тестовые задания по теоретической механике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В. К. Манжосов, Н. Б. Овсянникова
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
КИНЕМАТИКА
Методические указания
к практическим и самостоятельным занятиям по дисциплине
«Теоретическая механика»
Ульяновск
УлГТУ
2011
УДК 531(0.76)
ББК 38.112 я 7
М 23
Рецензент кандидат технических наук, доцент кафедры
«Теоретическая и прикладная
механика» строительного
факультета
Ульяновского
государственного
технического
университета Д. М. Белый
Одобрено секцией методических пособий
научно-методического совета университета
М 23
Манжосов, В. К
Тестовые задания по теоретической механике. Кинематика :
методические указания к практическим и самостоятельным занятиям
по дисциплине «Теоретическая механика» / В. К. Манжосов, Н. Б.
Овсянникова. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 48 с.
Составлены в соответствии с учебной программой изучения теоретической
механики
для
направлений
«Теплоэнергетика
и
теплотехника»,
«Электроснабжение», «Электроэнергетика и электротехника», «Техносферная
безопасность».
По структуре и содержанию они предназначены для оперативного контроля
знаний на практических занятиях, зачетах, при допуске к экзамену; могут быть
использованы студентами для самоконтроля.
Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.
УДК 531(0.76)
ББК 38.112. я7
© Манжосов В. К., Овсянникова Н. Б., 2011.
© Оформление. УлГТУ, 2011.
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................... 4
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ ..................................................................................... 4
1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1.1. Способы задания движения точки ................................................................... 5
1.2. Скорость точки .................................................................................................. 8
1.3. Ускорение точки ............................................................................................... 12
1.4. Скорости при сложном движении точки ....................................................... 18
1.5. Ускорения при сложном движении точки ..................................................... 22
2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Вращательное движение твердого тела ......................................................... 26
2.2. Плоскопараллельное движение твердого тела .............................................. 33
2.3. Сферическое движение твердого тела ........................................................... 42
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ............................................ 48
3
ВВЕДЕНИЕ
Усвоение теоретической механики осложняется тем, что в этой науке
существенную роль играет моделирование и математическое представление
исследуемых явлений природы. Поэтому при решении конкретных
инженерных задач студенты испытывают затруднения, тем больше, чем шире
поставленная задача. Эти затруднения состоят в том, что студенты не сразу
могут уловить связь теории с ее практическим применением.
Цель тестовых заданий состоит в том, чтобы предоставить в
распоряжение преподавателей и студентов большое число задач, расчетные
схемы которых достаточно просты и понятны. Для их решения не нужно
выполнять сложные математические преобразования и вычисления, но
необходимо ясно и четко представить их физический смысл. Главное
требование к тестовым заданиям состоит в том, чтобы решение каждого из
них отражало практическое применение теоретического материала по
отдельным дидактическим единицам, предусмотренных программой.
При работе с тестовыми заданиями следует обратить внимание на
следующие особенности:
- ответы приведены в единицах СИ;
- все величины, входящие в уравнения, также выражены в единицах СИ;
- числовые значения ответов округлены до трех значащих цифр.
Приняты следующие допущения:
- если в тексте для какого-то тела масса, вес, трение или другие
параметры не указаны, то ими следует пренебречь;
- все гибкие элементы следует считать нерастяжимыми, трение на
блоках и проскальзывание по ним гибких элементов отсутствует;
- качение тел происходит без скольжения.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Обозначение
l
а
ае
ас
аn
аτ
аr
R, r
t
v
x, y, z, s
α, β
ε
ω
π
ρ
Наименование
Длина
Ускорение
Ускорение переносное
Ускорение кориолисово
Ускорение нормальное
Ускорение касательное
Ускорение относительное
Радиус
Время
Скорость
Координата
Угол
Угловое ускорение
Угловая скорость
Число 3,1416
Радиус кривизны траектории точки
4
Единицы СИ
м
м/с2
м/с2
м/с2
м/с2
м/с2
м/с2
м
с
м/с
м
рад/с2
рад/с
м
1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1.1. Способы задания движения точки
Краткие теоретические сведения
Движение точки определяется заданием закона движения. Закон
(уравнения) движения точки устанавливает зависимость положения точки в
пространстве от времени.
В кинематике рассматриваются три основных способа задания движения
точки: векторный, координатный и естественный.
• Векторный способ: положение движущейся точки M по отношению к
некоторой системе отсчета Oxyz задается радиус-вектором
этой точки,
 
который является векторной функцией времени: r = r (t ) .
• Координатный способ: положение точки в данной системе отсчета
определяется с помощью ее декартовых координат x, y, z, которые являются
функциями времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t).
Связь между векторным и координатным способами задания движения
точки: r  xi  yj  zk .
• Естественный способ: чтобы задать движение точки естественным
способом, следует указать: 1) траекторию точки; 2) начальную точку на ней;
3) положительное и отрицательное направление отсчета; 4) уравнение
движения точки по траектории, т. е. дуговую координату как функцию
времени: s = f(t).
При описании движений, происходящих в плоскости, применяют и
другие системы координат. В полярной системе координат (рис.1)
положение точки в плоскости определяется радиусом ρ – длиной отрезка,
соединяющего неподвижный центр О с движущейся точкой М, и углом φ
между неподвижной прямой Оx, (полярной осью) и отрезком ОМ . В этом
случае уравнения плоского движения точки М будут иметь вид:   f 1 (t ),
φ=
f1 (t ).
Рис. 1
При исследовании движения точки в пространстве часто пользуются
сферическими и цилиндрическими координатами.
5
Сферическими координатами точки М (рис. 2) являются: расстояние R
точки М от неподвижного центра О, угол θ – угол поворота плоскости zOM
по отношению к фиксированной плоскости xOz, угол φ – угол, образованный
прямой ОМ с неподвижной плоскостью xOy.
Цилиндрическими координатами точки М называются: полярные
координаты ρ и φ проекции точки М на неподвижную плоскость xOy и
высота z точки М над этой плоскостью.
 R  f 1(t )

Уравнение движения точки в сферических координатах:   f 2 (t )
  f ( t )
3

Рис. 2
   f 1(t )

