Матем анализ (часть1) - Высшая школа экономики

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
ПЕРМСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ЧАСТЬ 1)
Методическое пособие
Составил: ст. преподаватель
Морозова Алена Витальевна
Пермь, 2008
1
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМА 1. Комплексные числа.
ТЕМА 2. Числовая последовательность
ТЕМА 3. Предел числовой последовательности
ТЕМА 4. Функция одного переменного и ее свойства
ТЕМА 5. Предел функции одного переменного
ТЕМА 6. Непрерывность функции и точки разрыва
ТЕМА 7. Асимптоты графика функции
ТЕМА 8. Определение производной
ТЕМА 9. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
ТЕМА 10. Геометрические и механические приложения производной
ТЕМА 11. Дифференциал функции
ТЕМА 12. Правило Лопиталя
ТЕМА 13. Интервалы монотонности и экстремумы функции
ТЕМА 14. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
ТЕМА 15. Исследование функций и построение их графиков
2
ТЕМА 1. Комплексные числа
1.
Комплексным числом называется выражение вида z  x  iy , где x и y –
действительные числа, i – мнимая единица ( 1  i , i 2  1 ).
2.
Два комплексных числа z1  x1  iy1 и z 2  x2  iy 2 равны, если x1  x2 ; y1  y2 .
z=0, если x=0, y=0.
3.
Арифметические операции над комплексными числами.
1) Сложение (вычитание): z1  z 2  x1  x2  i( y1  y2 ) .
2) Умножение: z1 z 2  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ) .
3) Деление:
z1
x  iy1 ( x1 x2  y1 y 2 )  i( x2 y1  x1 y 2 )
.
 1

z 2 x2  iy 2
x22  y 22
Замечание: Все арифметические операции над комплексными числами проводятся
по правилам действий над многочленами.
4. Тригонометрическая форма комплексного числа z  r (cos   i sin  ) , где
r | z |
x 2  y 2 - модуль комплексного числа;
φ – аргумент комплексного числа (Arg z) : cos  
x
x2  y2
, sin  
y
x2  y2
.
arg z – главное значение аргумента ( 0 ≤ arg z < 2π ).
5. Арифметические операции над комплексными числами в
тригонометрической форме.
1) Умножение:
z1 z 2  r1 (cos 1  i sin 1 )  r2 (cos  2  i sin  2 )  r1r2 [cos(1   2 )  i sin( 1   2 )] .
2) Деление:
z1
r (cos 1  i sin 1 ) r1
 1
 [cos(1   2 )  i sin( 1   2 )] .
z 2 r2 (cos  2  i sin  2 ) r2
3) Возведение в степень. Формула Муавра:
z n   r (cos   i sin  )   r n  cos n  i sin n  , где n – целое число.
n
6. Извлечение корня:
n
  2 k
  2 k 

