëå íåãî åùå 8 ÷åëîâåê, ïîýòîìó âñåãî â êëàññå 25 ó÷åíèêîâ.
2. Áàáóøêà íàïåêëà ïèðîæêîâ äëÿ âíóêîâ, ñîñ÷èòàëà è äóìàåò: ¾Ïî ñêîëüêî æå ïèðîæêîâ äàòü êàæäîìó âíóêó? Åñëè äàòü êàæäîìó ïî ïÿòü ïèðîæêîâ, òî ó ìåíÿ íå õâàòèò
òðåõ ïèðîæêîâ, à åñëè äàòü êàæäîìó ïî ÷åòûðå, òî ó ìåíÿ îñòàíóòñÿ òðè ïèðîæêà¿.
Ñêîëüêî âíóêîâ áûëî ó áàáóøêè?
Îòâåò. 6.
Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ó áàáóøêè x âíóêîâ, òîãäà
1.
5x − 3 = 4x + 3 ⇒ x = 6.
Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). Ðàçäàäèì êàæäîìó âíóêó ïî ÷åòûðå ïèðîæêà. Òîãäà
åùå 3 ïèðîæêà îñòàíåòñÿ â çàïàñå. Ðàçäàäèì èõ òðîèì âíóêàì. Òåïåðü ÷òîáû êàæäûé
âíóê ïîëó÷èë ïî 5 ïèðîæêîâ, íàì íå õâàòàåò åùå òðåõ ïèðîæêîâ, çíà÷èò, åùå òðè âíóêà
îñòàëîñü áåç ïÿòîãî ïèðîæêà. Ïîýòîìó âñåãî âíóêîâ 3 + 3 = 6.
3. Ðàçäåëèòå ïîëîñêó íà 4 îäèíàêîâûå (ñîâïàäàþùèå ïî ôîðìå) ÷àñòè òàê, ÷òîáû âñå
÷àñòè èìåëè îäíó è òó æå ñóììó âõîäÿùèõ â íèõ ÷èñåë.
1 9 16 7 12 5 4 3
8 15 10 2 13 6 11 14
Ðåøåíèå: Ñì. ðèñóíîê. Ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ÷àñòè äîëæíà áûòü ðàâíà (1 + 9 + 16 +
7+12+5+4+3+8+15+10+2+13+6+11+14)/4 = 34.
Êàðëñîí îòêðûë øêîëó, è 1 ñåíòÿáðÿ âî âñåõ òðåõ ïåðâûõ êëàññàõ áûëî ïî òðè óðîêà: Êóðîùåíèå, Íèçâåäåíèå è Äóðàêàâàëÿíèå. Îäèí è òîò æå ïðåäìåò â äâóõ êëàññàõ
îäíîâðåìåííî èäòè íå ìîæåò. Êóðîùåíèå â 1Á áûëî ïåðâûì óðîêîì. Ó÷èòåëü Äóðàêàâàëÿíèÿ ïîõâàëèë ó÷åíèêîâ 1Á: ¾Ó âàñ ïîëó÷àåòñÿ åùå ëó÷øå, ÷åì ó 1À¿. Íèçâåäåíèå íà
âòîðîì óðîêå áûëî íå â 1À. Â êàêîì êëàññå âàëÿëè äóðàêà íà ïîñëåäíåì óðîêå? Ñâîé
îòâåò îáîñíóéòå.
Îòâåò. 1Á.
Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî Äóðàêàâàëÿíèå â 1Á áûëî ëèáî íà âòîðîì,
ëèáî íà òðåòüåì óðîêå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî áûëî íà âòîðîì óðîêå. Â 1À îíî áûëî
ðàíüøå, òî åñòü íà ïåðâîì óðîêå. Òàê êàê Íèçâåäåíèå íà âòîðîì óðîêå áûëî íå â 1À, òî â 1À
îíî áûëî íà òðåòüåì óðîêå. Òàê êàê â 1Á ïåðâûì óðîêîì áûëî Êóðîùåíèå, òî Íèçâåäåíèå
òàì òîæå ìîãëî áûòü òîëüêî òðåòüèì óðîêîì. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, Äóðàêàâàëÿíèå áûëî
íà òðåòüåì óðîêå â 1Á.
5. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ áåç ãèðü îïðåäåëèòü õîòÿ
áû îäíó íàñòîÿùóþ ìîíåòó èç 5 îäèíàêîâûõ ïî âíåøíåìó âèäó ìîíåò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî
4.
1
ñðåäè ýòèõ ìîíåò 3 íàñòîÿùèõ è 2 ôàëüøèâûõ, îäíà èç êîòîðûõ ëåã÷å, à äðóãàÿ òÿæåëåå
íàñòîÿùèõ ìîíåò?