Уравнение движения точки в цилиндрических координатах:   f 2 (t )
 z  f (t )
3

Полярные, сферические, цилиндрические системы координат в отличие
от декартовых называются криволинейными координатными системами.
Пример тестового задания
Задание 1. Вставьте пропущенное слово:
используется при … способе задания движения.
Варианты ответов:
а) координатном (в декартовой системе координат)
б) естественном
в) векторном
г) координатном (в цилиндрической системе координат)
д) координатном (в полярной системе координат)
Решение. Смотри краткие теоретические сведения.
Правильным является ответ: векторном.
6
уравнение
 
r  r (t )
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.1.1. Уравнения, приведенные ниже, используются при … способе задания
движения точки:
   f 1(t )

  f 2 (t )
 z  f (t )
3

Варианты ответов:
а) координатном (в декартовой системе координат)
б) естественном
в) векторном
г) координатном (в цилиндрической системе координат)
д) координатном (в полярной системе координат)
1.1.2. Уравнения, приведенные ниже, используются при … способе задания
движения точки:
   f 1( t )

  f 2 ( t )
Варианты ответов:
а) координатном (в декартовой системе координат)
б) естественном
в) векторном
г) координатном (в цилиндрической системе координат)
д) координатном (в полярной системе координат)
1.1.4. Уравнения, приведенные ниже, используются при … способе задания
движения точки:
 y  f 1 (t )

 z  f 2 (t )
Варианты ответов:
а) координатном (в декартовой системе координат)
б) естественном
в) векторном
г) координатном (в цилиндрической системе координат)
д) координатном (в полярной системе координат)
7
1.1.5. Уравнения, приведенные ниже, используются при … способе задания
движения точки:
s = f(t)
Варианты ответов:
а) координатном (в декартовой системе координат)
б) естественном
в) векторном
г) координатном (в цилиндрической системе координат)
д) координатном (в полярной системе координат)
1.2. Скорость точки
Краткие теоретические сведения
Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и
направление движения точки в данной системе отсчета.
Определение скорости при векторном способе задания движения.
Скоростью точки называется величина, равная производной по времени

 dr
от радиус-вектора точки: v =
.
dt
Определение скорости при координатном
способе задания движения.




Вектор скорости v = v x i + v y j + v z k , где ν x , ν y , ν z – проекции вектора
скорости на неподвижные оси декартовых координат. Модуль скорости
v x2 + v y2 + v z2 . Косинусы углов, которые вектор скорости составляет с
νy
νz
vx



.
, cos( ν , y ) =
, cos( ν , z ) =
осями: cos( ν , x ) =
ν
v
ν
v=
Определение скорости при естественном способе задания движения:



вектор скорости: ν = ν τ τ = sτ , где τ – единичный вектор касательной.
Проекция вектора скорости на касательную    s – алгебраическое
значение скорости. Модуль скорости равен абсолютному значению
производной от дуговой координаты точки по времени:      s .
Примеры тестовых заданий
Задание 1. Материальная точка М движется согласно уравнению




r  sin i  cos tj  ( 2  t)2 k.
8
Вектор скорости точки направлен…
Варианты ответов:
а) параллельно оси Ох
б) параллельно плоскости xОz (не параллельно осям)
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно плоскости yOz
д) перпендикулярно оси Ox
Решение. Скорость точки есть производная по времени от радиус
вектора r , определяющего ее положение в пространстве. Скорость точки
характеризует изменение ее положения во времени




 dr
   xi   y j  z k ,
dt
  
где i , j , k – орты осей x, y, z .
Проекции скорости на оси неподвижных декартовых координат равны:
 x  x  (sin  )  0 ,
 y  y  (cos t )   sin t ,
 z  z  (( 2  t ) 2 )  2( 2  t ) .
Модуль скорости дается формулой
   2 y   2z .
Вектор скорости точки направлен параллельно плоскости yOz.
Правильным является ответ: параллельно плоскости yОz.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.2.1. Материальная точка М движется согласно уравнению:




r 5t i cos j 11k.
Вектор скорости точки направлен …
9
Варианты ответов:
а) параллельно оси Ox
б) параллельно плоскости xOy
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно плоскости yOz
д) перпендикулярно оси Ox
1.2.2. Материальная точка М движется согласно уравнению r  5i  t 2 j  12 tk .
Вектор скорости точки направлен …
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) параллельно плоскости xОy
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно плоскости xOz
д) перпендикулярно оси Oz
1.2.3. Материальная точка М движется согласно уравнению r  e3t i  4tj  13k .
Вектор скорости точки направлен …
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) параллельно плоскости xОz
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно оси Oz
д) перпендикулярно оси Ox
1.2.4. Материальная
точка
М
r (1 2) ti cos  j  t 3k .
Вектор скорости точки направлен …
движется
10
согласно
уравнению
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) параллельно плоскости xОz
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно оси Oz
д) перпендикулярно оси Ox
1.2.5. Материальная
точка
М
r  7et i  18 j  3t k .
Вектор скорости точки направлен …
движется
согласно
уравнению
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) в плоскости yОz
в) параллельно оси Ox
г) перпендикулярно оси Oy
д) перпендикулярно плоскости xОz
1.2.6. Точка движется согласно уравнениям x  5 cos 3t , y  5 sin 3t . Модуль
скорости точки в момент времени t = 0 равен …
Варианты ответов:
д) 125
а) 15
в) 15
б) 5
г) 0
1.2.7. Точка движется согласно уравнениям x  6 sin 3t , y  4 cos 3t ( x, y – в
метрах). Угол (в градусах) между осью Оx и вектором скорости точки в
положении x  6, y  0 равен …
Варианты ответов:
а) 180°
в) 90°
д) 45°
б) 60°
г) 0
11
1.2.8. Движение точки по известной траектории задано уравнением
s = 6–1,5t2 . Проекция скорости точки v x в момент времени t = 1 с равна …
Варианты ответов:
а)–1,5
в) –3
д) 12
б) 4,5
г) 6
1.2.9. Движение точки по известной траектории ОМ = σ задано уравнением
σ = 4+t2–t3 .
Скорость точки (м/с) в момент времени t = 1 c равна …
Варианты ответов:
а) –1
в) –6
д) –4
б) 3
г) 4
1.2.10.
Движение точки по известной траектории ОМ = σ задано
уравнением σ = 7–8t+2t3 .
Скорость точки в момент времени t = 1 c равна …
Варианты ответов:
а) 5
в) 4
д) –4
б) 1
г) –2
1.3. Ускорение точки
Краткие теоретические сведения
При неравномерном криволинейном движении точки изменяются
модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует быстроту
изменения модуля и направления скорости точки.
Определение ускорения при векторном способе задания движения
точки.
Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости
точки или второй производной по времени от радиус-вектора:


 dv d 2r

а
.
dt
dt 2
Определение ускорения при координатном способе задания движения
точки.
Проекции вектора ускорения на координатные оси:
12
dv y d 2 y
dv z d 2 z
dv x d 2 x


аx 

, аy 
, аz 
.
dt
dt 2
dt
dt 2
dt
dt 2
Проекции ускорения точки на неподвижные оси координат равны вторым
производным от соответствующих координат точки по времени или первым
производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.
Модуль ускорения равен а 
а x2  a y2  a z2 . Направление ускорения
точки определяют по следующим формулам:
ay

а

a

, cos( a , z )  z .
cos( а , x )  x , cos( а , y ) 
a
а
a
Определение ускорения при естественном способе задания движения
точки. Полное ускорение точки складывается из двух ускорений –
 

касательного и нормального: а  а  а n .
• Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и
определяется проекцией вектора ускорения на касательную:
dv 
d 2s
а 

.
dt
dt 2
• Нормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на
нормаль всегда положительна: а n 
v2

,  – радиус кривизны траектории.
Направлено ускорение всегда в сторону вогнутости траектории.
Модуль полного ускорения а 
а2  а n2 .
Примеры тестовых заданий




