РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ НА НАХОЖДЕНИЕ

Нестандартний урок
Решение упражнений
на нахождение
определённых интегралов
Л. Н. Солохина, г. Феодосия, АРК
Цель урока: систематизировать и обобщить знания, умения и навыки по теме «Интеграл»; готовить
учащихся к участию в ВНО; развивать творческое
мышление; формировать умения работать коллективно; расширять кругозор учащихся, воспитывать
у учащихся ответственность, самостоятельность.
Оборудование: таблицы «Свойства интегралов»,
«Формулы для вычисления площадей фигур», «Некоторые способы, применяемые при вычислении интегралов», 4 комплекта карточек для работы в группах
и для домашнего задания.
π
2
π
4
π
2
∫ (x − 2) dx
2
∫ (x − 2) dx < 0,
(Ответ.
∫ (x
0
2
)
+ 1 dx.
так как при x ∈[0;2]
0
x − 2 < 0,
∫ (x
2
)
+ 1 dx > 0.)
0
5. Найти такое значение a ( a ∈[0;3]), при ко­
3
тором интеграл
∫ x dx
2
разбивается на два
0
численно равных интеграла.
3
(Ответ. a = 3 . При решении задания ис­
2
пользуем свойство аддитивности интегралов.)
6. Установить соответствие между опреде­
ленным интегралом (1–3) и его значением
(А–Г).
III. Актуализация опорных знаний
Ступенька 1. Коллективное выполнение
устных упражнений
Целью выполнения устных упражнений яв­
ляется повторение основных свойств интеграла
и знакомство с другими свойствами интеграла.
Условие заданий заранее записаны на доске
либо проектируются на экран:
1. Вычислить:
Видавнича група «Основа»
и 0
II. Мотивация учебной деятельности,
сообщение темы и цели урока
Урок проходит под девизом «Не говори “не
могу”, а говори “научусь”!» в виде путешествия.
Учащиеся продвигаются по ступенькам на вер­
шину горы, вершину знаний. На каждой из сту­
пенек учащиеся опираются на теоретический
материал.
2
2
2
4. Сравнить:
I. Организационный момент
x
x

1) ∫  sin + cos  dx; 2)

2
2
0
π
2
0
2
π
2
0
∫ cos xdx и ∫ cos xdx.
3. Сравнить:
Ход урока
π
2
1
∫ 2 cos 4xdx.
2. Вычислить:
1
4
∫
1
x
0
2
−
2
x
x

∫0  sin 2 − cos 2  dx.
31
π
4
2
∫π sin2 x dx
−
3
dx
А
2
Б
4
В
3
Г
1
2
e
dx
x
1
∫
№ 9 (417) березень 2014 р.
Нестандартний урок
IV. Систематизация и обобщение
теоретического материала
V. Усовершенствование умений
и навыков
Ступенька 2. Письменное вычисление
интегралов
Понимание геометрического смысла инте­
грала помогает как вычислять площади различ­
ных фигур, так и находить численные значения
интегралов, вычисление которых по известным
формулам невозможно. Используя геометриче­
ский смысл интеграла, можно установить, что
существует более простой способ вычисления
интеграла по симметричному относительно на­
чала координат промежутку от чётных и нечёт­
ных функций. Обращаемся к свойствам суммы
и произведения двух нечётных функций.
Работа в группах
Каждая группа (3 группы) получает задание
на карточках и комментирует решение. (Все
группы получают условия всех карточек, но
комментируют задание из одной карточки).
Ступенька 4. Вычисление интегралов
Учащиеся работают в группах.
Группа № 1 (примеры 1 (а, б)); группа № 2
(примеры 2, 3); группа № 3 (пример 4).
Условие заданий. Комплект карточек № 2
1. Использование формул тригонометрии
π
3

π
π


а) ∫  cos2  x −  − sin2  x −   dx;



