НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - Томский политехнический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
“ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”
______________________________________________________________
Черкасов М.Р.
Томск - 2013
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Содержание
§ 1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла …………………3
§ 2. Свойства неопределенного интеграла …………………………
4
§ 3. Таблица основных интегралов …………………………………………
6
§ 4. Простейшие методы интегрирования …………………………………
7
4.1. Непосредственное интегрирование ……………………………………..7
4.2 Использование теоремы об инвариантности формул интегрирования
(метод подведения части подынтегральной функции
под знак дифференциала)………………………………………….
9
§ 5. Основные методы интегрирования………………………………………..11
5.1. Замена переменной (метод подстановки)………………………………11
5.2. Интегрирование по частям ………………………………………………14
§ 6. Приемы интегрирования некоторых классов функций .......……………..17
6.1. Интегрирование некоторых выражений, содержащих
квадратный трехчлен…………………………………………………….......17
6.2. Рациональные дроби и их интегрирование……………………………..19
6.3. Интегрирование выражений с тригонометрическими функциями…... 24
6.4. Интегрирование выражений с иррациональностями………………….. 27
§ 7. Замечания о «не берущихся» интегралах…………………………………33
Литература………………………………………………………………….. 34
2
§ 1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении решалась задача нахождения по заданной функции f (x) ее производной f ' ( x) . Часто, однако, возникает обратная
задача – по известной функции f (x) найти такую функцию F (x) , для которой функция f (x) была бы ее производной, то есть чтобы имело место равенство F ' ( x)  f ( x) .
Определение. Функция F (x) , такая, что F ' ( x)  f ( x) , называется первообразной функции f (x) .
Очевидно, что если F (x) первообразная функции f (x) , то и функция
F ( x)  С , где
С произвольная постоянная, также является первообразной этой функции,
поскольку
( F ( x)  С )'  F ' ( x)  С '  F ' ( x)  f ( x) . Более того, функциями вида F ( x)  С
исчерпывается все множество первообразных функции f (x) . Это следует из
теоремы.
Теорема. Если F1 ( x) и
F2 ( x) первообразные функции
f (x) , то
F1 ( x)  F2 ( x)  C где С произвольная постоянная
Доказательство. Так как F1 ( x ) и F2 ( x) первообразные функции f (x) то имеют место равенства F1 ' ( x)  f ( x) , F2 ' ( x)  f ( x ) . Вычитая из первого второе, находим
F1 ' ( x)  F2 ' ( x)  0 , или F1 ( x)  F2 ( x) '  0 . Но нулю равна производная константы, то
есть, F1 ( x)  F2 ( x)  C , что и доказывает теорему.
Определение. Множество всех первообразных функции f (x) называется
неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
Здесь:

 f ( x) dx .
- символ неопределенного интеграла, f (x) - подынтегральная функ-
ция, f ( x) dx - подынтегральное выражение, dx - дифференциал независимой
переменной x (переменной интегрирования).
Итак, согласно определению,
3
 f ( x) dx  F ( x)  C .
(1.1)
Функция f (x) называется интегрируемой, если для нее существует неопределенный интеграл. Интегрируемость функции устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Всякая дифференцируемая в интервале (a, b) функция f (x) интегрируема в этом интервале.
Эту теорему мы примем без доказательства
§ 2. Свойства неопределенного интеграла
Исходя из определения первообразной и формулы (1), установим свойства
неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, то есть
 f ( x) dx'  f ( x) .
(1.2)
Действительно, взяв производную от обеих частей формулы (1) и учитывая, что производная константы равна нулю, находим:
 f ( x) dx'  F ( x)  C '  F ' ( x)  C '  f ( x) .
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, то есть
d  f ( x) dx'  f ( x) dx .
(1.3)
Действительно, дифференцируя обе части формулы (1) и учитывая, что дифференциал
константы равен нулю, получаем:
d  f ( x) dx  d F ( x)  C   d F ( x)  F ' ( x) dx  f ( x) dx .
3. Неопределенный интеграл от полного дифференциала функции равен
этой функции плюс произвольная постоянная, то есть
 dF( x)
 F ( x)  C .
(1.4)
Для доказательства этого свойства достаточно сравнить дифференциалы от обеих частей равенства, имеем:
d  dF ( x)  dF ( x)  f ( x) dx ,
4
при этом было использовано свойство 2. С другой стороны
d F ( x)  C   dF ( x)  f ( x) dx .
Совпадение дифференциалов и доказывает утверждение.
4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, то есть
 k f ( x) dx  k  f ( x) dx .
(1.5)
Для доказательства достаточно взять производные от обеих частей этого равенства и
воспользоваться свойством 1:
 k f ( x) dx'  k f ( x) ,
k  f ( x) dx'  k  f ( x) dx'  k f ( x) ,
(1.6)
совпадение производных и доказывает свойство.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функции равен сумме интегралов ор этих функций, то есть
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x) dx   g ( x) dx .
(1.7)
Действительно, вновь взяв производные от обеих частей равенства и воспользовавшись
свойством (1) и свойством линейности операции дифференцирования, получаем
  f ( x)  g ( x)dx'  f ( x)  g ( x) ,
 f ( x) dx   g ( x) dx'   f ( x) dx' g ( x) dx'  f ( x)  g ( x) ,
совпадение производных доказывает свойство.
Замечание. Свойства 4 и 5 в совокупности называются свойством линейности неопределенного интеграла.
6. Теорема об инвариантности формул интегрирования.
Теорема. Пусть
 f ( x) dx  F ( x)  C
и u  u(x) произвольная дифференци-
руемая функция переменной x . Тогда справедлива формула
 f (u) du  F (u)  C .
(1.8)
Доказательство. Для доказательства сравним дифференциала обеих частей формулы
(8). Дифференцируя по переменной x левую часть и используя свойство 2 и правило дифференцирования сложной функции, получаем
d
d

 f (u) duu' ( x) dx  f (u)u' ( x) dx 
f (u ) du  dx 

dx
du 
 f (u ( x)) u ' ( x) dx.
d  f (u ) du 
5
Дифференциал правой части равен:
d F (u )  C   d F (u ) 
d
d
F (u ) dx 
F (u ) u ' ( x) dx  f (u ) u ' ( x) dx 
dx
du
 f (u ( x)) u ' ( x) dx.
Равенство дифференциалов и доказывает теорему.
Следствие. Форма записи формулы интегрирования не изменяется при
замене независимой переменной на произвольную дифференцируемую функцию этой переменной. По этой причине данное свойство называется свойством инвариантности формул интегрирования.
.§ 3. Таблица основных интегралов
Первообразные ряда функций и, соответственно, неопределенные интегралы могут быть найдены непосредственно из известной таблицы производных
основных элементарных функций. Например,
(sin x) '  cos x