Задание 1. Движение точки М задано уравнением r  4 i  sin t j  3t k .
Ускорение точки направлено …
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) параллельно плоскости xОy
в) параллельно плоскости yОz
г) перпендикулярно оси Oy
д) перпендикулярно оси Ox
13




 d 2r

0
i

sin
t
j

0
k
.
Решение. Вычислим ускорение точки: а 
dt 2
Таким образом, ускорение имеет составляющую только по оси Oy.
Правильным является ответ: параллельно оси Oy.
Задание 2. Движение точки по известной траектории задано уравнением
  7t 2  3t  1 .
Касательное ускорение точки в момент времени t = 1 c равно … (м/с2)
Варианты ответов:
а) 14
в) 5
д) 15
б) 12
г) 25
Решение.
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине.
Для определения модуля скорости вычисляем производную от σ по
времени   σ' = (7t2–3t+1)'=14t–3 (м/c).
Величина касательного ускорения определяется формулой
d
= (14t–3)' = 14 м/c2.
a 
dt
Правильным является ответ: 14.
Задание 3. Автомобиль движется по горизонтальной дороге с
постоянной скоростью   90 км / ч . Радиус закругления дороги в момент
времени, когда нормальное ускорение центра автомобиля a n  2,5 м / с 2
равен …
Варианты ответов:
а) 100
в) 225
д) 25
б) 36
г) 250
Решение.
Величина нормального ускорения определяется формулой:
 2 (25) 2
2
a n  , откуда  
=
 250 м / с 2 . (  90 км / ч  25 м / с ).
an
2,5

Правильным является ответ: 250.
Задание 4. Движение точки по известной траектории задано уравнением
  10  2t  t 3 ( м).
В момент времени t = 1 с нормальное ускорение точки равно an  6 м/с2.
В этот момент полное ускорение точки равно … (с точностью до 0,1).
Варианты ответов:
а) 11
в) 7,8
д) 5
б) 12
г) 8,5
Решение.
Модуль ускорения вычисляется при помощи формулы
14
a  a 2  a 2 n  36  36  8,5 м / c 2 ,
d 2
где a  2  (10  2t  t 3 )  6t м / c 2 . В момент времени t  1 c a  6 м / c 2 .
dt
Правильным является ответ: 8,5.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ




4
1.3.1. Материальная точка М движется по закону r  2 t i  cos  t j  e t k .
Ускорение точки будет направлено …
Варианты ответов:
а) параллельно оси Oy
б) параллельно плоскости xОy
в) перпендикулярно плоскости xОy
г) параллельно оси Oz
д) перпендикулярно оси Oy



2t
1.3.2. Материальная точка М движется по закону r  7 е i  5 j 

t  1k .
Ускорение точки будет направлено …
Варианты ответов:
а) в плоскости yOz
б) параллельно плоскости xОz
в) перпендикулярно плоскости xОz
г) параллельно оси Ox
д) параллельно оси Oy
1.3.3. Движение точки по известной траектории задано уравнением
s = 5–2t+2t3 (м).
Касательное ускорение точки в момент времени t = 1 c равно …
Варианты ответов:
а) 10
в) 12
д) 4
б) 9
г) 0
15
1.3.4. Точка движется по окружности согласно уравнению s = t3+2t2+3t.
Криволинейная координата точки в момент времени, когда ее касательное
ускорение а = 16 м/с2 равна …
Варианты ответов
а)12
в) 42
д) 8
б) 22
г) 23
1.3.5. Проекции скорости точки во время движения определяются
выражениями vx = 0,2t2, vy = 3 м/с. Касательное ускорение в момент времени
t = 2,5 с равно …
Варианты ответов:
а) 23
в) 0,5
д) 0,385
б) 0,561
г) 0,123
1.3.6. Скорость точки в декартовых координатах задана выражением
v  1,5i  1,5tj  0,5t 2 k . Касательное ускорение точки в момент времени
t = 2,5 с равно …
Варианты ответов:
а) 3,18
в) 5,56
д) 0,5
б) 2,18
г) 1,5
1.3.7. Касательное ускорение точки аτ = 0,2t. Если при t0 = 0 скорость
v0 = 2 м/с, то момент времени t, когда скорость v точки достигнет 10 м/с
равен …
Варианты ответов:
а) 8,94
в) 4,06
д) 80
б) 0,4
г) 40,4
1.3.8. Дан график изменения касательного ускорения аτ = f(t). При t0 = 0
скорость v0 = 0. Модуль скорости в момент времени t1 = 10 c равен …
Варианты ответов:
а) 5
в) 10
б) 25
г) 100
д) 50
16
1.3.9. Точка движется с постоянной скоростью v = 30 см/с по дуге
окружности радиуса r = 2 м. Нормальное ускорение точки (в см/с2) равно …
Варианты ответов:
а) 8,4
в) 1500
д) 18
б) 15
г) 4,5
1.3.10. По окружности движется точка согласно уравнению s = 5t-0,4t2.
Время t, когда нормальное ускорение аn = 0, равно …
Варианты ответов:
а) 5,65
в) 6,25
д) 62,5
б) 0
г) 4,5
1.3.11. Дано уравнение движения точки по траектории s = 5t. Радиус
кривизны траектории, когда нормальное ускорение точки аn = 3 м/с2, равен …
Варианты ответов:
а) 15
в) 6,25
д)16,6
б) 1,66
г) 8,33
1.3.12. Точка движется по окружности радиуса R = 7 м согласно уравнению
s = 0,7t2. Координата s точки в момент времени, когда ее нормальное
ускорение аn = 3 м/с2, равна …
Варианты ответов:
а) 1,45
в) 2,1
д) 7,50
б) 0
г) 15
1.3.13. Даны нормальное аn = 2,5 м/с2 и касательное аτ = 1,5 м/с2, ускорения
точки. Полное ускорение точки равно …
Варианты ответов:
а) 4
в) 2,92
д) 7,50
б) 8,50
г) 1
1.3.14. Нормальное
точки а = 1,5 м/с2,
равно …
Варианты ответов:
а) 0,50
б) 2,45
ускорение точки в момент времени, когда ускорение
а угол между векторами ускорения и скорости – 65°,
в) 0
г) 1
д) 1,36
1.3.15. Ускорение точки а = 1 м/с2. Векторы ускорения и скорости образуют
угол 45°. Радиус кривизны траектории ρ = 300 м. Скорость точки (в км/ч)
равна …
Варианты ответов:
а) 52,4
в) 14,0
д) 0,524
б) 13,9
г) 34
17
1.3.16. Задано уравнение движения по криволинейной траектории:
s = 0,2t2+0,3t. В момент времени t = 3 с радиус кривизны траектории
ρ = 1,5 м. Полное ускорение точки в этот момент времени равно …
Варианты ответов:
а) 1,55
в) 0,5
д) 4,5
б) 155
г) 5,5
1.3.17. Точка движется по окружности радиуса r = 200 м из состояния покоя с
постоянным касательным ускорением аτ = 1 м/с2. Полное ускорение точки в
момент времени t = 20 c равно …
Варианты ответов:
а) 200
в) 0,5
д) 42
б) 101
г) 2,24
1.3.18. Точка движется по окружности радиуса r = 2 м. Нормальное ускорение
точки меняется согласно закону аn = 2t2. Угол в градусах между векторами
скорости и полного ускорения точки в момент времени t = 1 с равен …
Варианты ответов:
а) 120
в) 45
д) 60
б) 90
г) 30
1.4. Скорости при сложном движении точки
Краткие теоретические сведения
Сложным называется такое движение точки, которое рассматривается
одновременно в двух системах отсчета – неподвижной и подвижной.
Абсолютным называется движение точки по отношению к
неподвижной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки
по отношению к неподвижной системе отсчета называются абсолютной


