Власов В.В. Спектральные задачи в теории уравнений с

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 69–??
УДК 517.929
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
c 2003 г.
В. В. ВЛАСОВ
АННОТАЦИЯ. В предлагаемой статье приведен обзор результатов об асимптотическом поведении и
устойчивости сильных решений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Кроме того,
сформулированы некоторые результаты о свойствах (полнота и базисность) экспоненциальных решений таких уравнений. Отметим, что предлагаеиый подход к исследованию ФДУ основывается на
спектральном анализе операторных пучков, которые являются символами (характеристическими квазиполиномами) с операторными коэффициентами рассматриваемых уравнений. Статья состоит из двух
частей. Первая посвящена исследованию ФДУ в гильбертовом пространстве, вторая — исследованию
ФДУ в конечномерном пространстве.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . .
2. Функционально-дифференциальные
3. Функционально-дифференциальные
Список литературы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
уравнения в бесконечномерном пространстве
уравнения в конечномерном пространстве . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
77
81
ВВЕДЕНИЕ
В статье приведены результаты об однозначной разрешимости начально-краевых задач для
функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа, коэффициентами которых являются оператор-функции, принимающие значения во множестве, вообще говоря, неограниченных операторов в гильбертовом пространстве (раздел 2). Рассматривается случай уравнений
с переменным запаздыванием и устанавливаются результаты об асимптотическом поведении и
устойчивости решений указанных уравнений. Эти результаты и их обобщения доказаны в работах [2–4, 10–13, 15–17, 25, 28–30].
В разделе 3 изучается асимптотическое поведение решений дифференциально-разностных уравнений (в конечномерном евклидовом пространстве H = Cr ) в более сложном и деликатном случае,
когда имеются цепочки корней характеристического квазиполинома, которые лежат или приближаются к мнимой оси (так называемые критический и сверхкритический случаи). Известно несколько
работ, посвященных анализу этой ситуации (более подробное изложение см. в [31, 37, 38, 43]).
Отметим, что наш метод исследования существенно отличается от методов, использованных в
указанных работах. Полученные нами результаты основываются на базисности Рисса систем экспоненциальных решений. В свою очередь, этот результат основывается на исследовании резольвенты
генератора полугруппы сдвигов вдоль траекторий решений рассматриваемых уравнений. Доказательства сформулированных результатов и их обобщений приведены в [5, 10–12, 14, 23, 24, 57].
В конце каждого раздела приведены замечания и комментарии, содержащие сравнение сформулированных результатов с ранее известными.
2. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A — самосопряженный положительный
оператор в H, имеющий ограниченный обратный, I — единичный оператор в H. Превратим область
определения Dom(Aα ) оператора Aα (α > 0) в гильбертово пространство Hα , введя на ней норму
k · kα = kAα · k.
c
2003
МАИ
69
70
В. В. ВЛАСОВ
Обозначим через W21 ((a, b), A) (−∞ < a < b 6 +∞) пространство функций со значениями в H,
таких, что Aj v (1−j) (t) ∈ L2 ((a, b), H) (j = 0, 1), снабженное нормой
!1
Zb 2
(1)
2
2
kvkW21 (a,b) ≡
kv (t)k + kAv(t)k dt .
a
dj
v(t), j = 0, 1, . . . (Свойства пространства W21 ((a, b), A)
dtj
Здесь и в дальнейшем полагаем v (j) (t) ≡
см. в [33, гл. 1].)
1 ((a, b), A) функНаряду с пространством W21 ((a, b), A) введем пространства L2,γ ((a, b), H) и W2,γ
ций со значениями в H, нормы в которых определены следующим образом:
!1
Zb
2
exp(−2γt)kv(t)k2 dt
kvkL2,γ (a,b) ≡
,
a
kvkW2,γ
1 (a,b) ≡ k exp(−γt)v(t)kW 1 (a,b) ,
2
γ ∈ R.
На полуоси R+ = (0, +∞) рассмотрим следующую задачу:
n X
du
du
Uu ≡
+ Au(t) + B0 (t)CAu(t) +
Bj (t)Sgj (Au)(t) + Dj (t)Sgj
(t) = f (t),
dt
dt
(1)
u(+0) = ϕ0 ,
(2)
j=1
где B0 (t), Bj (t) и Dj (t) (j = 1, 2, . . . , n) — сильно непрерывные (см. [45]) оператор-функции,
принимающие значения в кольце ограниченных операторов в H, C — компактный оператор в H и
ϕ0 ∈ H 1 .
2
Определим операторы Sgj следующим образом:
(Sgj v)(t) = v(gj (t)),
(Sgj v)(t) = 0,
gj (t) > 0,
gj (t) < 0, j = 0, 1, 2, . . . , n,
где gj (t) (j = 1, 2, . . . , n) — вещественнозначные непрерывно дифференцируемые функции, заданd
ные на полуоси R+ , такие, что gj (t) 6 t,
gj (t) > 0 (j = 1, 2, . . . , n) и g0 (t) = t, t ∈ R+ . Через
dt
gj−1 (t) обозначим функции, обратные к gj (t), и положим hj (t) = t − gj (t).
1 (R , A) при некотоОпределение 1. Вектор-функция u(t), принадлежащая пространству W2,γ
+
ром γ > 0 называется сильным решением уравнения (1), если она удовлетворяет уравнению (1)
почти всюду на полуоси R+ .
Введем обозначения
r1 (γ) =
sup
kA(λI + A)−1 k,
λ:Re λ>γ
r2 (γ) =
sup
|λ| k(λI + A)−1 k,
γ > 0.
λ:Re λ>γ
Теорема 1. Пусть B0 (t) ≡ 0 и существует такое γ0 , что
(3)
σ(γ0 ) < 1,
где
σ(γ) = r1 (γ)
n
X

sup
−1
j=1 t∈[gj (0),+∞)
+r2 (γ)
n
X
exp − γ t − gj (t) kBj (t)k

sup
−1
j=1 t∈[gj (0),+∞)
1
exp − γ t − gj (t) kDj (t)k
(1)
!1 
2
gj (t)
!1 
2
1

(1)
gj (t)
+
.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
71
Тогда для любого γ > γ0 оператор Vγ , действующий по правилу Vγ u ≡ (Uu, u(+0)), отобра1 (R , A) на пространство L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный
жает пространство W2,γ
1
+
2,γ
+
2
обратный.