3
3 
π
6
π
2
б)
∫ sin
2
xdx
π
−
2
2. Использование определения модуля
π
6
∫
−
Комплект карточек № 1
1
2
π
3
3
π
∫ (tg x + sin x)dx
π
−
3
Ответ. 0.
3. Использование тождества
a
∫ x cos xdx
∫ x dx
4
−π
sin x dx
π
6
a2 = a
1
∫
−a
x2 + 6x + 9dx
−1
Ответ. 0.
Ответ.
2 5
a.
5
Ступенька 3. Конкурс «Найди ошибку»
учитель записывает пример на доске, уча­
щиеся следят за решением.
1
1
1
1
∫−1 x2 dx = − x −1 = −1 − 1 = −2.
Ответ. Интеграл от положительной функ­
ции отрицательным числом быть не может.
Так как D ( f ) = ( −∞; 0)  (0; +∞ ) , то на промеж­
утке [ −1;1] функция
1
x2
является разрывной. Значит, по определению
определенного интеграла, он не имеет конеч­
ного числового значения.
f (x ) =
№ 9 (417) березень 2014 р.
4. Выделение целой части дроби
4

∫  x +
1
1 
 dx
x
По мере выполнения заданий в группах
представители групп записывают решения на
доске.
2
3
π
Ответы. 1. а)
; б) . 2. 2 − 3. 3. 6. 4. 6 .
3
4
2
Ступенька 5. Вычисление площадей фигур
Учащиеся работают в группах. Каждая
группа получает три задания, но решает одно
по указанию учителя. На карточках уже изо­
бражены графики данных функций и заштри­
хованы фигуры, площадь которых нужно вы­
числить. Выполненные задания комментируют
учащиеся.
32
Математика в школах України
Нестандартний урок
Комплект карточек № 3
1
1
Ответы. 1. 18 . 2. 41 . 3. 3,5.
3
3
Вывод. Вычисление площадей фигур необхо­
димо производить рационально, для чего следу­
ет учитывать симметричность фигуры.
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
y = x2 − 1 и y = 5 + x .
y
y = x2 − 1
VI. Подведение итогов урока.
Рефлексия
y =5+ x
8
VII. Оценивание
VIII. Комментирование домашнего
задания
Комплект карточек № 4
1. При каком a площадь фигуры ограничена
2
3
линиями y = (3 x + x ) и y = ax2 равна
?
32
Ответ. 4; –4.
2. Найти площадь фигуры, ограниченную гра­
фиком функции y = sin x и y = x − π.
Ответ. 4 + π2 .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиком функции y = x2 и касательными
к графику функции в точках
x
–1 0
–3
1
3
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
y = x2 + 2x − 8, y = 0, x = −4, x = −2.
y
–4
–2
x
2
0
x1 = 1 и x2 = 2.
Ответ. 2,25 ед2.
x = −2
y = x2 + 2x − 8
x = −4
Литература
1. Ершова А. П., Голобородько В. В. Алгебра и на­
чала анализа. Самостоятельные и контрольные
работы. 10–11 классы. — Х. : Лицей ТерраБукс, 2003.
2. Яценко С. Алгебра за новою програмою.
11 класс. — К. : Шкільний світ, 2011. — 128 с.
3. Корниенко Т. Л., Фиготина В. И. Алгебра и на­
чала анализа. Разработки уроков. 11 класс.
Академический уровень. — Х. : Ранок, 2012.
4. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Алге­
бра и начала анализа. Учебник для 11 класса
общеобразовательных учебных заведений. Ака­
демический уровень, профильный уровень. —
К. : Освіта, 2011.
5. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.,
Шварцбурд С. И., Задачи повышенной трудно­
сти по алгебре и началам анализа. — М. : «Про­
свещение», 1990. — 48 с.
–8
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­
ниями y = cos x, y = 0, x = −
x=−
−π
π
7π
, x=
.
2
6
y
π
2
x=
1
−
π
2
–1
π
2
Видавнича група «Основа»
π
7π
6
x
3π
2
33
№ 9 (417) березень 2014 р.