Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике

Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по физике
10 класс (2014 – 2015 учебный год)
Решение заданий оформляются в тетради. Не забудьте поставить на титульном листе
тетради ваш идентификационный код и класс!
Задача № 1 (максимальный балл – 8)
Стержень, закреплённый между двумя муфтами, может свободно
перемещаться в вертикальном направлении (рис.1). Нижний конец
стержня опирается на гладкий клин, лежащий на горизонтальной
плоскости. Масса стержня равна m, масса клина М. Трение отсутствует.
В начальный момент стержень и клин покоились. Определить скорость
клина в момент, когда стержень опустится на расстояние h, скорость
стержня относительно движущегося клина, ускорение стержня.
m
М
α
Рис.1
Задача № 2 (максимальный балл – 6)
Строители построили три дома. Первый из стекла, второй из дерева, третий из кирпича. Размеры
всех домов одинаковы. Какое количество дров необходимо сжигать ежесуточно зимой, чтобы
поддерживать в доме постоянную температуру 200С. При температуре наружного воздуха (-100С).
Стены домов имеют общую площадь 50 м2 и толщину L=25 см. Коэффициент полезного действия
печи 60%. Удельная теплота сгорания дров q=8,3·106 Дж/кг. Коэффициент теплопроводности для
стекла χ=0,74Вт/м·0С, для дерева χ=0,17Вт/м·0С, кирпичная кладка χ=0,84Вт/м·0С. Поток тепла
наружу j= χ((t2-t1)/L).
Задача № 3 (максимальный балл – 8)
Какое
сопротивление
необходимо
включить между точками С и D (рис.2),
чтобы сопротивление всей цепочки (между
точками А и В) не зависело от числа
элементарных
ячеек?
Сопротивление
каждого имеющегося в схеме резистора
равно R.
А
С
В
D
Рис.2
Задача № 4 (максимальный балл – 10)
Узкий пучок света S падает на двугранный угол α=60о,
образованный одинаковыми плоскими зеркалами ОМ и ОN,
закрепленными на оси О (рис.4). После отражения от зеркал свет
фокусируется линзой Л и попадает в неподвижный приемник П.
Зеркала вращаются с постоянной угловой скоростью. Какая часть
световой энергии пучка за время, много большее периода
вращения, достигнет приемника, если пучок проходит на
расстоянии а от оси, равном половине длины зеркала ОМ?
Задача № 5 (максимальный балл – 10)
В сообщающиеся цилиндрические сосуды с различными
площадями поперечных сечений налита ртуть. В широкий сосуд опустили железный кубик объема
Vо, вследствие чего уровень ртути в этом сосуде повысился. Затем в этот же сосуд налили столько
воды, что уровень ртути в нем принял прежнее положение. Найти высоту столба воды h, если
площадь поперечного сечения узкого сосуда равна S.
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по физике
10 класс
(Решения)
Задача № 1 (максимальный балл – 8)
Стержень, закреплённый между двумя муфтами, может
свободно перемещаться в вертикальном направлении (рис.1).
Нижний конец стержня опирается на гладкий клин, лежащий на
горизонтальной плоскости. Масса стержня равна m, масса клина
М. Трение отсутствует. В начальный момент стержень и клин
покоились. Определить скорость клина в момент, когда стержень
опустится на расстояние h, скорость стержня относительно
движущегося клина, ускорение стержня.
m
М
α
Вариант решения:
Рис.1
Скорость стержня относительно движущегося клина
направлена под углом α к горизонту. Если к этой относительной скорости прибавить скорость
клина, то в результате получим абсолютную скорость стержня u.
𝑢
Очевидно, что отношение скоростей 𝑣 = 𝑡𝑔𝛼.
Из закона сохранения энергии следует, что
𝑀𝑣 2
2
+
𝑚𝑢2
2
= 𝑚𝑔ℎ.
2𝑚𝑔ℎ
Исключая из этих двух уравнений u, получим выражение для v: 𝑣 = √𝑀+𝑚𝑡𝑔2 𝛼 .
1
2𝑚𝑔ℎ
Тогда для относительной скорости стержня мы можем написать 𝑢отн = 𝑐𝑜𝑠𝛼 √𝑀+𝑚𝑡𝑔2 𝛼 .
2𝑚𝑔ℎ
𝑚𝑔𝑡𝑔2 𝛼
Абсолютная скорость стержня 𝑢 = 𝑡𝑔𝛼√𝑚+𝑀𝑡𝑔2 𝛼 = √2ℎ 𝑚+𝑀𝑡𝑔2 𝛼 .
Из последнего выражения видно, что скорость стержня меняется с пройденным путём h по закону
𝑚𝑔𝑡𝑔2 𝛼
равноускоренного движения 𝑢 = √2ℎ𝑎. Следовательно, ускорение стержня 𝑎 = 𝑚+𝑀𝑡𝑔2 𝛼.
