Панюшкин Д.Н., Guohua Qian, Wujie Shi. О периодической группе

О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННОЙ
ЦЕНТРАЛЬНЫМИ РАСШИРЕНИЯМИ 2-ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ
ГРУППЫ L2(Р)1
Д.Н.Панюшкин Guohua Qian Wujie Shi
Пусть ℜ — множество конечных групп. Будем говорить, что группа G
насыщена группами из множества группℜ, если любая конечная подгруппа
из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ℜ.
В работе доказывается, что периодическая группа Шункова, насыщенная
группами из множества ℜ = {L2(p) х Iп}, где Iп — прямое произведение п
экземпляров групп порядка 2, р простое нечетное число, является локально
конечной.
Введение
Пусть G — группа, a ℜ — некоторое множество групп. Будем говорить,
что группа G насыщена группами из множества групп ℜ, если любая
конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной
некоторой группе из ℜ [7].
В работе [6] А.К. Филипповым доказана локальная конечность
периодической группы Шункова (бесконечная группа называется группой
Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая
единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка
порождает конечную подгруппу), насыщенной группами из множества ℜ=
{L2(q) x Z2}. где Z2 — группа порядка 2. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в
работе [4] исследовали периодическую группу, насыщенную группами из
множества ℜ= {L2(q) х Z2}. Самым интересным и сложным в исследовании
оказался случай, когда q — степень числа 2. Доказать локальную конечность
для этого случая так и не удалось. Поэтому естественно рассмотреть группу,
насыщенную похожими множествами групп, в каждой из которых силовская
2-подгруппа содержит элементарную абелеву 2-группу сколь угодно
большого ранга.
Пусть In = Z2 х Z2 х … х Z2. Тогда верна следующая теорема.
n раз
Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова G, насыщенная
группами из множества ℜ = {L2(р) x In|n = 1,2,...}, где р — простое нечетное
число, локально конечна и изоморфна L2(р) x N, где N — бесконечная группа
периода 2.
1
1. Используемые результаты
Предложение 1 ([1], [9]). Пусть G = L2(p), где р — степень простого
нечетного числа р. Тогда справедливы следующие утверждения:
Силовская р-подгруппа Р группы G циклическая порядка р и В =
N G ( P ) = Р ‫ ג‬Н - группа Фробениуса с ядром Р и циклическим
неинвариантным множителем Н порядка (р - 1)/2.
(2) С G ( b ) = ( b ) для любого 1 ≠ b Є Р .
(3) Силовская 2-подгруппа группы G является группой диэдра.
(4) Все инволюции из G сопряжены и централизатор любой из них —
группа диэдра порядка р - 1 или р + 1 в зависимости от того, какое из
этих чисел делится на 4.
(5) Если р > 5, то все элементарные подгруппы порядка 4 из G совпадают
со своими централизаторами. Если V — одна из этих подгрупп, то
N G( V ) изоморфна S4 или A4 в зависимости от того, делится ли порядок
G на 8 или нет
(6) Если р > 5, то G порождается любыми двумя различными
централизаторами инволюций.
Предложение 2 ([3], теорема Шмидта). Расширение локально конечной
группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная
группа.
Предложение 3 ([5]). Периодическая группа, насыщенная группами из
множества ℜ= { L 2 ( q ) } , локально конечна и изоморфна группе L2(Q) для
подходящего локально конечного поля Q.
Предложение 4 ([8]). В группе Шункова с бесконечным числом элементов
конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа.
Предложение 5. Пусть G = L2(p) и a ,b — элементы порядка p из G, такие,
что b Є ( а ) . Тогда |[аi,bk] | = р для некоторых целых 1≤ i ,k ≤ р - 1 .
(1)
2. Доказательство теоремы
До конца параграфа G означает бесконечную периодическую группу
Шункова, насыщенную группами из множества ℜ = { L 2 ( р ) х Iп|п = 1,2,...}, где р
- простое нечетное число, In = Z2 х Z2 х … х Z2 . Для любой конечной подгруппы
n раз
К из G обозначим через ℜ ( К )
множество всех подгрупп из G, содержащих К и изоморфных группам из ℜ.
Лемма 1. Пусть a ,u , v Є G, |a| = р , |u| = |v| = 2 и ( u ,v ) С С G ( а ) . Тогда uv = vu.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию насыщенности конечная группа ( u , v , a ) С L Х
I n Є ℜ(( U, v , а ) ) . Ясно, что a Є L. Так как и инволюция, то и = lиiи, где l u Є L
и |lи| ≤ 12, iи Є Iп и |iu| ≤ 2. Если |lu| = 2, то luiuaiulи = lualu = а, поскольку и Є
СG(a). Но тогда C L(а ) ≠ ( а ) , что невозможно. Следовательно, lu = 1 и и Є In.
Совершенно аналогично доказывается, что v Є Iп, а значит, uv = vu. Лемма
доказана.
