Вихрь Бюргерса в микрополярной жидкости

11
1
1
ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ÓÄÊ 532.5.032
Ì. À. Áðóòÿí
Âèõðü Áþðãåðñà â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè
(Ïðåäñòàâëåíî èíîñòðàííûì ÷ë. ÍÀÍ ÐÀ À. Ï. Ñåéðàíÿíîì 6/VII 2009)
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìèêðîïîëÿðíàÿ æèäêîñòü, âèõðåâûå òå÷åíèÿ, ñìàçî÷íûé ñëîé,
òî÷íûå ðåøåíèÿ
1. Ââåäåíèå.  êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè
õîðîøî èçâåñòíî ðåøåíèå Áþðãåðñà [1], îïèñûâàþùåå ñòàöèîíàðíîå âèõðåâîå òå÷åíèå, â êîòîðîì ýôôåêò âÿçêîé äèôôóçèè êîìïåíñèðóåòñÿ íåëèíåéíûì ýôôåêòîì óñèëåíèÿ çàâèõðåííîñòè ïðè ðàñòÿæåíèè âèõðåâûõ íèòåé.
Ëþáîïûòíî, ÷òî òàêîãî ðîäà òå÷åíèÿ èìåþò íå òîëüêî î÷åâèäíîå îòíîøåíèå
ê ïðîáëåìå òóðáóëåíòíîñòè èëè àòìîñôåðíûì ÿâëåíèÿì òèïà òîðíàäî, íî è
äîâîëüíî íåîæèäàííîå îòíîøåíèå ê òåîðèè ñìàçêè. Ïðè íàáëþäåíèè çà
ïîëèìåðíîé ïëåíêîé, íàíåñåííîé íà ïîâåðõíîñòè äî èõ âçàèìíîãî òðåíèÿ,
îáíàðóæåíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå òðåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ñî ñìàçêîé ìåæäó
íèìè îáðàçóþòñÿ ìåñòà èçíîñà ñ ðåëüåôîì ïëåíêè, ÿâíî ñîîòâåòñòâóþùèì
äåéñòâèþ íà ïëåíêó ñîñðåäîòî÷åííûõ îòðûâàþùèõ óñèëèé. Ïî ìíåíèþ
ðÿäà àâòîðîâ (ñì., íàïðèìåð, [2]) ýòîò ìåõàíèçì ñâÿçàí ñ ôîðìèðîâàíèåì
íàä ïîâåðõíîñòüþ òðåíèÿ âèõðåîáðàçíîé äèíàìè÷åñêîé ñòðóêòóðû, êîòîðàÿ è
âûðûâàåò ÷àñòèöû ïîëèìåðà íåïîñðåäñòâåííî èç ïîâåðõíîñòè òðåíèÿ. Òàêèì
îáðàçîì, èçó÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ âèõðåâûõ ñòðóêòóð ïðåäñòàâëÿåò íå
òîëüêî çíà÷èòåëüíûé íàó÷íûé, íî è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ.
2.
Îïðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè â çàäà÷å
Áþðãåðñà.