Ðåøåíèå. Ìîæíî. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû ïîëîæèì íà êàæäóþ ÷àøó âåñîâ ïî ìîíåòå, è
âåñû ïîêàæóò ðàâåíñòâî, òî îáå ýòè ìîíåòû íàñòîÿùèå. Ïåðâûì âçâåøèâàíèåì ïîëîæèì
íà âåñû ïåðâóþ è âòîðóþ ìîíåòû. Åñëè îíè ðàâíû, òî ìû íàøëè äâå íàñòîÿùèõ ìîíåòû.
Åñëè íå ðàâíû, óáåðåì èõ è ïîëîæèì òðåòüþ è ÷åòâåðòóþ. Åñëè îíè ðàâíû, òî ìû íàøëè
íàñòîÿùóþ. Åñëè îíè òîæå íå ðàâíû, òî â êàæäîì èç âçâåøèâàíèé ó÷àñòâîâàëà ôàëüøèâàÿ
ìîíåòà. Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàâøàÿñÿ ïÿòàÿ íàñòîÿùàÿ.
2
Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä
6 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷.
Áóðóíäóêè ×èï è Äåéë äîëæíû çàïàñòè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ íà çèìó.
Ïîñëå òîãî êàê ×èï ïðèíåñ 425 îðåõîâ, à Äåéë 368 îðåõîâ, ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè îðåõîâ
â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå, ÷åì Äåéëó. Ñêîëüêî îðåõîâ äîëæåí çàïàñòè êàæäûé èç íèõ?
Îòâåò. 444.
Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè x îðåõîâ, òîãäà Äåéëó îñòàëîñü
çàïàñòè 4x îðåõîâ. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå 425 + x = 368 + 4x, îòêóäà 3x = 57, x = 19. Çíà÷èò,
îíè äîëæíû çàïàñòè ïî 425 + 19 = 444 îðåõîâ.
Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). ×òîáû ñðàâíÿòüñÿ ñ ×èïîì, Äåéë äîëæåí çàïàñòè óòðîåííîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ, êîòîðîå îñòàëîñü çàïàñòè ×èïó. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè 425−368 =
57, ïîýòîìó ×èïó îñòàëîñü íàéòè 19 îðåõîâ.
2. Èç øåñòè êîñòÿøåê äîìèíî, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå, ñëîæèòå ïðÿìîóãîëüíèê 3 × 4
òàê, ÷òîáû âî âñåõ òðåõ ñòðî÷êàõ òî÷åê áûëî ïîðîâíó è âî âñåõ ÷åòûðåõ ñòîëáöàõ òî÷åê
áûëî òîæå ïîðîâíó.
1.
Îäèí èç âîçìîæíûõ îòâåòîâ ïîêàçàí íà ðèñóíêå. Âñåãî òî÷åê 12, çíà÷èò, â
êàæäîé ñòðî÷êå áóäåò ïî 4, à â êàæäîì ñòîëáèêå ïî 3. Ïóñòóþ äîìèíîøêó è äîìèíîøêó ñ ÷åòûðüìÿ òî÷êàìè íåëüçÿ ñòàâèòü âåðòèêàëüíî, èíà÷å â ñîîòâåòñòâóþùåì ñòîëáèêå
íèêàê íå ïîëó÷èòñÿ òðåõ òî÷åê. Ïîýòîìó èõ åñòåñòâåííî ðàñïîëîæèòü ãîðèçîíòàëüíî â
îäíîé ñòðî÷êå. Ïîñëå ýòîãî íóæíûé ïðèìåð óæå äîâîëüíî ïðîñòî íàðèñîâàòü. Îò äåòåé
íå òðåáóåòñÿ ïîÿñíÿòü, êàê îíè ïðèäóìàëè ïðèìåð, äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè åãî!
Ðåøåíèå.
3. Èçâåñòíî, ÷òî (a − b + 2014), (b − c + 2014) è (c − a + 2014) òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ
öåëûõ ÷èñëà (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå). Íàéäèòå ýòè ÷èñëà.
Îòâåò. 2013, 2014, 2015.
Ðåøåíèå 1. Îáîçíà÷èì ýòè ÷èñëà êàê n − 1, n è n + 1. Òîãäà èõ ñóììà ðàâíà 3n, òî åñòü
óòðîåííîìó âòîðîìó ÷èñëó. Òàê êàê (a − b + 2014) + (b − c + 2014) + (c − a + 2014) = 6042,
òî n = 2014. Çíà÷èò, n − 1 = 2013, n + 1 = 2015.
Ðåøåíèå 2. ×òîáû ýòè òðè ÷èñëà áûëè ïîñëåäîâàòåëüíûìè, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ
óñëîâèÿ
b − c = a − b + 1,
c − a = b − c + 1.