Теперь обратимся к задаче, часто называемой начальной задачей:
n
X
du
+ Au(t) + B0 (t)CAu(t) +
(Bj (t)Au(gj (t)) + Dj (t)u(1) (gj (t))) = f0 (t),
dt
(1◦ )
t ∈ R+ ,
j=1
u
(m)
t ∈ R− = (−∞, 0),
(t) = ym (t),
u(+0) = ϕ0 ,
(2◦ )
m = 0, 1.
Известно (см. [1, гл. 1]), что задача (1◦ ), (2◦ ) может быть сведена к задаче (1), (2). В этом
случае вектор-функция f (t) определяется следующим образом:
n h
i
X
f (t) = f0 (t) −
Bj (t)T gj (Ay0 )(t) + Dj (t)T gj (y1 )(t) ,
(4)
j=1
где операторы
T gj
действуют по формулам
(T gj v)(t) = 0,
gj (t) > 0,
(T gj v)(t) = v(gj (t)),
gj (t) < 0.
1 (R , A) для некотоОпределение 2. Вектор-функция u(t), принадлежащая пространству W2,γ
+
◦
◦
рого γ > 0, называется сильным решением задачи (1 ), (2 ), если u(t) удовлетворяет уравнению (1)
с функцией f (t), определенной выражением (4) и условием (2) в понимаемом смысле сходимости
в пространстве H 1 .
2
Опираясь на теорему 1, получим следующий результат.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует γ1 > 0, такое, что
(5)
σ1 (γ1 ) < +∞,
σ1 (γ) =
n
X

sup
−1
j=1 t∈[0,gj (0))
+
n
X
j=1
exp (−γ (t − gj (t))) kBj (t)k
1
(1)
gj (t)

sup
t∈[0,gj−1 (0))
exp (−γ (t − gj (t))) kDj (t)k
1
(1)
gj (t)
!1 
2
+
!1 
2
.
Тогда для любого γ > γ∗ = max(γ0 , γ1 ), любых вектор-функций (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2,γ (R− , H),
f (t) ∈ L2,γ (R+ , H) и любого вектора ϕ0 ∈ H 1 существует единственное решение u(t) зада2
1 (R , A) и удовлетворяющее неравенству
чи (1◦ ), (2◦ ), принадлежащее пространству W2,γ
+
1
2
2
2
2 2
ku(t)kW2,γ
1 (R ,A) 6 d1 (kf0 (t)k
L2,γ (R+ ,H) + kAy0 kL2,γ (R− ,H) + ky1 kL2,γ (R− ,H) + kϕ0 k 1 )
+
(6)
2
с постоянной d, не зависящей от f0 (t), (Ay0 )(t), y1 (t), ϕ0 .
В следующей теореме рассматривается важный для приложений случай γ0 = 0.
Теорема 3. Предположим, что B0 (t) ≡ 0 и имеет место неравенство

!1 
!1
n
2
2
X
1
2
 < 1.
 lim kBj (t)k2 1
+
lim
kD
(t)k
j
(1)
(1)
t→+∞
t→+∞
g
(t)
g
(t)
j=1
j
j
(7)
Тогда справедливо утверждение теоремы 1 с постоянной γ0 = 0 и для γ0 = 0 и f (t) ∈ L2 (R+ , H)
имеет место следующее равенство
lim ku(t)k 1 = 0.
t→+∞
2
Следующее утверждение относится к уравнениям запаздывающего типа (т. е. когда Dj (t) ≡ 0,
j = 1, 2, . . . , n).
72
В. В. ВЛАСОВ
Теорема 4. Предположим, что Dj (t) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, а оператор-функции Bj (t) представлены в виде Bj (t) = Bj0 (t)Cj , где Cj — компактные операторы в пространстве H, Bj0 (t) —
сильно непрерывные оператор-функции, принимающие значения в кольце ограниченных операторов H и такие, что
!1
2
1
0
2
< +∞.
(8)
sup kB0 (t)k < +∞,
sup kBj (t)Cj k (1)
t∈R+
t∈R+
gj (t)
Тогда существует γ0 > 0, такое, что для любого γ > γ0 оператор Vγ отображает простран1 (R , A) на L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный обратный.
ство W2,γ
1
+
2,γ
+
2
Обозначим через α0 нижнюю грань оператора A (определение см. в [45]).
Теорема 5 относится к случаю отрицательного γ0 .
Теорема 5. Предположим, что выполнены условия теоремы 4, B0 (t) ≡ 0, справедливо неравенство

1
2
n
X
1
2

kBj (t)Cj k (1)  < 1,
sup
(9)
−1
gj (t)
j=1 t∈[gj (0),+∞)
а запаздывания hj (t) ограничены: 0 < θ1 6 hj (t) 6 θ2 < ∞, θ1 , θ2 = const. Тогда существует δ > 0, такое, что для любого γ > max(−δ, −α0 ) оператор Vγ отображает пространство
1 (R , A) на L (R , H) ⊕ H и имеет ограниченный обратный.
W2,γ
1
+
2,γ
+
2
Следующий результат является следствием теоремы 5.
Теорема 6. Предположим, что выполнены условия теоремы 5, f0 (t) ≡ 0 и имеет место
неравенство
sup
|gj (t)| < +∞.
ω0 = max
j=1,n t∈[0,g −1 (0))
j
Тогда существует δ > 0, такое, что для любых начальных функций y0 (t), y1 (t), удовлетворяющих условию Ay0 (t), y1 (t) ∈ L2 ((−ω0 , 0), H), и любого вектора ϕ0 ∈ H 1 существует един2
1 (R , A)
ственное решение u(t) задачи (1◦ ), (2◦ ) (для f0 ≡ 0), принадлежащее пространству W2,γ
+
(для γ > max(−δ, −α0 )), причем справедлива оценка
1
2
ke−γt u(t)kW21 (R+ ,A) 6 d2 kφ0 k21 + kAy0 k2L2 (−ω0 ,0) + ky1 k2L2 (−ω0 ,0)
(10)
2
с постоянной d2 , не зависящей от ϕ0 , (Ay0 )(t), y1 (t).
Далее приведены некоторые замечания, показывающие существенность условий сформулированных утверждений.
Замечание 1. При дополнительном ограничении hj (t) > α > 0, t > 0, j = 1, 2, . . . , n, достаточным условием существования γ0 в неравенстве (3) является следующее:

!1
!1 
n
2
2
X
1
1
2
2

 < +∞.
+
sup
kDj (t)k (1)
∆≡
sup
kBj (t)k (1)
(11)
−1
−1
g
(t)
g
(t)
t∈[g
(0),+∞)
t∈[g
(0),+∞)
j=1
j
j
j
j
Замечание 2. Если имеет место неравенства (11) и hj (t) > α > 0, то неравенство (3) выполняется для любого γ0 , такого, что
1
γ0 > max(ln ∆, 0).