 cos x dx  sin x  C,
(cos x) '  - sin x

 sin x dx   cos x  C,

dx
 cos2 x  tg x  C,
(tg x) ' 
1
cos2 x
(arcsin x) ' 
1
1- x2


dx
 arcsin x  C, и так далее.
2
1- x
Как можно видеть, среди свойств неопределенного интеграла отсутствует
свойство, относительно интеграла от произведения функций. Как следствие,
интегрирование представляет собой в общем случае процесс неизмеримо более сложный, чем дифференцирование. Более того, существуют функции, интегралы от которых не выражаются через конечные комбинации основных
элементарных функций. Примеры подобных интегралов будут приведены
позднее. В целом теория интегрирования сводится
к выделению классов
функций, которые могут быть проинтегрированы тем или иным способом.
При этом основу составляет так называемая таблица основных интегралов, в
которую включены интегралы, наиболее часто встречающиеся в приложениях. Процесс интегрирования в сущности сводится к преобразованию рассмат6
риваемого интеграла с помощью свойств и некоторых других приемов, которые будут рассмотрены позднее, к линейной комбинации табличных интегралов и использованию таблицы. Приведем таблицу основных интегралов. При
этом, в соответствии с теоремой об инвариантности формул интегрирования,
под x можно понимать как независимую переменную, так и произвольную
дифференцируемую функцию этой переменной.
Таблица основных интегралов
 f ( x) dx  F ( x)  C
1.  x  dx 

2.
ax
 C,
ln a
11.
 ctg x dx  ln | sin x |  C,
dx  e x  C,
12.
 cos
dx
1
x
 arctg  C,
2
x
a
a
13 .
 sin
14.
 sh x dx  ch x  C,
dx
1
ax

ln
 C,
2
 x 2 2a a  x
15.
 ch x dx  sh x  C,
dx
x

arcsin
 C,
a
a2  x2
16.
 th x dx  ln | ch x |  C,
17.
 cth x dx  ln | shx |  C,
18.
 ch
19.
dx
 sh 2 x  cth x  C,
x
a
2
dx
5.
a
6.


 cos x dx  sin x  C,
 tg x dx   ln | cos x |  C,
1 x
7.
9.
10.
e

x  1
 C ,   1
 1
dx
 ln | x |  C ,
x
3.  a x dx 
4.
 f ( x) dx  F ( x)  C
2
 arctg x  C ,
dx
 arcsin x  C ,
1  x2
dx
 ln | x  x 2  a 2 | C ,
2
2
x a
8.  sin x dx   cos x  C,
7
dx
2
x
dx
2
x
 tg x  C ,
 ctg x  C,
dx
 th x  C ,
2
x
Часть этих формул непосредственно следует из таблицы производных основных элементарных функций, прочие формулы могут быть легко проверены путем дифференцирования их правых частей и использованием свойства 1
неопределенного интеграла. Например, дифференцируя правую часть формулы 7, получаем


x
1
d
x a 
ln | x  x 2  a 2 | C 
dx
x  x2  a2
2
2

x2  a2  x

1
x  a2 
x  x2  a2
2
1
x2  a2
,
что совпадает с подынтегральной функцией интеграла в левой части этой
формулы и, на основании свойства 1, свидетельствует о ее справедливости.
§ 4. Простейшие методы интегрирования
4.1. Непосредственное интегрирование
Сущность метода непосредственного интегрирования состоит в использовании формул алгебры, тригонометрии и свойства линейности неопределенного
интеграла, с тем, чтобы представить его в виде линейной комбинации таблич-
ных интегралов. Рассмотрим примеры.
Пример 1.

x3  6 x2 
3
x
2
  x  dx 
1
x dx 
 x
5/6
 6 x 4 / 3  x  5 / 3 dx   x 5 / 6 dx  6 x 4 / 3 dx   x  5 / 3 dx 
x  1
x11/ 6
x 7 / 3 x 2 / 3
6
18
3
C 
6

 C  x11/ 6  x 7 / 3  x  2 / 3  C.
 1
11 / 6
7/3  2/3
11
7
2
Пример 2.
  2  x  9  x  64  x 
2 x  32 x  4 3 x
dx             dx 

5x
 5   5   5  
x
x
x
2
9
 64 
 
 
 
x
a
5
5
5


x
  a dx 
C 

    C.
ln a
2
9
 64 
ln   ln   ln  
5
5
 5
8
Пример 3.
 tg x dx  
2

sin 2 x
1  cos2 x
 1

dx

dx

 1dx 



2
2
2
cos x
cos x
 cos x 
1
dx
dx

dx


 cos2 x  tg x  C tg x  x  C .
cos2 x
4.2 Использование теоремы об инвариантности формул интегрирования
(метод подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала)
Теорема об инвариантности формул интегрирования утверждает, что если
имеет место формула
 f ( x) dx  F ( x)  C ,
то будет справедлива и формула
 f (u) du  F (u)  C , полученная из нее путем замены независимой переменной x на произвольную дифференцируемую функцию u  u(x) этой переменной. Например, нужно взять интеграл
теграл получен из интеграла

de x
.
1  e2x

dx
1 x
2
функцию u  e x . Это табличный интеграл,
Замечаем, что данный ин-
путем замены переменной x на

dx
 arcsin x  C ,
1  x2
но тогда,
согласно теореме, искомый интеграл будет равен

de x
 arcsin e x  C .
2x
1 e
Трудность, однако, состоит в том, что на практике этот интеграл встретился бы в виде

e x dx
, и нужно увидеть, что e x dx  dex (то есть подвести
2x
1 e
часть подынтегральной функции, а именно, экспоненту, под знак дифференциала) и тогда

e x dx
de x


1  e2x
1  e2x

dx
 arcsin x  C  arcsin e x  C .
2
1 x
9
Подобную связь между дифференциалами для других функций нетрудно получить, дифференцируя правые и левые части формул из таблицы интегралов
и используя свойство 2. В частности, таким путем находим:
d x  1
,   1
1. x dx 
 1
8. tg x dx  d ln cos x

2.
dx
 d ln x
x
5.
da x
ln a
10.
dx
 d tg x
cos2 x
e x dx  dex
11.
dx
 d ctg x
sin 2 x
dx
 darctg x
1  x2
12 . sh x dx  d ch x
3. a x dx 
4.
9. ctg x dx  d ln sin x
dx
 d arcsin x
1  x2
13. ch x dx  d sh x
6. sin x dx  d cos x
14.
dx
 d cth x
sh 2 x
7. cos x dx  d sin x
15.
dx
 d th x
ch 2 x
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Вычислить интеграл

3
5 arctg x  7
dx .
1  x2
Решение. Основное затруднение связано с наличием в подкоренном выражении обратной
тригонометрической функции. Найдем дифференциал подкоренного выражения и попробуем организовать его из части подынтегрального выражения

3

5 dx
1
5 dx
5 arctg x  7
dx  d (5 arctg x  7) 
  3 5 arctg x  7

2
2
1 x
1 x
5
1  x2
1
5 arctg x  71/ 3 d (5 arctg x  7) 

5
Интеграл принял форму табличного и используя табличный интеграл, получаем
x 1
1 5 arctg x  7 
  x dx 
C 
 1
5
4/3
4/3