z  n r (cos   i sin  )  n r  cos
 i sin
,
n
n


где k=0, 1, 2, …,n-1.
i
7. Показательная форма комплексного числа: z  re , где r  z ,   Argz .
8. Формула Эйлера: e
i
 cos   i sin  .
3
ТЕМА 2. Числовая последовательность
1.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в
соответствие определенное число
последовательность
an  ,
an , то говорят, что задана числовая
где числа a1 , a2 , a3 ,... называют членами или
элементами числовой последовательности, элемент
an - общим видом
элементов числовой последовательности, n – номером элемента числовой
последовательности.
2.
Числовая
последовательность
an 
называется
арифметической
прогрессией, если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
определенное число an по закону
an  a1  d   n  1 , где a1 - первый элемент
арифметической прогрессии, d – разность арифметической прогрессии.
3.
Сумма
Sn 
4.
первых
n
элементов
арифметической
прогрессии
равна
a1  an
n.
2
Числовая последовательность
bn  называется геометрической прогрессией,
если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное
число bn по закону bn  b1  q
n 1
, где b1 - первый элемент геометрической
прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии.
5.
Сумма
Sn 
6.
первых
n
элементов
геометрической
прогрессии
равна
b1  1  q n 
1 q
.
Если в геометрической прогрессии
q  1 , то прогрессия называется
бесконечно убывающей геометрической прогрессией и ее сумма равна
S
b1
.
1 q
4
ТЕМА 3. Предел числовой последовательности
1. Число а называется пределом числовой последовательности an  при n   ,
если для любого   0 найдется номер N   , что для всех номеров n  N   будет
an  a .
выполнятся неравенство an  a   , т.е. lim
n 
2. Числовая последовательность
an 
называется бесконечно малой, если
lim an  0 .
n 
3. Числовая последовательность
an 
называется бесконечно большой, если
lim an   .
n 
4. Свойства бесконечно малых числовых последовательностей. Если
bn  –
an  и
бесконечно малые числовые последовательности, то будут бесконечно
малыми числовыми последовательностями an  bn  , an  bn  ,   an  , где  –
постоянная; an  bn  .
5. Свойства бесконечно больших числовых последовательностей. Если
bn  –
an  и
бесконечно большие числовые последовательности, то будут бесконечно
большими числовыми последовательностями
an  bn  ,   an  ,
где 
–
постоянная; an  bn  .
6. Если
an 
бесконечно малая числовая последовательность, то числовая
1
 является бесконечно большой, и обратно, если
 an 
последовательность 
бесконечно
большая
числовая
последовательность,
то
an 
числовая
1
 является бесконечно малой.
 an 
последовательность 
n
 1
7. Второй замечательный предел (число e): lim
1    e .
n 
 n
5
ТЕМА 4. Функция одного переменного и ее свойства
1. Если каждому элементу (значению) х множества Х поставить в соответствие
определенный элемент (значение) y множества Y, то говорят, что на множестве Х
задана функция одного переменного y  f  x  ; при этом множество Х называется
областью определения функции y, а множество Y- областью значений функции y.
2. Функция
y  f  x  называется четной, если для любых значений х из
симметричной области определения функции f   x   f  x  , и нечетной, если
f   x    f  x  . В противном случае f(x)- функция общего вида.
3. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором
промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее
(меньшее) значение функции
f  x  . Возрастающие или убывающие функции
называют монотонными.
4. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т≠0, если f(x+Т)= f(x)
для любых х  Х.
6
ТЕМА 5. Предел функции одного переменного
1. Число A называется пределом функции f(x) при x  x0 , если для любого ε>0
найдется число δ>0, зависящее от ε, что для всех значений аргумента x  x0 и
удовлетворяющих условию | x  x0 |  , выполняется неравенство f ( x)  A   , т.е
lim f ( x)  A .
x  x0
2. Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x  x0 (или x   ),
 ( x)  0 .
если lim  ( x)  0 или lim
x 
x  x0
3. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x  x0 , если для
любого M>0 найдется такое число δ>0, зависящее от M, что для всех значений
аргумента x  x0 и удовлетворяющих условию | x  x0 |  будет верно неравенство
|f(x)|>M , т.е. lim f ( x)   .
x  x0
4. Свойства бесконечно малых величин. Если α(x) и β(x) – бесконечно малые
величины при x  x0 (или x   ), то будут бесконечно малыми величины
α(x)±β(x), c·α(x), где c – постоянная; f(x)·α(x), где f(x) – ограниченная функция;
α(x)·β(x);
  x
f  x
f ( x)  0 .
, где xlim
x 
0
 
5. Свойства бесконечно больших величин. Если f(x) и φ(x) – бесконечно большие
величины при x  x0 (или x   ), то будут бесконечно большими величинами:
f(x)·φ(x); f(x)+φ(x);
f ( x)
, где φ(x) имеет предел.
 ( x)
6. Если функция  ( x ) есть бесконечно малая величина при x  x0 (или x   ), то
функция f ( x) 
1
является бесконечно большой, и обратно, если f(x) бесконечно
 ( x)
большая функция при x  x0 (или x   ), то  ( x) 
1
является бесконечно
f ( x)
малой величиной.
7. Первый замечательный предел: lim
x 0
sin x
1.
x
7
x


