Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 167–176 Информатика

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 167–176
Информатика
УДК 519.2
Информационно - энтропийные модели
инновационных процессов в экономических
системах
Р.В. Ленников
Аннотация. Рассмотрено влияние информационных потоков
на динамику сложных экономических систем. Предложена модель
фазового перехода и разработан критерий самоорганизации
систем на основе энтропии Реньи. Предложена модель диффузии
инноваций, учитывающая внутреннее время системы.
Ключевые слова: энтропия Реньи, фазовый переход, параметр
порядка,
логистическое
уравнение,
диффузия
инноваций,
внутреннее время системы.
Введение
Эффективность развития экономических систем связана с информационной
составляющей экономической деятельности, оказывающей воздействие через
инновации. Инновация – это внедрение и освоение новой информации в
экономической системе.
Информационно-энтропийный критерий Реньи
самоорганизации систем вследствие действия инноваций
Интересным является вопрос о самоорганизации экономической системы
после информационно-инновационного воздействия.
В работе [1] Зайнетдтинов Р. И. предложил использовать скорость
приращения энтропии для оценки степени самоорганизации систем. В основе
этого подхода предлагалось использовать выражение энтропии в форме
Гиббса-Шеннона для определения критических точек — точек бифуркации.
Экономические системы относятся к классу систем, описываемых
степенными распределениями. Распределение Гиббса, лежащие в основе
принципа максимальности энтропии Гиббса-Шенона не является степенным
[2].
Принцип максимума энтропии Реньи позволяет получить распределение
Реньи, частным случаем которого является каноническое распределение
168
Р.В. Ленников
Гиббса [2]. Таким образом, энтропия сложной системы определяется как
энтропия Реньи для распределения Реньи
n
X q
1
Hq (P ) =
ln
Pi .
1−q
(1)
i=1
В отличие от обычной энтропии, основанной на энтропии ГиббсаШеннона, энтропия Реньи (1) возрастает с увеличением отклонения
распределения от распределения Гиббса (с ростом параметра η = 1 − q) и
достигает своего максимума при максимально возможном значении ηmax , при
этом распределение Реньи становится степенным распределением. Величину
η можно рассматривать как параметр порядка. При η = 0 производная
энтропии системы по η испытывает скачок, т.е. имеет место фазовый переход
в более упорядоченное состояние.
Поэтому в данной работе предлагается использовать энтропию Реньи (1),
зависящую от параметра q (0 < q 6 1) и совпадающую с энтропией ГиббсаШеннона при q = 1 для описания процесса самоорганизации бистабильной
системы при инновационном воздействии.
Внешние воздействия могут вызвать переход системы из состояния
S0 в S1 и обратно с постоянными интенсивностями λ, µ. Используя
аппарат теории марковских процессов, получим из уравнений Колмогорова
вероятности пребывания системы в состояниях S0 и S1
¡
¢
¡
¢
P0 (t) = 1 + αe−βt / (1 + α) и P1 (t) = α 1 − e−βt / (1 + α) ,
(2)
где для удобства введены параметры α = λ/µ, β = λ + µ.
В дальнейшем рассматривается энтропийная функцию H (t) =
= Hq (t) /Hmax , где Hmax — максимальное значение энтропии.
Аналитическая зависимость, описывающая динамику потока энтропии
Реньи H (t) во времени t для двух возможных состояний, имеет вид:
H (t) =
¡
£¡
¢q
¡
¢q ¤¢
1
−q ln (1 + α) + ln 1 + αe−βt + αq 1 − e−βt
. (3)
(1 − q) ln 2
В зависимости от параметра α возможны три характерных режима
функционирования системы: S0 , α < 1, P0 > P1 ; равновероятный при α = 1
и P0 = P1 ; S1 , α > 1; P0 < P1 .
e (t)
Функция временной зависимости потока информационной энтропии H
после изменения условий существования системы при α → α
e и β → βe в
результате инновации в момент t0 получена в виде:
n h³
´q
1
e
e (t) =
H
ln (1 + α) + (e
α − α) e−β(t−t0 ) +
(1 − q) ln 2
³
´q i
e
(4)
+ α
e (1 + α) + (α − α
e) e−β(t−t0 )
− q ln ((1 + α
e) (1 + α))} .
Информационно - энтропийные модели инновационных процессов
169
Система реагирует на новый режим существования при α
e > 1 ростом
потока энтропии до максимального значения в критической точке
tb и дальнейшей стабилизацией на стационарном уровне (рис 1). В
критической точке оба состояния равновероятны P0 = P1 = 0.5, точка tb
является аналогом точки бифуркации системы. В этом состоянии система
характеризуется наибольшей хаотичностью, в дальнейшем возможны два
сценария эволюции системы: возврат к старому состоянию, P0 > P1 или
переход к преимущественно новому состоянию, P0 < P1 .