C 
10
3
5 arctg x  74 / 3  C.
20
Пример 2.
 x sin (3x
Вычислить интеграл
2
 1) dx .
2
Решение. В данном примере трудность связана с наличием x в аргументе функции. Вычисляя дифференциал аргумента, находим, что его можно легко создать из части подынтегрального выражения, получаем
 x sin (3x
2
 1) dx 
 d (3x 2  1)  6 x dx 
1
1
sin (3x 2  1) 6 x dx   sin (3x 2  1) d (3x 2  1) 

6
6
Интеграл принял табличную форму и используя формулу из таблицы, находим
1
  sin x dx   cos x  C   cos(3x 2  1)  C .
6
Пример 3.
Вычислить интеграл

3
3 x  7 dx .
Решение. В тех случаях, когда переменная x входит в аргумент функции в виде линейного двучлена, полезно иметь в виду следующее свойство интеграла.
Если  f ( x) dx  F ( x)  C , то
1
1
 f (ax  b) dx  a  f (ax  b) d (ax  b)  a F (ax  b )  C ,
так как d (ax  b)  adx . Так, в данном примере,

1
x 1
1 3x  7 
1/ 3

3x  7dx   3x  7  d (3x  7)   x dx 
C 
3
 1
3 4/3
4/3
3
C .
§ 5. Основные методы интегрирования
5.1. Замена переменной (метод подстановки)
Замена переменной в неопределенном интеграле проводится с целью
упрощения подынтегральной функции. Основу метода замены переменной
составляет следующая теорема.
Теорема. Пусть
мая
функция
 f ( x) dx  F ( x)  C
переменной
t,
и x   (t ) произвольная дифференцируеимеющая
 f ( x) dx   f ( (t ))  ' (t )dt .
обратную
t  t (x) .
Тогда
(1.9)
11
Доказательство. Для доказательства, продифференцируем обе части формулы (9) по переменной x . Согласно свойству 1 неопределенного интеграла
d
f ( x) dx  f ( x) .
dx
Правую часть дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции
d
d
dt
f ( (t ))  ' (t )dt 
f ( (t ))  ' (t )dt



dx
dt
dx
 f ( (t ))
d  (t ) d t
d x dt
 f ( (t ))
 f ( (t ))  f ( x) .
dt d x
dt d x
Совпадение производных доказывает справедливость формулы (9). Теорема доказана.
Для применения на практике формулу (9) удобно представить в виде
x   (t )
 f ( x) dx  d x   ' (t ) dt   f ( (t ))  ' (t )dt

(1.10)
 Φ(t )  C  t  t ( x)  Φ(t ( x))  C  F ( x)  C.
Итак, сущность метода замены переменной сводится к следующему. Для
упрощения подынтегральной функции, на основании каких-либо соображений, вводим новую переменную t , связанную с переменной x соотношением
x   (t ) . При этом предполагается, что функция
 (t ) имеет обратную
t  t (x) . Если новая переменная введена удачно, новый интеграл имеет более
простую структуру и интегрируя его находим первообразную Φ(t ) .Далее, поскольку исходный интеграл был функцией переменной
x , возвращаемся к
этой переменной используя обратную функцию t  t (x) .
Общих рекомендаций по введению новой переменной не существует. Один
из разделов теории интегрирования как раз и состоит в установлении классов
функций, которые могут быть проинтегрированы с помощью той или иной
замены переменной. Некоторые подобные классы функций будут рассмотрены позднее. В отдельных случаях новую переменную удается ввести используя интуитивные соображения, направленные на упрощение подынтегрального выражения. Рассмотрим примеры.
12
Пример 1.
Вычислить интеграл

e2 x
3
4  5e 2 x
dx .
Решение. Затруднения вызывают экспонента и радикал. Попробуем устранить их, сделав
замену
1
3 t2 
1 4  t3
3 
(4  t )  
d t
4  5e  t , x  ln
5
2 4  t3 
e2 x
2
5

dx 


t
3 t2
4  5e 2 x
dx  
dt
2 4  t3
2x

3
3
3
3 t2
   t dt  
C 
10
10 2
Замена оказалась удачной. Первообразная найдена, и осталось вернуться к старой пере-

менной  t  4  5e

2 x 1/ 3

3
4  5e 2 x 2 / 3  C .
20
Пример 2.
Вычислить интеграл
4  x2
dx .
x2

Решение. Интеграл, очевидно, упростится, если удастся избавиться от радикала. С этой
целью воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и сделаем замену переменной, положив

4  x2
cos 2 t
1  sin 2 t
x  2 sin t , 4  x 2  2 cos t
 1

dx


dt

dt    2  1 dt 
2
2
2


x
sin t
sin t
 sin t 
dx  2 cos t dt
 ctg t  t  C  t  arcsin
x
x
x
 (ctg arcsin  arcsin )  C 
2
2
2
 4  x2
x
 
 arcsin   C.

x
2 

Пример 3.
Вычислить интеграл

3
3
x
x2  x
dx
Решение. В данном примере новую переменную желательно ввести так, чтобы все корни
разом извлеклись. Для этого, очевидно, достаточно положить
13

3
3
x
x2  x
dx  x  t 6 , dx  6 t 5 dt  
t2
t4
1 

5
6
t
dt

6
dt  6  t 3  t 2  t  1 
 dt 
4
3

t t
t 1
t 1

 t4 t3 t2

 6    t  ln( t  1)   C  t  x1/ 6 
4 3 2

 x 2 / 3 x1 / 2 x1 / 3

 6


 x1/ 6  ln( x1/ 6  1)   C.
3
2
 4

5.2. Интегрирование по частям
Метод интегрирования по частям в некотором смысле компенсирует отсутствие у неопределенного интеграла свойства относительно произведения
функций.
Пусть u  u(x) и v  v(x) дифференцируемые функции. Найдем дифференциал их произведения:
d (u v)  u dv  v du .
Проинтегрируем это равенство:
 d (u v)   u dv   v du ,
воспользуемся свойством 3 и проведем перегруппировку, получаем:
 u dv  u v   v du
(1.11)
- формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Сущность полученной формулы состоит в следующем. Подынтегральное
выражение разбивается на произведение двух сомножителей u (x) и v( x) dx .
Дифференцируя первый и интегрируя второй, после подстановки в формулу,
сводим задачу к вычислению другого интеграла. Если разбиение выбрано
удачно, этот интеграл будет проще исходного. Пусть, например, нужно вычислить интеграл
 (3x  1) cos2x dx . Возможны следующие нетривиальные
разбиения подынтегрального выражения:
1. u  (3x  1) cos 2 x, dv  dx
2. u  cos3x, dv  (3x  1) dx
3. u  (3x  1) , dv  cos 2 x dx
Так как u (x) нужно дифференцировать, то в первом случае вместо одного интеграла получим два, причем один из них будет подобен исходному, с той
14
лишь разницей, что вместо косинуса будет стоять синус. Во втором случае
интегрирование
dv  (3x  1) dx усложнит интеграл, так как степень много-
члена повысится, а дифференцирование u (x) лишь заменит косинус на синус.
В третьем случае дифференцирование многочлена понизит его степень, в то
время как интегрирование косинуса приведет к замене его на синус, так что в
этом случае получим более простой интеграл. Итак:
u  3x  1, du  3 dx, dv  cos 2 xdx,