скоростью v а и абсолютным ускорением а а .
Относительным называется движение точки по отношению к
подвижной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по
отношению к неподвижной системе отсчета называются относительной


скоростью v r и относительным ускорением а r .
Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной

называется переносным движением. Переносной скоростью v е и

переносным ускорением а е являются скорость и ускорение той точки
подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает
движущаяся точка.
Теорема о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна



векторной сумме относительной и переносной скоростей: v а  v r  v e .
18
Примеры тестовых заданий
Задание 1. В кривошипно-кулисном механизме кривошип ОМ = 10 см
вращается с угловой скоростью ω = 2 рад/c.
В тот момент, когда угол φ = 30°, скорость кулисы АВ будет равна (в см/c) …
Варианты ответов:
д) 40
а) 20
в) 10 3
г) 10
б) 20 3
Решение.
Исследуем движение точки М. Пусть подвижная система отсчета связана
с кулисой АВ, а неподвижная – со стойками. Тогда движение точки М как
точки, неизменно связанной с кулисой, совершающей поступательное
движение относительно стоек, является ее переносным движением и,

следовательно, ее переносная скорость e перпендикулярна оси кулисы.
Относительным движением точки М, как точки, принадлежащей
ползуну, является скольжение вдоль прорези кулисы, а поэтому

относительная ее скорость r направлена по оси кулисы. На рисунке

абсолютная скорость  точки М, направленная по перпендикуляру к
кривошипу ОМ в сторону его вращения и равная по величине
  ОМ    10 2  20
см / c , разложена по правилу параллелограмма на

составляющие e и r .
1
Скорость кулисы  АВ  e    cos(90   )  20   10 см / c .
2
Правильным является ответ: 10.
19
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.4.1. В кривошипно-кулисном механизме кривошип ОМ = 20 см вращается с
угловой скоростью ω = 1 рад/с.
В тот момент, когда угол φ = 45°, скорость кулисы (в см/с) АВ будет равна …
Варианты ответов:
а) 10
в) 10 2
д) 0,2
г) 20
б) 20 2
1.4.2. Прямоугольная пластина 1 движется вертикально в плоскости рисунка
согласно уравнению s = 1+0,5sin(π/2)t. Угол α = 45°. Точка М движется по
диагонали пластины по закону ММ0 = 0,3t2. Абсолютная скорость точки М в
момент времени t = 2 с равна …
Варианты ответов:
а) 1,045
б) 0,851
в) 1,985
г) 1,2
д) 0,415
1.4.3. Движение точки М по квадратной пластине 1 задано уравнением
ВМ = 0,1t2. Кривошипы АВ = CD = 0,5 м вращаются по закону φ = 0,25πt.
Абсолютная скорость точки М в момент времени t = 1 c равна …
Варианты ответов:
а) 0,511
б) 12
в) 0,222
г) 0,671
д) 0,438
20
1.4.4. Точка М движется по ободу диска, радиус которого R = 0,06 м, со
скоростью vr = 0,04 м/с. Закон вращения диска φ = t. Абсолютная скорость
точки М в указанном положении равна …
Варианты ответов:
а) 0,16
в) 0,22
б) 0,126
г) 0,61
д) 0,1
1.4.5. Точка М движется по ободу диска, радиус которого R = 0,1 м, согласно
уравнению ОМ = 0,3t. Закон вращения диска φ = 0,4t. Абсолютная скорость
точки М в указанном положении равна …
Варианты ответов:
а) 0,163
в) 0,357
б) 0,342
г) 0,243
д) 1,56
1.4.6. Диск вращается вокруг оси Оz. По его ободу движется точка М с
постоянной относительной скоростью vr = 9 м/c. Переносная скорость точки
М в момент, когда ее абсолютная скорость 15 м/c, равна …
Варианты ответов:
а) 12
б) 6
в) 17,6
г) 306
д) 21
1.4.7. Пластина АВСD вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью ω = 4t.
По ее стороне ВС в направлении от В к С движется точка М с постоянной
скоростью 9 м/с. Длина АВ = 1 м. Модуль абсолютной скорости точки М в
момент времени t = 3 с равен…
21
Варианты ответов:
а) 16,3
б) 9
в) 13
г) 15
д) 15,6
1.5. Ускорения при сложном движении точки
Краткие теоретические сведения
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): абсолютное
ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и




кориолисова ускорений: а а  а r  a e  a cor .
Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению
угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:



a cor  2 е   r .
Модуль
кориолисова
ускорения
равен:
 
a cor  2 е   r sin(  e , r ) .
• Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях: 1) когда угловая

скорость переносного движения  е  0 , т. е. когда переносное движение

является поступательным; 2) когда относительная скорость точки  r  0 ,


т. е. когда отсутствует относительное движение; 3) когда векторы  е и  r
параллельны друг другу, т. е. когда точка движется вдоль оси вращения.
• Правило Жуковского: для того чтобы найти направление кориолисова
ускорения, следует спроектировать вектор относительной скорости на
плоскость, перпендикулярную оси вращения, и затем повернуть эту
проекцию на 90° по ходу вращения.
Примеры тестовых заданий
Задание 1. Точка М движется по вертикальной дуге окружности,
которая перемещается вместе с тележкой, спускающейся по наклонной
плоскости.
22
Наиболее точная развернутая формула абсолютного ускорения …
Варианты ответов:
  n 
а) а  ае  аr  аr
  n   n  
б) а  аe  ae  аr  ar  ac
  n  
в) a  ae  ae  ar
 n   
г) a  ae  a e  ar  ac
  
