Глоссарий по кинематике

Кинематика
Раздел 1. Кинематика. Способы задания движения. Скорость точки. Ускорение
точки.
Кинематика –
раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и
действующих на них сил. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
Соответственно изучение делят на кинематику точки или кинематику твердого тела.
Движение в механике –
механическое движение, т.е. изменение положения тел в пространстве с течением времени.
Способы задания движения точки:
1) естественный;
2) координатный;
3) векторный.
Закон движения тела –
это зависимость положения тела в пространстве от времени.
Траектория движения точки –
геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета
(непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении).
Естественный способ:
указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой
координаты:
– закон движения точки. При прямолинейном движении:
.
Дуговая координата –
расстояние, отложенное по траектории движения точки от начала отсчета (НО).
Начало отсчета –
неподвижная точка на траектории, намеченная произвольно, в полном направлении от которой отсчитываются
значения
дуговой координаты; в другом - отрицательные
.
Радиус кривизны –
расстояние по нормали к траектории в данной точке от местоположения данной точки на траектории до центра ее
кривизны (ЦК) в данной точке траектории.
Кривизна траектории в данной точке – величина обратная радиусу кривизны,
.
Вектор кривизны:
.
Длина пути –
расстояние, пройденное точкой по траектории от одного положения на ней до другого.
График движения точки –
график зависимости ее дуговой координаты от времени .
График пути –
путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет собой сумму абсолютных значений
элементарных перемещений за этот промежуток времени, т.е. линия этого графика непрерывно поднимается вверх
независимо от направления движения.
Координатный способ:
положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения
точки:
,
,
.
Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в
параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном
виде:
(для плоскости).
Векторный способ:
положение точки определяется ее радиус-вектором
, проведенным из какого-либо центра.
Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, называется годографом этого вектора. Т.е. траектория –
годограф радиус-вектора. Связь между координатным и векторным способами:
орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью.
модуль
, направляющие косинусы:
–
и т.д.
Переход от координатного способа к естественному:
Скорость движения точки истинная мгновенная –
векторная величина
, где
.
, характеризующая быстроту и направление движения точки в рассматриваемой системе отсчета.
Вектор скорости:
– первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по
времени);
. Проекции скорости:
,
. Модуль
,
скорости:
, направляющие косинусы:
и т.д.
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным. При естественном
способе:
– модуль скорости, вектор скорости:
,
– орт касательной, т.е. скорость всегда
направлена по касательной к траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой
координаты и наоборот.
Движение в полярной системе координат:
– полярный радиус,
– угол. Проекции скорости на радиальное направление
, поперечное
направление
, модуль скорости
;
,
. Для определения
алгебраической величины скорости точки по графику движения в любой момент времени следует провести касательную
к графику движения в соответствующей точке, определить угол
наклона этой касательной к оси t и определить
скорость
.
Ускорение точки истинное мгновенное –
векторная величина, характеризующая
точки.
быстроту
изменения
модуля
, [м/сек2]. Проекции ускорения:
, направляющие косинусы:
При задании движения в полярных координатах:
, и т.д.
скорости
и
направления
движения
и т.д. Модуль ускорения:
проекции ускорения на радиальное направление
, поперечное направление
, модуль
ускорения
.
При естественном способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное
(тангенциальное) ускорения:
. Модуль нормального ускорения:
– радиус кривизны
,
траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории ( к касательной) всегда к центру кривизны,
т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Нормальное
ускорение в данный момент времени может быть равно нулю
в том случае, когда в данный момент скорость
точки обращается в нуль (точка меняет направление движения), или, когда движущаяся точка находится в точке перегиба
своей траектории
.
Модуль касательного ускорения
, направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости,
либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движении
направление
касательного
ускорения
и
скорости
совпадают,
при
замедленном
–
противоположно.
. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. его
проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской
кривой, бинормаль –
к главной нормали и касательной). Направление ускорения определяется углом
вектором
и главной нормалью
Частные случаи движения точки:
между
.
1) Прямолинейное движение: радиус кривизны
(бесконечно большой), отсюда
2) Равномерное криволинейное движение:
, отсюда
изменения направления скорости. Закон движения:
, при
,
..
. Ускорение появляется только за счет
,
,
.
3) Равномерное прямолинейное движение:
. Единственное движение, где
4) Равнопеременное криволинейное движение:
,
,
.
.
При равноускоренном движении знаки у
и одинаковы, при равнозамедленном – разные.
Простейшие движения твердого тела:
поступательное и вращение вокруг неподвижной оси, плоскопараллельное (плоское), сферическое и общий случай
движения твёрдого тела.
Поступательное движение тела –
такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь
параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в
каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Вращательное движение тела –
такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом,
остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом движении все точки тела движутся в
плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения.