Лемма 2. В G существует бесконечная группа периода 2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 4 в G существует бесконечная
локально конечная подгруппа, а значит, по [3], существует бесконечная
абелева подгруппа I(1). По [3] I(1) разлагается в прямое произведение своих
силовских q-подгрупп, т.е. I(1) = I2(1)х I2(1) , где I2(1)— силовская 2-подгруппа
группы I(1) , а I2(1) - прямое произведение силовских 2'-подгрупп. Нетрудно
видеть, что |I2(1) | ≤ | L 2 ( p ) | , а значит, I2(1) — бесконечная группа периода 2.
По лемме Цорна [3] в подгруппе периода 2 можно выбрать максимальную.
Пусть это группа I. Лемма доказана.
ЛЕММА 3. Пусть a, b Є G, |a| = |b| = р и b Є (а). Тогда элементы а и bк для
некоторого целого 1≤ k ≤ р - 1 сопряжены в G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО условию насыщенности конечные группы
(а,аь) С La х Inа Є ℜ((а,аь)),
(b,ba) C L b x Inb Є ℜ ((b,bа)),
где La~Lb~L2(q). Так как порядок элемента [ai, bj] для некоторых i, j равен p
(предложение 5), то без ограничения общности можем считать, что |[a, b]|| = P.
Но тогда элемент a сопряжен в La с [а,b]m для некоторого целого 1 ≤ m ≤ р - 1, а
элемент bк для некоторого целого 1≤ К ≤ Р - 1 сопряжен в LB с [a, b]m.
Следовательно, a и bК также сопряжены. Лемма доказана.
ЛЕММА 4. Пусть a Є G и | a | = р. Тогда CG(a) = (a) x Ia, где Iа — бесконечная
элементарная абелева группа периода 2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть In(1) — конечная подгруппа из I. где I — группа из
леммы 2. По условию насыщенности In(1) С L1 х IN1 Є ℜ (In(1)), где L1 ~ L2(p ) —
группа, порожденная элементами порядка p . Так как число N можно выбрать
сколь угодно большим и в группе L1 максимальной подгруппой периода 2
является четверная подгруппа, то | In(1) : In(1) ∩ In1 | ≤ 4 и можно считать, что
In(1) С In1 (в противном случае In(1) ∩ In1 = In(1)), Тогда In(1) С CG(ax1) для
некоторого X1 Є G. Рассмотрим цепочку
In1 С In2 С … С Ink С …
В каждом элементе этой цепочки найдется подгруппа Ini (i) индекса не больше
четырех, такая, что Ini (i) С СG(ax) для некоторого Х ЄG. Так как все элементы
порядка p (или некоторые их степени), не принадлежащие одной
циклической группе порядка p , сопряжены , то СG(а) содержит конечную
группу периода 2 сколь угодно большого порядка. Таким образом СG(а) —
бесконечная группа, а фактор-группа С = СG (a) / (а) — бесконечная группа
периода1 2. Действительно, в противном случае, фактор-группа С содержит
элемент нечетного порядка q , который очевидно либо равен Р, либо должен
делить числа p - 1 или p + 1, то в централизаторе СG (a ) найдется элемент b
либо порядка p либо порядка q ∙ p . Тогда по условию насыщенности (a , b ) С
La , b х In a b Є ℜ ((a , b )). Но в группе La , b х In a b нет элементов a и b ,
удовлетворяющих указанным условиям. Противоречие. Следовательно, С —
2-группа. Пусть Х Є С и |Х| = 4. Тогда прообраз Х этого элемента в СG(a) имеет
порядок 4 или 4p , что снова невозможно ввиду условия насыщенности. Итак,
С — группа периода 2 и, значит, элементарная абелева группа. Тогда СG(а) =
(а) х Iа, где Ia — бесконечная элементарная абелева группа периода 2. Лемма
доказана.
ЛЕММА 5. Пусть s Є СG(a), где | a | = р, |S| = 2. Тогда s централизует все элементы
порядка р.
Доказательство.
Предположим противное и пусть инволюция S не перестановочна с
некоторым элементом b порядка p . По условию насыщенности конечная группа
(s, b) С L х IN Є ℜ((s,b)). Ясно, что b Є L. Так как bs ≠ b, то S Є IN и S = S1S2, где 1 ≠ s1
Є L, s2 Є IN . Тогда в L существует элемент с порядка р, который инвертируется
инволюцией S1. Действительно, в L существует некоторая инволюция Х и
элемент d порядка p, для которых dx=d-1. В силу сопряженности всех инволюций
из L (предложение 1) si = х у для некоторого у Є L .
Тогда
(dx) = (dy)хУ = (dy)s1
и, в то же время,
(d x ) y = ( d - 1 ) y = (dy)-1.