8. Второй замечательный предел: lim 1    e , lim(1  x) x  e .
x 0
x 
x
1

1

9. Пределы lim f ( x) (левосторонний), lim f ( x) (правосторонний) называются
x  x0 
x  x0 
односторонними.
ТЕМА 6. Непрерывность функции и точки разрыва
1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если она удовлетворяет
следующим условиям: 1) определена в точке x 0 ; 2) имеет конечный предел при
x  x0 ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке: lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
2. Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке, то их сумма, произведение и
частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями,
непрерывными в этой точке.
3. Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0    x0  , а функция u=φ(x)
непрерывна в точке x 0 , то сложная функция y  f   x   непрерывна в точке x 0 .
4. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она
непрерывна в каждой точке этого промежутка.
5. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
6. Если не выполнено определение непрерывности, то функция в точке x 0 терпит
разрыв, причем:
а) если хотя бы один из односторонних пределов
lim f ( x) или
x  x0 
lim f ( x)
x  x0 
бесконечен, то x 0 - точка разрыва второго рода;
б) если оба односторонних предела lim f ( x) и lim f ( x) конечны, но не равны
x  x0 
x  x0 
между собой, то x 0 - точка неустранимого разрыва первого рода;
в) если оба односторонних предела lim f ( x) и lim f ( x) конечны, равны между
x  x0 
x  x0 
собой, но не равны f( x 0 ), то x 0 - точка устранимого разрыва первого рода.
8
ТЕМА 7. Асимптоты графика функции
1. Прямая l называется асимптотой графика функции y=f(x),если расстояние от
точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении
точки графика от начала координат.
2. Прямая х= x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x),
если хотя бы один из односторонних пределов lim f ( x) (правосторонний или
x  x0 
левосторонний) равен ±∞.
3. Прямая х= x 0 может быть вертикальной асимптотой функции y=f(x) в том случае,
если x 0 – точка разрыва или граничная точка области определения.
4. Прямая y=b является горизонтальной асимптотой, если lim f ( x)  b .
x 
5. Если lim f ( x)  b , то y=b – правосторонняя горизонтальная асимптота, если
x 
lim f ( x)  b то y=b –левосторонняя горизонтальная асимптота.
x 
6. Если lim
x 
f ( x)
 k  0 и lim[ f ( x )  kx]  b то прямая y=kx+b является наклонной
x 
x
асимптотой графика функции y=f(x).
ТЕМА 8. Определение производной
1. Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции
к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
.
0 x
x 0
x
условии, что этот предел существует): y '  f '( x)  lim
2. Если функция в точке x 0 (или на промежутке X) имеет конечную производную,
то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке X).
3. Если функция y=f (x) дифференцируема в точке x 0 (или на промежутке X), то она
в этой точке непрерывна (или на промежутке X). Если функция непрерывна в
данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
9
ТЕМА 9. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
1. Дифференцирование явных функций. Правила дифференцирования.
Пусть u=u(x), v=v(x), w=w(х) – дифференцируемые функции, c – постоянная, тогда
1) c'=0;
2) x'=1;
3) (u±v)'=u'±v';
4) (uv)'=u'v+uv';
5) (cu)'=cu';
6) (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw';
u
v
7) ( )' 
u ' v  uv'
, v( x)  0;
v2
c
v
8) ( )'  
cv'
, v( x)  0 .
v2
2. Производная сложной функции. Если y=f(u), u=u(x), т.е. y=f(u(x)), где f(u) и u(x)
имеют производные, то y'=f '(u)·u'.
3. Производная обратной функции. Если y=f(x) – дифференцируемая и строго
монотонная функция на промежутке X, то функция, обратная к данной x=φ(y),
также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:
x' y 
1
, y' x  0 .
y' x
4. Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции y=f(x)
называется производная от логарифма этой функции, т.е. (ln y )' 
y ' f ' ( x)
.