𝑚𝑔𝑡𝑔2 𝛼
Ответ: 𝑢 = √2ℎ 𝑚+𝑀𝑡𝑔2 𝛼 .
𝑚𝑔𝑡𝑔2 𝛼
𝑎 = 𝑚+𝑀𝑡𝑔2 𝛼.
Критерии оценивания:
Баллы
2
2
2
1
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Правильно определён закон движения и записана формула для
ускорения
Правильно выведено и записано выражение для абсолютной скорости
стержня
Правильно выведено выражение для v
Правильно записан закон сохранения механической энергии
Определено отношение скоростей
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 2 (максимальный балл – 6)
Строители построили 3 дома. Первый из стекла, второй из дерева, третий из кирпича. Размеры
всех домов одинаковы. Какое количество дров необходимо сжигать ежесуточно зимой, чтобы
поддерживать в доме постоянную температуру 200С. При температуре наружного воздуха (100С). Стены домов имеют общую площадь 50 м2 и толщину L=25 см. Коэффициент полезного
действия печи 60%. Удельная теплота сгорания дров q=8,3·106 Дж/кг. Коэффициент
теплопроводности для стекла χ=0,74Вт/м·0С, для дерева χ=0,17Вт/м·0С, кирпичная кладка
χ=0,84Вт/м·0С. Поток тепла наружу j= χ((t2-t1)/L)
Вариант решения:
Количество тепла Q1, теряемое домом ежесуточно Q1 = jSτ, где S – общая площадь стен, τ – время
(сутки). t1 и t2 – температура воздуха в доме и снаружи.
Q2 = mq – количество тепла, выделяемое при сгорании дров, где q – удельная теплота сгорания, m
– масса дров.
Составляя уравнение теплового баланса с учетом коэффициента полезного действия, получим:
Q1= νQ2, где ν – КПД печи;
𝑡 −𝑡
𝜒 ∙ 2 𝐿 1 ∙ 𝑆 ∙ 𝜏 = 𝜈 ∙ 𝑚𝑞;
Выполняя математические преобразования, получим выражение для массы
𝜒𝜏𝑆(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑚=
𝜈𝑞𝐿
Подставляя в полученную формулу численные значения для каждого материала, получим:
стекло m1 = 77 кг, дерево m2 = 18 кг, кирпич m3 = 87 кг.
Ответ: m1 = 77 кг, m2 = 18 кг, m3 = 87 кг.
Критерии оценивания:
Баллы
1
2
Правильность (ошибочность) решения
Математически верно рассчитано каждое значение массы
Правильно составлено уравнение теплового баланса с учетом
коэффициента полезного действия и из него получено выражение для
массы
Правильно записано выражение для тепла, выделяемого при сгорании
дров
Правильно сформулировано и записано выражение для тепла,
теряемого домом
Решение неверное, или отсутствует.
1
2
0
Задача № 3 (максимальный балл – 8)
Какое сопротивление необходимо включить между точками С и D (рис.2), чтобы сопротивление
всей цепочки (между точками А и В) не зависело от числа элементарных ячеек? Сопротивление
каждого имеющегося в схеме резистора равно R.
А
С
В
D
Рис.2
Вариант решения:
Между точками C и D необходимо включить такое сопротивление r, чтобы сопротивление
последней ячейки было равно r (рис.3)
C
r
D
Рис.3
В этом случае последнюю ячейку можно будет заменить сопротивлением r, затем, то же
сделать с предпоследней ячейкой и т.д. Тогда общее сопротивление цепочки не будет зависеть от
числа ячеек и будет равно r. Для r можно составить уравнение
(2𝑅+𝑟)𝑅
3𝑅+𝑟
= 𝑟,
решая которое
относительно r, получаем 𝑟 = 𝑅(√3 − 1) ≈ 0.73𝑅.
Ответ: 𝑟 ≈ 0.73𝑅
Критерии оценивания:
Баллы
3
2
3
0
Правильность (ошибочность) решения
Правильно составлено и решено уравнение для требуемого
сопротивления
Правильно сделан вывод о том, что общее сопротивление не будет
зависеть от числа ячеек, и будет равно r
Верно сделано предположение о том, каким должно быть неизвестное
сопротивление, чтобы последняя ячейка имела такое же значение
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 4 (максимальный балл – 10)
Узкий пучок света S падает на двугранный угол α=60о, образованный одинаковыми плоскими зеркалами
ОМ и ОN, закрепленными на оси О (рис.4). После отражения от зеркал свет фокусируется линзой Л и
попадает в неподвижный приемник П. Зеркала вращаются с постоянной угловой скоростью.
Рис.4
Какая часть световой энергии пучка за время, много большее периода вращения, достигнет приемника,
если пучок проходит на расстоянии а от оси, равном половине длины зеркала ОМ?