(12)
α
Замечание 3. Условие (5) гарантирует, что функция (4) принадлежит пространству L2,γ (R+ , H)
для любых (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2,γ (R− , H). Кроме того, если функция gj (t) удовлетворяет условию
ω0 = max
sup
j=1̄,n t∈[0,g −1 (0))
|gj (t)| < +∞,
j
то функция (4) принадлежит пространству L2,γ (R+ , H) для любого γ ∈ R и любых вектор-функций
y0 (t), y1 (t), таких, что (Ay0 )(t), y1 (t) ∈ L2 ((−ω0 , 0), H).
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
73
Замечание 4. Неравенство (7) существенно. Это можно показать на следующем примере.
Пример 1. Предположим, что H ≡ C, n = 1, A = const > 0, B1 (t) ≡ −1, B0 (t) ≡ D1 (t) ≡ 0.
Рассмотрим следующую задачу
du
+ Au(t) − St−h (Au)(t) = χ(0, h)A, t ∈ R+ ,
(13)
dt
u(+0) = ϕ0 = 1,
где χ(0, h) — характеристическая функция интервала (0, h). В этом случае условие (7) не выполняется (левая часть (7) равна 1). Уравнение (13) имеет единственное решение u(t) ≡ 1, которое не
принадлежит пространству W21 (R+ ).
Замечание 5. Условие (11) также существенно. Это можно показать на следующем примере.
Пример 2. Предположим, что H = C, n = 1, B0 (t) ≡ D1 (t) ≡ 0, g1 (t) = t − 1, A = const > 0,
B1 (t) = −2t exp(2t − (A + 1)). Рассмотрим задачу
du
+ Au + B1 (t)u(t − 1) = 0, t ∈ R+ ,
(14)
dt
u(t) = y(t) = exp(t2 − At),
t ∈ [−1, 0], u(+0) = ϕ0 = 1.
1 (R )
Уравнение (14) имеет решение u(t) = exp(t2 −At), которое не принадлежит пространству W2,γ
+
ни при каком γ ∈ R. Поскольку
sup kB1 (t)k = +∞,
t∈[1,+∞)
условие (11) не выполняется.
Замечание 6. Неравенство (12) существенно. Это можно показать на следующем примере.
Пример 3. Пусть H = C, n = 1, B0 (t) ≡ B1 (t) ≡ 0, A = const > 0, D1 (t) ≡ D = const, h > 0.
Рассмотрим уравнение
du
du
+ Au(t) + D (t − h) = 0, t ∈ R+ .
(15)
dt
dt
Корни полинома
l(λ) = λ + A + λDe−λh
асимптотически приближаются к прямой Re λ = ln |D|/h = ∆ (см., например, [35]), оставаясь
слева:
ln |D|
Re λq <
.
h
Таким образом, величину ∆ нельзя заменить на ∆ − ε в неравенстве (12) (ни для какого ε > 0).
Работы [6–9] посвящены изучению спектральных вопросов, а именно изучению операторфункций, соответствующих рассматриваемым уравнениям в автономном случае.
Далее приведены результаты об асимптотическом поведении сильных решений ФДУ в автономном случае. Эти результаты основываются на информации о характеристических квазиполиномах с операторными коэффициентами упомянутых уравнений. В свою очередь, они являются
оператор-функциями (операторными пучками), принимающими значения во множестве неограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
В [6–9] изучаются оператор-функции вида
n
X
L(λ) = λI + A + B0 CA +
(Bj A + λDj ) exp(−λhj )+
j=1
Z∞
+
!
Z∞
exp(−λt)K(t) dt A + λ
0
!
(16)
exp(−λt)Q(t) dt ,
0
где B0 , Bj и Dj — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H, числа hj таковы, что
0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, оператор-функции e−κt K(t) и e−κt Q(t) принимают значения в кольце ограниченных операторов, действующих в пространстве H, и таковы, что оператор-функции
74
В. В. ВЛАСОВ
e−κt K(t) и e−κt Q(t) интегрируемы по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0; λ — спектральный параметр (λ ∈ C).
В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению характеристических квазиполиномов: распределению их нулей, их оценках в случае конечномерного пространства H (см. монографии [32, 34, 35] и статьи [31, 37]). Оператор-функции вида (16) в случае бесконечномерных пространств и, в частности, гильбертова пространства H, изучены в существенно
меньшей степени. Более того, нам не известны работы (за исключением [48, 56]), посвященные
изучению оператор-функций вида (16). Следует отметить, что в случае бесконечномерного пространства H появляются новые неожиданные эффекты (см. соответствующие примеры в [6, 8]).
Сформулируем некоторые результаты из [6–10].
Лемма 1. Пусть B0 , Bj и Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H,
оператор-функции K(t) и Q(t) принимают значения в кольце ограниченных операторов, действующих в пространстве H. Далее, пусть оператор-функции exp(−κt)K(t) и exp(−κt)Q(t)
интегрируемы по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0. Тогда существует число
M0 > κ, такое, что в полуплоскости
Π(M0 ) ≡ {λ : Re λ > M0 }
оператор-функция
L−1 (λ)
существует, голоморфна и удовлетворяет неравенству
(L(λ)(λI + A)−1 )−1 6 const.
(17)
В следующей лемме приведены условия, обеспечивающие мероморфность оператор-функции L−1 (λ).
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Предположим дополнительно, что Bj
(j = 1, 2, . . . , n) — компактные операторы в пространстве H, оператор-функции K(t) и Q(t)
принимают значения в кольце компактных операторов в H и выполняется условие
K(t) = Q(t) = 0
при
t < h = hn .
Тогда спектр оператор-функции L(λ) состоит из изолированных характеристических чисел
конечной алгебраической кратности, которые являются конечномерными полюсами L−1 (λ).
Следующие два утверждения уточняют лемму 1 в случае уравнений запаздывающего типа, т. е.
в случае, когда Dj ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0.
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, и пусть Dj ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0. Тогда
для любого a > 0 существует b > 0, такое, что в области
Q(a, b) ≡ C\ {λ : Re λ 6 −a} ∪ {λ : −a 6 Re λ 6 M0 , | Im λ| 6 b}
оператор-функция L−1 (λ) существует, является голоморфной и удовлетворяет неравенству (17).
Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 2 и пусть Dj = 0, j = 1, 2, . . . , n, Q(t) ≡ 0,
а операторы Bj могут быть представлены в виде Bj = Cj A−θj (j = 1, 2, . . . , n), где Cj —
ограниченные операторы в пространстве H, θj ∈ (0, 1], K(s) = K1 (s)A−θ0 , где θ0 ∈ (0, 1], и
оператор-функция K1 (s) принимает значения в кольце ограниченных операторов в пространстве H и интегрируема по Бохнеру на интервале (0, h). Тогда существует константа N0 > 0,
такая, что в области
Φ(N0 ) ≡ C\ {λ : |λ| 6 N0 } ∪ {λ : Re λ < 0, | Im λ| 6 N0 exp(−q Re λ)} ,
где
hj h
,
q = max max ,
j=1,n θj θ0
оператор-функция L−1 (λ) существует, голоморфна и удовлетворяет неравенству (17).
Замечание 7. Если выполнены условия леммы 3, то утверждение леммы 1 справедливо для
любой постоянной M0 > max λq , где λq — характеристические числа оператор-функции L(λ).
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
75
Работы [4, 6, 9, 10] посвящены изучению частного случая задачи (1), (2), для автономных уравнений (1) с f0 (t) ≡ 0.
Предположим, что B0 (t) ≡ B0 , Bj (t) ≡ Bj и Dj (t) ≡ Dj , и функции hj (t) ≡ hj (j = 1, 2, . . . , n) не
зависят от t, т. е. B0 , Bj и Dj — ограниченные операторы в пространстве H, оператор-функции K(t)
и Q(t) удовлетворяют условиям леммы 1; hj — числа, такие, что 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h.
Для удобства читателей сформулируем задачу (1◦ ), (2◦ ) при сделанных предположениях:
n X
du
+ Au(t) + B0 CAu(t) +
Bj Au(t − hj ) + Dj u(1) (t − hj ) +
dt
j=1
Zt
+
(1◦◦ )
K(t − s)Au(s) + Q(t − s)u(1) (s) ds = 0,
t ∈ R+ ,
−∞
u
(m)
(t) = ym (t),
t ∈ R− = (−∞, 0),
m = 0, 1;
u(+0) = ϕ0 .
(2◦◦ )
Следующее утверждение может оказаться полезным при изучении спектральных вопросов.
Утверждение 1. Пусть B0 , Bj , Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H и пусть оператор-функции K(t) и Q(t) удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда любое
сильное решение u(t) задачи (1◦◦ ), (2◦◦ ) удовлетворяет неравенствам
1/2
d1 kukW11 (0,h) 6 kϕk21/2 + kF1 (Ay0 )(t) + F2 (y1 )(t)k2L2 (−h,0)
6 d2 kukW21 (0,h)
с постоянными d1 и d2 , не зависящими от ϕ0 , F1 (Ay0 ), F2 (y1 ).
Обозначим через Uα множество сильных решений уравнения (1◦◦ ), таких, что выполняется
включение exp(αt)u(t) ∈ L2 (R+ , H), α ∈ R. По канонической системе собственных и присоединенных векторов xq,j,0 , xq,j,1 , . . . , xq,j,s (j = 1, 2, . . . , pq , s = 0, 1, . . . , rpq ) оператор-функции L(λ)
составим систему элементарных (экспоненциальных) решений уравнения (1◦◦ ):
s
t
ts−1
xq,j,0 +
xq,j,1 + · · · + xq,j,s .
yq,j,s (t) = exp(λq t)
s!
(s − 1)!
Лемма 5. Пусть Dj = 0 (j = 1, 2, . . . , n), Q(t) ≡ 0, Bj (j = 1, 2, . . . , n) — компактные операторы в пространстве H, оператор-функция K(t) принимает значения в кольце компактных
операторов, действующих в пространстве H, и пусть K(t) = 0, t > h. Тогда для любого α > 0
любое сильное решение u(t) задачи (1◦◦ ), (2◦◦ ) может быть представлено в виде
u(t) =
X
pq rpq
X
X
cq,j,s yq,j,s (t) + wα (t),
Re λq >−α j=1 s=0
где вектор-функция wα (t) принадлежит классу Uα , а коэффициенты cq,j,s удовлетворяют
неравенствам
1/2
|cq,j,s | 6 dq kϕ0 k21/2 + kF1 (Ay0 )(t)k2L2 (−h,0)
с постоянными dq , не зависящими от ϕ0 , F1 (Ay0 )(t).
Следствие. Пусть выполняются условия леммы 5 и решение u(t) принадлежит классу Uα .
Тогда существует δ > 0, такое, что u(t) ∈ Uα+δ .
Лемма 6. Пусть B0 , Bj и Dj (j = 1, 2, . . . , n) — ограниченные операторы в пространстве H,
K(t) и Q(t) — оператор-функции, принимающие значения в кольце ограниченных операторов
в пространстве H, такие, что оператор-функции exp(−κt)K(t) и exp(−κt)Q(t) интегрируемы
по Бохнеру на полуоси R+ для некоторого κ > 0. Тогда утверждение теоремы 1 справедливо
для любой постоянной γ0 = M0 , где постоянная M0 определяется в лемме 1.
Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 5 при κ = 0, а оператор-функция
(L(λ)(λI + A)−1 )−1
76
В. В. ВЛАСОВ
ограничена и непрерывна по операторной норме на мнимой оси и удовлетворяет неравенству
sup kL(λ)(λI + A)−1 − Ik < 1.
λ:Re λ>0
Тогда утверждение теоремы 1 выполняется с постоянной γ0 = 0; кроме того, любое решение
задачи при γ = γ0 = 0 и f (t) ∈ L2 (R+ , H) удовлетворяет соотношению
lim ku(t)k1/2 = 0.
t→+∞
Замечание 8. Предлагаемый подход в понимании решений, изучении разрешимости, а также
асимптотического поведения решений, разумеется, не является единственно возможным. В настоящее время имеется множество работ, охватывающих в основном случай конечномерного пространства и содержащих различные подходы к пониманию решений и различные методы решения
и анализа начально-краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Упомянем
лишь монографии и статьи [1, 32, 34, 35, 42, 55], посвященные этой проблеме для случая конечномерного пространства, и работы [39, 47, 48, 54, 59] для уравнений в банаховом пространстве и, в
частности, гильбертовом пространстве.
При изучении разрешимости задачи (1), (2) мы следуем подходу, использованному в [1] в случае
конечномерного пространства.
Заметим, что сформулированные теоремы 1–6 могут быть получены аналогично теореме 1 [2] и
теореме 1 [4]. Незначительное различие появляется в оценках интегральных операторов, фигурирующих в интегральных уравнениях, эквивалентных исходной задаче (1), (2) в смысле разрешимости.