Рис. 1. Информационная (а) и производная (б) энтропии Реньи при
внешнем воздействии
Выражение (4) является сложной функцией, зависящей от старых (α и
e условий, т.е. обладают «памятью» о прошлых условиях
β) и новых (e
α и β)
существования.
После инновации и изменения внешних условий, в экономической системе
начинаются процессы перестройки структуры. Все большее число подсистем
переходит на использование новых технологий и в момент tb половина
использует новые технологические знания. Дальнейшие изменения условий
приводит к повсеместному внедрению новой технологии, либо к возврату
старой технологи, ввиду нерентабельности новой.
На рис. 2 показана динамика информационной энтропии в зависимости
от величины параметра порядка η = 1 − q. Энтропия Реньи (1) максимальна
при наибольшем значении параметра η, при этом распределение Реньи
становится степенным [2].
При переходе к новому иерархическому уровню происходит смена
состояний, т.е. новое состояние S1 для нового уровня становится старым.
Энтропия системы резко падает, потом возрастает и вновь скачком
меняется при инновационном воздействии на новом иерархическом уровне
и т.д. Производство в экономической интерпретации технологических
инноваций приобретает волновой характер, реализуя инновационные
волны Шумпетера, причем амплитуда подъемов и спадов производства
170
Р.В. Ленников
существенно зависит от значений параметра порядка η, способного отражать
организационную структуру экономической системы.
Рис. 2. Динамика изменения потока информационной энтропии Реньи
для различных значений параметра η
Волновой поток инноваций
Для подтверждения волнового характера реакции экономической
системы на инновационные воздействия, предположим, что переходы
в экономической системе из одного состояния в другое состояние
происходят под воздействием пуассоновских потоков событий в общем
случае с переменной во времени интенсивностью. Случайный процесс
X (t) представляет собой число однородных инноваций, переводящих
действующие в системе производства в разряд более эффективных.
Колебания эффективности функционирования системы, возникающие
как реакция на инновационное воздействие, могут быть описаны с помощью
марковских процессов.
Так как интенсивность потока инновационных событий, λ (t)
направленных к повышению эффективности, как правило, имеют
волнообразный характер изменения во времени то, следуя [3], зададим
ее законом Эрланга k-го порядка. Для простоты выкладок ограничимся
случаем k = 2:
λ (t) = λ20 te−λ0 t , t > 0.
(5)
При этом максимальная плотность появления инноваций наступает в
момент времени t∗ = λ−1
0 лет.
Информационно - энтропийные модели инновационных процессов
171
Итак, если поток внедрения инноваций есть пуассоновский поток с
интенсивностью λ (t) (5), а поток неприятия инноваций, в итоге приводящих
к закрытию производства из-за неконкурентоспособности — пуассоновский
поток с интенсивностью µ (t), которую для простоты положим µ (t) = µ0 =
= const, то дифференциальное уравнение Колмогорова для определения
функции математического ожидания mX (t) случайного процесса X (t) имеет
вид:
dmX (t)
= λ (t) − µ0 · mX (t) , t > 0.
(6)
dt
Общее решение данного линейного уравнения (6) при mX (0) = 0:
Zt
mX (t) = e
−µ0 t
λ (τ ) e−µ0 τ dτ ,
(7)
0
или с учетом (5) после интегрирования, получаем:
¡
¢
mX (t) = (λ0 / (λ0 − µ0 ))2 e−µ0 t − e−λ0 t − (λ0 − µ0 ) te−λ0 t .
(8)
Скачкообразный график изменения интенсивности перехода вследствие
инновационного фактора, функции λ (t) и mX (t), представлены на рис 3.
Рис. 3. Изменение интенсивности по закону Эрланга при k = 2, k = 3 (а)
и ступенчатый вариант изменения (б). Математическое ожидание mX (t)
На основе внедренной инновации осуществляется выпуск новой
продукции с производительностью π (t) шт. в единицу времени, полагая для
простоты π (t) = π0 = const.
Пусть Y (t) — случайный процесс, представляющий собой поток новой
продукции с улучшенными потребительскими свойствами. Будем полагать
при этом, что средняя интенсивность выпуска единиц продукции Y (t)
одинакова для всех инновационных производств X (t) и равна
λY (t) = π0 mX (t) .
(9)
172
Р.В. Ленников
Так, что суммарный поток выпуска Y (t) является пуассоновским, и,
подставляя mX (t) из (8), получаем
¡
¢
λY (t) = π0 (λ0 / (λ0 − µ0 ))2 e−µ0 t − e−λ0 t − (λ0 − µ0 ) te−λ0 t .