Îäíèì èç ïîäõîäîâ ê èññëåäîâàíèþ âèõðåâûõ ñòðóêòóð â
ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ òå÷åíèÿõ ìîæåò ñòàòü èçó÷åíèå íåíüþòîíîâñêèõ
æèäêîñòåé, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðûõ òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå
ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Íàèáîëåå èçâåñòíîé ìîäåëüþ òàêîãî ñîðòà, êîòîðàÿ
èñïîëüçóåòñÿ â ÷àñòíîñòè è äëÿ èçó÷åíèÿ òå÷åíèé â ñìàçî÷íîì ñëîå, ÿâëÿåòñÿ
3 5
òàê íàçûâàåìàÿ ìèêðîïîëÿðíàÿ æèäêîñòü [3-5]. Ïðè ìàêðîñêîïè÷åñêîì
îïèñàíèè ýòîé ñðåäû ó÷èòûâàåòñÿ àñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà íàïðÿæåíèé
è íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèìè ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè ââîäÿòñÿ
òðè äîïîëíèòåëüíûå, èíòåðïðåòèðóåìûå êàê êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè
ìèêðîâðàùåíèÿ ­.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè, ÷àñòî íàçûâàåìûå
óðàâíåíèÿìè àñèììåòðè÷åñêîé ãèäðîìåõàíèêè, â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå èìåþò
âèä (ñì., íàïðèìåð, [5])
½( v ¢ r) V = ( ¹ + k) ¢ V + k r o t ­ ¡ rp; d iv V = 0
(1 )
½J[( V ¢ r) ­ ¡ ( ­ ¢ r) V ] = ( ® + ¯) g r a d ( d iv ­) + °¢ ­ ¡ 2 k­ + k r o t V;
(2 )
ãäå p – äàâëåíèå, V – ñêîðîñòü, ¹ – êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè,
½ – ïëîòíîñòü ìàññû, ½J – ïëîòíîñòü ìèêðîìîìåíòà èíåðöèè; ®; ¯; ° –
êîýôôèöèåíòû âðàùàòåëüíîé âÿçêîñòè, k – êîýôôèöèåíò âèõðåâîé âÿçêîñòè,
õàðàêòåðèçóþùèé ìåðó ”ñöåïëåíèÿ” ÷àñòèöû ñî ñâîèì îêðóæåíèåì. Ïðè
k = 0 óðàâíåíèÿ (1) è (2) ”ðàñùåïëÿþòñÿ” è (1) ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêîå
óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (2) ñ òî÷íîñòüþ äî âÿçêèõ
÷ëåíîâ ôîðìàëüíî ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ãåëüìãîëüöà äëÿ ýâîëþöèè âåêòîðà
çàâèõðåííîñòè ! = r o t V â êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå. Ýòî åñòåñòâåííî, òàê
êàê îáà âåêòîðà ! è ­ ÿâëÿþòñÿ àêñèàëüíûìè.
Îäíèì èç òî÷íûõ ðåøåíèé òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà, îïèñûâàþùèõ ñòàöèîíàðíîå âèõðåâîå òå÷åíèå ñ òðåìÿ íåíóëåâûìè êîìïîíåíòàìè
ñêîðîñòè, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé âèõðü Áþðãåðñà.  öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò ( r; µ; z) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîìïîíåíòàìè ñêîðîñòè uB ( r) ,
vB ( r) è wB ( z) ýòî ðåøåíèå èìååò âèä [1]
·
µ
¶¸
1
¡ B
ar2
uB = ¡ ar; vB =
1 ¡ e xp ¡
; wB = az;
(3 )
2
2 ¼r
4 º
½a2 2
pB = pB ( r; z) = ¡
( r + 4 z 2) ¡ ½
8
Z1
Ba
(4 )
r
µ
¶
ar2
! = r o t V = ( 0 ; 0 ; !B ) ; !B =
e xp ¡
; ¡
4 ¼º
4 º
¡
vB2 ( ³)
d³;
³
B
=2 ¼
Z1
!B ( r) rdr;
(5 )
0
ãäå a – ïîñòîÿííûé ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð çàäà÷è, º = ¹=½ – êîýôôèöèåíò
êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè, ¡ B – ñóììàðíàÿ çàâèõðåííîñòü.