В последние годы появилось значительное число работ, посвященных изучению функциональнодифференциальных уравнений в банаховых пространствах и, в частности, гильбертовых пространствах, в которых рассматриваются главным образом уравнения запаздывающего типа. При этом
нам известно лишь несколько работ, в которых изучаются уравнения нейтрального типа с операторными коэффициентами. Наиболее близкие к предмету нашего изучения результаты получены
в [39, 56, 59].
В известных нам работах (см. [39, 56, 59]), ограничения на коэффициенты Bj (t)A и Dj (t)
(j = 1, 2, . . . , n) при запаздывающих членах являются более жесткими. Так, в большинстве работ
(см., в частности, [39, 59]) авторы предполагают, что коэффициенты при запаздывающих членах
(Bj (t)A и Dj (t)) являются ограниченными операторами. Авторы работ [47, 48, 54] предполагают в
случае уравнений запаздывающего типа (Dj (t) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n), что коэффициенты Bj (t) не
зависят от t.
Заметим, что в [17–20, 28] получены результаты о фредгольмовой разрешимости и свойствах
сильных решений ФДУ n-го порядка, включающих в себя интегро-дифференциальные уравнения,
символами которых являются оператор-функции, представимые в виде пучков операторов n-го
порядка, возмущенных оператор-функциями специального вида (ограниченными или убывающими
на бесконечности). В [18–22] доказаны результаты о кратной минимальности системы корневых
векторов и экспоненциальных решений.
В свою очередь, в [6–10,15,20,21] изложены результаты об асимптотическом поведении сильных
решений ФДУ в гильбертовом пространстве и, в частности, результаты об отсутствии нетривиальных решений, убывающих быстрее любой экспоненты (так называемая задача о малых решениях
или принцип Фрагмена—Линделефа).
Заметим, что много интересных задач для функционально-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях, приведено в монографии Ву [58].
Ряд результатов о корректной разрешимости для функционально-дифференциальных уравнений
нейтрального типа с бесконечным числом запаздываний и интегральными добавками установлены
в [25, 26]. Результаты о корректной разрешимости ФДУ с неограниченными операторными коэффициентами в шкале пространств Соболева с произвольным целым индексом изложены в [29, 30].
В этих работах дополнительно предполагается, что начальные функции и правые части уравнений
удовлетворяют условиям согласования.
Ряд глубоких результатов о разрешимости и свойствах решений эллиптических функциональнодифференциальных уравнений установлено в монографии Скубачевского [55] (там же можно найти
соответствующую библиографию).
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
3.
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
77
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этом разделе изучается асимптотическое поведение решений уравнений следующего вида
n X
m
X
Akj u
(j)
Zh
(t − hk ) +
k=0 j=0
B(s)u(t − s)ds = 0,
t ∈ R+ .
(18)
0
Здесь Akj — матрицы порядка (r × r) с постоянными элементами, действительные числа hj удовлетворяют неравенствам 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, элементы Bij (s) матрицы B(s) принадлежат
пространству L2 ((0, h), C).
Введем матрицу-функцию
L(λ) =
n X
m
X
Zh
j
Akj λ exp(−λhk ) +
k=0 j=0
exp(−λs)B(s)ds,
λ ∈ C,
(19)
0
и функцию l(λ) = det L(λ), часто называемую характеристическим квазиполиномом уравнения (18), через λq обозначим нули функции l(λ), пронумерованные в порядке возрастания их
модулей, учитывая кратности.
Собственные векторы, входящие в каноническую систему собственных и присоединенных (корневых) векторов L(λ), отвечающих числу λq , обозначим через xq,j,0 , их присоединенные порядка s — через xq,j,s (индекс j показывает, каким по счету является вектор xq,j,s в специально
выбранном базисе подпространства решений уравнения L(λq )x = 0).
Введем систему экспоненциальных (элементарных) решений уравнения (18):
s
ts−1
t
xq,j,0 +
xq,j,1 + · · · + xq,j,s .
(20)
yq,j,s (t) = exp(λq t)
s!
(s − 1)!
Обозначим через W2p ((a, b), Cr ) (−∞ < a < b 6 +∞), p = 1, 2, . . . пространства Соболева функций
со значениями в Cr , снабженные нормами
 b
 21
Z X
p
kvkW2p (a,b) ≡ 
kv (j) (t)k2Cr dt .
j=0
a
p
((a, b), Cr ) — пространство функций со знаНаряду с пространством W2p ((a, b), Cr ) введем W2,γ
r
чениями в C , снабженное нормой
 21
 b
Z
p
X
 e−2γt
p
kvkW2,γ
kv (j) (t)k2Cr dt , γ ∈ R.
(a,b) ≡
a
j=0
Для уравнения (18) зададим следующие начальные условия
u(t) = y(t),
t ∈ [−h, 0],
y(t) ∈ W2m ((−h, 0), Cr ).
(21)
m ((−h, +∞), Cr ) при
Определение 3. Вектор-функцию u(t), принадлежащую пространству W2,γ
некотором γ ∈ R, назовем сильным решением задачи (18), (21), если она удовлетворяет уравнению (18) при почти всех R+ , а также условию (21).
Сформулируем вначале результат о существовании и единственности сильных решений задачи (18), (21).
Лемма 8. Предположим, что det A0m 6= 0. Тогда существует такое γ0 > 0, что при всех
m ((−h, +∞), Cr ) для любой
γ > γ0 задача (18), (21) имеет единственное сильное решение u ∈ W2,γ
начальной функции y(t) ∈ W2m ((−h, 0), Cr ), и это решение удовлетворяет неравенству
m ((−h,+∞),Cr ) 6 dkykW m ((−h,0),Cr )
kukW2,γ
2
с постоянной d, не зависящей от y(t).
(22)
78
В. В. ВЛАСОВ
Лемма 8 является следствием более общих результатов о корректной разрешимости (см. [2,4,25])
Принимая во внимание лемму 8, введем (аналогично [35]) полугруппу Ut (t > 0) ограниченных
операторов, действующих в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ) согласно правилу
−h 6 s 6 0,
(Ut y)(s) = u(t + s),
t > 0,
где u(t) — решение задачи (18), (21), отвечающее начальной функции y(s).
В следующей теореме приводится описание генератора полугруппы Ut .