 (3x  1) cos 2 x dx  v  cos 2 x dx  1 sin 2 x

2
1
3
1
3
 3x  1sin 2 x   sin 2 x dx  3x  1sin 2 x  cos 2 x  C.
2
2
2
4
Замечание. При нахождении v(x) , интегрируя dv , следует брать простейшую первообразную. Требуемая произвольная постоянная содержится в интеграле в правой части формулы интегрирования по частям.
Общих рекомендаций по разбиению подынтегрального выражения на u и
dv не существует, однако, для некоторых частных случаев, они могут быть
даны.
Так, если подынтегральная функция имеет вид:
Pn ( x) a x , Pn ( x) sin x, Pn ( x) cos x, Pn ( x) sh x, Pn ( x) ch x,
здесь Pn (x)  многочлен степени n, то следует полагать u  Pn (x) .
Действительно, дифференцирование u будет понижать степень многочлена, в
то время как интегрирование dv не будет вносить в интеграл принципиальных изменений.
Если подынтегральное выражение имеет вид:
Pn ( x) log a x dx, Pn ( x) arcsin x dx, Pn ( x) arccos x dx, Pn ( x) arctgx dx, Pn ( x) arcctgx dx,
то следует полагать dv  Pn ( x) dx.
Действительно, при таком выборе интегрирование dv будет повышать степень многочлена, но дифференцирование u (x) будет приводить к алгебраическим функциям, упрощая тем самым интеграл. Рассмотрим примеры.
15
Пример 1.
Вычислить интеграл
3x  5
dx .
2
2x
 cos
Решение. Замечая, что дифференцирование двучлена понизит его степень, а интеграл от
cos2 x легко вычисляется, полагаем
3x  5
dx 
2
2x
 cos
u  3x  5, du  3 dx, dv 

v

dx
cos 2 2 x
dx
1
 tg 2 x
2
cos 2 x 2

1
3x  5tg 2 x  3  tg 2 x dx 
2
2
1
3x  5tg 2 x  3 ln | cos 2 x | C
2
4
Пример 2.
Вычислить интеграл  e 2 x cos 3x dx .
Решение. Из общих соображений нетрудно видеть, что в данном случае разбиение подынтегрального выражения на u и dv непринципиально. Будем полагать
e
2x
cos3x dx 
u  e 2 x , du  2e 2 x dx, dv  cos 3 x dx,
1
2

 e 2 x sin 3 x   e 2 x sin 3 x dx 
1
3
3
v   cos 3 x dx  sin 3x
3
Этот интеграл также будем вычислять методом интегрирования по частям. При этом в качестве u следует выбрать ту же самую функцию, так как в противном случае просто вернемся к исходному интегралу
u  e 2 x , du  2e 2 x dx, dv  sin 3x dx,
1
2 1
2

 e 2 x sin 3x    e 2 x cos3x   e 2 x cos3x dx 
1
3
3 3
3
v   sin 3x dx   cos3x

3
Видим, что в правой части вновь появился вычисляемый интеграл. Перепишем полученное
равенство, раскрывая скобки:
1 
2
 4
I  e 2 x  sin 3x  cos3x   I ,
3 
3
 9
где через I обозначен искомый интеграл. Разрешая относительно I , и добавляя в правой
части произвольную постоянную, окончательно получаем
16
e
2x
cos 3x dx 
3 2x 
2

e  sin 3x  cos 3x   С.
13 
3

Пример 3.
Вычислить интеграл

a 2  x 2 dx
Решение. В данном случае имеется единственная возможность положить


a 2  x 2 dx 
u  a 2  x 2 , du 
dv  dx, v  x
 x a2  x2  
a
2
x dx
,
2
2
a2  x2  x a  x  
x 2 dx

a2  x2
 x 2  a 2
dx
2
2
2
2
2
dx

x
a

x

a

x
dx

a



2
2
2
2
a x
a x
 x a 2  x 2   a 2  x 2 dx  a 2 ln | x  a 2  x 2 | .
Разрешая получившееся равенство относительно искомого интеграла, получаем:

a 2  x 2 dx 


1
x a 2  x 2  a 2 ln | x  a 2  x 2 |  С.
2
Замечание. Интегралы, подобные рассмотренным в примерах 2 и 3, называются циклическими.
§ 6. Приемы интегрирования некоторых классов функций
6.1. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный
трехчлен
Речь пойдет об интегралах вида
I1  
I4  
dx
,
ax2  bx  c
Ax  B
ax2  bx  c
I2  
dx
,
ax 2  bx  c
I3  
Ax  B
dx ,
ax 2  bx  c
dx ,
которые часто встречаются в приложениях.
Вычисление всех интегралов производится единообразно. Именно, в квадратном трехчлене выделяем полный квадрат и делаем замену переменной.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
17
Вычислить интеграл

dx
3x  2 x  7
2
.
Решение .Выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат, используя формулы
x  a 
2
 x2  2 a x  a2 :
2
1
7
1
1 1 7   
1  20 
 2
3x  2 x  7  3( x  2   x  )  3 ( x  2   x  )     3  x    
3
3
3
9 9 3  
3
9 

2
2
Делаем замену переменной:

1
1
x   t, x  t  ,
1
dx


3
3 
2
3 
3x 2  2 x  7
1  20
dx  dt
x   
3
9


dx

1
dt
1 


ln  t 
2
3 
3 



 t 2   20  

 3  


 

2 


 t 2   20     C  t  x  1 
 3  

3

 


2 

2
1 
1
1   20  

 C

ln  x    x    
3
3   3  
3 



Пример 2.
Вычислить интеграл
3x  2dx .
2
 5  4x  x
Решение. Выделяем полный квадрат и делаем замену переменной
3x  2dx
 5  4x  x