Уравнение (закон) вращательного движения:
– угол поворота тела в радианах. (
).
Угол поворота (угловая координата) –
двугранный угол, образованный полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна P из которых неподвижна, а
другая Q вращается вокруг оси вместе с телом. В одном направлении вокруг оси отсчитываются положительные
значения угла , в другом - отрицательные.
Угловая скорость:
, [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота.
Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так,
что если смотреть ему навстречу вращение будет против часовой стрелки. "n"– число оборотов в мин.
[об/мин],
,
Угловое ускорение тела:
.
, [рад/с2]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном
движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.
Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение:
2) Равнопеременное вращение:
,
,
,
, здесь начальный угол
;
.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
– скорость любой точки твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки.
Модуль векторного произведения:
, где (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.
Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону вращения.
Формулы Эйлера:
,
,
,
– проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной) скорости:
;
. Если ось вращения совпадает с осью z, то
;
Ускорение:
Вращательное ускорение:
ускорения:
.
.
,
, направлено по касательной к траектории точки, т.е.
, направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного
,
:
.
.
, модуль вращательного ускорения
параллельно скорости.
Центростремительное (осестремительное) ускорение:
ускорений:
;
Проекции
,
Угол,
ускорения
между векторами
точек
тела
полного
и центростремительного
вращающегося
вокруг
оси
.
Раздел 2. Плоское движение твердого тела. Сферическое движение твердого тела.
Движение свободного твердого тела.
п.1. Плоское движение твердого тела.
Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно
некоторой неподвижной плоскости.
Уравнения плоского движения:
,
,
, точка А называется полюсом. Плоское движение твердого тела слагается из
поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения
вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота
не зависят.
Скорости точек тела при плоском движении:
;
,
, т.е. скорость какой-либо точки В плоской фигуры равна
геометрической сумме скорости полюса А и скорости точки В при вращении плоской фигуры вокруг полюса А.
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела:
При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между
собой:
. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую
на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками.
Мгновенный центр скоростей (м.ц.с) –
точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю – Р. Если тело движется непоступательно,
т.е.
, то мгновенный центр скоростей всегда существует. При поступательном движении м.ц.с. находится в
.
– скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры
на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена
этому отрезку в сторону вращения фигуры.
скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до м.ц.с.
, угловая скорость тела равна отношению
скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до м.ц.с.
Определение положения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек
(например в точке В и точке К);
2) если скорости точек А и В параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны
быть известны модули и направления скоростей (см.
и
);
3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в
, а угловая скорость
;
4) если известно, что скорости двух точек А и В равны, параллельны и не перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в
, и угловая
скорость
, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное
поступательное движение;
5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке
соприкасания.
Теорема Шаля:
Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом
этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает с м.ц.с.
и называется мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно
изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на неподвижной плоскости,
называется неподвижной центроидой. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры,
называется подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида – прямая, подвижная –
окружность). При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде
(теорема Пуансо).
Ускорения точек тела при плоском движении:
,
– ускорение любой точки (В) фигуры геометрически складывается из ускорения
полюса (А) и центростремительного и вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно
полюса.
,
,
,
.
Следствие 1:
Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведённую из произвольного полюса через эту точку, не
может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.
Следствие 2:
Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные
расстояниям между этими точками.
Мгновенный центр ускорений (м.ц.у.) –
точка (Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.
Для его построения из точки А откладываем под углом
к ускорению
отрезок
, при
этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения . Модули ускорений точек плоской
фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до м.ц.у., а векторы ускорений составляют с отрезками,
соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол
:
мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.
. Мгновенный центр скоростей Р и
п.2. Сферическое движение твердого тела.
Сферическое движение –
движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной (например, движение
волчка). Точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положение тела определяют при помощи трех углов. Для
этого задаются две системы координат: неподвижная Оxyz и подвижная
линия узлов, задаются углы:
– угол прецессии,
– угол нутации,
Эйлера. Таким образом, уравнения сферического движения:
осей против хода часовой стрелки.
;
, связанная с твердым телом. Линия ОJ –
– угол собственного вращения — углы
;
. Углы отсчитываются от
Теорема Эйлера-Даламбера:
Всякое перемещение тела, имеющего неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг некоторой
мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку. Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения
в данный момент времени равны нулю. Вектор угловой скорости (мгновенной угловой скорости) откладывается
о неподвижной точки по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение
происходящим против часовой стрелки. Вектор угловой скорости со временем изменяется не только по численной
величине, но и по направлению. Конец вектора описывает годограф скорости вектора
скорость конца вектора
. Угловое ускорение:
–
, совпадает по направлению с касательной к годографу вектора угловой скорости.
В случае сферического движения в отличии от случая вращения вокруг неподвижной оси вектор
не совпадает с
направлением
– радиус-вектор
. Скорости точек при сферическом движении:
точки, проведенный из неподвижной точки, модуль
вращения.