Обозначим с = d y . Итак, c s 1 = с -1, где с — элемент порядка р из L . Тогда с 8
= c s l s 2 = cs1 = с -1. Поскольку с Є (а) и элементы а и ck для некоторого целого
k сопряжены в G (лемма 3), то ( s , а , с ) = ( а , с ) ‫ ( ג‬s ) — конечная группа и
по условию насыщенности (s , a , c ) С Ls х Ins Є ℜ((s, a, с)). Очевидно, что а , с
Є L s и s Є Ins (так как s Є СG(а)). Но тогда cs = с. Противоречие. Итак, s
централизует все элементы порядка р . Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть а,b — элементы порядка р из G и СG(a) = (a) x Ia, CG(b) = (b) х Ib.
Тогда для Ia = Ib
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из предыдущей леммы следует, что Iа С Ib И Ib С Ia.
Следовательно, Ia = Ib. Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть а — элемент порядка р из G и СG (а) = (а) х Iа. Тогда N = (Iag|g Є G)
- бесконечная группа периода 2 и N < G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как показано в лемме 6 Ia = Iag для любого q Є G. Тогда
N — элементарная абелева группа. То, что она нормальна, вытекает из ее
определения. Лемма доказана.
Лемма 18. G = L2(р) х N.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим фактор-группу G = G/ N . Пусть К —
конечная подгруппа из G и К ее некоторый конечный прообраз в G (такую
группу К можно выбрать, так как N, а значит и полный прообраз группы К,
есть локально конечная группа). По условию насыщенности конечная группа
К С Lk х Iпк Є ℜ ( К ) . Ясно, что L k c N . Покажем, что Iпк С N. Поскольку LK
порождается элементами порядка р и Iпк С C L ( a ) для некоторого элемента а
порядка р из L к , то I n к С С G ( а ) . Значит, Inк С CG(а ) = ( а ) Х Iа, т.е. Inк С Iа. Но
Iа = N, значит и Inк С N. Тогда
К c ( L K x InK)N/N = (LK х InK)/(LK x Inк) ∩ N = (LK х Iпк)/Iпк ~LK ~ L2(5).
Таким образом, фактор-группа С насыщена группой L2(p). По предложению 3 G
= G/ N - конечная группа, изоморфная группе L2 ( р ) . Тогда по теореме
Шмидта G — локально конечная группа и G = L N , где L ~ L 2 ( р ) .
Покажем, что N ∩L = 1. Предположим противное и пусть 1 ≠ s Є N∩L. По
определению группы N (лемма 7) s — инволюция и s Є С G ( а ) для
некоторого элемента а порядка р из G. С другой стороны, если s Є L, то в L
существует элемент с порядка р, который инвертируется инволюцией s.
Действительно, в L существует некоторая инволюция х и элемент b порядка
р, для которых bх = b-1. В силу сопряженности всех инволюций из L
(предложение 1) s = ху для некоторого у Є L. Тогда
(bx)у = (bу)хУ = (bу)-1
и, в то же время,
(bх)у = (b-1)= (bу)-1.
Обозначим с =bу. Итак, cs = с-1, где с — элемент порядка р из L. Поскольку в
G все элементы порядка р (некоторые их степени) сопряжены (лемма 3), то
( s , а , с ) = ( а , с) ‫ ( ג‬s ) - конечная группа и по условию насыщенности (s, a,
с) С L х In Є ℜ((s, a, с)). Очевидно, что а, с Є L и s Є In (так как s Є СG((а)). Но
тогда cs = с. Полученное противоречие означает, что N ∩L = 1 и N
централизует все элементы порядка р . Так как L порождается элементами
порядка р, то N централизует всю группу L. Поэтому имеет место разложение
G = L х N. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны.
1.
2.
3.
4.
Литература
Бусаркин, В.М. Конечные расщепляемые группы / В.М. Бусаркин, Ю.М.
Горчаков. — М.: Наука, 1968. 120 с.
Горенстейн, Д. Конечные простые группы / Д. Горенстейн. - М.: Мир,
1985. 350 с.
Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И.
Мерзляков. - М.: Наука, 1977. 240 с.
Лыткина, Д.В. О периодических группах, насыщенных L2(q) и ее
1
центральными
расширениями / Д.В. Лыткина, К.А. Филиппов // Матем.
системы - Красноярск: КрасГАУ. - 2006, №5. -С. 35-45.
5. Рубашкип, А.Г. Группы, насыщенные различными множествами
конечных групп. Дисс. канд. физмат. наук. Красноярск, 2005.
6. Филиппов, К.А. Группы, насыщенные конечными пеабелевыми простыми
группами и их центральными расширениями. Дисс. канд. физ.-мат. наук.
Красноярск, 2005.
7. Шлепкин, А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие
конечные неразрешимые подгруппы / А.К. Шлепкин // Сб. тез. 3-й
междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 369.
8. Шлепкин, А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями.
Дисс. докт. физ.-мат. наук. Красноярск, 2003. 130 с. 1998.
9. Hupperl,, В. Endliche Gruppen /B.Iluppert L. - В.: Springer, 1967.
1