Уравнения и неравенства с модулями.

Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной
величины.
1. Простейшими уравнениями с модулями являются уравнения вида f ( x )
(1)
g ( x)
где f ( x) и g ( x) — некоторые функции.
Для того чтобы решить уравнение (1), нужно найти сначала все решения уравнения
f ( x) g ( x) , принадлежащие множеству x 0 , затем решить уравнение f ( x) g ( x) на
множестве x 0 ; объединение множеств найденных решений составляет множество всех
решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем
f ( x) g ( x)
x 0
.
f ( x) g ( x)
x 0
Пример 1. x2
5x
Пример 2. x
x2
6 0.
x 2.
2. Приведем два способа замены уравнения
f ( x)
g ( x)
(2)
совокупностью систем.
П е р в ы й сп особ . Уравнение (2) равносильно совокупности систем:
В т о р о й сп особ. Уравнение (2) равносильно совокупности систем:
f ( x)
f ( x)
g ( x)
0
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
.
.
Если в уравнении (2) функция f ( x) имеет более простой вид, чем g ( x) , то целесообразно
уравнение (2) заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет
функция g ( x) , то уравнение (2) целесообразно заменять второй совокупностью систем.
Пример 3.Найти все корни уравнения 2 x2
x
2x 5
x 1 , удовлетворяющие неравенству
2.
Пример 4.
x2
6 x
7
2
6 x
7
x
1.
Пример 5. Решить уравнение
x 2 10 x 21
x 2 12 x 32
x 2 10 x 21
.
x 2 12 x 32
1
Данное уравнение имеет вид
f ( x) , где f ( x)
f ( x)
равносильно совокупности систем
f ( x)
f ( x)
0,
f ( x)
f ( x)
f ( x),
0.
x 2 10 x 21
. Такое уравнение
x 2 12 x 32
f ( x),
.
Первая система равносильна уравнению f ( x) 0 , вторая система – неравенству f ( x)
поэтому совокупность этих систем равносильна неравенству f ( x) 0 ……
h( f ( x))
3.Уравнение вида h( f ( x) )
f ( x)
g ( x) , равносильно совокупности систем
f ( x)
Пример 6. Решить уравнение
1 2x
3 x 1
g x
0
h( f ( x))
0,
.
g x
0
1.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также
содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в
полученных уравнениях открыть оставшиеся модули.
Пример 7. Решить уравнение x
4. Рассмотрим уравнение вида
4 x
f1 ( x)
2x
f2 ( x)
4.
f3 ( x)
...
f n ( x)
(3)
g( x)
где f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),... f n ( x) , g ( x) — некоторые функции. Если это уравнение решать
последовательным раскрытием знаков модулей, то после раскрытия одного знака модуля
получается совокупность двух систем, после раскрытия второго знака модуля — совокупность четырех систем и т. д. Этот метод очень громоздкий. Такие уравнения проще решать
методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из
функций f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),... f n ( x) меняет знак. Эти точки делят область допустимых
значений уравнения (6) на промежутки, на каждом из которых все функции
f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),... f n ( x) сохраняют знак. Затем, используя определение абсолютной
величины, переходят от уравнения(6) к совокупности систем, не содержащих знаков
модуля.
Пример 8. а) x
б)
5x 3
Равенство a
a
b
7 x
b
a b
Равенство a b
a b
a
b
2x 2
7x 4
4;
2x 1 .
a b имеет место тогда и только тогда, когда a
0иb
0 , т.е.
a 0
.
b 0
a
b имеет место тогда и только тогда, когда ab 0 , т.е.
ab 0
2
Пример 9. Решить уравнение
x
x 1
x
x2
.
x 1
При решении неравенств, содержащих знак абсолютной величины, следует разбить область
допустимых значений неравенства на множества, на каждом из которых выражения,
стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком промежутке нужно решить
неравенство и полученные решения объединить в множество решений исходного
неравенства.
1. f ( x )
f ( x) g ( x)
x 0
g ( x)
f ( x)
x 0
Пример 10. x
x2
Пример 11. x
2x
2
g ( x)
.
x 6.
3.
f ( x) g ( x)
. Для тех x , при которых g ( x)
f ( x) g ( x)
данное неравенство решений не имеют.
2. f ( x)
g ( x)
Пример 12. x 2
4x
5.
Пример 13. x 6
x2
3. f ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x)
Пример 14. 3 x 1
2x 8
x2
5x 4
x 4
Пример 17. 1
5x 9 .
x2
Пример 15. x 2
Пример 16.
7.
2x .
1.
2
x
1
Пример 18. x 1
0 , эта система, а значит, и
x
1
.
2
2 x
3 x.
3
Неравенства вида f ( x)
g ( x) целесообразно решать при помощи перехода к
равносильному неравенству f 2 ( x)
Пример19. 3x2
x2
7x 6
x 3
Пример 20.
x
2
g 2 ( x) .
x.
2.
5x 6
Упражнения.
1. Решить уравнения:
11)4 x 1 1 3 2 x 5
1) 3 x 2
x 11
2) 4 5 x
5x 4
3) 5 x 2
4)( x
5) x
3
2
2
5 x 6)
2
2
x
5x
2
2
5x 6
6) 3x 5
5 2x
7)3 x 2
x2
8) 2 x 8
x 5
2x 1
5x 6
6
0
1
0
12
2
1
x 5
3x
2x 4
x2
15) x 1
x 3
1
x 2
6
3
x
.
16
17) 5 x 13
6 5x
7
18) x 2 16
x 4
x2
19) x 2
x 1 0
3
14) 4 x 2
16) 4 x
6x 2
2x 3
10) x 2
x
4x
2
13) x 2
4x 3
9) x 1
12)
x2
2x 5
x 12
x 2 11x 28
x 20
2 x2
5 x 24
2. Решить неравенства:
1) x
2
21x 34
2) 2 x 3
4
3) 5 x 4
6
4) x 2
5x
5) x 2
x
6) x 2
4x
7) x 2
8) x 2
1
13)
6
2
12) x 2
14)
0
0
6x 8
2x 1
x 2
x2
4 x
4
2x 1
x 3
1
15) x 1
x 2
1
16) x 1
2x 2
5x
6
17) x 1
x 2
3x
x 2
18) x 3
x2
x 10
0
9)3x 2
x 3
9x 2
19) 2 x 2
10) x 2
x 8
x
20) x 2
11) x 2
4x 3
x 3
3x 3
x 1
4
4
x 2
x
3
3
3x 2 1
x2
8 x 22
x 2
x 3
4
5