2

5  4 x  x 2  ( x 2  2  2  x  4)  9  
 ( x  2) 2  32 
3x  2dx
32  ( x  2) 2

x  2  t,
x  t  2, dx  dt


3t  8dt   3
32  t 2
d (32  t 2 )
dt

8



2 32  t 2
32  t 2
3
4 3t
  ln 32  t 2  ln
 ln C   ln C (3  t )17 / 6 (3  t )1 / 6  
2
3 3t
  ln C (5  x)17 / 6 (1  x)1 / 6 .
6.2. Рациональные дроби и их интегрирование
Определение. Рациональной дробью называется функция вида f ( x) 
18
Pn ( x)
,
Qm ( x)
где Pn (x) и Qm (x) , соответственно многочлены степени n и m . Дробь называется правильной если n  m и неправильной, если n  m . Если дробь неправильная, ее можно представить в виде суммы целой части − некоторого многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочлена трудностей не вызывает, в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые дроби правильные.
Для интегрирования правильную рациональную дробь разлагают на сумму, так называемых, простейших дробей, которым относятся дроби следующих типов:
I.
A
,
xa
II .
B
,
x  a k
III .
Cx  D
,
x  px  q
2
IV .
Ex  F
,
x 2  px  q l
где A, B, C , D, E, F -- константы. Интегрирование дробей первых трех типов
в сущности уже рассматривалось ранее и трудностей не вызывает. Интегралы
от дробей четвертого типа после определенных преобразований сводятся к
совокупности уже известных интегралов, и так как на практике они встречаются довольно редко, то в дальнейшем рассматриваться не будут.
Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших основано на следующих сведениях о многочленах.
Всякий многочлен степени m имеет ровно m корней действительных или
комплексных и его можно представить в виде разложения на сомножители
типа Qm ( x)  Am ( x  x1 )( x  x2 )    ( x  xm ) , где xi , i  1,2,....m корни многочлена
и Am коэффициент многочлена при старшей степени переменной x . Корень
называется простым, если он встречается только один раз, и называется корнем кратности k , если он встречается k раз. Сомножители в разложении, соответствующие кратному корню x k кратности k , могут быть представлены в
виде ( x  xk ) k . Если коэффициенты многочлена действительные числа и
xh    i  его комплексный корень, то среди корней обязательно имеется
сопряженный корень xh    i  . Но тогда паре сопряженных комплексных
корней в разложении многочлена может быть сопоставлен квадратный трех19
член с отрицательным дискриминантом типа x 2  ph x  qh . Если комплексный
корень имеет кратность l , то ему в разложении будет сопоставляться множитель типа x 2  pl x  ql  . Итак, в общем случае, многочлен степени m разлаl
гается на сомножители типа
Qm ( x)  Am ( x  x1 )( x  x2 )    ( x  xk ) k    ( x 2  p h x  q h )    x 2  pl x  ql     . (1.12)
l
В целом разложение правильной рациональной дроби
Pn ( x)
на сумму
Qm ( x)
простейших проводится в следующем порядке.
1. Находим корни многочлена, стоящего в знаменателе дроби, решая уравнение Qm ( x)  0 .
2. Представляем многочлен в виде разложения на сомножители
Qm ( x)  Am ( x  x1 )( x  x2 )    ( x  xk ) k    ( x 2  p h x  q h )    x 2  pl x  ql     .
l
3. Сопоставляем сомножителям простейшие дроби по правилу:
каждому простому действительному корню сопоставляется простейшая дробь
вида
( x  xi ) 
Ai
,
x  xi
каждому действительному корню кратности k сопоставляется сумма k дробей вида
( x  xk ) k 
Bk
B1
B2
,

 .... 
2
x  xk  x  xk 
x  xk k
каждой паре сопряженных простых комплексных корней сопоставляется простейшая дробь вида
x 2  ph x  qh 
Ch x  Dh
,
x  ph x  qh
2
каждой паре сопряженных комплексных корней кратности l сопоставляется
сумма l простейших дробей вида
x
2
 pl x  ql  
l
E x  Fl
E1 x  F1
E x  F2
 2 2
 ...  2 l
2
x  p l x  q l x  p l x  q l 
x  pl x  ql l
2
20
4. Приравниваем сумму всех введенных простейших дробей рациональной
дроби (учитывая коэффициент при старшей степени многочлена Qm (x) )
Am
Pn ( x)
Ai
Bk
A
B1
B2
 1  ... 
 ... 

 .... 

2
Qm ( x) x  x1
x  xi
x  xk  x  xk 
x  xk k
.... 
Ch x  Dh
E x  F1
E2 x  F2
 ...  2 1

x  ph x  qh
x  pl x  ql
x 2  pl x  ql

2

2
 ... 
x
El x  Fl
2
 pl x  ql
(1.13)

l
 ...
5. Находим значения неизвестных пока коэффициентов. С этой целью,
сумму простейших дробей приводим к общему знаменателю (который будет
совпадать с Qm ( x) / Am ) и находим коэффициенты, сравнивая получившийся в
числителе многочлен с многочленом Pn (x) . При этом используем следующие
два очевидных положения:
1). Если многочлены равны, то они будут принимать равные значения при
подстановке вместо переменной одного и того же числа.
2). Если многочлены равны, то у них должны совпадать коэффициенты при
одинаковых степенях переменной x .
Заметим, что прежде всего следует использовать первое положение, подставляя действительные корни многочлена Qm (x) . Каждый такой корень позволяет сразу же определить один из коэффициентов. Использование второго
положения будет приводить к системе линейных алгебраических уравнений
относительно искомых коэффициентов.
6. Интегрируем полученную сумму простейших дробей.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Вычислить интеграл
2x4  2x2  1
 x 3  2 x 2  3x dx .
Решение. Дробь неправильная. Выделяем целую часть методом деления многочлена на
многочлен:
2x4 -2x2 +1
x3-2x2-3x
2x4-4x3-6x2
2x+4
3
2
4x +4x +1
4x3-8x2-12x
12x2+12x+1
21
Таким образом,
2x 4  2x2  1
12 x 2  12 x  1
. Подставляя в интеграл и инте
2
x

4

x 3  2 x 2  3x
x 3  2 x 2  3x
грируя многочлен, получаем:
2x 4  2x 2  1
12 x 2  12 x  1
2
dx

x

4
x

 x 3  2 x 2  3x
 x 3  2 x 2  3x dx 
Находим корни многочлена, стоящего в знаменателе дроби, и разлагаем его на сомножители:
x 3  2x 2  3x  0  xx 2  2x  3  0  x1  0, x2  1, x3  3.
Все корни действительные простые, так что разложение имеет вид:
x 3  2x 2  3x  x( x  1)( x  3) .
Разлагаем рациональную дробь на сумму простейших, приводим сумму к общему знаменателю:
12 x 2  12 x  1 A
B
C
A( x  1)( x  3)  Bx( x  3)  Cx( x  1)




x 3  2 x 2  3x x x  1 x  3
x 3  2 x 2  3x
Определяем значения коэффициентов, сравнивая значения многочленов, стоящих в числителях, подставляя в них корни:
1
x  0  1  3 A  A   ;
3
1
x  1  1  4 B  B  ;
4
x  3  145  12C  C 
12
;
145
Подставляем сумму простейших дробей в интеграл и интегрируем:
2x 4  2x 2  1
 1 / 3 1 / 4 12 / 145 
2
 x 3  2 x 2  3x dx x  4 x     x  x  1  x  3  dx 
1
1
12
 x 2  4 x  ln x  ln( x  1) 
ln( x  3)  C 
3
4
145
( x  1)1 / 4 ( x  3)12 / 145
2
 x  4 x  ln
 C.
x1 / 3
Пример 2.
3x 2  2 x  2
dx .
Вычислить интеграл 
x  22 x 2  2 x  10 
22
Решение. В данном случае дробь правильная. Решая уравнение
x  2 x
2
2
 2 x  10  0 ,
находим, что имеется один действительный корень x  2, кратности 2, а квадратному
трехчлену соответствует пара сопряженных комплексных корней. Поэтому разложение
дроби на сумму простейших имеет вид
3x 2  2 x  2
A
B
Cx  D