(10)
Пусть далее весь произведенный выпуск инновационной продукции
реализуется с интенсивностью v (t) = v0 = const. Следовательно, для
математического ожидания mY (t) готовой к реализации (выпущенной)
инновационной продукции случайного процесса Y (t) также справедливы
уравнение Колмогорова, подобное (6), и соответствующее решение,
аналогичное (7) с λY (t) (10). Это решение запишется в виде
Zt
2 −v0 t
mY (t) = π0 (λ0 / (λ0 − µ0 )) e
¡ −µ0 τ
¢
e
− e−λ0 τ − (λ0 − µ0 ) τ e−λ0 τ ev0 t dτ
0
(11)
и после интегрирования
µ
λ0 − µ0 −λ0 t
e−v0 t − e−µ0 t
+
te
−
µ0 − v0
λ0 − v0
¶
¢
2λ0 − v0 − µ0 ¡ −v0 t
−λ0 t
−
e
−e
.
(λ0 − v0 )2
mY (t) = π0 (λ0 / (λ0 − µ0 ))
2
(12)
На рис. 4а приведены функции mY (t) (12), представляющие
математическое ожидание выпуска — реализации продукции при различных
интенсивностях реализации. Эти кривые являются инновационными
волнами, они включают фазы подъема и спада.
Суперпозиция случайных процессов внедрения и отклонения инноваций и
реализации выпущенной инновационной продукции Yi (t − ti ) с параметрами
λi , µi , πi , vi , которые порождаются инновационными толчками в случайные
моменты времени ti , описывает циклические колебания в экономике
вследствие инновационной деятельности:
Ye (t) =
n
X
Yi (t − ti ) η (t − ti ),
(13)
i=1
где η (t − ti ) — единичная функция.
Переходя к суперпозиции соответствующих математических ожиданий:
mYe (t) =
n
X
mYi (t − ti ) η (t − ti ),
(14)
i=1
где mYi (t − ti ) находится из (12).
На рис. 4,б представлена кривая mYe (t), полученная путем суперпозиции
инновационных волн с постоянным интервалом времени между ними.
Кривая отражает волнообразное движение общего выпуска, постоянно
Информационно - энтропийные модели инновационных процессов
173
повторяющееся и нерегулярное даже при постоянной длине интервала.
Итак, циклические колебания в данной модели возникают как естественное
следствие суперпозиции инновационных волн.
Рис. 4. Математическое ожидание mY (t) при разных параметрах потока
(а), кривая инновационных циклов (б)
Фазовые переходы при инновационных воздействиях
Рассмотрим переход экономических объектов из одного состояния
в другое посредством внедрения инновации, т.е. переводу объектов из
одного кластера в другой. Пусть в отрасли N предприятий, из них в
n предприятиях предполагается проведение инновации, тогда в N − n
предприятий инноваций не происходит.
Число способов выбора n элементов из N , или число способов разделения
N элементов на два кластера, содержащие соответственно N и N − n
элементов есть величина
n
W = CN
=
N!
.
(N − n)!n!
(15)
Л. Больцман определил энтропию как S = k ln W + S0 , где k —
постоянная Больцмана, S0 — некоторая константа. Наиболее вероятным
считается состояние, которое реализуется наибольшим числом способов при
существующих условиях.
Соотношение (1/k) S (n) = ln W + (S0 /k) можно считать некоторой
интегральной функцией, зависящей от наполненности подсистем (кластеров)
двух видов. Скорость изменения энтропии, при изменении n наполненности
каждого кластера на один элемент (±1) может быть описано уравнением
¯
1 dS
n ¯¯
¯
= ¯ln
(16)
¯.
k dn
N −n
174
Р.В. Ленников
Тогда скорость воспроизводства энтропии описывается уравнением
1 d2 S
1
1
= +
.
k dn2
n
N −n
(17)
Введем внутреннее время, dS
dn = τ связанное с изменением энтропии
(диссипативное, энтропийное время, связанное с изменением структуры) [4,
5].
Используя энтропийное время τ и выражения (16) и (17), можно получить
уравнение, описывающее динамику перехода элементов из одного кластера
в другой:
1 dn
n (N − n)
=
.
(18)
N dτ
kN 2
n
Перейдя к относительным величинам объема N
= x, из (18), получим
логистическое уравнение
dx
= ax (1 − x) ,
(19)
dt
где x — доля элементов, перешедших из одного кластера в другой.
Таким образом, процесс перехода элементов из одного кластера в другой
представляющий собой диффузию инноваций, описывается логистическим
уравнением.
Внедрение инновации — кумулятивный процесс, динамика которого,
подчиняется обобщенному логистическому закону
dY
= f (t) (Y − Ymin ) (Ymax − Y ) ,
(20)
dt
где Ymin и Ymax — минимальный и максимальный уровень показателя
эффективности инновации Y , f (t) носит смысл внутреннего времени.
