Уравнения прямой в пространстве

Уравнения прямой в пространстве
1
Параметрические уравнения прямой
• Перейдём в векторном уравнении прямой
в пространстве к координатной форме
r = ( x; y; z ), r0 = ( x0 ; y0 ; z0 ), a = ( m; n; p)
M0
x
=
x
+
m
t

r0
0

(1)
O
 y = y0 + n t , − ∞ < t < ∞.
 z = z + pt
0

r = r0 + t a
a
M
r
• Полученные уравнения называются
параметрическими уравнениями прямой.
2
Канонические уравнения прямой
r − r0 = t a
• Из векторного уравнения прямой
следует линейная зависимость векторов r − r0 ,
Поэтому координаты этих векторов
пропорциональны
a.
x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
m
n
p
• Полученные уравнения называются каноническими
уравнениями прямой.
3
Векторное уравнение прямой, проходящей
через две точки
M1 ( x1 ; y1 ; z1 ), M 2 ( x2 ; .y2 ; z2 )
• Пусть заданы 2 точки
•
Введём соответствующие
M1
r1 , r2
радиус-векторы
.
a
Вектор M1 M 2
возьмём
r1
M2
за направляющий вектор a . Подставим
O
r2 уравнение прямой
в векторное
r = r1 + t (r2 − r1 ), t ∈ R,
которое после преобразования
принимает вид
r = (1 − t )r1 + t r2 , t ∈ R,
(3)
Если t ∈ [0;1], то уравнение (3) есть уравнение отрезка M1 M 2
4
Уравнения прямой, проходящей через две
точки
• Из линейной зависимости векторов ( r − r )1 , (r2 − r1 )
следуют уравнения прямой вида
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
, x2 − x1 ≠ 0, y2 − y1 ≠ 0, z2 − z1 ≠ 0.
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
• Если записать векторное уравнение (3) в
координатах , то получим параметрические
уравнения
 x = x1 (1 − t ) + x2 t

 y = y1 (1 − t ) + y2 t , − ∞ < t < ∞.
 z = z (1 − t ) + z t
1
2

(3′)
5
Пример
• Найти уравнение прямой, проходящей через
.
точку A(1;3;0) параллельно оси Ox
6
Уравнение плоскости
7
Уравнение плоскости в векторной форме
• Пусть на плоскости Π задана точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и
перпендикулярный к плоскости вектор N = ( A; B; C )
(нормаль). Обозначим через M ( x; y; z )
произвольную (текущую) точку плоскости.
Из ортогональности
M0 M = r − и
r0
векторов
N
M
M0
получаем
N
r
уравнение плоскости
r0
0
N (r − r0 ) = 0.
8
Общее уравнение плоскости
• Переходя к координатной записи в векторном
уравнении плоскости, получаем уравнение плоскости
по заданной точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
и нормали
N = ( A; B; C )
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
• Раскрывая скобки, получаем общее уравнение
плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
9
Условия параллельности плоскостей
• Пусть даны плоскости
Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
• Условие параллельности плоскостей совпадает с
условием коллинеарности нормалей
N1 = ( A1 ; B1 ; C1 ), N 2 = ( A2 ; B2 ; C 2 ).
т.е ранг матрицы
 A1 B1 C1 
,


равен 1, или,
N1
 A2 B2 C 2 
в частности, коэффициенты
N2
•
пропорциональны A1 B1 C1
=
=
A2 B2 C 2
10
Условие перпендикулярности плоскостей
• Условие перпендикулярности плоскостей Π1 , Π 2
совпадает с условием ортогональности нормалей,
т.е.
N1 ⋅ N 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0.
11
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• Предположим, что в общем уравнении плоскости
отсутствует один из коэффициентов при
, тогда нормальный
переменных, например A
вектор
N = (0; B; C ) z
i = (1;0;0)
N
ортогонален орту
,
y следовательно, плоскость
O
Ox.
параллельна оси
x
12
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• В случае отсутствия двух коэффициентов при
переменных в уравнении плоскости, например,
плоскость Cz + D = 0
расположена параллельно
осям Ox , Oy , ввиду ортогональности нормали
N = (0;0; C )
z
N
•
ортам i , j.
y
O
•
x
13
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• Отсутствие D
означает, что плоскость проходит
через начало координат.
z
x O
y
14