3 6
Ïåðåéäåì ê ïîèñêó îáîáùåíèÿ ðåøåíèÿ Áþðãåðñà íà ñëó÷àé ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè. Âèä (3)-(5), à òàêæå îáùàÿ àêñèàëüíàÿ ïðèðîäà âåêòîðîâ
çàâèõðåííîñòè è óãëîâîé ñêîðîñòè ìèêðîâðàùåíèÿ ­ ïîäñêàçûâàþò ïîèñê
ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1) è (2) â ñëåäóþùåì âèäå:
1
u = ¡ ar; v = v( r) ; w = az; p = p( r; z) ; ­ = [0 ; 0 ; ­( r) ]:
2
Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî d iv ­ = 0 , à r o t ­ = ( 0 ; ¡d­=dr; 0 ) . Êðîìå òîãî
·
¸
a d( ­r2 )
( V ¢ r) ­ ¡ ( ­ ¢ r) V = ¡ r o t [V £ ­] ¡ V r ¢ ­ + ­r ¢ V = 0 ; 0 ;
:
2 r dr
Ñ ó÷åòîì (7) èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (1) è (2) ïðèíèìàþò âèä
µ 2
¶
@p
v
1 2
@p
=½
¡ ar ;
= ¡½a2 z;
@r
r
4
@z
½a d
( rv) + ( ¹ + k)
2 dr
µ
° d
½aJ 1 d 2
( r ­) ¡
2 r dr
r dr
d2 v 1 dv v
+
¡
dr 2 r dr r
µ
d­
r
dr
¶
¶
+ 2 k­ =
=k
d­
;
dr
k d
( rv) :
r dr
(6 )
(7 )
(8 )
(9 )
(1 0 )
Êàê è â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîãî âèõðÿ Áþðãåðñà, äàâëåíèå íàõîäèòñÿ èç
(8) ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé êâàäðàòóðû (4). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
ðåøåíèþ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (9) è (10),
êîòîðûå óäîáíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ ! è ­
( ¹ + k)
d! ½a
d­
+ r! = k ;
dr
2
dr
µ
½Ja d 2
° d
( r ­) ¡
2 r dr
r dr
d­
r
dr
¶
= k( ! ¡ 2 ­) :
(1 1 )
(1 2 )
Ïðîâåäåì îáåçðàçìåðèâàíèå óðàâíåíèé (11) è (12).  êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà, ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì k = 0 , âûáåðåì ”âÿçêóþ äëèíó”
p
l = ( ¹ + k) =½a. Ââåäåì áåçðàçìåðíóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ x = r=l è
áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû A = J=2 l2 è B = °=( ¹ + k) l2 . Òîãäà îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ (11) è (12) ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè â çàäà÷å Áþðãåðñà ïðèìóò
îêîí÷àòåëüíûé âèä
d! 1
d­
+ x! = ¸ ;
dx 2
dx
d
d
A ( x2 ­) ¡ B
dx
dx
µ
d­
x
dx
3 7
¶
= ¸x( ! ¡ 2 ­) ;
(1 3 )
(1 4 )
ãäå ¸ = k=( ¹ + k) .  çàêëþ÷åíèå ðàçäåëà çàìåòèì, ÷òî ñâåäåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ê ðåøåíèþ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñòàëî âîçìîæíûì èç-çà òîãî, ÷òî â êëàññè÷åñp
êîé çàäà÷å Áþðãåðñà ( k = 0 ) èçíà÷àëüíî óæå èìååòñÿ ðàçìåðíàÿ äëèíà ¹=½a è
ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîé ”âíóòðåííåé äëèíû” íå íàðóøàåò âèä ðåøåíèÿ (6).
3. Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò è ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ðàññìîòðèì
íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé (13) è (14).
Âûïîëíÿÿ
äèôôåðåíöèðîâàíèå â óðàâíåíèè (14) è ñ÷èòàÿ, ÷òî ­( x) è åå ïðîèçâîäíûå
îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè ïðè x = 0 , íàõîäèì, ÷òî íà îñè âèõðÿ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
d­
= 0 ïðè x = 0 :
dx
(1 5 )
Òîãäà èç (13) íåìåäëåííî ïîëó÷àåì, ÷òî
d!
= 0 ïðè x = 0 :
dx
(1 6 )
Ïðîèíòåãðèðóåì òåïåðü óðàâíåíèå (14) ïî îáëàñòè òå÷åíèÿ.
Ïðè
êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ ­( x) íà îñè è äîñòàòî÷íîé ñêîðîñòè óáûâàíèÿ íà
áåñêîíå÷íîñòè ­( x) = O( 1 =x2+" ; " > 0 ) ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì
ê ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó èíâàðèàíòó:
¡
!
¡2 ¡
=0 ;
­
(1 7 )
ãäå
¡
!