Теорема 7. Пусть det A0m 6= 0. Тогда семейство операторов Ut образует C 0 -полугруппу в
пространстве W2m ((−h, 0), Cr ) с генератором D, определяемым следующим образом
(Dϕ)(s) =
dϕ
(s),
ds
s ∈ (−h, 0),
Zh
n X
m
X
m+1
r
(j)
Dom D = ϕ ∈ W2 ((−h, 0), C ),
Akj ϕ (−hk ) + B(s)ϕ(−s) ds = 0 .
k=0 j=0
(23)
0
Предложение 1. Пусть det A0m 6= 0. Тогда спектр оператора D совпадает с множеством Λ
нулей λq функции l(λ), экспоненциальные решения yq,j,s (t) (см. (20)) являются его корневыми
векторами и образуют минимальную систему в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ).
В следующей теореме приведен результат о полноте системы экспоненциальных решений.
Теорема 8. Предположим, что det A0m 6= 0, det Anm 6= 0. Тогда система экспоненциальных
решений {yq,j,s (t)} полна в пространстве W2m ((−h, 0), Cr ).
В следующем предложении указывается локализация спектра оператора D.
Предложение 2. Пусть det A0m 6= 0, det Anm 6= 0. Тогда существуют постоянные α и β,
такие, что множество Λ лежит в полосе {λ : α < Re λ < β}.
Обозначим через Vλq подпространство экспоненциальных решений yq,j,s (t), соответствующих λq ,
через νq — кратность λq и положим κ = sup Re λq , N = max νq .
λq ∈Λ
λq ∈Λ
Перейдем к формулировке основных результатов о поведении сильных решений задачи (18), (21).
Теорема 9. Пусть det A0m 6= 0, det Anm 6= 0 и множество Λ отделимо:
inf (dist(λp , λq )) > 0.
λp 6=λq
Тогда любое сильное решение u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству
kukW2m (t−h,t) ≡ k(Ut y)(s)kW2m (−h,0) 6 d(t + 1)N −1 exp(κt)kykW2m (−h,0) ,
t>0
(24)
с постоянной d, не зависящей от y(t).
Доказательство теоремы опирается на следующий результат.
Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда система подпространств Vλq
(λq ∈ Λ) образует базис Рисса из подпространств пространства W2m ((−h, 0), Cr ).
Пусть Bp (λq ) — круг радиуса ρ с центром в точке λq . Введем область
[
Gρ (Λ) ≡ C\
Bρ (λq ).
λq ∈Λ
Утверждение 2. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда существует система замкнутых
контуров
Γn = {λ : Re λ = β, cn 6 Im λ 6 cn+1 } ∪ ln ∪ {λ : Re λ = α, cn 6 Im λ 6 cn+1 } ∪ ln+1 ,
n ∈ Z,
целиком принадлежащая области Gρ при некотором достаточно малом ρ > 0. При этом
выполняются следующие условия.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
79
(i) Последовательность вещественных чисел {cn } (n ∈ Z) такова, что
0 < δ 6 cn+1 − cn 6 ∆ < +∞;
кусочно-гладкие кривые ln , соединяющие точки
(Re λ = β, Im λ = cn ) и (Re λ = α, Im λ = cn )
не пересекаются и их длины d(ln ) равномерно ограничены по n (здесь δ и ∆ — некоторые
положительные постоянные).
(ii) Количество N (Γn ) нулей λq (с учетом кратности), лежащих в областях, ограниченных
контурами Γn , равномерно ограничено по n:
max N (Γn ) 6 M < +∞.
n∈Z
(iii) Существует постоянная c, такая, что
sup |λ|m kL−1 (λ)k 6 c.
λ∈Γn
Обозначим через {Pn } семейство риссовских спектральных проекторов оператора D, соответствующих контурам Γn :
Z
1
(Pn f ) = −
R(λ, D)f dλ, n ∈ Z;
2πi
Γn
при этом предполагается, что контуры Γn обходятся против часовой стрелки.
Следующие теоремы 11 и 12 обобщают теоремы 9 и 10.
Теорема 11. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда существует система контуров Γn
(n ∈ Z), удовлетворяющая условиям (i)–(iii) утверждения 2, такая, что соответствующая
система подпространств Wn = Pn W2m ((−h, 0), Cr ) образует базис Рисса из подпространств
W2m ((−h, 0), Cr ).
На основе теоремы 11 может быть получена
Теорема 12. Пусть det A0m 6= 0 и det Anm 6= 0. Тогда любое сильное решение u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству
kukW2m ((t−h,t),Cr ) 6 d1 (t + 1)M −1 eκt kykW2m ((−h,0),Cr ) ,
t > 0,
(25)
с постоянной M , определяемой в (ii) утверждения 2 и постоянной d1 , не зависящей от y(t).
Следующая теорема обобщает теорему 9 в случае B(s) ≡ 0.
Теорема 13. Пусть A0m 6= 0,
inf (dist(λp , λq )) > 0, B(s) ≡ 0. Тогда любое сильное реше-
λp 6=λq
ние u(t) задачи (18), (21) удовлетворяет неравенству (24).
Заметим, что неравенство (24) справедливо и для известного примера Громовой и Зверкина (см. [31] и замечания в монографии Хейла [35]). В указанном примере m = 1, n = 1,
A10 = −A11 = 1, A00 = A01 = a = const > 0, N = 1, κ = 0. Кроме того, если ввести норму
 0
 12
Z
kuk∗W 1 (−h,0) = 
|u(1) (s)|2 + a2 |u(s)|2 ds + a |u(0)|2 + |u(−h)|2  ,
2
−h
эквивалентную традиционной норме в пространстве Соболева W21 ((−h, 0), C), то элементарные
решения eλq t будут ортогональны в смысле скалярного произведения h·, ·i∗W 1 , порожденного нор2
мой k · k∗W 1 (−h,0) .
2
Наряду с теоремами 9, 10 сформулируем результаты об асимптотическом поведении сильных
решений скалярных дифференциально-разностных уравнений m-го дифференциального порядка.
80
В. В. ВЛАСОВ
p
Обозначим через W2,γ
((a, b), C) весовые пространства Соболева комплекснозначных функций с
нормой
 b
 21
X
Z
p
 exp(−2γt)
p
kukW2,γ
|u(j) (t)|2 dt , γ ∈ R.
(a,b) =
j=0
a
Рассмотрим следующую начальную задачу
m X
n
X
akj u
(j)
Zh
(t − hk ) +
j=0 k=0
a(s)u(t − s)ds = 0,
t ∈ R+ ;
(26)
0
u(t) = y(t),
t ∈ [−h, 0].
(27)
Здесь akj — комплексные коэффициенты, действительные числа hj удовлетворяют неравенствам
0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, функция b(s) ∈ L2 ((0, h), C).
p
Обозначим через W2,v
(−h, 0) подпространство функций пространства W2p (−h, 0) при p > 2,
удовлетворяющих следующим условиям согласования
n X
n
X
akj u
(j+l)
Zh
(−hk ) +
j=0 k=0
b(s)u(l) (−s)ds = 0,
l = 0, 1, . . . , p − 2.