 2

2
2
2
x  2 x  2 x  10  x  2 x  2 x  2 x  10
A x  2x 2  2 x  10   Bx 2  2 x  10   Cx  D  x  2

.
x  22 x 2  2 x  10 
2
Находим коэффициенты разложения. Так как имеется один действительный корень, находим:
x  2  18  18 B  B  1.
Для определения остальных коэффициентов составляем систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x
x3  0  A  C
x 2  3  B  4C  D
x   2  6 A  2B  4C  4D ,
или
A  C  0

.
4C  D  2
6 A  4C  4 D  0

4
9
Ее решение: A   , C 
4
2
, D .
9
9
Таким образом,
3x 2  2 x  1
1 4
9
4x  2 

.




2
2
x  2 x 2  2 x  10 9  x  2 x  2 x 2  2 x  10 
и подставляя в интеграл, сводим задачу к вычислению трех известных интегралов:
3x 2  2 x  1
4 dx
dx
2
2x  1
 x  22 x 2  2 x  10  dx   9  x  2   x  22  9  x 2  2 x  10 dx
Находим:
dx
x2
 ln( x  2)  C ,
23
dx
  x  2
2
  ( x  2)  2 dx  
1
 C,
x2
x 2  2 x  10  ( x  1) 2  32
2x  1
2t  3
 x 2  2 x  10 dx  t  x  1, x  t  1, dx  dt   t 2  32 dt 
d t 2  3
dt
t
 2
3  2
 ln t 2  3  arctg  C  t  x  1 
2
2
t 3
t 3
3
x 1
 ln ( x  1) 2  3  arctg
 C.
3
Подставляя значения интегралов, получаем:
3x 2  2 x  1
4
1
2
x 1
2
 x  22 x 2  2 x  10  dx   9 ln( x  2)  x  2  9 ln ( x  1)  3  arctg 3  C ,
или, окончательно:
3x 2  2 x  1
2 ( x  1) 2  3
1
x 1
 x  22 x 2  2 x  10  dx  9 ln ( x  2) 2  x  2  arctg 3  C ,
6.3. Интегрирование выражений с тригонометрическими функциями
1). Интегралы вида  R(cos x) sin 2 k 1 x dx ,
где k  натуральное число, сводятся к интегрированию рациональной дроби с
помощью замены cos x  t с учетом формулы sin 2 x  1  cos2 x :
sin 2 k 1 x  1  cos2 x  sin x
x dx 
   R(t )(1  t 2 ) k dt .
cos x  t , sin x dx  d cos x  dt
k
 R(cos x) sin
2 k 1
2). Интегралы вида  R(sin x) cos2 k 1 x dx ,
где k  натуральное число, сводятся к интегрированию рациональной дроби
с помощью замены sin x  t с учетом формулы cos2 x  1  sin 2 x :
cos2 k 1 x  1  sin 2 x  cos x
x dx 
  R(t )(1  t 2 ) k dt
sin x  t , cos x dx  d sin x  dt
k
 R(sin x) cos
2 k 1
3). Интегралы вида  sin 2 m x cos2 n x dx ,
где m, n  натуральные числа, вычисляются с использованием формул понижения степени тригонометрических функций
24
cos2 x 
1
1  cos 2 x  , sin 2 x  1 1  cos 2 x  , sin x cos x  1 sin 2 x :
2
2
2
4). Интегралы вида  R(tg x, ctg x, sin 2 m x, cos2 n x ) dx ,
где m, n  натуральные числа,
дроби
с
cos2 x 
помощью
сводятся к интегрированию рациональной
tg x  t ,
замены
с
учетом
формул
cos2 x
1
1
,


2
2
2
cos x  sin x 1  tg x 1  t 2
sin 2 x
tg x
t
dt
sin x 


, x  arctg t , dx 
:
2
2
2
2
cos x  sin x 1  tg x 1  t
1 t2
2
 R(tg x, ctg x, sin
2m
 1  t  m  1  n  dt

x, cos x ) dx   R  t , , 
,
.
2 
2  
2
t
1

t
1

t

 
 1 t

5). Интегралы вида
2n
 R(sin x, cos x ) dx ,
сводятся к интегрированию рациональной дроби с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки tg
формул
x
x
x
 sin 2
1  tg 2
2
2
2
2  1 t ,
cos x 
x
x
x 1 t2
cos2  sin 2
1  tg 2
2
2
2
x
x
x
2 cos sin
2tg
2
2 
2  2t ,
sin x 
x
x
x 1 t2
cos2  sin 2
1  tg 2
2
2
2
cos2
x  2 arctg t , dx 
2 dt
:
1 t2
 2 t 1  t 2  2 dt
 R(sin x, cos x ) dx   R  1  t 2 , 1  t 2  1  t 2 .


Примеры.
Пример 1.
25
x
 t с учетом
2
Вычислить интеграл
sin 3 x
 1  5 cos2 x dx .
Решение. Вычисление подобных интегралов рассмотрено в п.1.
cos x  t , sin 2 x  1  cos2 x  1  t 2
sin 3 x
1 t2

dt 
 1  5 cos2 x dx  sin x dx  d cos x  dt
1  5t 2
1
6
1
6
 1 6 1 
 
dt   t  3 / 2 arctg( 5 t)  C   cos x  3 / 2 arctg( 5 cos x)  C
2 
5 5
5
5
 5 5 1  5t 
Пример 2.
Вычислить интеграл
tg x  sin 2 x
 cos 2 x dx .
Решение. Используем формулу тригонометрии:
tg x  sin 2 x
tg x  sin 2 x
2
2
dx

cos
2
x

cos

sin
x

 cos 2 x
 cos2  sin 2 x dx 
Вычисление подобных интегралов рассмотрено в п.4. Делаем замену переменной
1
t
t
, sin 2 x 
,
t
2
2
2
dt
t3
1 t
1 t
1

t



dt 
1
t 1  t 2  (1  t )(1  t 2 )
dt

x  arctg t , dx 
1 t2 1 t2
1 t2
tg x  t , cos2 x 

t2  t 1 
t2  t 1
A
Bt  C 1  1
t 1 
    1 


 

 dt 

2 
2
2
(1  t )(1  t ) 
(1  t )(1  t ) 1  t 1  t
2 1  t 1  t 2 

1 1
t 1 
1
1
1

  1 

 dt  t  ln | 1  t |  ln 1  t 2   arctg t  C  t  tg x 
2 
2 1  t 1  t 
2
4
2

1
1
1
1
1
2
  tg x  ln | 1  tg x |  ln 1  tg 2 x   x  C  x  tg x  ln 1  tg x  1  tg 2 x   C.
2
4
2
2
4