д) a  ae  ar
Решение.
Точка М совершает сложное движение. Подвижную систему отсчета
свяжем с поступательно движущейся тележкой, а неподвижную – с
наклонной плоскостью. Так как подвижная система отсчета совершает
поступательное движение, относительно неподвижной системы, то вектор
абсолютного ускорения точки М равен:
  


a  ae  ar , где ae – вектор переносного ускорения точки М, ar – вектор
относительного ускорения точки М.
Поскольку относительная траектория точки М криволинейна, то
 n 
аr  аr  аr .
Окончательно получим развернутую формулу абсолютного ускорения
  n 
точки М: а  ае  аr  аr .
  n 
Правильным является ответ: а  ае  аr  аr .
Задание 2. Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной
оси по закону е 

t рад. По одной из сторон пластинки движется точка М
3
по закону ОМ = 2t м. Ускорение Кориолиса для точки М равно ...
23
Варианты ответа:
2
 3
2 3
а)
в)
t
д)
t
3
3
3
2
б)
t
г) 0
3
Решение.
Поскольку точка движется вдоль оси вращения, ее кориолисово
ускорение равно нулю.
Правильным является ответ: 0.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.5.1.Тележка движется по горизонтальной оси, В данный момент времени
ускорение тележки ае = 2 м/c2. По тележке движется точка М согласно
уравнениям х1 = 0,3t2 и y = 0,5t2. Абсолютное ускорение точки М равно …
Варианты ответов:
а) 2,55
в) 1
д) 2,78
б) 5,9
г) 3,6
1.5.2. Точка М движется по наклонной плоскости, которая расположена на
перемещающейся тележке
Наиболее точная развернутая формула абсолютного ускорения точки М …
Варианты ответов:
  n 
а) а  ае  аr  аr
  n   n  
б) а  аe  ae  аr  ar  ac
  n  
в) a  ae  ae  ar
 n   
г) a  ae  a e  ar  ac
  
д) a  ae  ar
1.5.3. Точка М двигается по вертикальной окружности, которая вращается
вокруг вертикальной оси
24
Наиболее точная развернутая формула абсолютного ускорения точки М …
Варианты ответов:
  n 
а) а  ае  аr  аr
  n   n  
б) а  аe  ae  аr  ar  ac
  n  
в) a  ae  ae  ar
 n   
г) a  ae  a e  ar  ac
  
д) a  ae  ar
1.5.4. Тележка движется по закону sе = 0,5t3. По тележке в плоскости чертежа
движется точка согласно уравнениям х1 = 0,3t и y1 = 0,1t2. Абсолютное
ускорение точки М в момент времени t = 1 c равно …
Варианты ответов:
а) 3,01
в) 0,51
б) 5,07
г) 3,76
д) 2,31
1.5.5. По стороне треугольника, вращающегося вокруг стороны АВ с угловой
скоростью ω = 8 рад/с, движется точка М с относительной скоростью
vr = 4 м/c. Модуль ускорения Кориолиса точки М равен …
Варианты ответов:
а) 128
в) 64
б) 32
г) 0
д) 4
25
1.5.6. По диаметру диска, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью ω = 2t, движется точка М с относительной скоростью vr = 4t.
Модуль ускорения Кориолиса точки М в момент времени t = 2 с равен …
Варианты ответов:
а) 12
в) 64
б) 32
г) 28
д) 4
1.5.7. Точка М движется от начала координат со скоростью v = 2 м/c по
стержню, образующему угол 30° с вертикальной осью вращения Oz. Угловая
скорость ω = 4 рад/c. Проекция на ось Ox кориолисова ускорения точки М,
когда стержень находится в плоскости yОz, равна …
Варианты ответов:
а) –16
в) 8
д) 3
б) –8
г) 0
2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Вращательное движение твердого тела
Краткие теоретические сведения
Уравнение вращательного движения твердого тела: φ = φ(t), где φ − угол
поворота, измеряемый в радианах.

Угловой скоростью  называется вектор, лежащий на оси вращения и
имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла
поворота:  z   . Модуль угловой скорости    z   , а его размерность
может обозначаться    рад/с = 1/с = с-1.

Угловым ускорением называется величина  , равная производной по
 
времени от угловой скорости:    . При этом проекция вектора углового
ускорения на ось z будет  z   z   . Модуль углового ускорения −
   z   , а его размерность может обозначаться по-разному:
   рад/с2 = 1/с2 = с-2.
Если знаки алгебраических значений угловой скорости и углового
ускорения одинаковы, то вращение ускоренное, а если разные, то
26


замедленное. При ускоренном вращении направление векторов  и 
совпадают, а при замедленном − противоположны.
Если ω = const, то вращение равномерное, а если ε = const –
равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное).
Модули скорости точек вращающегося тела пропорциональны их
расстояниям до оси вращения, а коэффициентом пропорциональности
является модуль угловой скорости: ν = ωR − формула Эйлера.
Полное ускорение точки вращающегося тела является суммой двух
  

ускорений: а  а  а , где а − касательное (вращательное) ускорение:

а   R, а − нормальное (центростремительное) ускорение: а = ω2 R.
Модуль полного ускорения
а
а2  а n2 
 2   4 R.
Угол β, который вектор полного ускорения составляет с вектором
нормального ускорения, для всех точек тела одинаков и определяется из
соотношения tgβ = ε/ω2.
В механизмах происходит преобразование движения во вращательное за
счет зубчатых и фрикционных передач (рис. 1а) или ременных и цепных
передач (рис. 1б), а также преобразование вращательного движения в
поступательное и наоборот (рис. 1в).
Рис. 1
Связи
между
соответствующими
скоростями,
называемые
кинематическими связями, определяются в этом случае простым условием
отсутствия относительного проскальзывания взаимодействующих тел, т. е.
равенством скоростей их соприкасающихся точек.
 R
Отсюда следует (для рис. 1а, б): ω1R1 =ω2R2, или 2  1 . Для передачи,
1 R2
показанной на рис. 1в, имеем ν = ωR.
Примеры тестовых заданий
Задание 1. Маховик радиуса r = 0,5 м, вращаясь равноускоренно из
состояния покоя, через 10 с после начала вращения приобрел угловую
27
скорость, соответствующую 30 об/мин. Угловое ускорение в конце десятой
секунды равно …
Варианты ответов.
а)
б)
20
в)



д) 20
20
г) 10
10
Решение.
Угловая
скорость
в
конце
десятой
секунды:
n   30
 
  c 1 . Угловое ускорение в конце десятой секунды:
30
30


t


10
c 2 .
Правильным является ответ:

10
.
Задание 2. Колесо радиуса R = 10 см вращается вокруг оси по закону
φ = 2 + 2t2 (φ – в рад, t – в с). Скорость точки обода колеса при t = 2 с будет
равна …
Варианты ответов:
а) 0,4
в) 0,2
д) 0,6
б) 2
г) 0,8
Решение. Вращательная (окружная) скорость точки обода колеса
определяется формулой: υ = ωR = 4t·0,1 = 0,4t = 0,8 м/с, где ω – угловая
скорость колеса, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна первой
производной его угловой координаты по времени:
ω =  = ((2 + 2t)2)' = 4t с-1.
Правильным является ответ: 0,8.
Задание 3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О1О2 по
закону φ = (3–t)2+11 рад. В промежуток времени от t = 0 до t = 1 с тело
вращается …
Варианты ответов:
а) равноускоренно
б) равномерно
в) замедленно
г) равнозамедленно
д) ускоренно
Решение.
Вычислим
проекцию
вектора
угловой
скорости:

ωz =  = –2(3–t). В промежутке времени от t = 0 до t = 1 с эта проекция
отрицательна.
Вычислим алгебраическое значение углового ускорения:  z   z = 2 с-2,
которое оказывается постоянным (равномерное движение) и положительным.
Таким образом, вращение равнозамедленное.
Правильным является ответ: равнозамедленное.
28
Задание 4. Тело равномерно вращается вокруг оси z с угловой
скоростью ω = 6 с-1. За время t = 2 c. Тело повернется на угол…
Варианты ответов:
а) 12 рад
в) 360°
д) 180°
б) 3 рад
г) 120°
Решение: При равномерном вращении Δφ = ωΔt. Δφ = 6·2 =12 рад.
Правильным является ответ: 12.
Задание 5. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Ох
угловое ускорение тела ε = 1 с-2, а полное ускорение точки А образует с
прямой ОА угол α = 45°. Для точки, отстоящей от оси вращения на
расстоянии ОА = 20 см, величина нормального ускорения аn равна … см/с2.
Варианты ответов:
в) 20
д) 30
а) 10 2
г) 10
б) 5 2
Решение. Угол β, который вектор полного ускорения составляет с
вектором нормального ускорения, для всех точек тела одинаков и
определяется из соотношения tgβ = ε/ω2. В данном случае β = α = 45° и
ε/ω2 = tg45° =1, откуда ω2 = ε = 1 с-2.
Нормальное ускорение точки А равно ап = ω2 · ОА = 20 см/с2.
Правильным является ответ: 20.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
2.1.1. При равномерном вращении маховик делает 4 оборота в секунду.
Маховик повернется на угол φ = 24π за … с.
Варианты ответов:
а) 120
в) 240
д) 4
б) 148
г) 3
2.1.2. Угловая скорость тела изменяется согласно закону ω = –8t. При t0 = 0
угол поворота φ0 = 5 рад. Угол поворота в момент времени t = 3 с равен …
Варианты ответов:
а) –31
в) 24
д) –68
б) 36
г) –35
29
2.1.3. Ротор электродвигателя, начав вращаться равноускоренно, сделал за
первые 5 с 100 оборотов. Угловое ускорение ротора равно …
Варианты ответов:
а) 503
в) 0,503
д) 25,3
б) 50,3
г) 15,7
2.1.4. Угловая скорость маховика изменяется согласно закону ω = π(6t – t2).
Время t>0 остановки маховика равно …
Варианты ответов:
а) 18
в) 1
д) 6
б) 26
г) 12
2.1.5. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону φ = t3+2.
Угловая скорость тела в момент, когда угол поворота φ = 10 рад, равна …
Варианты ответов:
а) 12
в) 24
д) 4
б) 48
г) 6
2.1.6. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону φ = 4+2t3.
Угловое ускорение тела в момент времени, когда угловая скорость
ω = 6 рад/с, равно …
Варианты ответов:
а) 18
в) 12
д) 48
б) 32
г) 64
2.1.7. Угловое ускорение тела изменяется согласно закону ε = 2t. При t0 = 0
угловая скорость тела равна нулю. Угловая скорость тела в момент времени
t = 4 с равна …
Варианты ответов:
а) 19
в) 6
д) 41
б) 32
г) 16
2.1.8. Тело, вращаясь вокруг неподвижной оси, совершает колебательное
движение согласно закону φ = sin 0,5πt. Угловое ускорение тела в момент
времени t = 1 с равно…
Варианты ответов:
а) 2,47
в) – 2,47
д) 3
б) 0,5
г) – 0,5
2.1.9. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону φ = t2.
Скорость точки тела на расстоянии r = 0,5 м от оси вращения в момент
времени, когда угол поворота φ = 25 рад, равна …
Варианты ответов:
30
а) 5
б) 12,5
в) 1,25
г) 1,5
д) 15
2.1.10. Тело вращается равнопеременно с угловым ускорением ε = 5 рад/с2.
При t0 = 0 угловая скорость ω0 = 0. Скорость точки на расстоянии r = 0,2 м от
оси вращения в момент времени t = 2 с равна …
Варианты ответов:
а) 8
в) 4
д) 12
б) 2
г) 0,2
2.1.11. Тело радиуса R = 10 см вращается вокруг оси Ох по закону φ= 2+3t2
(φ – в рад, t – в с). Скорость точки А при t = 2 с будет равна …
Варианты ответов:
а) 24
в) 1,2
д) 6
б) 12
г) 2,4
2.1.12. Скорость точки тела на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения
изменяется по закону v = 4t2. Угловое ускорение данного тела в момент
времени t = 2 с равно …
Варианты ответов:
а) 32
в) 800
д) 8
б) 3,2
г) 80
2.1.13. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону φ = 2t2.
Нормальное ускорение точки тела на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения в
момент времени t = 2 с равно …
Варианты ответов:
а) 40
в) 8
д) 12,8
б) 1,6
г) 80
2.1.14. Угловая скорость тела изменяется по закону ω = 2t3. Касательное
ускорение точки этого тела на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения в момент
времени t = 2 с равно …
Варианты ответов:
а) 48
в) 60
д) 28,2
б) 4,8
г) 80
2.1.15. Тело равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью
ω = 8 с-1. За время t = 2 с тело повернется на угол …
Варианты ответов:
а) 16 рад
в) 640°
д) 160°
б) 4 рад
г) 120°
31
2.1.16. Тело равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью
ω = π с-1. За время t = 3 с тело повернется на угол …
Варианты ответов:
1
рад
3
в) 540°
б) 3 рад
г) 120°
а)
д) 60°
2.1.17. Тело равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью
ω = 5 с-1. За время t = 0,8 с тело повернется на угол…
Варианты ответов:
а) 3,2 рад
в) 900°
д) 160°
б) 4 рад
г) 720°
2.1.18. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О1О2 по закону
φ = (1–2t)2+13 рад. В момент времени t = 3 с тело вращается …
Варианты ответов:
а) равноускоренно
б) равномерно
в) замедленно
г) равнозамедленно
д) ускоренно
2.1.19. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О1О2 по закону
φ = (1–2t)3–8 рад. В момент времени от t = 1 с тело вращается …
Варианты ответов:
а) равноускоренно
б) равномерно
в) замедленно
г) равнозамедленно
д) ускоренно
32
2.1.20. Два шкива соединены ременной передачей. Точка А одного из шкивов
имеет скорость νА = 60 см/с. Скорость νВ точки В другого шкива в этом случае
равна (в см/с) …
Варианты ответов:
а) 30
б) 20
в) 40
г) 15
д) 35
2.1.21. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Ох угловое
ускорении тела ε = 2 с-2, а полное ускорение точки А образует с прямой ОА
угол α = 45°.
Для точки, отстоящей от оси вращения на ОА = 5 см, величина нормального
ускорения равна (в см/с2) …
Варианты ответов:
а) 20 2
в) 10
д) 20
г) 10 2
б) 5 2
2.2. Плоскопараллельное движение твердого тела
Краткие теоретические сведения
• Уравнения плоскопараллельного движения: xA = xA(t), yA = yA(t),
φ = φ(t), где xA , yA – координаты полюса; φ – угол поворота плоской фигуры.
Движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из
поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со

скоростью  А полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.
Основными кинематическими характеристиками тела при плоском движении



являются: скорость  А и ускорение а А полюса, угловая скорость  и

угловое ускорение  тела.
33
• Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской
фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
• Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент
времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг
мгновенного центра скоростей. Модули скоростей точек плоской фигуры
пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей:
 И   ВР .