Вариант решения:
Отраженный от зеркала ON луч образует с падающим лучом угол φ (см.рис.4), не
зависящий от угла падения i. Действительно, как видно из треугольника АВС, φ=180о – 2(i+r). В
то же время в треугольнике ОАВ α + (90о – i) + (90o – r)=180o. Отсюда φ = 180о – 2α = 60о. При
вращении зеркала направление отраженного луча не меняется.
М’
МN’
N
S
α
О
N
Рис.5
Следовательно, если попавший на зеркало ОМ луч отразится от зеркала ON, то он
обязательно попадет в приёмник. Как нетрудно видеть из рис.5, на котором изображены два
крайних положения зеркал, при которых луч попадает в приёмник (OM, ON и OM′, ON′), это
происходит на протяжении 1/6 оборота. Поэтому 1/6 всей энергии луча попадёт в приёмник за
время одного оборота, а также и за достаточно большой промежуток времени.
Ответ: 1/6 всей энергии.
Критерии оценивания:
Баллы
3
3
1
3
0
Правильность (ошибочность) решения
Правильно определена часть оборота и, соответственно, части всей
энергии
Сделано заключение о двух крайних положениях зеркал при которых
луч попадет в приемник
Сделан вывод, что при вращении зеркала направление отраженного
луча не меняется
Доказано, что угол φ не зависит от угла падения i
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 5 (максимальный балл – 10)
В сообщающиеся цилиндрические сосуды с различными площадями поперечных сечений налита ртуть. В
широкий сосуд опустили железный кубик объема Vо, вследствие чего уровень ртути в этом сосуде
повысился. Затем в этот же сосуд налили столько воды, что уровень ртути в нем принял прежнее
положение. Найти высоту столба воды h, если площадь поперечного сечения узкого сосуда равна S.
Вариант решения:
После опускания кубика в один из сообщающихся сосудов уровень ртути в обоих
повысится на величину х и займёт положение АВ (Рис.6).
Vo
S
h
A
x
y
B
C
D
Рис.6
Необходимая высота столба доливаемой воды определяется равенством давлений,
например, на уровне CD:
(𝑦 + 𝑥)𝜌1 𝑔 = ℎ𝜌2 𝑔, где ρ1 – плотность ртути, ρ2 – плотность воды.
Величину у можно найти из условия сохранения объёма ртути: (x + y)S=V, где V – объём ртути,
вытесняемый кубиком после вливания воды.
1. Если вода целиком покрывает кубик, то по закону Архимеда:
𝑉𝑜 𝜌𝑜 𝑔 = 𝑉𝜌1 𝑔 + (𝑉𝑜 − 𝑉)𝜌2 𝑔, где ρо – плотность железа.
Решая написанные уравнения относительно h, получим
𝜌1 (𝜌𝑜 − 𝜌2 )𝑉𝑜
ℎ=
.
𝜌2 (𝜌1 − 𝜌2 )𝑆
2. Если же вода не покрывает кубик, то закон Архимеда запишется в виде:
2/3
𝑉𝑜 𝜌𝑜 𝑔 = 𝑉𝜌1 𝑔 + ℎ𝑠𝜌2 𝑔, где 𝑠 = 𝑉𝑜 - площадь грани кубика.
В этом случае искомая высота рассчитывается как
𝜌𝑜 𝑉𝑜
ℎ=
.
2/3
𝜌2 (𝑆 + 𝑉𝑜 )
𝜌 (𝜌 −𝜌 )
2/3
Первое решение справедливо при 𝑆 ≤ 𝜌1 (𝜌𝑜−𝜌2 ) 𝑉𝑜
2
Ответ:ℎ =
𝜌1 (𝜌𝑜 −𝜌2 )𝑉𝑜
𝜌2 (𝜌1 −𝜌2 )𝑆
или
ℎ=
1
𝑜
𝜌𝑜 𝑉𝑜
2/3
𝜌2 (𝑆+𝑉𝑜
)
𝜌 (𝜌 −𝜌 )
2/3
, второе – при 𝑆 ≥ 𝜌1 (𝜌𝑜−𝜌2 ) 𝑉𝑜
2
1
𝑜
.
. (в зависимости от покрытия кубика водой)
Критерии оценивания:
Баллы
1
3
1
3
1
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Правильно получено выражение для высоты столба воды при условии,
что она не покрывает кубик
Записан закон Архимеда при условии, что вода не покрывает кубик
Правильно получено выражение для высоты столба воды при условии,
что она целиком покрывает кубик
Записан закон Архимеда при условии, что вода целиком покрывает
кубик
Записано условие сохранения объема ртути
Определена необходимая высота доливаемой воды, определяемая
равенством давлений
Решение неверное, или отсутствует