y
f ( x)
5. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:
( x n ) '  nx n 1 ;
( x)' 
1
2 x
1
;
cos 2 x
1
(ctgx) '   2 ;
sin x
1
(arcsin x) ' 
, (| x | 1);
1  x2
1
(arccos x) ' 
, (| x | 1);
1  x2
1
( arctgx) ' 
;
1  x2
1
( arcctgx) ' 
.
1  x2
(tgx) ' 
, ( x  0);
(e x ) '  e x ;
(a x ) '  a x ln a;
1
(ln x) '  , ( x  0);
x
1
(log a x) ' 
, ( x  0, a  0);
x ln a
(sin x) '  cos x;
(cos x) '   sin x;
10
6. Дифференцирование неявных функций. Если зависимость между x и y задана в
неявной форме уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной функции y
необходимо
продифференцировать
по
x
обе
части
данного
уравнения,
рассматривая y, как функцию от x. Из полученного уравнения первой степени
(относительно y') находится y'.
7. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если функция
аргумента x задана параметрически уравнениями x=φ(t) и y=φ(t), то
dy
y
'
dy
yx ' 
 t  dt .
dx xt ' dx
dt
8. Производные высших порядков. Производной n-го порядка называется
производная от производной (n-1)-го порядка. Производные высших порядков
вычисляются
последовательным
дифференцированием
данной
функции
y' '  ( y' )' ; y' ' '  ( y' ' )' ; ...; y ( n )  ( y ( n1) )' .
ТЕМА 10. Геометрические и механические приложения производной
1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением y=f(x) или
F(x,y)=0, то f ' ( x0 )  tg - есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла
ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).
2.
Уравнение
касательной
к
кривой
y=f(x)
в
точке
x0
имеет
вид:
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) ,
3. Уравнение нормали: y  f ( x0 )  
1
( x  x0 ) .
f ' ( x0 )
4. Углом между двумя кривыми y  f1 ( x), y  f 2 ( x) в точке их пересечения
M 0 ( x0 , y0 ) называется угол между касательными к этим кривым в точке M 0 ,
тангенс которого находится по формуле: tg 
f 2 ' ( x0 )  f 1 ' ( x0 )
.
1  f 1 ' ( x0 )  f 2 ' ( x0 )
5. Механический смысл производной. Если точка движется по закону s=s(t), где s –
путь, t – время, то s'(t) представляет скорость изменения пути в момент t. Вторая
производная пути по времени s''(t)=[s'(t)]'=v'(t) есть скорость изменения скорости
или ускорение точки в момент t.
11
ТЕМА 11. Дифференциал функции
1. Приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в
виде: Δy=f'(x)Δx+α(Δx)Δx, где f'(x) – производная функции f(x); Δx – приращение
независимой переменной; α(Δx) – бесконечно малая величина.
2. Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная,
линейная относительно Δx часть приращения функции, равная произведению
производной на приращение независимой переменной: dy=f'(x)Δx.
3. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
dx=Δx, поэтому дифференциал функции равен dy=f'(x)dx.
4. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка (или
вторым дифференциалом) d²y функции y=f(x) называется дифференциал от
дифференциала первого порядка этой функции, т.е. d²y=d(dy).
5.
Дифференциалом
n-го
порядка
dny
называется
дифференциал
от
дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т.е. d n y  d (d n1 y) .
ТЕМА 12. Правило Лопиталя
Теорема (правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных
(конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:
lim
x  x0 (  )
f ( x)
f '( x)
. Таким образом, правило Лопиталя используется для
 lim
g ( x) x x0 (  ) g '( x)
0
 