• Для определения МЦС надо знать только направления скоростей  В

и  С каких-нибудь двух точек В и С плоской фигуры (или траектории этих
точек); МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров,
восстановленных из точек В и С к скоростям этих точек (или к касательным
к траекториям).


• Если скорости двух точек плоской фигуры  В и  С параллельны
друг другу и перпендикулярны отрезку ВС, то для нахождения МЦС
используется условие пропорциональности модулей скоростей точек
расстояниям от этих точек до МЦС. Точка Р строится как точка пересечения
линии отрезка ВС и линии, проведенной через концы скоростей. Если при


этом окажется , что  В =  С, или если скорости двух точек плоской фигуры


 В и  С параллельны друг другу и не перпендикулярны отрезку ВС , то
МЦС располагается в бесконечности. При этом угловая скорость тела равна
нулю, а скорости всех точек тела векторно равны. Тело совершает мгновенно
поступательное движение.
• Если какое-либо
тело катится по неподвижной поверхности,
положение МЦС определяется из условия отсутствия взаимного
проскальзывания. МЦС, в этом случае, – это точка соприкосновения тела с
поверхностью.
• Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка Q плоской
фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю: аQ = 0.
• Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны
расстояниям от этих точек до МЦУ: аМ   2   4 МQ . При этом ускорения
всех точек плоской фигуры составляют один и тот же угол β с отрезками,
соединяющими эти точки с МЦУ: tgβ =  /  2 .
Примеры тестовых заданий
Задание 1. В механизме маховик радиуса R = 50 см вращается с
угловой скоростью ω0 = 6 с-1.
34
В положении, указанном на чертеже, при ОВ = 0,5 м угловая скорость
шатуна АВ равна …
Варианты ответов:
а) 2 3
в) 3
д) 6
г) 2
б) 3 3
Решение.

Звено ОА – кривошип, совершает вращательное движение, вектор v A
перпендикулярен ОА и направлен в сторону вращения кривошипа, а
величина скорости точки А равна:
v A    ОА  6  0,5  3 м / c .
Звено АВ – шатун, который совершает плоское движение. Величина и
направление скорости точки А известны. Точка В есть точка шатуна, общая с
ползуном, который совершает возвратно-поступательное движение вдоль

направляющих, следовательно, скорость точки В – vB направлена вдоль
направляющих. Зная для данного момента времени направление скоростей
двух точек шатуна, можно найти положение его мгновенного центра
скоростей. Эта точка PАВ лежит на пересечении перпендикуляров,
восстановленных из двух точек А и В шатуна к направлениям скоростей этих
точек. Угловая скорость  АВ звена АВ равна:
v
3
 АВ  А   2 рад / с .
АPАВ 1,5
Из прямоугольного
треугольника ОВPАВ: ОPАВ = 1
м;
АPАВ = ОА + АPАВ = 0,5 + 1 = 1,5 м.
Правильным является ответ: 2.
Задание 2. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
35
мгновенный центр скоростей звена CD находится в …
Варианты ответов:
а) ∞
б) точке С
в) точке N
г) точке L
д) точке D
Решение. Решение задачи начинаем со звена ОА, так как для него задана

угловая скорость. Вектор скорости v A перпендикулярен ОА и направлен в
сторону вращения кривошипа ОА.
Звено АВ является шатуном, который совершает плоское движение.
Направление скорости точки А мы знаем. Точка В есть точка шатуна, общая с
ползуном В, который совершает возвратно-поступательное движение вдоль

направляющих, следовательно, скорость точки В – vB направлена вдоль
направляющих. Зная для данного момента времени направление скоростей
двух точек шатуна, можно найти положение мгновенного центра скоростей.
Это точка – К лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из
двух точек А и В шатуна к направлениям скоростей этих точек. Соединив
точку С с мгновенным центром скоростей К, тогда вектор скорости точки С 
vC будет перпендикулярен отрезку СК.
Звено СD является шатуном, который совершает плоское движение.
Направление скорости точки С известно. Точка D есть точка шатуна, общая с
ползуном D, который совершает возвратно-поступательное движение,

следовательно, ее скорость – vD направлена вдоль направляющих. Тогда
мгновенный центр скоростей звена CD – точка N лежит на пересечении
перпендикуляров, восстановленных из двух точек C и D шатуна к
направлениям скоростей этих точек.
Правильным является ответ: N.
36
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
2.2.1. Диск радиуса R = 50 cм катится по плоскости. Расстояние от
геометрического центра до мгновенного центра скоростей равно
(в метрах) …
Варианты ответов:
а) 0,5
в) 100
д) 2 0,5
б) 0,1
г)
0,5
2.2.2. Цилиндр 1 радиуса r = 13 см катится по неподвижному цилиндру 2
радиуса R = 20 см.
Расстояние от центра цилиндра О до его мгновенного центра скоростей
равно …
Варианты ответов:
а) 0,13
в) 0,07
д) 0
б) 0,33
г) 0,2
2.2.3. Кривошип ОА механизма, вращаясь равномерно, образует в данный
момент времени с направлением ОВ угол φ = 90°.
Расстояние от мгновенного центра скоростей шатуна АВ до ползуна В
равно …
Варианты ответов:
а) 0
в) ∞
д) ОА
б) АВ
г) ОВ
2.2.4. Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω. Длина
кривошипа ОА = 80 мм, длина шатуна АВ = 160 мм.
37
Расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей шатуна АВ равно …
Варианты ответов:
а) 0
в) 0,80
д) 0,16
б) 240
г) 0,24
2.2.5. Шкив 1 радиуса r1 = 0,2 м и диск 2 радиуса r2 = 0,5 м шарнирно
соединены штангой АВ.
Для положения, показанного на рисунке, расстояние от точки В до
мгновенного центра скоростей штанги равно …
Варианты ответов:
а) ∞
в) 0
д) 1
б) 0,7
г) 0,5
2.2.6. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
Мгновенный центр скоростей звена CD находится в …
Варианты ответов:
а) ∞
б) точке L
в) точке К
г) точке М
д) точке А
2.2.7. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
38
мгновенный центр скоростей звена АВ находится в ...
Варианты ответов:
а) ∞
в) точке К
д) точке А
б) точке С
г) точке Е
2.2.8. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
мгновенный центр скоростей звена СЕ находится в …
Варианты ответов:
а) ∞
в) точке К
д) точке А
б) точке С
г) точке L
2.2.9. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
мгновенный центр скоростей звена СD находится в …
Варианты ответов:
а) ∞
б) точке С
в) точке N
г) точке L
д) точке D
39
2.2.10. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
мгновенный центр скоростей звена СВ находится в …
Варианты ответов:
а) ∞
в) точке Е
б) точке К
г) точке М
д) точке L
2.2.11. Для механизма в положении, представленном на рисунке,
мгновенный центр скоростей звена СD находится в …
Варианты ответов:
а) точке С
в) точке К
б) ∞
г) точке М
д) точке L
2.2.12. В кривошипно-ползунном механизме кривошип вращается с угловой
скоростью ω0 = 4 с-1.
При ОА = АВ = 1 м в положении, указанном на рисунке, угловая скорость
шатуна АВ равна …
Варианты ответов:
40
а) 3 2
б) 2 3
в) 8
г) 4
д) 2
2.2.13. Балансир ОА передает движение звеньям АВ и ВО1, имея угловую
скорость ω0 = 6 с-1
В положении, указанном на чертеже, при ОА = 10 см, АВ = 15 2 см и φ = 45°
угловая скорость звена АВ равна …
Варианты ответов:
а) 3 2
в) 2
д) 5
б) 2 2
г) 5
2.2.14. В кривошипно-ползунном механизме кривошип вращается с угловой
скоростью ω0 = 4 с-1.
При ОА = 10 см, АВ = 10 3 см и φ = 30° в положении, указанном на рисунке,
угловая скорость шатуна АВ равна …
Варианты ответов:
а) 2
в) 4
д) 0
б) 2 3
г) 4
2.2.15. Круглая пластинка вращается вокруг оси, проходящей через точку О,
перпендикулярной плоскости пластины с угловой скоростью ω.
41
Укажите последовательность точек в порядке увеличения их скоростей …
Варианты ответов:
2.2.16. Круглая пластинка вращается вокруг оси, проходящей через точку О,
перпендикулярной плоскости пластины с угловой скоростью ω.
Укажите последовательность точек в порядке увеличения их скоростей …
Варианты ответов:
2.3. Сферическое движение твердого тела
Краткие теоретические сведения
• У тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент
времени имеется линия, все точки которой неподвижны (т. е. имеют нулевые
скорости). Она проходит через неподвижную точку тела О и называется
мгновенной осью вращения.
Поворот тела в данный момент времени происходит  вокруг
мгновенной оси вращения с некоторой угловой скоростью, вектор  лежит
на ней и направлен согласно правилу правого винта.
Если тело катится по неподвижной поверхности без проскальзывания,
то мгновенная ось вращения совпадает с линией соприкосновения тела и
поверхности.
42
• Скорости точек тела при сферическом движении: в каждый момент
времени происходит поворот тела вокруг мгновенной оси вращения
с
  
