Санкт-Петербургский турнир матбоёв. Шестой класс. Первый

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé òóðíèð ìàòáî¼â.
Øåñòîé êëàññ. Ïåðâûé òóð. 31 îêòÿáðÿ 2010 ãîäà.
1. Íà (òî÷íî èäóùèõ) ÷àñàõ Êîñòè èìååòñÿ âñåãî îäíà ñòðåëêà ÷àñîâàÿ.  äàííûé ìîìåíò îíà ïîêàçûâàåò
òî÷íî íà îòìåòêó "22 ìèíóòû". Êóäà ïîêàçûâàåò ìèíóòíàÿ ñòðåëêà? [Ó Êîñòèíûõ ÷àñîâ ñòàíäàðòíûé 12-÷àñîâîé
öèôåðáëàò]
Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì ïðîïîðöèþ 22 ìèíóòû / 60 ìèíóò = òåêóùåå âðåìÿ / 12 ÷àñîâ Èç íå¼ âèäíî, ÷òî òåêóùåå
âðåìÿ - 4 ÷àñà 24 ìèíóòû.
2. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî N èìååò ðîâíî 8 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé. Äâà èç íèõ 10 è 14. Íàéäèòå
N.
Îòâåò: 70. Ðåøåíèå. N äåëèòñÿ íà 2, 5 è 7, ïîýòîìó åãî äåëèòåëÿìè òî÷íî äîëæíû ÿâëÿòüñÿ ÷èñëà 1,2,5,7,10,14,35
è 70. Ýòî óæå 8. Êðîìå òîãî, åãî (íàèáîëüøèì) äåëèòåëåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî N. åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî N>70,
ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå ñ ÷èñëîì äåëèòåëåé. Ïîýòîìó N=70.
3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ xn + y n = z n , ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, z 6= 0.
Äîêàæèòå, ÷òî (xy/z 2 )n ≤ 14 .
Ðåøåíèå: a + b = c, (ab/c2 ) < 1/4 ðàñêðîåì ñêîáêè
4. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü øàõìàòíûõ êîíåé íà áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé äîñêå, ÷òîáû ëþáûå äâå ñîñåäíèå
êëåòêè íàõîäèëèñü ïîä áîåì ðàçëè÷íîãî ÷èñëà êîíåé? (Ñîñåäíèìè íàçûâàþòñÿ êëåòêè, èìåþùèå îäíó èëè äâå
îáùèõ âåðøèíû. Êîíü áü¼ò êëåòêó, íà êîòîðîé ñòîèò)
−knight
Ðèñ.1.Ïðèìåð
âñå ïðîñòûå ÷èñëà p, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò öåëûå x, y , óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå óðàâíåíèé
½ 5. Íàéäèòå
p + 1 = 2x2
p2 + 1 = 2y 2 .
Ðåøåíèå: î÷åâèäíî, p > 2, x < y < p, x + y < 2p. 2(x − y)(x + y) = 2y 2 − 2x2 = p(p − 1). Çíà÷èò, x + y äåëèòñÿ íà
p, çíà÷èò x + y = p, 2(x − y) = p − 1. x, y âûðàæàþòñÿ ÷åðåç p, ïîäñòàâëÿåì â p + 1 = 2x2 , ïîëó÷àåòñÿ êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå íà p, ðåøàåì. p = 7.
6. Ó ëþáîãî ñîòðóäíèêà íåêîòîðîé êîìïàíèè, ñîñòîÿùåé èç n ÷åëîâåê (n > 1), åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäèí
çíàêîìûé ñîòðóäíèê. Äîêàæèòå, ÷òî âñåõ ñîòðóäíèêîâ ýòîé êîìïàíèè ìîæíî ðàçáèòü íà ãðóïïû íå ìåíåå, ÷åì
èç äâóõ ÷åëîâåê, â êàæäîé èç êîòîðûõ íàéä¼òñÿ ÷åëîâåê, çíàêîìûé ñî âñåìè îñòàëüíûìè èç ýòîé ãðóïïû.
Ðåøåíèå: íàïðèìåð, âîçüì¼ì îñòîâíîå äåðåâî..
7. Íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû N ïðÿìûõ. Íåêîòîðûå èç íèõ (íå ìåíåå îäíîé) ïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî ñ ïÿòüþ
äðóãèìè ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè, à îñòàëüíûå (íå ìåíåå îäíîé) ðîâíî ñ ñåìüþ. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå
ìîæåò ïðèíèìàòü N .
Ðåøåíèå: 7<>5, çíà÷èò, åñòü ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå(3,4,5,6,7).  êàæäîì ñëó÷àå óâèäåòü, ÷òî ïðÿìûõ íå î÷åíü
ìíîãî. âèäíî, ÷òî ðåàëèçóþòñÿ ñëó÷àè 3 (8 ïðÿìûõ âñåãî) è 7 (12 ïðÿìûõ âñåãî)
8. 8 øêîëüíèêîâ ðåøàëè 8 çàäà÷. Êàæäóþ çàäà÷ó ðåøèëè íå ìåíüøå 5 øêîëüíèêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî
âûáðàòü äâóõ øêîëüíèêîâ, êîòîðûå â îáúåäèíåíèè ðåøèëè âñå çàäà÷è.