3
Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
a + c + 1 = 2b,
a + b + 1 = 2c.
Âûðàçèì a èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ: a = 2b−c−1 è ïîäñòàâèì âî âòîðîå. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå
2b − c − 1 + b + 1 = 2c, îòêóäà b = c. Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ÷èñëî ðàâíî 2014.
4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðîèçâåäåíèå öèôð êîòîðîãî ðàâíî 1890.
Ñâîé îòâåò ïîÿñíèòå.
Îòâåò. 5679.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â íàèìåíüøåì ÷èñëå íå äîëæíà âñòðå÷àòüñÿ åäèíèöà, èíà÷å åå
ìîæíî âû÷åðêíóòü. Òàê êàê 1890 = 2·33 ·5·7, òî ïÿòåðêà è ñåìåðêà âñòðåòÿòñÿ îáÿçàòåëüíî.
Êðîìå òîãî, 2 · 33 = 54, òàê ÷òî êðîìå ïÿòåðêè è ñåìåðêè åñòü åùå ìèíèìóì äâå öèôðû.
×èñëî 54 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öèôð åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì:
54 = 6 · 9. Çíà÷èò, íàèìåíüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî èç öèôð 5, 6, 7,
9 è ýòî ÷èñëî 5679.
5. 15 ëæåöîâ è ðûöàðåé ñèäÿò çà êðóãëûì ñòîëîì (ñðåäè ñèäÿùèõ åñòü êàê ðûöàðè, òàê
è ëæåöû). Íà âîïðîñ: ¾Ñêîëüêî ëæåöîâ ðÿäîì ñ òîáîé?¿ âñå îòâåòèëè: ¾Îäèí¿. Ñêîëüêî
ëæåöîâ ìîæåò ñèäåòü çà ñòîëîì?
Îòâåò. 5.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîãî ðûöàðÿ. Îí ãîâîðèò ïðàâäó, ïîýòîìó ñ îäíîé
ñòîðîíû îò íåãî ðûöàðü, à ñ äðóãîé ëæåö. Ïóñòü îíè ñèäÿò òàê: P1P2Ë1. Ñëåâà îò P1
îáÿçàòåëüíî äîëæåí ñèäåòü ëæåö (èíà÷å P1 ñîâðåò), à ñïðàâà îò Ë1 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü
(èíà÷å Ë1 ñêàæåò ïðàâäó). Ïîëó÷àåì òàêóþ öåïî÷êó: Ë2P1P2Ë1Ð3. Òåïåðü ñëåâà îò Ë2
äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü, à ñïðàâà îò Ð3 òîæå ðûöàðü. Çàìåòèì, ÷òî ðûöàðè è ëæåöû
ïîâòîðÿþòñÿ òðîéêàìè: . . . ËÐÐ | ËÐÐ. . . Ïîñêîëüêó îáùåå êîëè÷åñòâî ðûöàðåé è ëæåöîâ
äåëèòñÿ íà 3, â êîíöå öåïî÷êè íå âîçíèêíåò ïðîòèâîðå÷èÿ. Âñåãî áóäåò 10 ðûöàðåé è 5
ëæåöîâ. (Ëèáî æå ïðîñòî äîñòðîèì öåïî÷êó ïî êðóãó, ïîêà â íåé íå îêàæåòñÿ 15 ÷åëîâåê.)
4
Òóðíèð þíûõ ìàòåìàòèêîâ èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. 2014 ãîä
7 êëàññ. Ðåøåíèÿ çàäà÷.
Áóðóíäóêè ×èï è Äåéë äîëæíû çàïàñòè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ íà çèìó.
Ïîñëå òîãî êàê ×èï ïðèíåñ 1995 îðåõîâ, à Äåéë 1938 îðåõîâ, ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè
îðåõîâ â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå, ÷åì Äåéëó. Ñêîëüêî îðåõîâ äîëæåí çàïàñòè êàæäûé èç
íèõ?
Îòâåò. 2014.
Ðåøåíèå 1 (óðàâíåíèå). Ïóñòü ×èïó îñòàëîñü çàïàñòè x îðåõîâ, òîãäà Äåéëó îñòàëîñü
çàïàñòè 4x îðåõîâ. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå 1995+x = 1938+4x, îòêóäà 3x = 57, x = 19. Çíà÷èò,
îíè äîëæíû çàïàñòè ïî 1995 + 19 = 2014 îðåõîâ.
Ðåøåíèå 2 (áåç óðàâíåíèé). ×òîáû ñðàâíÿòüñÿ ñ ×èïîì, Äåéë äîëæåí çàïàñòè óòðîåííîå êîëè÷åñòâî îðåõîâ, êîòîðîå îñòàëîñü çàïàñòè ×èïó. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè 1995 −
1938 = 57, ïîýòîìó ×èïó îñòàëîñü íàéòè 19 îðåõîâ.