угловой скоростью  , и скорость точки определяется формулой     r ,

где r – радиус-вектор данной точки, проведенный из неподвижной точки О.
Модуль скорости при этом находится по формуле   h , h – расстояние от
точки до мгновенной оси вращения (длина соответствующего
перпендикуляра).
Примеры тестовых заданий
Задание 1. Подвижный конус А катится без проскальзывания по
неподвижному конуса В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг
оси ОС1 неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и
радиус основания R, мгновенная угловая скорость  тела А равна …
Варианты ответов:
1
2
а) 1
б) 1
в)
2 3
1
3
31
д)
3
1
2
г)
Решение. Расстояние Н от точки С до неподвижной оси С1z есть
Н  ОС sin 60 
3
3
OC . Скорость точки С:  с  1Н  1
ОС . Мгновенная
2
2
ось вращения подвижного конуса проходит по линии соприкосновения
1
конусов, и расстояние h от точки С до нее будет h  OC sin 30  OC .
2
1
Скорость точки С:  с  h   OC . Приравнивая два выражения для
2
скорости точки С, получаем   31.
Правильным является ответ:
31.
Задание 2. Подвижный конус А катится без проскальзывания по
неподвижному конуса В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг
оси ОС1 неподвижного конуса постоянна и равна ω1. При заданном радиусе
43
основания подвижного конуса R и известных углах линейная скорость точки
D равна.
Варианты ответов:
а) 1,5 R1
б)
31
в) 2 3R1
д)
3
R1
2
г) 3R1
Решение. В решении предыдущего задания определена скорость точки С
3
 с  1
ОС . Точка D находится от мгновенной оси вращения на
2
расстоянии, вдвое большем, чем точка, поэтому и ее скорость вдвое больше.
Учитывая, что OC  Rctg 30  R 3 , получаем  D  2 C  3R1 .
Правильным является ответ: 3R1
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
2.3.1. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0, 521
в)   1,91
б)   0,351
г)   2, 71
д)   0, 71
44
2.3.2. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0, 51
в)   31
б)   1
г)  
д)  
2 3
1
3
3
1
2
2.3.3. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)  
3
1
2
в)   1
б)  
2 3
1
3
г)   31
д)   0, 51
45
2.3.4. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0, 731
в)   1,371
б)   0,521
г)   0, 281
д)   1, 921
2.3.5. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0,52 1
в)   1,37 1
б)   0, 28 1
г)   0, 73 1
д)   1, 92 1
46
2.3.6. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0, 431
в)   3, 7 1
б)   1,11
г)   1, 92 1
д)   0,52 1
2.3.7. Подвижный конус А катится без проскальзывания по неподвижному
конусу В так, что угловая скорость вращения оси ОС вокруг оси ОС1
неподвижного конуса постоянна и равна ω1. Если известны углы и радиус
основания R = 1 м, мгновенная угловая скорость тела А равна …
Варианты ответов:
а)   0, 73 1
в)   1,37 1
б)   0, 52 1
г)   0, 28 1
д)   1,92 1
47
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курс теоретической механики : учеб. пособие для техн. вузов /
А. А. Яблонский [и др.] – М. : Лань, 2002. – 764 с.
2. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики : учеб. для техн.
вузов / С. М. Тарг. – М. : Высшая школа, 2005. – 416 с.
3. Яблонский, А. А. Сборник заданий для курсовых работ по
теоретической механике: учеб. для техн. вузов / А. А. Яблонский. – М. :
Интеграл-Пресс, 2005. – 382 с.
4. Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике : учеб. пособие /
И. В. Мещерский. – СПб. : Лань : Омега – Л, 2005. – 448 с.
5. Санкин, Ю. Н. Лекции по теоретической механике : учеб. пособие.
Часть 2: Динамика, аналитическая механика / Ю. Н. Санкин. – Ульяновск :
УлГТУ, 2004. – 267 с.
6. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики : учеб. пособие для втузов
/ Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. Т1. М. : Наука, 1985. – 250 с.
7.Теоретическая механика в примерах и задачах : учеб. пособие для
вузов: Т.2: Динамика / М. И. Бать [и др.]. – М. : Наука, 1991. – 639 с.
8. Сборник коротких задач по теоретической механике : учеб пособие
для втузов / О. Э. Кепе, Я. И. Виба, О. П. Грапис [и др.]. – М. : Высш. шк,
1989. – 368 с.
9. Теоретическая механика : учебное пособие / В. А. Диевский [и др.]. –
СПб. : Лань, 2010. – 141 с.
Учебное издание
МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич
ОВСЯННИКОВА Наталья Борисовна
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. КИНЕМАТИКА
Методические указания
Редактор М. В. Теленкова
Подписано в печать 14.02.2012. Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 3,02. Заказ 167.
Ульяновский государственный технический университет
432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32
Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32
48