Ðåøåíèå: áóäåì ðèñîâàòü îòñóòñòâóþùèå ð¼áðà. Íàì íóæíî äâà øêîëüíèêà, èç êîòîðûõ íåò ð¼áåð â îäíó è
òó æå çàäà÷ó. íàðèñóåì òðè ðåáðà èç ïåðâîãî (â ïåðâóþ âòîðóþ òðåòüþ çàäà÷è). Èç âòîðîãî è òðåòüåãî ðåáðî â
ïåðâóþ, èç ÷åòâ¼ðòîãî è ïÿòîãî âî âòîðóþ, øåñòîãî è ñåäüìîãî â òðåòüþ. Âîñüìîé ñ ïåðâûì îáðàçóþò íóæíóþ
ïàðó
Ñåäüìîé êëàññ. Ïåðâûé òóð. 31 îêòÿáðÿ 2010 ãîäà.
1. Êàæäàÿ èç òî÷åê G è H , ëåæàùèõ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïëîñêîñòè øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF , ñîåäèíåíà
ñî âñåìè âåðøèíàìè øåñòèóãîëüíèêà. Ìîæíî ëè ðàññòàâèòü íà ïî ïîëó÷èâøèõñÿ 18 îòðåçêàõ ÷èñëà 1, 2, . . . , 18,
à â òî÷êàõ A, B , C , D, E , F , G, H íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà òàê, ÷òîáû íà êàæäîì îòðåçêå áûëî íàïèñàíî
÷èñëî, ðàâíîå ðàçíîñòè ÷èñåë, íàïèñàííûõ â åãî âåðøèíàõ?
2. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíî 1968 òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî 1968-óãîëüíèêà. Äâîå èãðàþùèõ
ïî î÷åðåäè ñîåäèíÿþò äâå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà îòðåçêîì, ñîáëþäàÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà: íåëüçÿ ñîåäèíÿòü
äâå òî÷êè, õîòÿ áû îäíà èç êîòîðûõ óæå ñîåäèíåíà ñ äðóãîé, è íåëüçÿ ïåðåñåêàòü óæå ïðîâåä¼ííûå îòðåçêè.
Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü î÷åðåäíîãî õîäà ñîãëàñíî ýòèì ïðàâèëàì. Êàê íóæíî èãðàòü, ÷òîáû
âûèãðàòü? Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
Ðåøåíèå: ïðîâåä¼ì ñðåäèííóþ äèàãîíàëü, à äàëüøå áóäåì ïî ñèììåòðèè
1
3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ xn + y n = z n , ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, z 6= 0.
Äîêàæèòå, ÷òî (xy/z 2 )n ≤ 14 .
4. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü øàõìàòíûõ êîíåé íà áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé äîñêå, ÷òîáû ëþáûå äâå ñîñåäíèå
êëåòêè íàõîäèëèñü ïîä áîåì ðàçëè÷íîãî ÷èñëà êîíåé? (Ñîñåäíèìè íàçûâàþòñÿ êëåòêè, èìåþùèå îäíó èëè äâå
îáùèõ âåðøèíû. Êîíü áü¼ò êëåòêó, íà êîòîðîé ñòîèò)
âñå ïðîñòûå ÷èñëà p, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò öåëûå x, y , óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå óðàâíåíèé
½ 5. Íàéäèòå
p + 1 = 2x2
p2 + 1 = 2y 2 .
6. Ó ëþáîãî ñîòðóäíèêà íåêîòîðîé êîìïàíèè, ñîñòîÿùåé èç n ÷åëîâåê (n > 1), åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäèí
çíàêîìûé ñîòðóäíèê. Äîêàæèòå, ÷òî âñåõ ñîòðóäíèêîâ ýòîé êîìïàíèè ìîæíî ðàçáèòü íà ãðóïïû íå ìåíåå, ÷åì
èç äâóõ ÷åëîâåê, â êàæäîé èç êîòîðûõ íàéä¼òñÿ ÷åëîâåê, çíàêîìûé ñî âñåìè îñòàëüíûìè èç ýòîé ãðóïïû.
7. Íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû N ïðÿìûõ. Íåêîòîðûå èç íèõ (íå ìåíåå îäíîé) ïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî ñ ïÿòüþ
äðóãèìè ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè, à îñòàëüíûå (íå ìåíåå îäíîé) ðîâíî ñ ñåìüþ. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå
ìîæåò ïðèíèìàòü N .
8. 8 øêîëüíèêîâ ðåøàëè 8 çàäà÷. Êàæäóþ çàäà÷ó ðåøèëè íå ìåíüøå 5 øêîëüíèêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî
âûáðàòü äâóõ øêîëüíèêîâ, êîòîðûå â îáúåäèíåíèè ðåøèëè âñå çàäà÷è.
2