0
Определение 4. Назовем комплекснозначную функцию u(t), принадлежащую пространству
p
W2,γ
((−h, +∞), C) для некоторых γ > 0, p > m, решением задачи (26), (27), если u(t) удовлетворяет уравнению (26) почти всюду на полуоси R+ и начальным условиям (27).
Обозначим через νq кратности нулей λq функции
l(λ) =
m X
n
X
Zh
j
akj λ exp(−λhk ) +
j=0 k=0
b(s)e−λs ds.
(28)
0
Теорема 14. Предположим, что a0m 6= 0, anm 6= 0, множество Λ всех нулей λq функции l(λ)
p
(−h, 0). Тогда решение u(t)
отделимо (т. е. inf dist(λq , λp ) > 0) и начальная функция y ∈ W2,v
λp 6=λq
задачи (26), (27) удовлетворяет неравенству
kukW2p (t−h,t) 6 d(t + 1)N −1 exp(κt)kykW2p (−h,0) ,
t > 0,
(29)
с постоянной d, не зависящей от y(t), где N = max νq , κ = sup Re λq .
λq ∈Λ
λq ∈Λ
Теорема 14 опирается на следующий результат.
Теорема 15. Предположим, что выполнены условия теоремы 14. Тогда система функций
vq,m =
tr exp(λq t)
,
(|λq |p + 1)
λq ∈ Λ,
r = 0, 1, . . . , νq − 1,
(30)
p
образует базис Рисса в пространстве W2,v
(−h, 0).
Замечание 9. Неравенство anm 6= 0 существенно для базисности Рисса системы функций vq,m .
Действительно, нетрудно проверить, что для дифференциально-разностного уравнения
du
+ au(t) + bu(t − h) = 0
dt
система экспоненциальных решений yq (t) = aq eλq t (kyq (t)kW2p (−h,0) = 1) не является равномерно
минимальной.
В этом можно убедиться, вычислив скалярное произведение hyq+1 (t), y q (t)iW2p (−h,0) . Используя
известную асимптотику нулей λq квазиполинома
l(λ) = λ + a + be−λh ,
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
81
можно проверить, что
hyq+1 (t), y q (t)iW2p (−h,0) → 1
(q → +∞).
(31)
Соотношение (31) противоречит равномерной минимальности системы {yq (t)}λq ∈Λ , а следовательно, и ее базисности Рисса.
Замечание 10. Критический и сверхкритический случаи реализуются для квазиполиномов вида (28), когда
|a0m | = |anm |
(подробнее см. [31, 37]).
Замечание 11. Известно, что в случае k(s) ≡ 0 постоянная N = max νq удовлетворяет следуюλq ∈Λ
щему неравенству:
N 6 m(n + 1) − 1.
Отметим, что одни из первых результатов о геометрических свойствах системы элементарных
решений уравнения (26) были получен Левинсоном и МакКалла в 1974 году в работе [49]. В [49]
была доказана полнота и минимальность системы экспоненциальных решений для уравнения запаздывающего типа первого порядка.
Обобщение этого результата для уравнений запаздывающего типа (Dj ≡ 0, j = 1, . . . , n) с матричными коэффициентами было получено Дельфуром и Манитиусом в [40, 41]. В свою очередь,
наиболее общие результаты о полноте экспоненциальных автономных ФДУ были установлены Лунелом в [50–52]. Заметим, что в [50–52] Лунел также рассмотрел задачу о так называемых «малых
решениях», которая тесно связана с задачей о полноте системы экспоненциальных решений.
Задача о малых решениях также была исследована Хейлом [35], Хенри [44], Каппелем [46] для
дифференциально-разностных уравнений в конечномерном пространстве H = Rm (H = Cm ).
Результаты о минимальности системы элементарных решений, а также в задаче о малых решениях (принцип Фрагмена—Линделефа) для ФДУ в гильбертовом пространстве были получены
автором в [6–9, 15].
В работах [6–10] также приведены результаты о спектральных свойствах оператор-функций
(пучков операторов), которые являются символами (аналогами характеристических квазиполиномов) автономных ФДУ с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве (см. [6–9]).
При ином понимании решений базисность систем экспоненциальных
решений для уравнений,
L
близких уравнению (18), в пространстве L2 ((−h, 0), Cr ) Cr при m = 1 в предположении отделимости множества Λ рассматривалась в [53].
Отметим, что изучение базисности Рисса экспоненциальных решений тесно связано с исследованием задач со спектральным параметром в граничных условиях, а также многоточечных спектральных задач. Наиболее близкой и завершенной в этом направлении работой является [36] (там
же см. соответствующую библиографию).
Более полное описание результатов о базисности Рисса экспоненциальных решений и получении
неулучшаемых оценок сильных решений, сформулированных в этой статье, см. в [3–5, 10–12, 14,
23, 24, 27, 57].
Уместно подчеркнуть, что результаты о базисности Рисса систем экспоненциальных решений в
случае пространств Соболева с произвольным индексом s > m, s 6= l + 1/2, l = m, m + 1, . . . для
уравнения вида (26) без условия отделимости множества Λ были получены в недавней работе [26].
В приведенной работе установлены неулучшаемые оценки решений задачи (26), (27) в случае
пространств Соболева с произвольным индексом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991
2. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в
гильбертовом пространстве// Мат. сб. — 1995. — 186, № 8.— С. 67–92
3. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве// Докл. РАН. — 1995. — 345, № 6. — С. 733–736
82
В. В. ВЛАСОВ
4. Власов В. В. Корректная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1996. — № 1. — С. 22–35
5. Власов В. В. Некоторые свойства системы элементарных решений дифференциально-разностных уравнений// Усп. мат. наук. — 1996. — 51, № 1. — С. 143–144
6. Власов В. В. О поведении решений некоторых функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1993. — № 1. — С. 3–10.