2. Ðàññòàâüòå âñå ÷èñëà îò 1 äî 9 â òàáëèöå 3 × 3 òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â ëþáûõ äâóõ
ñîñåäíèõ ïî ñòîðîíå êëåòêàõ áûëà ðàâíà 8, 9, 10 èëè 11.
9 2 6
Ðåøåíèå. Íàïðèìåð 1 7 4
8 3 5
6 èëè 7 îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü â öåíòðå.
3. Äâà îäèíàêîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà èç áóìàãè óäàëîñü ïîëîæèòü îäèí íà
äðóãîé òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå (ïðè ýòîì âåðøèíà ïðÿìîãî óãëà îäíîãî ïîïàëà íà
ñòîðîíó äðóãîãî). Äîêàæèòå, ÷òî çàøòðèõîâàííûé òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.
1.
Ðåøåíèå. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãëû A è C ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíûõ
áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ); çíà÷èò, åãî ñòîðîíû AB è BC ðàâíû. Íî è åãî ñòîðîíû AB
è AC ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ); çíà÷èò,
òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé.
4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðîèçâåäåíèå öèôð êîòîðîãî ðàâíî 1080.
Ñâîé îòâåò ïîÿñíèòå.
Îòâåò. 3589.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â íàèìåíüøåì ÷èñëå íå äîëæíà âñòðå÷àòüñÿ åäèíèöà, èíà÷å
åå ìîæíî âû÷åðêíóòü. Òàê êàê 1080 = 23 · 33 · 5, òî ïÿòåðêà âñòðåòèòñÿ îáÿçàòåëüíî. Êðîìå
òîãî, 23 · 33 > 100, òàê ÷òî êðîìå ïÿòåðêè åñòü åùå ìèíèìóì òðè öèôðû.
1) Ïóñòü íàèìåíüøàÿ èç íèõ äâîéêà. Òîãäà îñòàåòñÿ 22 · 33 = 4 · 27 > 100, è â ÷èñëå
áóäåò ìèíèìóì 5 öèôð.
2) Ïóñòü íàèìåíüøàÿ èç íèõ òðîéêà. Òîãäà îñòàåòñÿ 23 · 32 = 72 = 8 · 9. Çíà÷èò,
5
÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, íà÷èíàþùååñÿ ñ òðîéêè, ïîëó÷èòü ìîæíî 3589. ßñíî, ÷òî îíî
íàèìåíüøåå, ñîñòàâëåííîå èç öèôð 3, 5, 8, 9.
3) Åñëè íàèìåíüøàÿ öèôðà áîëüøå òðåõ, òî â ëþáîì ñëó÷àå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî
áîëüøå 3589.
5. 30 ëæåöîâ è ðûöàðåé ñèäÿò çà êðóãëûì ñòîëîì (ñðåäè ñèäÿùèõ åñòü êàê ðûöàðè, òàê
è ëæåöû). Íà âîïðîñ: ¾Ñêîëüêî ëæåöîâ ðÿäîì ñ òîáîé?¿ âñå îòâåòèëè: ¾Îäèí¿. Ñêîëüêî
ëæåöîâ ìîæåò ñèäåòü çà ñòîëîì?
Îòâåò. 10.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîãî ðûöàðÿ. Îí ãîâîðèò ïðàâäó, ïîýòîìó ñ îäíîé
ñòîðîíû îò íåãî ðûöàðü, à ñ äðóãîé ëæåö. Ïóñòü îíè ñèäÿò òàê: P1P2Ë1. Ñëåâà îò P1
îáÿçàòåëüíî äîëæåí ñèäåòü ëæåö (èíà÷å P1 ñîâðåò), à ñïðàâà îò Ë1 äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü
(èíà÷å Ë1 ñêàæåò ïðàâäó). Ïîëó÷àåì òàêóþ öåïî÷êó: Ë2P1P2Ë1Ð3. Òåïåðü ñëåâà îò Ë2
äîëæåí ñèäåòü ðûöàðü, à ñïðàâà îò Ð3 òîæå ðûöàðü. Çàìåòèì, ÷òî ðûöàðè è ëæåöû
ïîâòîðÿþòñÿ òðîéêàìè: . . . ËÐÐ | ËÐÐ. . . Ïîñêîëüêó îáùåå êîëè÷åñòâî ðûöàðåé è ëæåöîâ
äåëèòñÿ íà 3, â êîíöå öåïî÷êè íå âîçíèêíåò ïðîòèâîðå÷èÿ. Âñåãî áóäåò 20 ðûöàðåé è 10
ëæåöîâ.
6