Пример 3.
Вычислить интеграл
dx
 cos x  3 sin x .
Решение. В данном случае упрощения подынтегральной функции с помощью формул тригонометрии невозможны и следует воспользоваться универсальной тригонометрической
подстановкой:
x
1 t2
2t
tg  t , cos x 
, sin x 
,
2
2
dx
2
1

t
1

t

 cos x  3 sin x 
2 dt
x  2 arctg t , dx 
1 t2
26

2 dt
1 t2
1 t
2t
3
2
1 t
1 t2
2
 2
dt
dt
1
t  3  10
 2

ln
C 
2
2
1  6t  t
10  t  3
10 t  3  10
x
 3  10
x
1
2
 t  tg 
ln
 C.
2
10 tg x  3  10
2
tg
6). Интегралы вида  sin mx cos n x dx ,  cos mx cos n x dx ,  sin mx sin n x dx
вычисляются с использованием формул:
sin mx cos n x 
1
sin m  nx  sin m  nx 
2
sin mx sin sn x 
1
 cosm  nx  cosm  nx 
2
cos mx cos n x 
1
cosm  nx  cosm  nx 
2
Пример.
1
 sin mx cos n x dx  2  sin m  n x  sin m  n x  dx 
1  cos m  n x cos m  n x 


 C.

2
mn
mn


6.4. Интегрирование выражений с иррациональностями
1). Интегралы вида  R( x m / n ,..., x p / q ) dx ,
где m, n,... p.q  натуральные числа, сводятся к интегрированию рациональной
дроби с помощью замены x  t r где r  общий знаменатель дробей
 Rx
m/ n
,..., x p / q  dx  x  t r , dx  rt r1 dt   Rt r m / n ,...,t r p / q  rt r1 dt
  ax  b  m / n  ax  b  p / q 
2). Интегралы вида  R x, 
 ,...,
  dx ,
 cx  d  
  cx  d 
27
m
p
,..... :
n
q
где m, n,... p.q  натуральные числа,, сводятся к интегрированию рациональной дроби с помощью замены
ax  b r
 t , где r  общий знаменатель дробей
cx  d
m
p
,..... :
n
q
  ax  b  m / n  ax  b  p / q 
ax  b r
tr d  b
rt r 1 (da  bc)


 R x,  cx  d  ,..., cx  d   dx  cx  d  t , x  a  t r c , dx  (a  t r c) 2 dt 


r 1
 t r d  b rm/n
(da  bc)
r p / q  rt

  R
,
t
,...,
t
dt
r
r
2

a

t
c
(
a

t
c
)


Примеры.
Пример 1.
Вычислить интеграл
 x
3
x3
dx .
x 2  16 x
4

Решение. Вычисление подобных интегралов рассмотрено в п.1. Общий знаменатель дробных показателей равен 12. Делаем замену переменной:
x
4

3
x3
x 2  16 x

dx  x  t12 , dx  12 t11 dt  
t9
12 t 11 dt 
12
8
6
t  t  16 t 
 t 2  16
t2
dt 
t

dt

12
dt  16 2
 2
  12  t  4 arctg   C 
2
t  16
t  16 
4

 t  16

x1/12 
 t  x1/12  12  x1/12  4 arctg
  C.
4 

 12
Пример 2.
Вычислить интеграл
x2  3  x
 3 3  x dx.
Решение. Вычисление подобных интегралов рассмотрено в п.2. Общий знаменатель дробных показателей равен 6. Делаем замену переменной:
28
3  x  t 6 , x  t 6  3,
x2  3  x
(t 2  3) 2  t 3 5

6t dt 
 3 3  x dx  dx  6t 5 dt
t2
t4 
 t8 t7 6
 6 t  t  6t  9t  dt  6   t  9   C 
4
8 7
7
6
 t  (3  x)
5
1/ 6
3
(3  x) 2 / 3
 (3  x) 4 / 3 (3  x) 7 / 6

 6

9
 x   C.
8
7
4


3). Дифференциальный бином и его интегрирование.
Дифференциальным биномом называется выражение вида x m (a  b x n ) p dx .
Как показал Чебышев, дифференциальный бином может быть проинтегрирован в элементарных функциях в трех случаях:
1. Число p  целое. Делается замена переменной x  t r , где r  общий знаменатель дробей m и n .
Пример.
(3  3 x ) 3
Вычислить интеграл 
dx.
x
Решение. Записываем интеграл в стандартной форме
(3  3 x ) 3
dx   x 1 / 2 (3  x1 / 3 ) 3 dx, откуда следует: число p  целое, общий знамена
x
тель дробных показателей m и n равен 6,
x
1 / 2
(3  x1 / 3 ) 3 dx  x  t 6 , dx  6t 5 dt   t 3 (3  t 2 ) 3 6t 5 dt 
t5
t7 t9 
 3
 6 (27t  27t  9t  t )dt  6 9t  27  9    C 
5
7 9

x5/ 6
x7 / 6 x3/ 2 

 t  x1 / 6  6 9 x1 / 2  27
9

C
5
7
9


3
2. Число
2
4
6
8
m 1
 целое. В данном случае полагают a  b x n  t s где s  знамеn
натель дроби p.
Пример.
Вычислить интеграл

3
3 4 x
dx.
x
Решение. Записываем интеграл в стандартной форме
29

3
3 4 x
dx   x 1 / 2 (3  x1 / 4 )1/ 3 dx , откуда следует: число p  1 / 3  нецелое,
x
m 1
 2  целое.
n
m  1 / 2, n  1 / 4,
3  x1 / 4  t 3 , x  t 3  3 ,
4
x
1 / 2
(3  x ) dx 
1 / 4 1/ 3
dx  12t  3 t dt
3
3
2
 12  t 3  3t 3 dt 
4/3
 3  x1 / 4 7 / 3

t4 
3  x1 / 4  
 t7
1/ 4 1/ 3
  C.
 12  3   C  t  3  x  12
3

7
4
7
4




3. Число
m 1
 p  целое. Предварительно следует преобразовать подынтеn
гральную функцию, вынося x n за скобку:
x
m
(a  b x n ) p dx   x m np (ax n  b ) p dx
и затем сделать замену переменной, полагая ax n  b  t s , где s  знаменатель
дроби p.
Пример.
Вычислить интеграл

3
3  4 x3
dx.
x2
Решение. Записываем интеграл в стандартной форме

3
3  4 x3
dx   x  2 (3  x 3 / 4 )1/ 3 dx , откуда следует: число p  1 / 3  нецелое,
2
x
m  2, n  3 / 4,
m 1
4 m 1
 ,
 p  1 -целое. Преобразуем подынтегральную
n
3
n
функцию и делаем замену переменной:
x
2
(3  x
 4  3
7 / 3
) dx   x
3 / 4 1/ 3
 (t
3
7 / 4
(3x
 1) t (t  1)
7/3
 t  3x  3 / 4  1
1/ 3
3
3 / 4
 1) dx 
1/ 3
t dt  4  3
7 / 3 2
 3 7 / 3 3x  3 / 4  1
4/3
3 x 3 / 4  1  t 3 , x  34 / 3 (t 3  1) 4 / 3 ,
dx  34 / 3 4 (t 3  1)  7 / 3 t 2 dt
7 / 3
t
3
dt  4  3
7 / 3
t4
C 
4
 C.
4). Некоторые частные интегралы с иррациональностями