= 2 ¼l2
Z1
!( x) xdx; ¡
0
­
= 2 ¼l2
Z1
­( x) xdx:
(1 8 )
0
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ýâîëþöèè âèõðÿ Áþðãåðñà â
ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè ñóììàðíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìèêðîâðàùåíèÿ âñåãäà
ðàâíà ïîëîâèíå ñóììàðíîé çàâèõðåííîñòè.
Çàòóõàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (13) è (14) íàõîäèëèñü ÷èñëåííî êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì
ìåòîäîì Êåëëåðà âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè [6]. Äëÿ ýòîãî (13) è (14),
ïîñëå ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñíà÷àëà ïðèâîäÿòñÿ
ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à çàòåì, ïîñëå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé
àïïðîêñèìàöèè, ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ â
ñâîþ î÷åðåäü ðåøàåòñÿ ìåòîäîì áëî÷íîé ïðîãîíêè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
(15) è (16). Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ ÷èñëîì óçëîâ
N = 5 0 1 ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ C = 0 :0 0 0 1 , D = 0 :0 1 è ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèÿõ ¸. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ñ òî÷íûì ðåøåíèåì Áþðãåðñà
3 8
(3)-(5) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè îäèíàêîâîì çíà÷åíèè öèðêóëÿöèè ¡ ! = ¡ B
âåëè÷èíà çàâèõðåííîñòè íà îñè â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè áîëüøå, à êðèâàÿ
åå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå êðóòîé. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ó÷åò
ìèêðîïîëÿðíûõ ñâîéñòâ ñðåäû óñèëèâàåò òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò òîðíàäî.
 ðàáîòå [2] íà îñíîâå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ Áþðãåðñà ñäåëàíà îöåíêà
ñèëû ¢ pB , êîòîðàÿ äåéñòâîâàëà áû íà ñôåðè÷åñêóþ ÷àñòèöó ïîëèìåðà ñî
ñòîðîíû âèõðåîáðàçíîé ñòðóêòóðû, âîçíèêàþùåé â ñìàçî÷íîì ñëîå ìåæäó
òðóùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè. Ñðàâíåíèå ñ ñèëîé, íåîáõîäèìîé äëÿ âûðûâàíèÿ
÷àñòèöû ïîëèìåðà, ïîêàçàëî, ÷òî îíè îäíîãî ïîðÿäêà, íî îöåíêà ¢ p íà îñíîâå
êëàññè÷åñêîãî ”íüþòîíîâñêîãî” âèõðÿ Áþðãåðñà äàåò çàíèæåííîå çíà÷åíèå.
Íà ðèñ.1 ïîêàçàí ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà çàâèñèìîñòè ¢ p=¢ pB îò ¸.
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíîãî ïåðåïàäà äàâëåíèÿ ¢ p=¢ pB îò
âåëè÷èíû êîýôôèöèåíòà ”ñöåïëåíèÿ” ¸ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè; ¢ p – ïåðåïàä
äàâëåíèÿ â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè, ¢ pB – ïåðåïàä äàâëåíèÿ èç ðåøåíèÿ
Áþðãåðñà â íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè.
Âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå ¸ ïðèâîäèò ê âîçðàñòàíèþ îòðûâàþùèõ óñèëèé è òåì
ñàìûì ïðèáëèæàåò ñäåëàííóþ â [2] îöåíêó ê íóæíîìó çíà÷åíèþ. Çàìåòèì,
÷òî âî âñåõ ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòàõ èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò (17) îêàçûâàëñÿ
âûïîëíåííûì ñ òî÷íîñòüþ äî 1 0 ¡5 .
4. Çàêëþ÷åíèå. Ïîëó÷åíî òî÷íîå îáîáùåíèå èçâåñòíîé â êëàññè÷åñêîé
ãèäðîäèíàìèêå çàäà÷è Áþðãåðñà íà ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâåííîãî ñòàöèîíàðíîãî
âèõðåâîãî òå÷åíèÿ ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòà çàäà÷à
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàéäåíà èíòåãðàëüíàÿ ñâÿçü
3 9
ìåæäó çàâèõðåííîñòüþ è óãëîâîé ñêîðîñòüþ ìèêðîâðàùåíèÿ. Ðåçóëüòàòû
ðàáîòû èìåþò ïðèëîæåíèå ê òåîðèè òå÷åíèÿ â ñìàçî÷íîì ñëîå, à òàêæå ê
äðóãèì âèõðåâûì òå÷åíèÿì ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ æèäêîñòåé.