Решением данного уравнения служит функция
Y = Ymin +
(Ymax −Ymin )
Rt
(Ymax − Ymin ) Θ (t)
,
Θ (t) + b
(21)
f (u)du
t0
, b > 0.
где Θ (t) = e
В рассматриваемой модели время течет не линейно, а, в некотором
смысле, пропорционально функции интенсивности f (t). Поэтому вид
решения существенно зависит от функции f (t).
Очевидно, что процесс смены состояний и перехода элементов системы
из одного кластера в другой, является нелинейным.
На каждой стадии развития фазового перехода изменение состояния
системы описывается соотношением [6]:
ln (η/ (1 − η)) = ln (ηi / (1 − ηi )) + ε ((D − Di ) /Di )χ ,
(22)
где η — параметр совершенства внутренней структуры, параметр
связности; D — мера внешнего инновационного воздействия; ηi , Di , εi , —
Информационно - энтропийные модели инновационных процессов
175
характеристики системы на каждой стадии, χ принимает значения 1/2, 1,
3/2 [7].
Соотношение (22) отражает интересы в многокомпонентной системе,
где совместное функционирование элементов является определяющим
механизмом взаимодействий. Любая система, находящаяся в стадии
фазового перехода, содержит кластеры двух типов: кластеры, которые несут
новые свойства и кластеры, не содержащие новых свойств. Под действием
внешних сил (например, экспорта-импорта энтропии) в переходной системе
наблюдается изменение соотношения между количеством кластеров этих
двух типов.
Если η — параметр совершенства внутренней структуры, параметр
связности, отражает инерционную составляющую, то 1 − η — параметр
разобщенности компонентов системы, отражает мутационную составляющую
в системе.
Количественно соотношение между носителями нового и старого порядка
определяется зависимостями:
¡
n¢
n ¡
n¢
η = 1/ 1 + e−µi −εi τ
и 1 − η = e−µi τ / 1 + e−µi −εi τ ,
(23)
где τ = (D − Di ) /Di , µi = ln (ηi / (1 − ηi )), D — значение внешнего
воздействия на систему.
Эволюция многокомпонентных систем будет определяться в каждый
момент времени соотношением:
dη
= χεi τ χ−1 η (1 − η) .
dτ
Или, делая замену t = τ χ в (25), получим
(24)
dη
= εi η (1 − η) .
(25)
dt
Таким образом, получено логистическое уравнение, описывающее
изменение параметра связности системы, который является параметром
η = 1 − q из энтропии Реньи (1). Рост параметра η переводит энтропию
Гиббса-Шенона в энтропию Реньи, которая уже соответствует системам,
обладающими степенными распределения управляющих параметров.
При росте параметра η происходит усложнение структуры, повышается
сложность.
Заключение
Информационные процессы, происходящие в ходе разработки новых
технологий и внедрения инноваций, носят ярко выраженный нелинейный
характер и сопровождаются производством энтропии, что приводят к
необратимым изменениям. Предложенные подходы могут использоваться
для обоснованного управления, прогнозирование и планирование
инновационных циклических процессов.
176
Р.В. Ленников
Список литературы
1. Зайнетдинов Р.И. Синергетический анализ инновационных циклов в науке,
технике и технологиях // Циклы. Материалы VII Международной научной
конференции. Том I. Ставрополь: РАН, Министерство образования и науки РФ.
2005. С.19–26.
2. Башкиров А.Г. Энтропия Реньи как статистическая энтропия для сложных
систем // Теоретическая и математическая физика. 2006. T.149, №2. С.299–317.
3. Акаев А.Г. Переходная экономика глазами физика. Бишкек: Учкун, 2000. 262 с.
4. Панченков А.Н. Энтропия. Нижний Новгород: Интелсервис, 1999. 592 с.
5. Панченков А.Н. Энтропия 2. Нижний Новгород: Интелсервис, 2002. 712 с.
6. Смирнов А.П., Прохорцев И.В. Принцип порядка. Санкт-Петербург: ЗАО
«Пик», 2002. 296 с.
7. Кузнецов Б.Л. Введение в экономическую синергетику. Набережные Челны:
Изд. КамПИ, 1999. 403 с.
Ленников Роман Витальевич (roman@lennikov.name), ассистент, кафедра
математического анализа, Тульский государственный университет.
Information entropy models of innovation processes in economic
systems
R.V. Lennikov
Abstract. This paper considers the impact of information flows on the dynamics of complex economic systems. A model of phase transition and criteria
for self-organizing systems based on Renyi entropy are introduced. A model of
innovation diffusion considered internal time and it’s applications are discussed.
Keywords: Renyi entropy, phase transition, parameter of order, logistic equation, diffusion of innovations, internal system time.
Lennikov Roman (roman@lennikov.name), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.
Поступила 10.01.2011