Формулы Эйлера:
– векторное произведение,
, h – расстояние от точки до мгновенной оси
.
Ускорения:
ускорения
,
вращательное
- расстояние от точки до вектора
,
проходящей через точку М и вектор
ускорение
,
модуль
вращательного
, направлено перпендикулярно плоскости,
.
Осестремительное ускорение
, направлено к оси вращения.
,
п.3. Движение свободного твердого тела (общий случай движения).
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При рассмотрении движения свободного твердого тела, кроме
неподвижной системы координат Oxyz, вводится подвижная система координат Ax1y1z1, которая связана с телом в
точке А. Тогда движение свободного твердого тела представляет собой сложное движение, которое можно
рассматривать как состоящее из поступательного движения вместе с полюсом (А) и сферического движения вокруг
полюса. Уравнения движения свободного твердого тела:
;
;
;
;
;
(углы Эйлера). Первые три уравнения определяют поступательную часть движения и зависят от выбора
полюса, остальные три определяют сферическое движение вокруг полюса и от выбора полюса не зависят. Скорость
любой точки свободного твердого тела = геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее
сферическом движении вокруг полюса.
Ускорение точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса, осестремительного
ускорения точки и ее вращательного ускорения, определенных относительно мгновенной оси и оси углового ускорения,
проходящих через полюс.
, два последних члена дают ускорение точки в ее движении вокруг
полюса.
Раздел 3. Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела.
Сложное движение точки (тела) –
такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (например, пассажир,
перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая
совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O1x1y1z1).
Абсолютным движением точки называется движение по отношению к неподвижной системе координат.
Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового
ускорений:
Относительное движение –
движение по отношению к подвижной системе координат (движение по вагону).
Относительная скорость, ускорение точки –
скорость, ускорение относительного движения точки.
Переносное движение –
движение подвижной системы координат относительно неподвижной (движение вагона).
Переносная скорость, ускорение точки –
скорость, ускорение в движении относительно земли той точки тела, в которой в данный момент времени находится
рассматриваемая материальная точка.
Теорема о сложении скоростей:
,
;
-орты (единичные вектора)
подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца
Отсюда
,
– относительная скорость.
;
; переносная скорость:
, поэтому абсолютная скорость точки = геометрической
сумме ее переносной ( ) и относительной ( ) скоростей
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):
, модуль:
и т.д.
Слагаемые выражения, определяющего ускорения
: 1)
– ускорение полюса О;
2)
3)
и т.д.
– относительное ускорение точки;
.
4)
,
получаем:
.
Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении:
полюса О;
–
вращательное
ускорение,
–
– ускорение
осестремительное
ускорение,
т.е.
.
Ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение):
, где
– в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение =
геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует:
1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения;
2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения.
Модуль ускорения Кориолиса:
, направление вектора
определяется по правилу
векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость,
перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90 о в направлении вращения.
Кориолисово ускорение равно 0 в трех случаях:
, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угловой скорости в 0;
1)
2)
3)
;
, т.е.
, когда относительная скорость
В случае движения в одной плоскости – угол между
и вектором
параллельна оси переносного вращения.
,
,
.
Сложное движение твердого тела.
При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость
результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений твердого тела вокруг
пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем
называется мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль
мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела равна геометрической сумме скоростей составляющих
вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.
. Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в
одной точке, то
. При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время
движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения:
угол прецессии,
– угол нутации,
прецессии
, угловая скорость нутации
.
;
;
,
–
– угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловая скорость
, угловая скорость собственного вращения
,
– модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на
неподвижные оси координат:
кинематические уравнения Эйлера.
–
Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.
Вращения направлены в одну сторону.
ось вращения,
, С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная
,
.
2) Вращения направлены в разные стороны.
,
С – мгновенный центр скоростей и мгновенная ось вращения,
. Векторы угловых скоростей при
вращении вокруг параллельных осей складываются так же, как векторы параллельных сил.
3) Пара вращений – вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю
равны (
– пара угловых скоростей). В этом случае
, результирующее движение тела –
поступательное (или мгновенное поступательное) движение со скоростью
– момент пары угловых
скоростей (поступательное движение педали велосипеда относительно рамы). Мгновенный центр скоростей находится в
бесконечности.
Сложение поступательного и вращательного движений.
1) Скорость поступательного движения
к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение
вокруг оси Рр с угловой скоростью
.
2) Винтовое движение –
движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью
и поступательного со
скоростью v || Аа. Ось Аа – ось винта. Если и
направлены в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый.
Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом винта –
h. Если
и
постоянны, то
, при постоянном шаге любая точка М, не лежащая на оси винта
описывает винтовую линию.
направлена по касательной к винтовой линии.
3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно
рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых
осей – мгновенно–винтовое движение.