1. Интегралы вида  R x, a 2  x 2 dx
30

вычисляются с помощью подстановок x  a sin t , dx  a cost dt или
x  a th t , dx  a
1
dt
ch 2t
Пример.
Вычислить интеграл 
x2
dx.
9  x2
Решение. Используем первую подстановку:

x  3 sin t ,
x2
sin 2 t
dx 
.  27 
cost dt  9 sin 2 t dt 
2
2
dx  3 cost dt
9 x
9(1  sin t )
1
9 1
x 9
x 1


 9  (1  cos 2t ) dt   t  sin 2t   C  t  arcsin   arcsin  x 9  x 2   C.
2
2 2
3 2
3 9




2. Интегралы вида  R x, a 2  x 2 dx
вычисляются с помощью подстановок x  a tgt , dx  a
1
dt или
cos2 t
x  a sh t , dx  a ch t dt .
Пример.
Вычислить интеграл 
x2
dx.
9  x2
Решение. Используем первую подстановку:
x
dx
2
x2  4
x  2 tgt ,

dx  2
1
cos2 t
1
dt
2
1
1 cost dt 1 d sin t
cos
t
.  2

 


4 sin 2 t
dt 2 tg t 4( tg 2 t  1) 4 sin 2 t
1 1
x
1 x2  4

 C  t  arctg  
 C.
4 sin t
2
4
x


3. Интегралы вида  R x, x 2  a 2 dx
вычисляются с помощью подстановок x 
x  a ch t , dx  a sh t dt .
31
a
sin t
, dx  a
dt или
cost
cos2 t
Пример.
x2
dx.
x2 1
Вычислить интеграл 
Решение. Воспользуемся второй подстановкой:
x2

x2 1
dx 
x  ch t ,
ch 2 t
ch 2 t

sh
t
dt

sh t dt   ch 2 t dt 

2
2
dx  sh t dt
ch t  1
ch t  1
1 1
1 1
1 1



2
 t  sh 2t   C   t  sh 2t   C   t  ch t ch t  1   C 
2 2
2 2
2 2



1
1

 t  arch x   arch x  x x 2  1   C.
2
2


1
1  ch 2t  dt 
2


4. Интегралы вида  R x, ax 2  bx  c dx ,
b2
 c  0 (при a  0 имеем частный случай интеграла, рассмотгде a  0 и
4a
b2
 c  0 квадратный трехчлен свертывается в полный
ренного в п. 2), а при
4a
квадрат и иррациональность исчезает) сводятся к рассмотренным в п. 1, 2 и 3
интегралам путем выделения в квадратном трехчлене полного квадрата и соответствующей замены переменной:
b
b  
b2 

ax  bx  c  a x     c   , x 
 t , dx  dt .
2a  
4a 

2a
2
2
Радикал принимает вид
b2 

ax  bx  c  at   c  
4a 

2
2
и при этом возможны случаи:
b2
b2
2
a

m
,
c

 n 2 , приводим интеграл к виду
 0 . Полагая
а). a  0, c 
4a
4a
 Rx,



ax 2  bx  c dx   R t , m 2 t 2  n 2 dt .
b2
b2
2
 0 . Обозначая a  m , c 
 n 2 , получаем
б). a  0, c 
4a
4a
 Rx,



ax 2  bx  c dx   R t , m 2 t 2  n 2 dt
32
с). a  0, c 
 Rx,
b2
b2
 n 2 , получаем
 0 . Полагая теперь a  m 2 , c 
4a
4a



ax 2  bx  c dx   R t , n 2  m 2 t 2 dt .
b2
 0 , но в этом случае
Возможен также случай a  0, c 
4a
комплексное число.
ax2  bx  c -


Итак, при помощи подходящей замены интеграл  R x, ax 2  bx  c dx
сводится к одному из рассмотренных выше в п. 1, 2 и 3.
Пример.
Вычислить интеграл  2 x  x dx.
2
Решение. Выделяем полный квадрат


2x  x 2  x 2  2 x  x 2  2x  1  1   x  1  1  1  x  1
2
2
и полагаем x  1  t , dx  dt , получаем

2 x  x 2 dx   1   x  1 dx 
2
x  1  t,
t  sin z ,
  1  t 2 dt 

dx  dt
dt  cos z dz
1
1  cos 2 z  dz  1  z  1 sin 2 z   C  z  arcsin t 

2
2
2

1
1
2
 arcsin t  t 1  t 2  C  t  x  1  arcsin  x  1   x  1 1   x  1  C
2
2
  cos2 z dz 




§ 7. Замечания о «не берущихся» интегралах
Согласно теореме существования неопределенного интеграла, всякая дифференцируемая в интервале (a, b) функция f (x) интегрируема в этом интервале,
то есть имеет в каждой точке интервала первообразную. Оказывается, однако,
что не для всякой подынтегральной функции первообразная, если она существует, представляется элементарной функцией. Интегралы от подобных
функций принято называть не берущимися, а первообразные, при некоторых
специально выбранных значениях произвольных постоянных, специальными
функциями. Таким функциям, часто применяемым на практике, даются
33
названия, их свойства изучаются и составляются таблицы значений. Примерами таких интегралов являются:

sin x
dx  интегральный синус,
x

cos x
dx  интегральный косинус,
x
dx
 ln x  интегральный логарифм,
e
 x2

1  k 2 sin 2 x dx  эллиптический интеграл, и др.
dx  функция Гаусса,
ЛИТЕРАТУРА
Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1 . — М: «Наука», 1980 г.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. − М: «Наука», 1983 г.
Зорич В.А. Математический анализ. Т.1 . — М: «Наука», 1984 г.
Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗОВ (в 2-х томах).- М. Наука, 1971г.
Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, часть 3. Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл. Кратные интегралы. Теория поля.
Учебное пособие. − Томск, ТПУ, 2002г.
6. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа.
- М. Наука , 2006 г.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Ч.II. -- М. Высшая школа, 1980 г.
8. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.
- М. Выс-шая школа. 1973 г.
9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М. Наука, 1985 г.
10. Демидович Б.П. Сборник задач задач и упражнений по математическому анализу.
– М. Наука, 1985 г.
11. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому
анализу. – М. Просвещение, 1973 г.
12. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая Математика. Задачник. М. Наука, 1987 г.
13. Задачи и упражнения по математическому анализу (Под ред. Демидовича Б.П.)
- М. Наука, 2007 г.
14. Сборник задач по математике для втузов (под ред. Ефимова А.В.) - М. Наука, 2009 г.
15. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М. Наука, 2008 г.
1.
2.
3.
4.
5.
34