ÔÃÓÏ ”Öåíòðàëüíûé àýðîãèäðîäèíàìè÷åñêèé èíñòèòóò èì. ïðîô. Í. Å. Æóêîâñêîãî”
Ì. À. Áðóòÿí
Âèõðü Áþðãåðñà â ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè
Äàíî îáîáùåíèå èçâåñòíîãî â êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêå ðåøåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïðîñòðàíñòâåííûé âèõðü Áþðãåðñà, íà ñëó÷àé ìèêðîïîëÿðíîé æèäêîñòè.
Ïîêàçàíî, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à äîïóñêàåò ðåäóêöèþ îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé ñ
÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Îïðåäåëåí èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò è äàíî ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è.
Óêàçàíà
ïðàêòè÷åñêàÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ â òåîðèè òðåíèÿ
ñìàçî÷íîãî ñëîÿ.
M. A. Brutyan
Burgers Vortex in a Micropolar Fluid
Well-known in classical hydrodynamics solution which describes Burgers vortex is
generalized to the case of a micropolar fluid. It is shown that governing partial differential
equations of this problem may be reduced to the system of the ordinary differential equations. Integral invariant and numerical solution of the problem are provided. It is shown
that the obtained results occur to be applicable to the friction theory of lubrication layer.
Ø.².´ñáõïÛ³Ý
´Ûáõñ·»ñëÇ ÙññÇÏÁ ÙÇÏñáµ»õ»é³ÛÇÝ Ñ»ÕáõÏáõÙ
îñí³Í ¿ ¹³ë³Ï³Ý Ñǹñá¹ÇݳÙÇϳÛÇ Ñ³ÛïÝÇ ÉáõÍÙ³Ý ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ, áñÁ Ýϳñ³·ñáõÙ ¿ ´Ûáõñ·»ñëÇ ï³ñ³Í³Ï³Ý ÙññÇÏÁ, »ñµ Ñ»ÕáõÏÁ ÙÇÏñáµ»õ»é³ÛÇÝ ¿: òáõÛó ¿ ïñí³Í, áñ
ïíÛ³É ËݹÇñÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë áñáßÇã Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñáí ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ é»¹áõÏódzÝ
ëáíáñ³Ï³Ý ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ: àñáßí³Í ¿ ÇÝï»·ñ³É ÇÝí³ñdzÝïÁ,
»õ µ»ñí³Í ¿ Ãí³ÛÇÝ ÉáõÍáõÙÁ: òáõÛó ¿ ïñí³Í ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ùëáõù³ÛÇÝ ß»ñïÇ ß÷Ù³Ý
ï»ëáõÃÛáõÝáõÙ û·ï³·áñÍ»Éáõ åñ³ÏïÇÏ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÁ:
4 0
Ëèòåðàòóðà
1. Burgers J.M. - Advances in Applied Mechanics. Academic Press. 1948. V. 1.
P. 171-199.
2. Êðàñíîâ Þ.Ê. Â ñá.: Íåëèíåéíûå âîëíû. Ñòðóêòóðû è áèôóðêàöèè. Ì.
Íàóêà. 1987.
3. Eringen A.C. - J. Math. Mech. 1966. V. 16. N1.
4. Ïåòðîñÿí Ë.Ã. Íåêîòîðûå âîïðîñû ìåõàíèêè æèäêîñòåé ñ íåñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì íàïðÿæåíèé. Èçä-âî. ÅÃÓ. 1986.
5. Áðóòÿí Ì.À., Êðàïèâñêèé Ï.Ë. - Èíæ.-ôèç. æ. 1989. Ò. 57. N2.
6. Keller H.B. - Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V. 10. P. 417-433.
4 1