7. Власов В. В. О свойствах решений одного класса дифференциально-разностных уравнений и некоторых
спектральных вопросах// Усп. мат. наук. — 1992. — 47, № 5. — С. 173–174
8. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве и
некоторых спектральных вопросах// Докл. РАН. — 1992. – 327, № 4–6. — С. 428–432
9. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1993. — № 5. — С. 24–35
10. Власов В. В. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и связанные
с ними вопросы спектральной теории операторов// Физтех ж. — 1997. — 3, № 4. — С. 18–39
11. Власов В. В. Некоторые свойства сильных и экспоненциальных решений дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа// Докл. РАН. — 1999. — 364, № 5. — С. 583–585
12. Власов В. В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв. вузов,
сер. мат. — 1999. — № 2. — С. 20–29
13. Власов В. В. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с запаздывающим коэффициентом в гильбертовом пространстве// Мат. заметки. — 1997. — 62, № 5. — С. 782–786
14. Власов В. В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных
уравнений// Усп. мат. наук. — 1998. — 53, № 4. — С. 217–218
15. Власов В. В. О поведении решений некоторых дифференциально-разностных уравнений с операторными
коэффициентами// Изв. вузов, сер. мат. — 1992. — № 8. — C. 80–83
16. Власов В. В. О разрешимости одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве// Изв. вузов, сер. мат. — 1994. — № 6. — С. 28–38
17. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Усп. мат. наук. — 1994. — 49, № 3. — С. 175–176
18. Власов В. В. О разрешимости краевых задач для одного класса интегродифференциальных уравнений
на полуоси// Дифф. ур-я. — 1989. — 25, № 9. — С. 1589–1599
19. Власов В. В. О некоторых краевых задачах на полуоси для одного класса интегродифференциальных
уравнений// Дифф. ур-я. — 1989. — 25, № 10. — C. 1784–1787
20. Власов В. В. О кратной минимальности части системы корневых векторов некоторых операторфункций// Докл. АН СССР. — 1990. — 41, № 1. — С. 45–49
21. Власов В. В. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений и некоторых
спектральных вопросах// Докл. РАН. — 1991. — 319, № 1. — C. 22–26
22. Власов В. В. О поведении решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений на
полуоси и некоторых спектральных вопросах// Изв. вузов, сер. мат. — 1992. — № 12. — C. 11–20
23. Власов В. В. Об оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв.
вузов, сер. мат. — 2000. — № 4. — С. 14–22
24. Власов В. В. О базисности экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений
в пространствах Соболева// Докл. РАН. — 2001. — 381, № 5. — С. 302–304
25. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в
пространствах Соболева// Тр. МИАН. — 1999. — 227. — С. 109–121
26. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и
базис из разделенных разностей// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 2. — С. 303–306
27. Власов В. В., Иванов С. А. Базисность и оценки решений уравнений с последействием в шкале пространств Соболева// Усп. мат. наук. — 2001. — 56, № 3. — С. 151–152
28. Власов В. В., Малыгина В. В. О корректной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с
последействием в гильбертовых пространствах// Дифф. ур-я. — 1992. — 28, № 5. — С. 901–903
29. Власов В. В., Сакбаев В. Ж. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых
дифференциально-разностных уравнений// Дифф. ур-я. — 2001. — 37, № 9. — С. 1252–1260
30. Власов В. В., Сакбаев В. Ж. О корректной разрешимости некоторых дифференциально-разностных
уравнений в пространствах Соболева// Мат. заметки. — 2000. — 68, № 6. — С. 794–797
31. Громова С. Г., Зверкин А. М. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная
неограниченная на числовой оси функция — решение уравнения с отклоняющимся аргументом// Дифф.
ур-я. — 1968. — 4, № 10. – С. 1774–1784
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
83
32. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981
33. Лионс Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971
34. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука,
1972
35. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984
36. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в
граничных условиях// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1983. — № 9. — С. 190–229
37. Эльсгольц Е. Л., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом и их приложения. — М.: Наука, 1971
38. Brumley W. E. On the asymptotic behavior of solutions of differential-difference equations of neutral type//
J. Differ. Equations. — 1970. — 7. — С. 175–188
39. Datko R. Representation of solutions and stability of linear differential-difference equations in a Banach
space// J. Differ. Equations. — 1978. — 29, № 1. — С. 105–166
40. Delfour M. C., Manitius A. The structural operator F and its role in the theory of retarded systems, Part I//
J. Math. Anal. Appl. — 1980. — 73. — С. 466–490
41. Delfour M. C., Manitius A. The structural operator F and its role in the theory of retarded systems, Part II//
J. Math. Anal. Appl. — 1980. — 74. — С. 359–381
42. Diekman O., van Gils S. A., Lunel S. M. V., Walther H. O. Delay equations: functional, complex and
nonlinear analysis. — New York: Springer-Verlag, 1995
43. Hahn W. Über Differential-Differenzegleichungen mit anomalen Zosungun// Math. Ann. — 1957. — 133,
№ 3. — С. 251–255
44. Henry D. Small solutions of linear autonomous functional differential equations// J. Differ. Equations. —
1970. — 8. — С. 494–501
45. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1966
46. Kappel F. Laplace-transform methods and linear autonomous functional-differential equations// Ber. Math.
Stat. Forshungsszentrum Graz. — 1976. — 64
47. Kappel F., Kunisch K. Invariance results for delay and Volterra equations in fractional order Sobolev spaces//
Trans. Am. Math. Soc. — 1987. — 304, № 1. — С. 1–57
48. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate
C0 -semigroup// J. Differ. Equations. — 1983. — 50. — С. 49–79
49. Levinson N., McCalla C. Completeness and independence of the exponential solutions of some functional
differential equations// Stud. Appl. Math. — 1974. — 53. — С. 1–15
50. Lunel S. M. V. Series expansions and small solutions for Volterra equations of convolutions type// J. Differ.
Equations. — 1990. — 85. — С. 17–53
51. Lunel S. M. V. The closure of the generalized eigenspace of a class of infinitesimal generators// Proc.
R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. — 1991. — 117A. — С. 171–192
52. Lunel S. M. V. Small solutions and completeness for linear functional differential equations// Contemp.
Math. — 1992. — 129. — С. 127–152
53. Lunel S. M. V., Yakubovich D. A functional model approach to linear neutral functional differential
equations// Integral Equations Oper. Theory. — 1997. — 27. — С. 347–378
54. Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach space// Osaka J. Math. —
1988. — 25. — С. 353–398
55. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel–Boston–Berlin:
Birkhauser, 1997
56. Staffans O. J. Some well-posed functional equations which generate semigroups// J. Differ. Equations. —
1985. — 58, № 2. — С. 157–191
57. Vlasov V. V. On spectral problems arising in the theory of functional differential equations// Funct. Differ.
Equ. — 2001. — 8, № 3–4. — C. 435–446
58. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. — 1996. — 119
59. Wu J. Semigroup and integral form on class of partial differential equations with infinite delay// Differ.
Integral Equ. — 1991. — 4. — С. 1325–1351
Виктор Валентинович Власов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,
механико-математический факультет,
Москва, 117234, Россия
E-mail: vlasov@math.mipt.ru