раскрытия неопределенностей вида   или   .
0
 
ТЕМА 13. Интервалы монотонности и экстремумы функции
1. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) во всех точках
промежутка, то функция y=f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом
промежутке.
2.Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции y=f(x), если
существует интервал, содержащий точку x 0 , такой, что для всех х из этого
12
интервала имеет место неравенство f( x 0 ) ≥ f(x), (f( x 0 ) ≤ f(x)). Точка максимума и
минимума называются точками экстремума.
3. Необходимое условие экстремума. В точке экстремума функции ее производная
либо равна нулю (f'(x)=0), либо не существует.
4. Первое достаточное условие экстремума.
Если в точке x 0 функция y=f(x)
непрерывна, а производная f'(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка
x 0 – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума,
если с «-» на «+». Если при переходе через точку x 0 производная не меняет знак, то
в точке x 0 экстремумов нет.
5. Второе достаточное условие экстремума. Если в точке x 0 f'( x 0 )=0, а f''( x 0 )>0,
то x 0 является точкой максимума функции. Если f'( x 0 )=0, а f''( x 0 )<0, то x 0
является точкой минимума функции.
6. Схема исследования функции y=f(x) на экстремум (с помощью первого
достаточного условия):
1)
найти производную y'=f'(x);
2)
найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или
не существует;
3)
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки
и сделать вывод о наличии экстремумов функции;
4)
найти экстремальные значения функции.
7. Схема исследования функции y=f(x) на экстремум (с помощью второго
достаточного условия):
1)
найти производную y'=f'(x);
2)
найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или
не существует;
3)
необходимо найти вторую производную f''(х) и определить ее знак в каждой
критической точке;
4)
найти экстремальные значения функции.
8. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и
минимум) функции y=f(x) на отрезке [а,b]
следует выбрать наибольшее
13
(наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся в
интервале (a,b) и на концах отрезка (в точках a и b)).
9. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция =f(x) имеет единственную
точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее
значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a,b).
ТЕМА 14. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
1. Функция y=f(x)называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для
любых двух значений x1 , x 2 из этого промежутка выполняется неравенство
f(
x1  x2
f ( x1 )  f ( x 2 )
)
2
2
f ( x1 )  f ( x 2 ) 
 x1  x2
)
f(
.
2
2


2. Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.
3. Если вторая производная f''(x) функции y=f(x) положительна (отрицательна) на
промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.
4. Необходимое условие существования точки перегиба. Если x 0 – точка
перегиба функции y=f(x) и f''( x 0 ) существует, то f''( x 0 )=0.
5. Достаточное условие существования точки перегиба.
Если вторая
производная f''(x) меняет знак при переходе через точку x 0 и f''( x 0 )=0, то точка x 0
является точкой перегиба функции y=f(x).
6. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
1)
найти вторую производную функции f''(x);
2)
найти точки, в которых вторая производная f''(x)=0 или не существует;
3)
исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и
сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;
4)
найти значения функции в точках перегиба.
14
ТЕМА 15. Исследование функций и построение их графиков
Схема исследования функции и построение графика:
1)
найти область определения функции;
2)
определить точки разрыва функции;
3)
найти асимптоты графика функции;
4)
исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;
5)
найти точки пересечения с осями координат;
6)
исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума;
7)
исследовать функцию на выпуклость и найти точки перегиба;
8)
построить график функции;
9)
найти область значений функции.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Из методического пособия «Математический анализ» необходимо
выполнить задания № 2-15.
Требования к выполнению контрольной работы:
1) Контрольная работа выполняется в отдельной тетради,
2) На обложке тетради указывается дисциплина, номер варианта, номер
зачетной
книжки,
фамилия
имя
отчество
студента,
ФИО
преподавателя (ст. преподаватель кафедры высшей математики
Морозова А.В.)
3) Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной
книжки,
4) В конце каждого задания записывать ответ,
5) Срок сдачи контрольной работы (последний) – день зачета.
Внимание! Контрольная работа является допуском к зачету.
Адрес кафедры: Пермь, ул. Техническая 22, каб. 315, тел. 217-90-61,
e-mail: miss_you@rambler.ru
15